矩形的判定练习题

矩形的证明题1.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

（1） 求证：BD =CD ；（2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

2.如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC =时，求证：ABCD 是矩形．3.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ．（1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．4、如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．A BCDE F A D C F E B5、如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．梯形的相关证明题6.如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ．（1）求证：AF =BE ；（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．7．如图（七），在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD DC ==，AC AB ⊥，将CB 延长至点F ，使BF CD =．（1）求ABC ∠的度数；（2）求证：CAF △为等腰三角形．8如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，P 为梯形ABCD 外一点，PA PD 、分别交线段BC 于点E F 、，且PA PD =．D AF BC 图七DE PBA（第22题）C E BAFC E D（1）图中除了ABE DCF △≌△外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）．（2）求证：ABE DCF △≌△．9如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．10如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．ECB AE C B D AG F D C FE A B P。

《作业推荐》02-矩形的判定一、单选题1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD 是矩形的是（）A.AB∥DC，AB＝CDB.AB∥CD，AD∥BCC.AC＝BD，AC⊥BDD.OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；故选：D．【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型．2.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件不能．．判定平行四边形ABCD为矩形的是()A.∠ABC＝90°B.AC＝BDC.AC⊥BDD.∠BAD＝∠ADC【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可．【详解】A. 有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；B. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确；C. 并不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；D.∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝∠ADC∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；故答案为：C．【点睛】本题考查了矩形的判定问题，掌握平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．3.下列给出的条件中，不能判定四边形是矩形的是（）A.一组对边平行且相等，有一个内角是直角B.有三个角是直角C.一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等D.两组对边分别平行，且对角线相等【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形和矩形的判定定理逐项分析即可．【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故能判定四边形是矩形；B. 有三个角是直角能判定该四边形是矩形；C. 一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等，可能是等腰梯形，不能判定是矩形；D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故能判定四边形是矩形；故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形和矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定定理是解本题的关键．4.数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量三个角是否为直角【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理即可选出答案．【详解】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，而不能判定矩形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，而不能判定矩形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、四边形其中的三个角是否都为直角，能判定矩形，故选D．【点睛】本题考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．5.如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断．由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形EFGH是平行四边形，若FE⊥EH或者EG=FH就可以判定四边形EFGH是矩形．【详解】当AC⊥BC时，四边形EFGH是矩形，∵AC⊥BC，GH∥AD，EH∥BC，∴EF⊥EH，即∠FEH=90°∴四边形EFGH是矩形故选：D【点睛】本题考查了利用中位线定理和平行四边形的判定来进行矩形的判定，有一内角为直角的平行四边形是矩形．6.如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A.6B.C.5D.【答案】D【解析】【分析】连接CD,判断四边形是矩形，得到，在根据垂线段最短求得最小值.【详解】如图，连接CD,∵,,∴四边形是矩形，,由垂线段最短可得时线段的长度最小，∵;∴;∵四边形是矩形∴故选：.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理和直角三角形中面积的代换，解题的关键在于连接CD,判断四边形是矩形.二、填空题7.在四边形ABCD中，如果AB＝DC，AB∥DC，∠A＝90°，那么四边形ABCD是________，理由是______．【答案】(1). 矩形(2). 有一个角是直角的平行四边形是矩形【解析】【分析】根据AB＝DC，AB∥DC，可确定四边形ABCD是平行四边形，再结合∠A＝90°，即可确定四边形ABCD是矩形；根据平行四边形判定矩形的条件，即可作答．【详解】解：∵AB＝DC，AB∥DC∴四边形ABCD是平行四边形由∵∠A＝90°∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题主要考查矩形形的判定，特别是由平行四边形是矩形的条件，是本题解答的关键．8.在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是____(填写一个即可)．【答案】AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．【解析】【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定，要使四边形ABCD成为矩形，添加的一个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【详解】∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．故答案为：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．9.如图，中，对角线相交于点，，若要使平行四边形为矩形，则的长度是__________．【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质得到OA=OC=OB=OD，可得出结果．【详解】解：假如平行四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD，∵OA=3，∴BD=2OB=6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握．10.在△ABC中，D为BC上任意一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件：_____时，四边形AEDF是矩形．【答案】∠BAC＝90°【解析】【分析】由已知DE/∥AC, DF∥AB,即四边形AEDF为平行四边形，又有一个角是直角则四边形AEDF为矩形，则添加条件∠BAC=90°即可.【详解】解：∵DE/∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，.∴四边形AEDF是平行四边形，当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形，故答案为∠BAC=90°.【点睛】本题主要考查矩形的判定和平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键. 三、解答题11.已知：如图，▱ABCD，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，再由已知条件证出BC＝ED，即可得出结论．【详解】证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴OD＝OE，OC＝OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四边形BECD为矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．12.如图所示，已知直线MN//PQ，直线AC交MN、PQ于点A、C，所得的同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．试猜想AC与BD的关系，并说明理由．【答案】AC与BD相等且互相平分，理由见解析．【解析】【分析】已知MN//PQ，可得∠MAC＋∠ACP＝180°，已知AB、CB分别平分∠MAC、∠ACP，即∠BAC＝∠MAC，∠BCA＝∠ACP，得到∠BAC＋∠BCA＝90°，∠ABC＝90°，同理可得∠ADC＝90°，根据角平分线的性质可得到∠ACB＋∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，证得四边形ABCD是矩形，得到AC与BD相等且互相平分．【详解】AC与BD相等且互相平分，理由如下：∵MN//PQ，∴∠MAC＋∠ACP＝180°又∵AB、CB分别平分∠MAC、∠ACP∴∠BAC＝∠MAC，∠BCA＝∠ACP∴∠BAC＋∠BCA＝90°∴∠ABC＝90°同理可得∠ADC＝90°又∠ACP＋∠ACQ＝180°，CB、CD分别平分∠ACP、∠ACQ∴∠ACB＋∠ACD＝90°即∠BCD＝90°∴四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分【点睛】本题考查了平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补；角平分线的定义，以及矩形的判定和性质．证明四边形是矩形，即可得到对角线相等且互相平分．13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，(1)若AO=BD，求证：四边形ABCD为矩形；(2) 若AE ⊥BD于点E，CF ⊥BD于点F，求证：AE =CF．【答案】（1）见详解；（2）见详解．【解析】（1）根据AO=BD可得AC=BD即可得到四边形ABCD为矩形；（2）此问可根据三角形全等证明即可．【详解】（1）在平行四边形ABCD中，AO=OC=AC，BO=OD=BD；∵AO=BD，∴AO=OC=BO=OD；即AC=BD，∴四边形ABCD为矩形；（2）由（1）知：AO=OC，∵AE ⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO=∠CFO；∵∠AOE=∠COF；∴△AOE△COF，∴AE=CF．【点睛】此题考查矩形的判定定理和三角形全等的判定，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．14.如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）16．【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN 是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝4，求得∠ABC＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝4，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝AB＝4，∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝44＝16．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．。

