第3课时——1.2.1任意角的三角函数(1)——教师版
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1.2.1任意角的三角函数【教案目标】<1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义<包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);<2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;<3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;b5E2RGbCAP<4)掌握并能初步运用公式一;<5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.【教案重难点】重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义<包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等<公式一).p1EanqFDPw难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义<包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.DXDiTa9E3d【教案过程】一、【创设情境】提问:锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?借助右图直角三角形,复习回顾.O M函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;RTCrpUDGiT ;.思考:对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:5PCzVD7HxA;;.思考:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.jLBHrnAILg 二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.xHAQX74J0X2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1>叫做的正弦(sine>,记做,即;<2)叫做的余弦(cossine>,记做,即;<3)叫做的正切(tangent>,记做,即.注意:当α是锐角时,此定义与初中定义相同<指出对边,邻边,斜边所在);当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.LDAYtRyKfE3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,Zzz6ZB2Ltk.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.dvzfvkwMI14.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:rqyn14ZNXI5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:(其中>6.三角函数线设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.由四个图看出: 当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有<Ⅰ) Ⅱ)<Ⅳ)<Ⅲ)我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
§1.2.1任意角三角函数(一)
tan α=
)0(≠x x
y
师:正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数。
问4:你能给出三角函数中自变量α的取值范围(即三角函数的定义域)吗?
问5:如何求角的三角函数值?
1、 画角:使角的始边在x 轴上,角的顶点在坐标原点
2、 求点:求角的终与单位圆的交点坐标P (x ,y )
3、算值:由定义计算:
sin α=y cos α=x
tan α=
)0(≠x x
y
例3:已知角α的终边经过点)4,3(--︒p ,求角α的正弦、余弦、正切值。
探究3的应用,另一定义的引入。
课堂 小结
1、 本节课我们是如何研究任意角三角函数的?
直角三角形中锐角三角函数→直角坐标系中锐角三角函数→单位圆中任意角三角函数
2、 如何求角α的三角函数
单位圆中: 在非单位圆中:
sin α=y sin α=r x cos α=x cos α=r
y
tan α=)0(≠x x y tan α=x
y
课后作业
练习题:第15页第1、2题
习题1.2A 组 第1、2题.
板书 设计
教学反
思
三角函数是描述客观世界中周期变化规律的重要数学模型,本章
是建立在函数基础上探究角,本节课是学习完《任意角》、《弧度制》
后的第一节课。
在初中,学生就接触过锐角三角函数,为了刻画一些简单的周期运动,要将其推广给出定义,将使学生的思维陷入僵化,
x
y
o。
1.2.1任意角的三角函数(1)(教学设计)一、教材分析:本节课选自人教版数学必修4第一章1.2.1任意角的三角函数的第1课时,是概念课。
本节课在第一章的中占有重要的地位,学习掌握好三角函数的概念,可以为整章内容的学习打下扎实的基础,可以引领整个板块的学习。
二、学情分析:之前学生已经学过了任意角、终边相同的角、弧度制等有关概念,对角的终边落在直角坐标系的位置已经有了知识基础,同时,学生在初中学过了锐角三角函数的定义。
以上知识储备为本节课的学习提供了一定的便利条件,但是初中学习的锐角三角函数的定义容易引起学生先入为主的心理定位,对任意角的三角函数的定义教学容易引起混淆的。
三、教学目标:1、知识与技能(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,依然通过终边坐标法来定义任意角的三角函数,(符合初中比值来定义),再特例法通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法得到任意角三角函数的另一定义.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.追溯三角函数的发展历史三角函数的本质是“比值”,所以采用终边坐标法来定义任意角的三角函数,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数。
并在学习了弧度制之后得出的,因此才真正的建立了三角函数是实数(弧度制)到实数之间的对应关系。
