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矩形的判定方法

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矩形的判定

矩形的判定


基础知识关
1、在判定一个四边形是矩形时： ⑴、若判定的对象是平行四边形，则还需有一个角是 直角 或 对角线相等 ； ⑵、若判定的对象是四边形，则需三个角是 直角 或需先判定这个 四边形为 平行四边形 ，再找一直角或对角线相等。 2、选择题 ⑴、具备条件____的四边形是矩形．【 D 】 A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 ⑵、能够判断一个四边形是矩形的条件是【 C 】 A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
D
C
牛刀小试
2
判断下列命题是否正确。 • 对角线相等的四边形是矩形。 • 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 • 有一个角是直角的四边形是矩形。 • 四个角都是直角的四边形是矩形。 • 四个角都相等的四边形是矩形。 • 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
学以致用关
工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： (1)先截同两对符合规格的铝合金窗料，使AB＝CD，EF＝GH 平行四边 (2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状____________ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 形，数学原理是_______________________________________ (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗 矩 形，数学原理是_________________________________ 有一个角为直角的平行四边形是矩形 框是_____
运用知识关
1、在⊿ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＤＥ∥ＡＣ交ＡＢ于Ｅ， ＤＦ∥ＡＢ交ＡＣ于Ｆ，当⊿ＡＢＣ满足条件 ∠BAC=900 时， 四边形ＡＥＤＦ是矩形。 2、如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为 什么？
20.2 矩形的判定(第1课时)

20.2 矩形的判定(第1课时)


B
C
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
A D
O
B
C
知识链：
有一个角是直角
平行四边形 四边形
矩形
有三个角是直角
矩形的判定口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。
想一想
问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做 成的门框是否是矩形？说说你的想法.
B A D
O
C
课堂小结 这节课你有什么收获？
A D
ABCD AC = BD
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
B
O
四边形ABCD 是矩形
C
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角 线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH
AD=CD=BD,DE、DF分别是∠BDC、 ∠ADC的平分线.四边形FDEC是矩形 吗?为什么?
C F A D
例1 如图,在△ABC中,点D在AB上,且
E
B
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
18.2.1矩形的判定方法

18.2.1矩形的判定方法

本节课我们将探索矩形的判定方法，并 运用所得的结论解决问题。
矩形的性质
文字表述
边 角 对角线
矩形的对边平行且相等

D
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分且相等 A
图形
C
O
B
证明：有四个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C D 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
O
A
B
A
D
O
B
C
例1：判断下列命题是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形.（ X）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（ ）
（3）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.（X ）
（4）一组邻角相等的平行四边形是矩形.（ ） （5）对角互补的平行四边形是矩形.（ ）
例2：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD 相交于点O,且OA OD, OAD 50o.求OAB的度数.
D
C
O
A
B
平行四边形
①
四边形
有三个角是直角
②
矩形
必做题：教材55页练习1、2 选做题：
如图，AC、BD是矩形ABCD的两条对角线， 且 AE=CG=BF=DH.求证：四边形EFGH是矩形.
D
C
A
B
证明：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
A
B
证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
已知：在四边形 ABCD中，OA OC ,OB OD, AC BD. 求证：四边形 ABCD是矩形.
矩形的判定

矩形的判定

19.1.2 矩形的判定
复习回顾
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
A
D
O
边
矩形对边平行且相等
B
C
角
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分且相等
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. B ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形（有一 个角是直角的平行四边形是矩 形）
例1：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
例2： 如果平行四边形四个内角的平分线能 够围成一个四边形，那么这个四边形是矩 形．
A
M
D
B
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。） 方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C ） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角 线长是 5 cm 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ） A 菱形 B 平行四边形 P A E F C 矩形 D 不能确定
矩形的判定

矩形的判定

A O B C D
求证: 四边形ABCD是矩形 证明： 在 ABCD中， AB=DC,BD=CA,AD=DA。 所以△BAD≌△CDA(SSS)。
所以∠BAD=∠CDA。 因为AB∥CD， 所以∠BAD＝90°。 所以∠BAD +∠CDA=180°。 所以四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边 形是矩形）
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
变式一: 已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形
A E H D
O F B G C
找一找 如图,四边形ABCD的对角线相交于点O, 给出下列条件:①AB∥CD ②AB=CD ③ AC=BD ④∠ABC=90°⑤OA=OC ⑥OB=OD 请从这6个条件中选取3个,使四边形ABCD是矩 形,并说明理由. 可以说明平行四边形的有: ①② ⑤⑥ ①⑤ ①⑥ ①②③ ①②④ ⑤⑥③ ①⑤③ ①⑥③ ⑤⑥④ ①⑤④ ①⑥④
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
矩形的判定

