5.3任意角的三角函数

授课主题三角函数的诱导公式教学目标1．了解借助于三角函数线及三角函数定义推导诱导公式的过程．2．理解诱导公式一至六的特征及其适用条件，掌握运用诱导公式解题的基本步骤，能灵活运用诱导公式解决三角函数的求值及证明等问题．3．熟练正确地运用诱导公式解决一些三角函数的求值与三角变换的问题．4．在使用诱导公式中，体会由未知到已知，由复杂到简单的转化过程．教学内容1．诱导公式1）公式：公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z；公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α；公式五：sin⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α；公式六：sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α.2）说明：公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值．公式二：是π＋α与α之间的关系式，若α为锐角时可把0～2π间第三象限角转化为锐角求值．公式三：研究角α与－α间关系，常用来把任意角求值转化为正角求值．公式四：研究π－α与α间关系，若α为锐角时可把0～2π间第二象限角转化为锐角求值．公式五：研究α与π2－α间关系，可实现正、余弦相互转化．公式六：研究α与π2＋α间关系，若α为锐角时，可把0～2π间第二象限角π2＋α转化为锐角求值．3）记忆：公式可以概括为：对于k·π2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos ；cos→sin(奇变偶不变)． ③然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)．2．角的对称关系1）π＋α的终边与角α的终边关于原点对称． 2）π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称． 3）－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．题型一 已知角，利用诱导公式求值例1 求下列三角函数值：(1)cos 1 290°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3； (3)cos(－1 650°)．分析：1 290°＝210°＋3×360°，－16π3＝－4π－4π3，－1 650°＝－4×360°－210°. 解析：(1)cos 1 290°＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3＝32. (3)cos(－1 650°)＝cos 1 650°＝cos(4×360°＋210°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32.巩 固 求下列各三角函数的值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－173π； (2)cos(－945°)． 解析： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－173π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝sin π3＝32. (2)cos ()－945°＝cos ()－3×360°＋135°＝cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－22. 题型二 已知角的三角函数值，利用诱导公式求值例2 已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．分析：题目提供的主要信息有：已知α角加一个常量的三角函数值．因此，解答本题可先利用诱导公式化简再求值．解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α， 当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，例3 已知cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．分析：观察分析各角的内在联系，再利用诱导公式或同角关系式进行求值． 解析：cos(105°－α)＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(75°＋α)．∵cos(75°＋α)＝13>0，且α为第三象限角，可知75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋a )＝－23 2.∴cos(105°－a )＋sin(a －105°)＝22－13. 点评：注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学习三角函数的一个重要基础． 巩 固 已知cos 165°＝a ，求tan 195°的值．解析：∵165°＋195°＝360°，∴195°＝360°－165°. 又∵sin 165°＝1－cos 2165°＝1－a 2，∴tan 195°＝tan(360°－165°)＝－tan 165°＝－sin 165°cos 165°＝－1－a 2a .题型三 利用诱导公式化简例4 化简：cos (2π－α)cos (3π＋α)cos (－π＋α)cos (3π－α)cos (－α－π).解析：原式＝cos α(－cos α)－cos α(－cos α)(－cos α)＝1cos α.点评：三角函数式的化简方法．(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.例5 已知α是第三象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)tan (－α－π)sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)． 分析：仔细观察题目中的角，哪些是可以利用公式二至四，哪些是可以利用公式五、六，同时注意同角公式的应用，认真进行化简然后再求值．解析：(1)f (α)＝sin αcos αtan ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (－α－π)＝sin αcos α ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (α＋π)＝sin αcos α · cos αsin α－cos α＝－cos α.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，得cos ⎝⎛⎭⎫a ＋π2＝15即sin α＝－15，又α是第三象限角．∴cos α＝－265.∴f (x )＝－cos α＝256.巩 固 化简：cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin (－α－π)sin ⎝⎛⎭⎫9π2－α.解析： 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎣⎡⎦⎤6π－⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (α＋π)sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α·(－cos α)sin α·cos α＝1.题型四 求角问题例6 是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出a ，β的值；若不存在，请说明理由．分析：先对条件进行化简，再求出α，β的一个三角函数值，进而求角． 解析：由条件，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②①2＋②2⇒sin 2α＋3cos 2 α＝2.又∵ sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cos 2 α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入②，得cos β＝32，又∵β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②，得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．A 组1．cos 690°的值为( )A ．－32 B.32 C.12 D ．－12答案：B2．cos ⎝⎛⎭⎫－10π3的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案：B3．sin 1 290°＝________.解析：sin 1 290°＝sin(3×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.答案：－124．下列三角函数：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3(n ∈N)； ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6(n ∈N)；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3(n ∈N)；⑤sin ⎣⎡⎦⎤()2n ＋1π－π3(n ∈Z)． 