然后再利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系.4、数学核心素养:培养学生归纳到抽象、思考与判断的核心素养四、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。
难点: 利用单位圆定义任意角的三角函数。
1.2.1任意角的三角函数教学目标:(1) 认识到定义任意角三角函数的必要性和任意角三角函数定义的合理性,能从函数的概念理解三角函数的定义,会根据已知角的终边求出角的三角函数值;(2) 学生能根据三角函数的定义得到三角函数的定义域、三角函数在各象限的符号,会确定已知角的三角函数值的符号;教学重点:任意角的三角函数的定义;三角函数的定义域和函数值在各象限的符号 教学难点;从函数的概念理解三角函数的定义课堂实录:一、 创设情境,激发兴趣师:日复一日,年复一年,又到了“双十一”,全球大抢购的日子了,“双十一”起源于2009年,以后每年的11月11日为淘宝商城举行大规模促销活动的固定日期,这种按一定规律不断重复的现象,称为周期现象。
自然界中有很多的周期现象,能否举例? 生:春夏秋冬生:摩天轮的运动师:很好.那大家有没有想过,对于周期现象可以用怎样的数学模型来刻画呢? 师:(PPT 显示圆周上点的运动)对于周期现象一个简单又基本的例子便是“圆周上点的运动”,要研究点的运动,关键要把握点的位置。
师:如何将圆周上一点P 的位置表示出来呢?生:可以建立直角坐标系,以O 为圆心,水平方向为x 轴,竖直方向为y 轴,点P 的位置可以用坐标(x,y )来表示.师:好,还有其他表示方法吗?生:我想还可以用点P 转过的角度和圆的半径r 来表示点P 的位置师:即用有序数对α(r,) 来表示点P 的位置,这种方法表示点P 的位置也很简洁.师:既然同一个点可用两种不同的方法表示,那么这两种表示方法之间有怎么样的联系呢?即,,,r x y α 之间有着怎样的内在联系呢?(学生很是好奇,但不知如何回答)师:下面我们就来研究下,找到这四者关系,就能找到刻画周期现象的数学模型?二、 问题引动,探究新知师:初中时,我们怎样利用直角三角形定义锐角三角函数?生:画直角三角形ABC ,sin cos tan A A A ===对边邻边对边,,斜边斜边邻边师:在本节课之前我们已经将锐角推广到任意角,那有锐角三角函数锐角三角函数能否推广到任意角三角函数?这就是我们这节课要重点研究的内容.(板书课题任意角的三角函数) 师:用什么方法来推广呢?P O(让学生思考,让学生提出解决问题的设想,发现学生有困难)师:现在任意角在直角三角形中已经放不下,怎么办?我们想想,锐角是怎么推广到任意角的?生:借助于直角坐标系生:我们也可以借助于直角坐标系研究任意角三角函数.师:很棒,我们可采用坐标化方法来研究,那为了研究的方便,我们采用从特殊到一般的思想方法来研究,即先研究任意角中的一种特殊角,锐角.把锐角α 的顶点置于坐标原点,始边与x 轴重合,终边落在第一象限,在终边上取点P ,点P 可取在哪里?生:不能取在原点.师:不错,取在原点角没有意义.在终边上去点P(x,y),OP ,此时,,,r x y α 之间有着怎样的内在联系呢?生:过点P 作x 轴的垂线,垂足为M ,,,OM x PM y POM α==∠= ,所以sin ,cos y x r r αα== ,tan y x α=师:这些关系是函数吗?若是,自变量是什么,函数值是什么?师:为回答这个问题,先来回答下列两个问题?问题1:对于确定的角α,这三个比值的大小和P 点在角α的终边上的位置是否有关呢?生:当α 确定时,比值应该是不变的.师:为什么?生:再在角α终边上去一点Q ,由相似三角形,我们可以得到比值不变.师:这位同学的看法不错!PPT 打出结论1:对于确定的角α,比值是唯一确定的。
思考:上述锐角:的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究 这个问题一一任意角的三角函数、【探究新知】1.探究:结合上述锐角:的三角函数值的求法 ,我们应如何求解任意角的三角函数值 呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点 ,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义 :在直角坐标系中,我们称 以1.2.1任意角的三角函数【教学目标】 (1) 掌握任意角的正弦、 余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号); (2) 理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3) 了解如何利用与单位圆有关的有向线段, 将任意角a 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4) 掌握并能初步运用公式一; (5) 树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 【教学重难点】 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号);三角函数线的正确理解• 【教学过程】 一、【创设情境】 提问:锐角0的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾 • 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图,设锐角:-的顶点与原点0重合,始边与x 轴的正半轴重合 ,那么它的终边在第一象限.在〉的终边上任取一点 P (a,b ),它与原点的距离 . a 2 b 2 0 .过P 作 段MP 的长度为 MP b b .则 sin :-OP r OM a MP b cos- ; tan:==—. OP r OM a 思考:对于确定的角 〉,这三个比值是否会随点x 轴的垂线,垂足为M ,则线段0M 的长度为a ,线P 在〉的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 0P 的长r =1的 特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数: sin -■MP OPcos :OM OPtan :MP OM.那么,角的概念推广以原点0为圆心,以单位长度为半径的圆•2. 思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设:.是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:(1)y 叫做〉的正弦(sine),记做sin :•,即sin = y ;(2)x 叫做〉的余弦(cossine), 记做cos〉,即cos, - x ;(3)y叫做壽的正切(tangent),记做tan :,即tan:=丄(x = 0).x x注意:当a是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当a不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点P(x, y),从而就必然能够最终算出三角函数值•3. 