矩形的判定

OFE D CBA ODCBA第三讲、矩形与正方形重点内容: ①具有的一切性质；②内角都是直角；③对角线相等；④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数；⑥对称轴的条数；⑦斜边中线定理；⑧平方等式；⑨两种面积计算方法；⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形；⑿对角线相等的→矩形. 1、 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；2、 矩形的性质：⎪⎩⎪⎨⎧分且相等；对角线：对角线互相平边：对边相等；角：四个角都是直角；3、 矩形的判定：⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边的平行四边形；定义：有一个角是直角4、 正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形；5、 性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；6、 正方形的性质：1 23 457、 判定：有一个角是直角的菱形是正方形；临边相等的矩形是正方形； 8、 四边形之间的关系：【练习题】1. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.2. 一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.4. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 经过O 点, 那么图中全等三角形共有_____________________对.5. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.6. 在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为____________________.7. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若, 那么∠BDC 的大小为________________.ONM DCBA OEDCBA8. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN//DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OM D ONC S S = . 其中正确的是______________.9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________.10. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.11.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.12.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.13.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12， 则斜边上的中线等于 .14.如图，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_________.15.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2. 16.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是___________. 17.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 18.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．邻角互补C ．对角相等D ．对角线相等 19.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分PHDCBA三、证明题：1、如图，平行四边形ABC D 中，AQ 、B N 、C N 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、B C D ∠、C D A ∠的平分线，AQ 与B N 交于P ，C N 与DQ 交于M ， 求证：四边形PQMN 是矩形．2、如图，已知在四边形ABC D 中，AC D B ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形E F G H 是矩形3、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.NMQPDCBAHG OFEDCB A四边形的习题一、选择题1.下列图形中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的共有（ ）个．A 、1B 、2C 、3D 、4 2.在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）．A 、1:2:3:4B 、3:5:5:3C 、3:3:4:4D 、2:3:2:33.如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E+∠F ＝（ ）．A.110°B.30°C.50°D.70°4. 如图，□ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（）． A.40° B.80° C.60° D.100° 5.正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）条．A 、1条B 、2条C 、4条D 、无数条6.在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=8cm ，BD=6cm ，则这个菱形的周长是（ ）． A 、40cm B 、20cm C 、10cm D 、16cm7.如图，在□ABCD 中，AB=12cm ，设它的两条对角线长为x 、y ，，则x 、y 可能是下列各组数中的（ ）． A 、8cm 和14cm B 、10cm 和14cm C 、18cm 和20cm D 、10cm 和38cm8.如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，BE=5cm ，EC=3cm ，则这个矩形的周长为（ ）． A 、26cm B 、27cm C 、22cm D 、28cm 9.如图，在ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，∠BAD 、∠ADC 的平分线分别交BC 于E 、F ，则EF 的长为( ).A 、1B 、2C 、3D 、4E FABCD第3题第8题图ECDB A第4题图EDCBA第7题图OCCBA10.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，BD=AD ， 且∠BCD=110°，∠CBD=30°，则∠ADB 的度数为( ). A、80° B 、90° C 、100° D 、110° 11.正方形对角线（ ）．A 、互相平分，但不相等B 、相等，但不垂直C 、互相垂直、平分且相等D 、互相垂直，但不相等 二、填空题（每小题3分，共24分）12.请你写一条菱形具有而平形四边形不具有的性质：____________．13.已知矩形的面积为48，一边长是6，那么这个矩形的对角线长是___________．14.平行四边形的一个内角比它的邻角大24°，则这个平行四边形四个内角的度数分别为______，______，______，______．15.菱形ABCD 中, ∠A=120°,周长为16cm,则较短的对角线长为_________．16.如果边长分别为4cm 和9 cm 的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为_______ cm ． 17．正方形的一条对角线长为4 cm ，则它的面积是_________ cm 2.18．如图，□ABCD 的周长为20 cm,对角线交于O 点, ∆AOB 的周长比∆BOC 的周长短 4 cm, 则AB ＝__________,BC=__________．19.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD, ∠A=100°,则∠C=______．第9题图第10题图CBAD第18题图第19题图DCBA三、 解答题20.（10分）如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=3cm ，求： （1）菱形的周长； （2）菱形的四个内角．21.（10分）如图，以正方形ABCD 的一边AB 为边向外作正三角形ABE ，连接EC 、ED ，求∠DEC 的大小．22. （10分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， CE ∥DA ，已知AB=8cm ，DC=5cm ，DA=6cm ，求 CEB 的周长．DCBAEDCBAED CBA23.（12分）如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=6cm ，△AOB 的周长为16cm ，△BOC 的周长为18cm ，求AD 的长．24.（12分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E 点，若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数．EODCBAODCBA。