其中与sin π3数值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：∵sin π3＝32，∴cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6＝cos π6＝32，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3＝32， 而cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝cos π3≠32，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝si n ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32， 且对sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3，当n ＝2k (k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3， 当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 7π3＝sin π3. 答案：C5．若cos(π＋α)＝－12，3π2<α<2π，则sin(2π－α)等于( )A ．－32 B.32 C.12 D ．±32解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.又∵3π2<α<2π，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. 故sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：B6．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13且－π＜α＜－π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π12－α等于( ) A.233 B.13 C ．－13 D ．－233解析：∵f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x2＝－f (x )．即A 错． ∵f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x2＝－f (x )．即B 错． ∵f (－x )＝cos (－x )2＝cos x2＝f (x )．即C 错，故选D.答案：D7．(1)sin(－1 200°)＝________；(2)cos 174π＝________.答案：(1)－32 (2) 228．已知函数f (x )＝cos x2，则下列等式成立的是( )A ．f (2π－x )＝f (x )B ．f (2π＋x )＝f (x )C ．f (－x )＝－f (x )D ．f (－x )＝f (x ) 解析：对于A ，f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x 2≠f (x )，对于B ，f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x 2≠f (x )．对于C ，f (－x )＝cos －x 2＝cos x2≠－f (x )，故选D.答案：D9．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2s in(6π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m2解析：由sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ， 得－sin α－sin α＝－m ，即sin α＝m2.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2si n(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.故选B. 答案：B10．已知α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，sin α＋cos α的值等于( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－35解析：∵tan(α－7π)＝－34，∴tan α＝－34，又α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎦⎤π2，π.∴sin α＝35，cos α＝－45. ∴ sin α＋cos α＝－15.故选C.答案：C11．已知α为第四象限角且sin(π－α)＝－13，则tan α等于________．解析：由sin(π－α)＝－13，得sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223，tan α＝－24.答案：－24B 组1．已知以下四个函数值：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3，②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3，③sin ⎣⎡⎦⎤n π＋(－1)n ·π3，④cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋(－1)n ·π6，其中n ∈Z ，与sin π3的值相同的是________． 答案：③④2．已知α是第二象限角，按要求做下列各题：(1)已知cos α＝－34，求sin α和tan α的值；(2)化简：1－cos 2⎝⎛⎭⎫π2－ α · tan α.解析：(1)sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－342＝74，tan α＝sin αcos α＝74－34＝－73. (2)原式＝1－sin 2α·sin αcos α＝－cos α·sin αcos α＝－sin α.3．化简式子：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α).解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为( ) A ．－1 B ．－3－2 C ．－2 D ．－3解析：f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2，∴f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2.故选C.答案：C5．|cos α|＝cos(π＋α)，则角α的集合为________．解析：|cos α|＝cos(π＋α)＝－cos α，∴cos α≤0，α＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤α≤2k π＋32π，k ∈Z 答案：B6．已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解析：由已知，得cos(θ－π)＝－35，cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35.∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π.∴tan θ＝－43.∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.7．若sin(x －2π)－cos(π－x )＝1－32，x 是第二象限的角． (1)求sin x 与cos x 的值；解析：(1)由已知，得sin x ＋cos x ＝1－32，∴sin x cos x ＝－34.又x 是第二象限的角， ∴sin x >0，cos x <0.∴sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝2＋32＝1＋32. ∴sin x ＝12，cos x ＝－32. (2)求x 的集合．解析：(2)∵sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12， ∴在⎣⎡⎦⎤π2，π内符合条件的x ＝5π6. ∴x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .1．计算：1）k ∈Z ，cos ⎝⎛⎭⎫6k π＋π3＝________.2）sin 4π3＝________. 3）tan ⎝⎛⎭⎫－2π3＝________. 4）若cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 5）若cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 解析：1）cos ⎝⎛⎭⎫6k π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝cos π3＝12. 2）sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. 3）tan ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－tan 2π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝tan π3＝ 3. 4）sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝13. 5）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13. 2．下列四个命题正确的是( )A ．sin(－α)＝sin αB ．cos(－α)＝cos α。