矩形判断1．以下命题中正确的选项是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．内角都相等的四边形是矩形2.以下四个命题中，错误的选项是（）A．有一组邻角相等的平行四边形是矩形B．有三个角都相等的四边形是矩形C．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形D．对角线相互均分且相等的四边形是矩形3．在四边形ABCD 中，AC，BD 是两条对角线且AC=BD．假如增添一个条件，即可推出四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A．AB= B C B．AC 与BD 相互均分C．AC⊥BD D．AB⊥BD4．如图，直线EF// MN ，PQ 交EF，MN 于A，C 两点，AB，CB，CD，AD 分别是∠EAC，∠MCA ，∠CAN，∠CAF 的角均分线，则四边形ABCD 是（）PE A FBDM C NQA．菱形B．平行四边形C．矩形D．不可以确立5．在四边形ABCD 中，已知AB// DC，AB =DC．要想该四边形成为矩形，只要再加上一个条件是（填上你以为正确的一个答案即可）．6.在平面直角从标系中，点A，C 的坐标分别为（0，4），（3，0），当点 B 的坐标为时，四边形OABC 的矩形．7．如图，在ABC中，AB=AC，将ABC绕点C 旋转180°获得FEC ，连结AE，BF．当∠ACB 为度时，四边形ABFE 为矩形．第1 页A180B ECF8．如图，在□ABCD 中，M 是BC 的中点，∠MAD =∠MDA ．求证：四边形ABCD 是矩形．ADB M C第2 页。