19.2.1矩形(矩形的判定)

19.2.1矩形(矩形的判定)


D
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
今 日 作 业
课本P102习题第1 题，第3题。
C
牛刀小试
如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，△OAB是等 边三角形，且AB=4cm， 求□ABCD的面积（精确到0.01）
∵△OAB是等边三角形， 解： 且 AB=4cm ∴OA=OB=4cm ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OB=OC=OD=4cm ∴AC=BD=8cm ∴ □ABCD是矩形 ∴∠ABC=90°
A D
┓
对角线
直角三角形的性质定理：
C B 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∠A=900 ∴四边形ABCD是矩形 D C
你还有其他的判定方法吗？ A
B
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 。 数学语言： ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B A D
C
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形。
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形。
判断下列句子命题是否正确。
八年级数学矩形的判定

八年级数学矩形的判定


送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证
相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们
是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?
小丽和吴娟是怎样知道所买的相框是矩形的呢?
通过测量四个角是直角
八年级 数学
猜想加证明
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
能证明它的正确 性吗?
活动一:
八年级 数学
猜想加证明
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知: 四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
A O B C D
求证: 四边形ABCD是矩形
证明： 在 ABCD中 AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA ∵AB∥CD ∴∠BAD +∠CDA=180°
∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
变式一:
已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形
A E H D
O F G
B
C
课堂小结
这节课你有什么收获？
A D O B C
ABCD AC = BD
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
四边形ABCD 是矩形
课后作业:
课本110页习题20.2第1、2题
淘宝优惠券 淘宝优惠券
wpf26xsz
人教版矩形的判定

人教版矩形的判定


方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X X X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
试一试
• 四边形ABCD是矩形
D
O
C
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ 10 40° ㎝ OB=
A
B
5
㎝
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50° ∠OBA= ∠AOB= 100° ∠AOD= 80° 28
㎝
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 48 矩形的面积＝ ㎝2 4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=
梳理归整
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
学效检测
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线 长是 5 cm 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ） P A E F A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定 B D
M Q C N
作业： 60页
3.5矩形的判定方法

3.5矩形的判定方法

问题与思考
问题：怎样用带刻度的角尺检验 木工做成的门框是否是矩形？说 说你的想法.
这些想法中用了什么数学知识?
矩形的判定
结论:
探索与思考
探索一 :有3个角是直角的四边形是矩形 判定 1:三个角是直角的四边形是矩形 . 吗? 为什么? A D
∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B C
C F A D
E
B
做一做
如图,平行四边形ABCD的4个内 角平分线围成的四边形PQRS是矩 形吗?为什么?
A D P B R Q C
S
如图,在□ ABCD中,以AC为斜边作 Rt△ACE,又∠BED=90°,试说明四边 形ABCD是矩形.
E A O B C D
这节课的收获是……
1.如何判断四边形是矩形. 2.会用矩形的判定方法来解决问题.
想一想
问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做 成的门框是否是矩形？说说你的想法.
一般有以下三种方法: 1.先检验门框的对边是否分别相等,再检验 其中的一个角是否是直角; 2.先检验门框的对边是否分别相等,再检验 两对对角的距离(对角线的长)是否相等; 3.检验门框的3个角都是否是直角.
例1 如图,在△ABC中,点D在AB上, 且AD=CD=BD,DE、DF分别是 ∠BDC、∠ADC的平分线.四边形 FDEC是矩形吗?为什么?
如果四边形有一个角是直角，它 应该满足什么条件就是矩形呢？
结论:
探索与思考
探索二 :如图平行四边形ABCD的对 判定2:对角线相等的平行四边形是矩 角线 形. AC与BD相等. 平行四边形 ABCD是矩形吗?为什么?
A D
∵AC=BD B C ∴平行四边形ABCD是矩 形Fra bibliotek议一议
人教版数学 八年级下册课件：矩形的判定

人教版数学 八年级下册课件：矩形的判定


练一练
1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面
条件能判定▱ABCD是矩形的是
（ ）A
A．AC=BD C．AD=BC
B．AC=BC D．AB=AD
二 有三个角是直角的四边形是矩形
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都 是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
C
C
D
C
D
D
A
B
A
BA
B
(有一个角是直角) (有二个角是直角) (有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
证一证
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
A
D
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
A
B
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°, D
C
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
归纳总结
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
1 2
∠ABC=90°.
∴∠AFB=90°， ∴∠GFE=90°.
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是矩形．
练一练
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动