思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关,仅与角的大小有关•我们只需计算点到原点的距离r x2y2,那么sin y , cos x ,Q x +y Q x +ytan〉=1所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函x数,又因为角的集合与实数集之间可以建立--------- 对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数•4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再5. 思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(二112k 二)二sin:cos(=,2k二)二cos:(其中k Z)tan(-:>' 2k二)二tan:6. 三角函数线设任意角的顶点在原点0 ,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT ,分别叫做角:的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.7. 例题讲解例1 .已知角a 的终边经过点 P(2, -3),求a 的三个函数制值。
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用于解题. (一)任意角的三角函数: 任意点到原点的距离公式:22y x r +=1.三角函数定义:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(,)x y ,它与原点的距离为(0)r r ==>,那么(1)比值y r 叫做α的正弦,记作sin α,即sin y r α=; (2)比值x r 叫做α的余弦,记作cos α,即cos xr α=;(3)比值y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan yxα=;(4)比值x y 叫做α的余切,记作cot α,即cot x yα=; 2.说明:(1)α的始边与x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置;(2)根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小; (3)当()2k k Z παπ=+∈时,α的终边在y 轴上,终边上任意一点的横坐标x 都等于0,所以tan yxα=无意义;同理当()k k Z απ=∈时,y x =αcot 无意义;(4)除以上两种情况外,对于确定的值α,比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。
第3课时 任意角的三角函数(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1. 掌握任意角三角函数的定义,并能借助单
位圆理解任意角三角函数的定义;会用三角函数线表示任意角三角函数的值; 2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这
三种函数的值在各象限的符号.
【课堂互动】
自学评价
1. 设点P 是α角终边上任意一点,坐标为
(,)P x y
,||OP r ==,用
(1)比值 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α= ;
(2)比值 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α= ;
(3)比值 叫做α的正切,记作tan α,即tan α= .
其中,sin y x = 和cos y x =的定义域分
别是:,R R ;而tan y x =的定义域是:
{|,}2
k k Z π
ααπ≠
+∈除上述情况外,对于
确定的值α,比值
y r 、x r 、y
x
分别是一个确定的实数,所以正弦、余弦、正切、是以角α
为自变量,一比值为函数值的函数,分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数统称为三角函数. 2.三角函数的符号
由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:
①正弦值
y
r
对于第一、二象限为正(0,0y r >>),对于第三、四象限为负(0,0y r <>);
②余弦值x
r
对于第一、四象限为正
(0,0x r >>),对于第二、三象限为负(0,0x r <>);
③正切值y
x
对于第一、三象限为正(,x y
同号),对于第二、四象限为负(,x y 异号).
说明:(1)若终边落在轴线上,则可用定义
求出三角函数值; (2)正弦函数值的符号与y 的符号相同,余弦函数值的符号与x 的符号相同.
【精典范例】
一、任意角的三角函数
例1. 已知角α的终边经过点(2,3)P -,求
α的正弦、余弦、正切值.
分 析:任意角的三角函数的定义 【解】
2,3x y r ==-∴==
sin 13y r α∴=
==-
cos 13α=
,3
tan .2
α=- 思考 :若角θ的终边经过点
(4,3)(0)P a a a -≠,求sin cos θθ和
二、三角函数的定义域
例2. x 取什么值时,
sin cos tan x x
x
-有意义.
分 析:三角函数的定义域 【解】
听课随笔
sin ,cos αα 的定义域是R , ∴要使分式有意义只要分母有意义并不
等于0
x k π∴≠且,2
x k k Z π
π≠+
∈,
即 ,2
k x k Z π
≠∈.
三、三角函数值在各象限的符号
例3. 确定下列三角函数的符号: (1)7cos
12
π
; (2)0
sin(465)-; (3)11tan
3
π
; 分 析:主要考查弧度与角度的换算 【解】
(1)
712π
是第二象限的角, 所以7cos 012
π
<;
(2)0
sin(465)0-<; (3)11tan 03
π
<.
追踪训练
1. 设α是三角形的一个内角,在
sin ,cos ,tan ,tan 2
α
ααα中,哪些有可
能是负值? 答:cos ,tan .αα
2. 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的
符号: (1)0
885; (2)0
395-; (3)
196
π
; (4)253π-
答:(1)正负负;
(2)负正负; (3)负负正; (4)负正负
3. 已知角α的终边经过点(3,4)P -,求
角α的正弦、余弦和正切值. 答:
45,35-,43
-
【师生互动】
听课随笔。