5第五章 三垂直全等模型

DPFEBC AF E CB A K 模型图与全等知识点 基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H B CFFEDC BAHFEDCBA【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。

AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。

连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.10ABOMPQx y24．（12分）如图，CODV等腰直角三角形，CA⊥x轴。

全等三角形之三垂直模型
模块一：三垂直模型
1. 已知：如图(1)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于E，CD⊥BD，求
证：
2. 已知：如图(2)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求
证：
3. 已知：如图(3)，AB=EC，AE⊥ED，BE⊥AB，CD⊥CE，求证：
4. 如图，是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，，则下列结论正确的个数有（）
①CD=AE；②；③；④AD=BE.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 如图所示，，，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC中点，于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）
A. 4cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
6. 如图，已知中，，AC=BC，D是BC的中点，，垂足为E，，交CE的延长线于点F，求证：AC=2BF.
7. 如图，在直角梯形ABCD中，，，AB=BC，E是AB的中点，.求证：AE=AD.
模块二：勾股定理的证明
如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么.
以毕达哥拉斯内弦图为例：
8. 如图，直线过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线的距离分别是3和4，则AB的长是 .
9. 如图，直线分别过正方形ABCD的三个顶点A、B、D，且相互平行，若之间的距离为1，的距离为1，则正方形ABCD的面积是 .
10. 如图，且AE=AB，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 .
A. 50
B. 62
C. 65
D. 68。

初中数学·重庆中考·几何模型——三垂直模型【入门测】1．如图，已知AB⊥AC，AB=AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E．求证：△ADC≌△BEA．2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．三垂直全等模型是初中几何证明及计算中的一种重要模型，三垂直模型与弦图是紧密相关的，首先我们需要了解清楚两个弦图：外弦图及内弦图。

内弦图 外弦图形成三垂直模型的本质：等腰直角三角形与过其直角顶点的一条直线，两个底角顶点往该直线作垂线段。

内弦图 外弦图通过以上两个三垂直全等基本模型，我们可以演变得到以下两个全等模型。

演变1演变2例1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，求证：AF＝CF．例2.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是AB中点，连CE，过B作BF⊥CE交AC于F，求AF的长度.例3.等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；例4.等腰Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，F 为AB 上一点，连接CF ，过点B 作BH ⊥CF 交CF 于G ，交AC 于H ．如图，若F 为AB 中点，连接FH ，求证：BH+FH=CF ；FEDCBA例5【课堂练习】1、接CD，BE，过点A作AF⊥BE交BC于F，过点F作FG⊥CD交CA于G.证明：（1）∠AFB=∠GFC；（2）AE=CG2.如图，在正方形ABCD 中，P 为AB 边上任意一点，连接DP ，过点C 作CH ⊥DP 于点H ，过点A 作AE ⊥DP 于点E ，延长DP 至点F 使EF=DE ，在HF 上取一点G 使HG=CH ，连接AF 、BG. （1）求证：DEA CHD ∆≅∆； （2）求证：BG GF =；（3）若AB=1，P 为AB 中点，连接BF ，求BF 的长课后练习：1、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ，交BC 于F ．如图，点P 是AC 上一点，连接FP ，若AP=CD ，求证：∠ADB=∠CPF ．FCD2、⊥，AE平分∠CAB交CD于F，交BC于3、Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD AB⊥于点H。