矩形的判定方法

矩形的判定方法矩形是几何学中常见的形状，具有四条边和四个角的特点。

在日常生活和数学问题中，我们经常需要判定一个图形是否为矩形。

下面将介绍几种判定矩形的方法。

1. 边长判定法。

矩形的特点是对角线相等且相互平分。

因此，我们可以通过判断四条边的长度是否符合这一特点来判定一个图形是否为矩形。

如果一个图形的对角线长度相等且相互平分，那么这个图形就是矩形。

2. 角度判定法。

矩形的特点是四个角都是直角。

因此，我们可以通过判断一个图形的四个角是否都是直角来判定这个图形是否为矩形。

如果一个图形的四个角都是直角，那么这个图形就是矩形。

3. 对角线判定法。

矩形的特点是对角线相等且相互平分。

因此，我们可以通过判断一个图形的对角线是否相等且相互平分来判定这个图形是否为矩形。

如果一个图形的对角线长度相等且相互平分，那么这个图形就是矩形。

4. 对边平行判定法。

矩形的特点是相对边两两平行且相等。

因此，我们可以通过判断一个图形的相对边是否都是平行且相等来判定这个图形是否为矩形。

如果一个图形的相对边都是平行且相等，那么这个图形就是矩形。

5. 综合判定法。

除了以上几种方法外，我们还可以综合运用边长、角度、对角线和对边平行等多种特征来判定一个图形是否为矩形。

通过综合判定法，我们可以更加准确地判断一个图形是否为矩形。

总结。

矩形是一种常见的几何图形，判定一个图形是否为矩形可以通过边长、角度、对角线和对边平行等多种方法来进行。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的判定方法来判断一个图形是否为矩形，从而更好地解决问题。

通过以上介绍，相信大家对矩形的判定方法有了更深入的了解。

希望这些方法能够帮助大家更好地理解和应用矩形的相关知识。

1.2.2矩形的判定 课件(共19张PPT)

1.请同学们阅读课本14-16页.
2.动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一对不相邻的顶点（如图）.
思考：①随着∠α的变化，两条对角线的长度是否发生变化？ （发生了变化）
②当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？
（对角线相等的平行四边形是矩形）
③矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个
框符不符合我的要求?”王子听后，找来一把三角尺，用三角尺量了量
门框的三个角，然后对国王说:“父王，我量了门框的三个角，它们都
是90度，因此，这个门框是矩形.”
(1)问:你认为王子说得对吗?请同学们分组讨论并给出老师答案.(让其中的
一组来讲)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形吗?
自主探究 （10min）
中点, ∴ = =

,

∥ .
∴四边形 DECF 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∴EF=CD=6cm.
典例精讲
例 6: 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点,AD∥BC.
(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；
四边形就是矩形？
（一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形）
小组讨论（4min）
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是平行四边形？
（两组对边分别相等为平行四边形）
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是菱形？
（四边相等为菱形）
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是矩形？
测量…？
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”
这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断

2.1矩形的判定

证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD（矩形的对角相等）， AO＝BO＝CO＝DO（矩形的对角线互相平分）. ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点， ∴ OE＝OF＝OG＝OH， ∴ 四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平 行四边形). ∵ EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴ 四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
20.2.1矩形的判定
复习
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
回顾矩形的性质
A O B
D
C
边 角
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
对角线 矩形的对角线相等且平分；
矩形的判定
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形.
ABCD ∠A=900
四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
实例一
工人师傅为了检验两组对边相等的四边 形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个 四边形的两条对角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
证明 对角线相等的平行四边形是矩形.
M Q C N

矩形的判定

（2）下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ）
（A）对角线相等（B）四个角相等（C）是轴对称图形 （D）对角线垂直
二.判断题
• 对角线相等的四边形是矩形。 • 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 • 有一个角是直角的四边形是矩形。 • 四个角都是直角的四边形是矩形。 • 四个角都相等的四边形是矩形。 • 对角线相等且有一个角是直角的四边形是
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形
A
D
B
C
符号语言：
∵∠A= ∠B= ∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
课堂练习:
一.选择题
（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ D ）
（A）内角和是360度（B）对角相等（C）对边平行且相 等（D）对角线相等
小丽和吴娟是怎样知道所买的相框是矩形的呢?
通过测量四个角是直角
八年级 数学
猜想加证明
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
A
D
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形
符号语言：
A
∵在 ABCD中，AC = BD
∴
ABCD是矩形
B
D O
C
推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形
AO CO, BO DO
AC BD
四边形ABCD 是矩形
思考与探究