,180,270等。

．终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

5.2弧度制 *回顾知识 复习导入 问题角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决将圆周的1360圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制． 扩展计算：23°35′26″+31°40′43″角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运算像10进位制数的加、减运算那样简单呢？动脑思考 探索新知 概念将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1弧度或1rad ．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．若圆的半径为r ，圆心角∠AOB 所对的圆弧长为2r ，那么∠AOB 的大小就是 22r r=弧度弧度．规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． 分析由定义知道，角α的弧度数的绝对值等于圆弧长l 与半径r 的比，即 lrα=（rad ）．半径为r 的圆的周长为2πr ，故周角的弧度数为2π(rad)2π(rad)rr=． 由此得到两种单位制之间的换算关系：360°=2πrad ，即 180°=πrad ．108；120︒≈200︒≈-60°=；30°=；120°=；270°=．2．把下列各角从弧度化为角度（口答）：π=；π2=；π4=；π8=；2π3=；π3=；π6=；π12=．3．把下列各角从角度化为弧度：⑴ 75°；⑵−240°；⑶ 105°；⑷67°30′．4．把下列各角从弧度化为角度：⑴π15；⑵2π5；⑶4π3-；⑷6π-．自我探索使用工具准备计算器．观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成计算器弧度与角度转换的方法．利用计算器，验证计算例题1与例题2．巩固知识典型例题例3某机械采用带传动，由发动机的主动轴带着工作机的从动轮转动．设主动轮A的直径为100 mm，从动轮B的直径为280 mm．问：主动轮A旋转360°，从动轮B旋转的角是多少？（精确到1′）解主动轮A旋转360°就是一周，所以，传动带转过的长度为π×100 = 100π（mm）．再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B转过100π(mm)的长度，那么，应用公式lrα=，从动轮B转过的角就等于'1005128341407π=π≈．答从动轮旋转5π7，用角度表示约为128°34′．例4如下图，求公路弯道部分AB的长l（精确到0．1m．图中长度单位：m）．4327123607=⨯+，所以，>，cos43270>，tan43270>．）因为2722π=⨯π7+5，所以，275π角为第三象限角，故0，cos，27tan．-+-；3sin902tan06sin270这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再进行代3sin902tan06sin270-+--⨯+⨯-⨯-=-．31206(1)2强化练习5.3.3-++．5sin902cos03tan180cos180课堂教学安排主要教学内容及步骤教学过程师生活动设计意图等(一)复习诱导公式一师：我们已经学习过诱导公式一，即终边相同的角的同一三角函数的值相等，这组公式是如何表达的？它们的作用是什么？生：诱导公式一可这样表达：sin(2kπ+α)=sinα；cosα(2kπ+α)=cosα；tg(2kπ+α)=tgα；ctg(2kπ+α)=ctgα．利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°(0～2π)间角的三角函数值的问题．师：学习诱导公式的基本思想方法是化归转化，如果我们能把求90°～360°间的角的三角函数值转化为求0°～90°间的角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求．设0°≤α≤90°，则90°～180°间的角，可以写成180°-α；180°～270°间的角，可以写成180°+α；270°～360°间的角，可以写成360°-α．下面我们依次讨论180°+α，-α，180-α，360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．为了使讨论更具有一般性，这里假定α为任意角．(布置学生阅读P．152—153初步了解诱导公式二、公式三的推导过程．)(二)诱导公式二、三师：首先我们先介绍单位圆概念，如图2-18示，以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆，这样的圆称为单位圆．下面我们利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三．推导之前，请一位同学回答分别关于x轴，y轴，原点对称的两个点的坐标间的关系．生：设点P(x、y)，它关于x轴、y轴、原点对称的点坐标分别是P1(x，-y)，P2(-x，-y)，P3(-x，-y)．师：请同学们作出一个任意角α的终边，再作出180°+α角的终边，它们与单位圆的交点有何特征？为什么？生：如图2-18，任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)．由于角180°+α的终边就是角α终边的反向延长线，角180°+α的终边与单位圆的交点P′，是与点P关于点O对称的。