25.矩形➢考点分类考点1矩形的性质例1如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若CO=√3，CE＝1，则BE的长为．考点2矩形的判定例2如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12 AC，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的长．➢真题演练1．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3B．3.6C．3.75D．43．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2D．2.44．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．2√2C．√10D．45．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BD ，AB ＝5，BD ＝4，CD ＝3，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（ ）A ．2B ．52C ．√5D ．36．如图，在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ，点D 是△ABC 内部一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，若CE ＝3DE ，5DF ＝3AF ，DE ＝2.5，则AF ＝（ ）A ．8B ．10C ．12.5D ．157.如图：在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至点F ，使CF ＝BE ，连接DF ． （1）求证：四边形AEFD 是矩形； （2）若BF ＝16，DF ＝8，求CD 的长．8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，E 是射线AB 上一动点，连结DE 交对角线AC 于点F ，当DE 把△ABC 分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是△ABC 面积的13，则AE 的长为 ．36．9．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为 ．10．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，连接AE ，过B 作BF ⊥AE 交于点F ，若AF AE=15，BF ＝3，则BC 的长为 ．11．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BD ，交AD 于点E ，若∠ACB ＝20°，则∠AOE 的大小为 ．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足分别为E 、F ．则PE +PF ＝ ．13．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为．15．如图，在矩形ABCD中，E在CB延长线上，连接DE，交AB于点F，∠AED＝2∠CED，若BE＝1，DF＝8，则CD的长为．➢课后练习1．如图，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，以AD，CD为邻边作矩形ADCE，连接BE交CD边于点F，则cos∠CBE的值为（）A．514√7B．27√7C．114√21D．17√212．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE 的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．30°3．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．2√2−2B．√12−1C．√3−1D．2√24．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．265．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC 于E、F两点．若AC＝2√3，∠DAO＝30°，则FC的长度为（）A．1B．2√2C．√2D．36．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，DE⊥AB，DE＝AB，AE＝BE＝3，BF＝2，△ADF的面积等于15．（1）求DF的长度．（2）求证：∠ADE+∠BAF＝∠DAF．7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．8．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，E是BC的中点，连接AE，∠DAE的平分线AF与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F，则CF的长为．9．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，AF与ED、EC分别交于点P、Q．已知AB＝6，BC＝8，则AP的长为．10．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为．11.如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．➢冲击A+某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：̂的中点，过C作【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为ABCE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD．小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．̂上一点，∠ACD＝45°，【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是AB连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6√2，求△BCD的周长．̂的中点”改为“点C为优弧ACB 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为AB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明．。

18.2.1《矩形》矩形的判定例题1 如图 ，O 是矩形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH 。

求证：四边形EFGH 是矩形。

例题2四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C ＝90°。

求证：四边形ABCD 是矩形。

例题3已知：如图20.2－5，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H 。

求证：四边形EFGH 是矩形。

【课后作业】 1、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（ ）A 、甲量得窗框两组对边分别相等；B 、乙量得窗框对角线相等；C 、丙量得窗框的一组邻边相等；D 、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等。

2、如图1所示，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，则下面的结论：①△ODC 是等边三角形；②BC ＝2AB ；③∠AOE ＝135°；OH G图20.2-3F E DCBA HG图20.2-5FEDC BAO图1EDCBA图20.2-4DCBA④AOECOESS，其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，在CD 上取一点E ，使AE ＝AB ，则∠EBC＝_________度。

4、矩形的两条对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________ 解答题1.已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A＋∠D＝180°，AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形。