矩形判定的方法

对角线相等的平行四边形是矩形。
知识回顾：
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫矩形 2、矩形的性质 边：对边平行且相等。 角：四个角相等，都是直角。 对角线：互相平分且相等。

3、矩形的判定？
1、在平行四边形ABCD中，已知 AC=BD，那么四边形ABCD是否为 矩形？为什么。
A O
D
B
C
2、在四边形ABCD中，若 ∠A=∠B=∠C=90º，那么四边形 ABCD是否为矩形？为什 么。
复习内容
平行四边形的性质 平行四边形判定
平行四边形两组对边分别相等 两组对边分别平行(或相等) 平行四边形两组对边分别平行 的四边形是平行四边形
平行四边形一组对边平行 且相等 平行四边形对角线互相平 分
一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形 是平行四边形 两组对角分别相等的四边 平行四边形两组对角分别相等 形是平行四边形
2、填空： ⑴有三个角是直角的四边形是_______ ⑵有一个是直角的______是矩形。 ⑶对角线_______的平行四边形是矩形 ⑷对角线互相平分且相等的四边形是 _______ ⑸有一个角是直角，且对角线 _______________的四边形是矩形。
3、已知：平行
A
四边形ABCD的对角 O 线相交于点Ｏ。分 C 别添加下列条件： B (1)∠ABC＝90º (2)AC⊥BD (3)AB=BC
19.2.1矩形的判定
谁正确？
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。 一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习 用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门， 完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自 已的是矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三 个角，发现它们都是直角。所以我这个四边形 门就是矩形” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条 对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四 边形门就是矩形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是 矩形。

矩形的判定


法三：三个角都是直角的四边形是矩形.
（2）新知识可通过猜想、证明、归纳的过程学习 .
作业： 1.教材第55页练习第1题. 2.教材习题18.2第1题.
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形 第2课时
生活剪影
情境
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1 请你利用直尺和三角 板帮他检验一下，相框是矩形吗？ 除了矩形的定义外，有没有 其他判定矩形的方法呢？
知识回顾： 1. 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的第一个 判定方法
2. 平行四边形的性质和判定是什么？ 它们之间有什么关系？ 3. 矩形的性质是什么？ 4. 你能猜想出矩形的判定方法有哪些吗？
猜想：
（1）对角线相等的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，且AC=BD. 求证：平行四边形ABCD是矩形.
已知：在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C= 90°. 求证：四边形ABCD是矩形.
归纳：
矩形的三种判定方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
判断题：
①有一个角是直角的四边形是矩形；
②有四个角是直角的四边形是矩形；
③四个角都相等的四边形是矩形；
④对角线相等的四边形是矩形； ⑤对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
判断题：
⑥对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ⑦对角线相等，且有一个角是பைடு நூலகம்角的四边形
是矩形；
⑧一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边
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M
C
N
Q
例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
例4： 如果平行四边形四个内角的平分线能 够围成一个四边形，那么这个四边形是矩 形．
2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角
线长是 5
cm
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、
CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、
∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ）
A 菱形 C 矩形
B 平行四边形 D 不能确定
E
AP F
B
D
A
M
D
B
C
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
例2：平行四边形ABCD,E是CD的中点, △ABE是等边三角形,
求证:四边形ABCD是矩形。
D
E
C
A
B
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD 的中点，且MB=MC， 求证：四边形ABCD是矩形。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。 A
D
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B
C
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
X
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；X
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
ABCD ∠A=900
ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
∴四边形ABCD是矩形
矩形的识别方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
几何语言：
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
O
AC=BD
（或OA=OC=ห้องสมุดไป่ตู้B=OD）
∴四边形ABCD是矩形
B
C
情境二：李芳同学有
“边——直角、边——直角、 边——直角、边”这样四步， 画出了一个四边形，她说这 就是一个矩形，她的判断对 吗？为什么？
16.2.1 矩形（2）
复习回顾
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
矩形
∟
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
A
D
O
边 矩形对边平行且相等 B
C
角 矩形的四个角都是直角
对角线 矩形的对角线互相平分且相等
直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（1）猜想AC和BD间的关系是______； （2）试用理由说明你的猜想．
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
5、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四 边形AFCE是矩形
已知：如图， ABCD的四个内角的平 分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D．
A
E
D
O
B
F
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C ）
A 对角线相等
B 对角线垂直
C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
矩形的识别方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
A
D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
B
C
你能归纳矩形的几种识别方法吗？
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）