5.3 诱导公式一、诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈诱导公式三： sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式四：sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值： 当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 三、利用诱导公式求值与求解解题策略 1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．题型一 利用诱导公式给角求值【例1】cos210 的值等于（ ）A ．12 B3 C ．3D ．2【答案】C【解析】()3cos 210cos 18030cos30︒=︒+︒=-︒=故选:C.【变式1-1】35πsin6=（ ） A ．12 B ．12- C 3 D ．3【答案】B 【解析】35ππππ1sin sin 6πsin sin 66662⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ．【变式1-2】计算：5π7ππ2sin 2cos tan 663⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】原式ππππππ2sin π2cos πtan 2sin 2cos tan 663663⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1322312=⨯-.故答案为：1.【变式1-3】计算：1417sin cos tan 336πππ+-=___________. 【答案】0 【解析】141725sincos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2533sincos 0036ππ⎛=+-== ⎝⎭故答案为：0题型二 利用诱导公式给值求值【例2】若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（ ） A ．45- B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由()4sin sin 5παα+=-=-，得4sin 5α， 又由α为第二象限角，所以23cos 1sin 5αα=---．故选：B.【变式2-1】设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．45C ．35D ．45-【答案】C【解析】因为02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin 5α=， 所以3cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故选：C.【变式2-2】若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45- B ．35 C ．45 D ．35【答案】A【解析】∵()4sin sin 5παα+=-=-，∴4sin 5α， ∴34cos sin 25παα⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭.故选：A.【变式2-3】设sin 25a ︒=，则sin65cos115tan 205︒︒︒=（ ） A 221a- B ．221a- C ．2a - D ．2a【答案】C【解析】因为sin65cos25︒=︒，()cos115cos 9025sin 25︒=︒+︒=-︒，()sin 25tan 205tan 18025tan 25cos 25︒︒=︒+︒=︒=︒， 所以22sin 65cos115tan 205sin 25a ︒⋅︒⋅︒=-︒=-.故选：C.【变式2-4】已知sin 37a =，则cos 593=（ ）A ．aB ．a -C 21a -D ．21a --【答案】B【解析】()()cos593cos 63037cos 27037sin37a =-=-=-=-.故选：B.题型三 利用互余互补关系求值【例3】已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【答案】D【解析】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．【变式3-1】已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．13B ．223C ．13-D ．22【答案】A【解析】πππππ1cos cos cos sin 442443αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A.【变式3-2】若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13 B ．13- C ．79 D ．79- 【答案】B【解析】因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.【变式3-3】已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________. 【答案】0 【解析】∵5cos cos cos 666a πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2sin sin cos 3266a ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫∴++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.【变式3-4】已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）化简()f x ； （2）若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）πcos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）35【解析】（1）()ππππcos 2cos 2π2tan 22333ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦==⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为()00π3cos 2310f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以000ππππ3sin 2sin 2cos 2632310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，0002πππ3cos 2cos 2πcos 233310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故00π2π3sin 2cos 2635x x ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.题型四 利用诱导公式化简求值【例4】化简()()12sin 4cos 4ππ+--的结果为（ ）A ．sin 4cos4-B ．sin4cos4--C ．cos4sin 4-D ．sin4cos4+ 【答案】C()()12sin 4cos 4ππ+--12sin 4cos 4=-()2sin 4cos 4=-cos4sin 4=-，故选：C【变式4-1】（多选）已知角α满足sin cos 0αα⋅≠，则()()()sin πcos πsin cos k k k αααα+++∈Z 的取值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．0 【答案】AC【解析】因为sin cos 0αα⋅≠，则sin 0α≠且cos 0α≠，当k 为奇数时，原式sin cos 112sin cos αααα--=+=--=-； 当k 为偶数时，原式sin cos 112sin cos αααα=+=+=. 故原式的取值可能为2-、2.故选：AC.【变式4-2】已知α是第四象限角，且5cos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________. 【答案】3-【解析】由题设，225sin 1cos αα=-()()525sin cos cos sin 553sin cos 255cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3-【变式4-3】（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+-- （2）已知()sin3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值. 【答案】（1）cos θ-；（23【解析】（1）原式()222cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθ=--；（2）因为()sin3n f n π=，所以函数的周期为6， ()31sin 3f π==()232sin 3f π==，()3sin 0f π==， ()434sin3f π==，()535sin 3f π==，()6sin 20f π==； 由于201233562=⨯+，所以(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)3f =【变式4-4】已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+. （1）化简()f α；（2）若31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值.【答案】（1）()f αcos α=；（2）()26f α= 【解析】（1）由题意得：()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+ ()()()()()cos sin tan sin sin tan sin ααααααα---=---cos α=（2）∵31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=.∴α为第一或第二象限角， ∴226cos 1sin αα=-， ∴()26f α=题型五 三角恒等式的证明【例5】已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，求证：ππsin cos 2424AB C+⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】证明见解析【解析】证明：在ABC 中，πA B C ++=，则π22B C A+-=. 所以，πππππππcos cos cos cos 2424224224B C A A A ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 24A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故原等式得证.【变式5-1】（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++； （2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan )(sin )cos sin sin cos sin sin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tan cos ααα=-=-=右边， 所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2()]77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++ =31m m ++=右边， 所以原等式成立. 方法2：由8tan()7m πα+=，得tan()7m πα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17m m παπα+++=+++=右边，等式成立.【变式5-2232sin()cos()1222sin ππθθ-+-＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-． 【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+- ()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----. ∴左边＝右边，故原等式成立．【变式5-3】证明：()()()()()2sin cos 1cos sin sin nn n n n απαπααπαπ+-=-++-，n ∈Z ．【答案】证明见解析【解析】证明：当n 为偶数时，令2n k =，k ∈Z ，左边()()()()2sin 2cos 22sin cos 2sin cos cos sin 2sin 2sin sin 2sin k k k k απαπααααααπαπααα+-====++-+． 右边()21cos cos k αα=-=，∴左边=右边．当n 为奇数时，令21n k =-，k ∈Z ，左边()()()()2sin 2cos 2sin 2sin 2k k k k αππαππαππαππ+--+=+-+-+()()()()2sin cos sin sin απαπαπαπ-+=-++ ()()()()2sin cos 2sin cos cos sin sin 2sin αααααααα--===--+--． 右边()211cos cos k αα-=-=-，∴左边=右边．综上所述，()()()()()2sin cos 1cos sin sin n n n n n απαπααπαπ+-=-++-，n ∈Z 成立．。