求证：四边形ABCD 是矩形。

2.如图，在 平行四边形ABC D 中，以AC 为斜边作直角三角形ACE,∠BED=90°、说明四边形ABCD 是矩形ABCDE。

O FE DCBAODC B AONM DCBA OEDCBA矩形的判定和性质(基础练习)1. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=, BC=, 那么△AOB 的面积为_______________;周长为_______________.2. 一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.4. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 通过O 点, 那么图中全等三角形共有_____________________对.5. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.6. 在矩形ABCD 内有一点Q, 知足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为____________________.7. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 假设那么∠BDC 的大小为________________.8. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且知足AM=BN, 给出以下结论: ①MN ∠∠OMDONCS S=其中正确的选项是______________.9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________.10. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.二. 解题技术11. 在矩形ABCD 中，∠A 和∠B 的平分线交边CD 于点M 和N ，假设M 、N 是CD的三等分点，那么AB ：BC 的值为___________________.PHDCBAE DCBAFE D C BAFED CB A12. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=, CD=2, 那么BE=_______________________.13. 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.14. 如图, 矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 假设△CEF 是等腰直角三角形, 那么那个三角形的面积为______________.15. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, (1)求EF 长; (2)在平面上是不是存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 假设存在, 求出QA 的长; 假设不存在, 说明理由.16. 一个四边形知足: 它的每一个极点到其它三个极点的距离之和相等, 试判定那个四边形的形状.17. 已知矩形ABCD ，试问：当边AB 和BC 知足什么条件时, 在边CD 上必然存在点P, 使得PA ⊥PB?矩形的判定和性质（巩固练习）1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部份，那么该矩形的周长是___________.2.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.3.假设一个直角三角形的两条直角边别离为5和12，那么斜边上的中线等于 .4.如图，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE为_________.5.矩形的两邻边别离为4㎝和3㎝，那么其对角线为㎝，矩形面积为 cm2.6.假设矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，那么两条对角线相交所成的锐角是___________.7.矩形具有一样平行四边形不具有的性质是（）A. 对边彼此平行B. 对角线相等C. 对角线彼此平分D. 对角相等8.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相互平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等9.在以下图形性质中，矩形不必然具有的是（）A．对角线相互平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线相互垂直平分10.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N别离是AC、BD•的中点，那么MN⊥BD 成立吗？试说明理由．11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若是将该矩形沿对角线BD重叠，求图中阴影部份的面积.CEDAB12.如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 别离是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．13. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 别离是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，求证：四边形PQMN 是矩形．14. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点． 求证：BF DF ⊥．15. 如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ， 求证：CF BD =．HG OFEDCB ANMQPDCBAABCE FDDABCEF。

5.1矩形第2课时矩形的判定知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1.如图5-1-15,要使▱ABCD成为矩形,需要添加的条件是()图5-1-15A.∠A+∠B=180°B.∠B+∠C=180°C.∠A=∠BD.∠B=∠D2.已知在四边形ABCD中,∠ABC=90°,再补充一个条件使得四边形ABCD为矩形,这个条件可以是()A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.AC⊥BD3.如图5-1-16是一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线的长度也会发生改变.当∠α是度时,两条对角线的长度相等.图5-1-16知识点2有三个角是直角的四边形是矩形4.已知O为四边形ABCD对角线的交点,下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是()A.OA=OC,OB=ODB.AC=BDC.AC⊥BDD.∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°5.如图5-1-17,▱ABCD的四个内角的平分线分别交于点E,F,G,H,则四边形EFGH是形.图5-1-176.如图5-1-18,O是射线AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.求证:四边形CDOF是矩形.图5-1-18知识点3对角线相等的平行四边形是矩形7.在▱ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出▱ABCD是矩形,那么这个条件可以是()A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD8.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是________________________.9.如图5-1-19,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.图5-1-1910.[2019·临沂]如图5-1-20,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连结AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()图5-1-20A.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND11.如图5-1-21,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是()图5-1-21A.2B.3C.4D.412.如图5-1-22,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则线段EF的长度的最小值为 ()图5-1-22A.B.C.D.13.在数学活动课上,老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形.下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方法:①测量对角线是否互相平分;②测量两组对边是否分别相等;③测量一组对角是否都为直角;④测量其中三个角是否都为直角.其中正确的是(填序号). 14.如图5-1-23,▱ABCD中,AC,BD交于点O,P是▱ABCD外一点,且∠APC=∠BPD=90°,求证:▱ABCD是矩形.图5-1-2315.如图5-1-24,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?图5-1-2416.如图5-1-25 ①,四边形ABCD是平行四边形,BD是它的一条对角线,过顶点A,C分别作AM ⊥BD,CN⊥BD,垂足分别为M,N.(1)求证:AM=CN;(2)如图②,在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E,F,使BE=DF,连结AE,CF,AF,CE,AC,试探究:当EF满足什么条件时,四边形AECF是矩形?并加以证明.图5-1-25详解详析1.C2.C[解析] ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴只要四边形ABCD是平行四边形,即可判定四边形ABCD是矩形,∴添加AC与BD互相平分.故选C.3.90[解析] ∵平行四边形活动框架的两条对角线的长度相等,∴该平行四边形是矩形.∵矩形的每个内角都等于90°,∴∠α=90°.4.D5.矩[解析] 如图,根据题意,有∠1=∠2,∠3=∠4.又∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴∠1+∠3=90°,∴∠AFB=∠EFG=90°.同理,∠E=∠G=∠GHE=90°,即平行四边形的四个内角平分线围成的四边形,其四个内角一定是直角,即该四边形是矩形.6.证明:∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,∴∠ODC=90°.∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∴∠DOF=(∠AOC+∠COB)=90°.∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.7.B8.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形[解析] 先测量两组对边是否相等,如果相等,那么四边形为平行四边形,其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.然后测量两条对角线是否相等,如果对角线相等,那么该平行四边形是矩形,其根据是对角线相等的平行四边形是矩形.9.证明:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OB=OC=OD.又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴EO=FO=GO=HO,∴四边形EFGH是平行四边形,EG=HF,∴四边形EFGH是矩形.10.A[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形.∵OM=AC,∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形.故选A.11.A[解析] ∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,∴DF∥BC,∠ADE=∠EDC=90°,∴∠C=90°.又∵∠E=90°,∴四边形BCDE是矩形.∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4,∴AC==2,∴CD=AC=,∴四边形BCDE的面积为2×=2.故选A.12.D[解析] 如图,连结CD.∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90°,∴四边形CEDF是矩形,∴EF=CD.由垂线段最短可得CD⊥AB时,线段EF最短.∵AC=3,BC=4,∴AB==5.∵四边形CEDF是矩形,∴CD=EF==.故选D.13.④[解析] 由矩形的判定定理:有三个角为直角的四边形为矩形可得答案.14.证明:连结PO.∵四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD.在Rt△PBD中,∵O为BD的中点,∴PO=BD.同理,在Rt△APC中,∵O为AC的中点,∴PO=AC,∴AC=BD.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是矩形.15.解:(1)证明:∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC.又∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形.(2)∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2,∴∠FDC=36°.∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-36°=54°.∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,∴∠ODC=∠DCO=54°,∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°.16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADM=∠CBN.∵AM⊥BD,CN⊥BD,∴∠AMD=∠CNB=90°.在△AMD和△CNB中,∴△AMD≌△CNB,∴AM=CN.(2)猜想:当EF=AC时,四边形AECF是矩形.证明:由(1)得△AMD≌△CNB,∴DM=BN.∵BE=DF,∴DM+DF=BN+BE,即MF=NE.在△AMF和△CNE中,∴△AMF≌△CNE,∴AF=CE,∠AFE=∠CEF,∴AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.又∵EF=AC,∴四边形AECF是矩形.。

菱形性质与判定练习题1. 已知菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, ∠BAD=120°, AC=4, 则该菱形的面积是（）A.16B.16C.8D.82．菱形的周长为4, 一个内角为60°, 则较短的对角线长为（）A. 2B.C. 1D.3．菱形的周长为8cm, 高为1cm, 则该菱形两邻角度数比为（）A. 3: 1B. 4: 1C. 5: 1D. 6: 14．如图, 菱形ABCD中, AB=15, ∠ADC=120°, 则B.D两点之间的距离为（）A. 15B.C. 7.5D.5.如图, 菱形ABCD的周长是16, ∠A=60°, 则对角线BD的长度为（）A. 2B.C. 4D.6. 已知菱形的两条对角线长分别为2cm, 3cm, 则它的面积是_________cm2.7. 如图, 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 且AC=8, BD=6, 过点O作OH丄AB, 垂足为H, 则点0到边AB的距离OH=_________.8．如图, 菱形ABCD的边长是2cm, E是AB的中点, 且DE丄AB, 则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图9. 如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O, AB=13, AC=10, 过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E, 则△BDE的周长为_________.10. 如图, 已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°, 对角线AC.BD相交于点O, 点E在AB上且BE=BO, 则∠BEO= _________度.11．如图, 活动菱形衣架的边长均为16cm, 若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm, 则∠1=度．10题图13题14题图15题图12. 已知菱形的一个内角为60°, 一条对角线的长为, 则另一条对角线的长为_________.13. 如图, 两个全等菱形的边长为1米, 一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动, 行走2009米停下, 则这个微型机器人停在_____点.14. 如图, P为菱形ABCD的对角线上一点, PE⊥AB于点E, PF⊥AD于点F, PF=3cm, 则P点到AB的距离是____ cm.15. 已知: 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______.16. 已知菱形的周长为40cm, 两条对角线之比为3: 4, 则菱形的面积为_________cm2.17. 已知菱形的周长是52cm, 一条对角线长是24cm, 则它的面积是_________cm2.18．如图, 菱形ABCD的对角线的长分别为2和5, P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）, 且PE∥BC交AB 于E, PF∥CD交AD于F, 则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图19. 如图: 菱形ABCD中, AB=2, ∠B=120°, E是AB的中点, P是对角线AC上的一个动点, 则PE+PB的最小值是_________.20. 如图: 点E、F分别是菱形ABCD的边BC.CD上的点, 且∠EAF=∠D=60°, ∠FAD=45°, 则∠CFE=度. 21．如图所示, 在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE= BE．22. 如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°, AB=4, O为对角线BD的中点, 过O点作OE⊥AB, 垂足为E.（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长.23. 如图, 四边形ABCD是菱形, BE⊥AD.BF⊥CD, 垂足分别为E、F.（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8, BD=6时, 求BE的长．24. 如图, 在菱形ABCD中, P是AB上的一个动点（不与A.B重合）, 连接DP交对角线AC于E连接BE.（1）证明: ∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°, 试问P点运动到什么位置时, △ADP的面积等于菱形ABCD面积的, 为什么？25. 如图所示, 在矩形ABCD中, AB=4cm, BC=8cm、点P从点D出发向点A运动, 同时点Q从点B出发向点C运动, 点P、Q的速度都是1cm/s.（1）在运动过程中, 四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能, 那么经过多少秒后, 四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积.矩形的性质与判定【知识要点:】1. 矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。