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。

第五章 三角函数（基础模块∙上）一、知识点节次知识点 5.1角的概念推广5.1.1任意角的概念角角的始边 角的终边 角的顶点 正角 负角 零角第几象限角 界限角5.1.2终边相同的角定义表示（象限角、界限角） 5.2弧度制5.2.1弧度制1弧度的角 弧度制角度与弧度的换算公式 特殊角的换算 5.2.2应用举例机械传动 公路弯道5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的三角函数的概念 三角函数定义域已知终边上一点 5.3.2各象限角的三角函数值的正负号象限表示5.3.3界限角的三角函数值特殊角的三角函数值 5.4同角三角函数的基本关系 5.4.1同角三角函数的基本关系式单位圆 平方关系 商的关系 5.4.2含有三角函数的式子的求值与化简商的关系5.5诱导公式5.5.1()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式5.5.2 －α的诱导公式－α的诱导公式5.5.3 180°α±的诱导公式 180°α±的诱导公式 5.5.4 利用计算器求任意角的三角函数值5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质周期现象 周期函数 周期最小正周期 正弦曲线有界性 有界函数无界函数 正弦函数性质 五点法作图5.6.2余弦函数的图像和性质余弦曲线 余弦函数性质 5.7已知三角函数值求角 5.7.1已知正弦函数值求角 5.7.2已知余弦函数值求角 5.7.3已知正切函数值求角 阅读与欣赏 光周期现象及其应用第一章 三角公式（拓展模块）节次知识点1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式1.1.1两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 1.1.2两角和与差的正弦公式 两角和与差的正弦公式 1.1.3两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 1.1.4二倍角公式二倍角公式 1.2正弦型函数1.2.1正弦型函数的周期 正弦型函数 计算公式1.2.2正弦型曲线正弦型曲线正弦型曲线变化规律 正弦型曲线五点规律 振幅、频率、相位、初相 a sin x +b cos x 的转化 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 正弦定理 1.3.2余弦定理余弦定理1.3.3正弦定理与余弦定理应用举例阅读与欣赏 刘徽与《海岛算经》二、结构展示三角函数三角公式角的度量 三角函数角概念推广 弧度制 终边相同角 定义、单位圆特殊角诱导公式同角函数 三角函数符号三、考纲解读1、角度概念，弧度制了解角的概念，理解弧度制；终边相同的角的关系是重要的考点之一。

5.3 诱导公式本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册一》（人教A 版）第五章《三角函数》，本节课是第5课时。

本节主要是推导诱导公式二、三、四、五、六,并利用它们解决一些求值、化简、证明三角恒等式。

本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题。

在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+a 角为第一研究对象,a 角为第二研究对象,正是化归思想的运用。

课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角,学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习。

A.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式；B.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题；C.了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想。

1.教学重点：诱导公式的记忆、理解、运用；2.教学难点：诱导公式的推导、记忆及符号的判断。

多媒体一、复习回顾，温故知新 1. 任意角三角函数的定义【答案】设角，是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。

那么（1）;sin ,sin ααα=y y 即的正弦函数。

记作叫做 （2）;cos ,cos ααα=x x 即的余弦函数。

记作叫做;tan ,tan ααα=x yx y 即的正切。