20.2矩形的判定同步练习目标与方法1 •会证明矩形的判定定理.2 •能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明.3 •能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明.基础与巩固1 .下列条件中，不能判定四边形A . AB// CD AB=CD AC=BDC . AB=BC AD=CD 且/ C=90°ABCD为矩形的是（）.B . Z A=Z B=Z D=90°D . AB=CD AD=BC Z A=90°2. 已知点A、B C、D在同一平面内，有6个条件：①AB// CD②AB=CD③BC//AD,④BC=AD⑤AC=BD⑥Z A=90°.从这6个条件中选出（直接填写序号）个，能使四边形ABCD是矩形.3. 已知：如图，在Y ABCC中, 0为边AB的中点，且Z AOD Z BOC 求证：丫ABCD是矩形.4. 已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，MN?分别为BG AD的中点.求证：四边形BMDN1矩形.5. 已知：如图，AB=AC AE=AF且Z EABN FAC, EF=BC求证：四边形EBCF是矩形.拓展与延伸.cn6. 已知：如图，在Y ABCD中，以AC为斜边作Rt△ ACE且/ BED为直角.？求证：？四边形ABCD是矩形.后花园智力操如图，以厶ABC的三边为边，在BC?勺同侧分别作3?个等边三角形，？即厶ABD △ BCE △ ACF请回答问题并说明理由：(1)四边形ADEF是什么四边形？(2)当厶ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形?参考答案：1 . C .c n2 .（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥.3.由ABCD 可得AD// BC, AB// DC, /-Z A+Z B=180°,「./ AOD M CDQ / BOC M DCO 又•••/AOD Z BOC/Z CDO Z DCO /• OD=OCY ABCD是矩形.又••• AO=BO・/A ADO^^ BCO /Z A=?Z B=90°/.4 .由等边三角形的性质，可推出Z DMB Z MBN Z BND=90，可得四边形BMDN是矩形.5. T AE=AF Z EAB=Z FAC AB=AC •/△AEB^A AFC / EB=FC Z ABE=/ ACF. ? 又••• AB=AC/Z ABC=Z ACB /Z EBC玄FCB••• EB=FC EF=BC /四边形EBCF是平行四边形./ EB// FC,/Z EBC+Z FCB=180 ./Z EBC Z FCB=90，/ Y EBCF是矩形.6. 证明：连接OE 在丫ABCD中, OA=OC OB=OD1以AC为斜边的Rt △ ACE中，OE?为斜边AC上的中线，/ OE^ AC,即AC=2OE2以BD为斜边的Rt △ BDE中, OE为斜边BD上的中线，1/ OEdBD,即BD=2OE/ AC=BD / 四边形ABCD是矩形.2智力操（1）四边形ADEF是平行四边形.理由：△ ABD △ BCE?是等边三角形，？Z ABD=/ EBC=60 .Z ABD-Z EBA=Z EBC-Z ABE 即Z DBE=Z ABC又••• DB=AB EB=CB ?/△EDB^A CAB / DE=AC=AF同理△ CEF^A CBA / EF=AB=DA /四边形ADEF是平行四边形；（2）当厶ABC中的Z BAC=150时，四边形ADEF是矩形.。

证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。

2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

（1）角：四个角都是直角。

（2）对角线：互相平分且相等。

3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。

（2）对角线相等的平行四边形。

（3）有三个角是直角的四边形。

4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。

5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。

（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。

【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长．例2、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。

四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等PH DCBA例3、已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。