一线三垂直全等模型解题技巧嘿，朋友们！今天咱们聊聊那个让人头疼的数学问题——一线三垂直全等模型，这可是个让无数学霸头疼的难题。

别急，让我来给你支支招，让你轻松搞定这个难题！你得明白什么是一线三垂直全等模型。

简单来说，就是三条直线相交，它们要么平行，要么重合，要么成某种角度。

这听起来是不是有点绕？没关系，我来给你简单解释一下。

想象一下，你面前有三根电线杆，它们就像三条直线，而你要做的就是找到这三根电线杆之间的规律。

如何判断这三根电线杆是平行、重合还是成某种角度呢？这就需要用到我们生活中的常识了。

比如，你可以观察这三根电线杆是否在同一平面上，或者它们的相对位置是否有规律。

如果能找到这样的规律，那就意味着这三根电线杆是平行的；如果找不到规律，那就可能是重合的；如果既在同一平面上又有规律可循，那就可能是成某种角度的。

我们来看看怎么操作。

你需要画出这三根电线杆的示意图，这样更容易看出它们之间的关系。

然后，你可以用尺子量一量，看看这三根电线杆之间有没有固定的间距。

如果有固定的间距，那就意味着它们是平行的；如果没有固定的间距，那就需要进一步观察它们的相对位置。

在观察的过程中，你可以试着转动其中的一根电线杆，看看其他两根电线杆会不会跟着动。

如果会动，那就说明这三根电线杆是重合的；如果不会动，那就需要继续观察。

如果实在找不到规律，那也别灰心丧气。

毕竟，生活中还有很多事情是需要我们去探索的嘛！一个看似复杂的问题，只要我们用心去思考，总会找到答案的。

所以，别担心，继续努力吧！相信不久的将来，你一定能够攻克这个难题，成为数学高手！好了，今天的分享就到这里啦。

希望我的建议能对你有所帮助。

记住哦，无论遇到什么难题，都要保持乐观的心态，相信自己一定能够克服。

加油！。

专项05 一线三等角模型的综合应用模型一 一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA模型二 一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【类型一：标准“K ”型图】【典例1】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC ≌△CEB ； ②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；CDEBA（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．【变式11】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式12】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l 的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c 的式子表示）【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a ＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式3】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．3．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C ＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．5.已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，m），B（m，0），C（0，﹣m），其中m＞0，点P为线段OA上任意一点，连接BP，CE⊥BP于E，AD⊥BP于D．（1）求证：AD＝BE；（2）当m＝3时，若点N（﹣3，0），请你在图1中连接CD，EN交于点Q．求证：EN ⊥CD；（3）若将“点P为线段OA上任意一点，”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD，EN⊥CD，垂足为F，交y轴于点H，交x轴于点N，请在图2中补全图形，求点N的坐标（用含m的代数式表示）．7．如图1，在平面直角坐标系内，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），连接AB、AC，点D为x轴正半轴上一点，且S△ACD＝S△ABC．（1）求点D的坐标；（2）如图2，延长DC交AB于点E，AE＝AC，求点E的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点P在第三象限，连接AP、BP、CP，若∠CAP＝90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x轴于点K，求点K的坐标．8．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN＝DM．设OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a，a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．。

三垂直模型证明过程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠那个超有趣的三垂直模型的证明过程，就像探索一个神秘的宝藏一样好玩。

你看啊，这三垂直模型就像是三个并肩作战的超级英雄。

首先，我们有三个角都是直角，这直角啊，就像是房子的墙角一样，方方正正，稳稳当当，一点儿也不歪。

那这三个直角的存在就像是给整个模型打了一个坚实的地基。

想象一下，我们有两条直角边就像两个小火车轨道，平行又笔直。

其中一条轨道上的一个点出发了一个线段，这个线段就像一个调皮的小猴子，蹦跶着去和另一条轨道上的某个点连线。

然后呢，我们要开始证明一些三角形全等啦。

这就好比是要找出这几个超级英雄之间隐藏的亲属关系一样。

我们通过角边角或者角角边这些规则来判断。

比如说，那几个直角肯定是相等的呀，这就像大家都知道太阳是圆的一样明显。

然后呢，还有那些锐角，就像是小饼干的碎角一样，通过一些巧妙的角度关系，发现它们也是相等的。

在这个证明过程中，那些线段的长度关系就像是一群小蚂蚁排着队，规规矩矩的。

一条线段和另一条线段相等，就像两个双胞胎小蚂蚁，长得一模一样。

我们利用已知条件的时候，就像是从一个装满魔法道具的口袋里掏出宝贝一样。

已知的角度、线段长度都是我们的宝贝，能帮助我们一步步解开这个三垂直模型的秘密。

当我们终于证明出三角形全等的时候，就像是找到了打开宝藏大门的钥匙。

那种感觉，就像是在黑暗的山洞里突然看到了闪闪发光的金子一样兴奋。

而且啊，这个三垂直模型证明出来之后，就像是掌握了一种魔法咒语，可以在好多几何问题里大显身手。

它就像一把万能钥匙，能打开许多看似复杂无比的几何迷宫的大门。

总之呢，三垂直模型的证明过程虽然有点小复杂，但就像一场有趣的冒险。

我们在这个充满直角、线段和三角形的世界里穿梭，像探险家一样不断发现惊喜，最后成功证明的时候，就像英雄凯旋而归，超有成就感的呢！。

百度文库-让每个人平零地捉升口我全等三角形之三垂直模型模块一：三垂直模型3・已知：如图(3), AB=EC, AE丄ED, BE丄AB, CD丄CE,求证：BC = AB + CDAABE=ABCD AABE=ABCD(1)G) 1•已知:如图⑴,AB=BC, AB丄BC,AE丄BD于& CD丄BD,求证: ED = AE-CD2•已知：如图(2), AB=BC, ABLBC. AE丄BD 于F, BC1CD,求证:EC = AB-CD4.如图，AABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A, ZD = ZE = 90%则下列结论正确的个数有（）（DCD=AE：②Z1 = Z2： @Z3 = Z4；④AD=BE・5.如图所示，A3丄BC, CD丄BC ,垂足分別为B、C, AB=BC, E为BC中点,AE丄BD于F,若CD=4cm, 则AB的长度为（）A. 4c/nB. ScmC. 9cmD. \Ocm6.如图，已知RtMBC中，ZACB = 90°, AC=BC, D 是BC 的中点，CE 丄AD,垂足为E, BF\\AC,交CE 的延长线于点八求ilE：AC=2BF.AD\\BC , AB=BC,£ 是AB 的中点，C£丄求证：AE=AD.老块二：勾股定理的证明如果直角三角形的两条直角边长分别为d, b .斜边长为c,那么a2+b2=c2.以毕达哥拉斯内弦图为例：(a + b)2 = 4丄"+ c，(等面积法) 2a2 +2ab + h2 = 2ah + c2a2 +h2 =c2&如图，直线/过等腰直角三角形ABC顶点® A、C两点到直线/的距离分别是3和4,则AB的长是________________ .赵爽弦图毕达哥拉斯内弦图总统证法9.如图，直线厶，h /3分别过正方形ABCD的三个顶点A、B、D.且相互平行，若“厶之间的距离为1, h /3的距离为1,则正方形ABCD的而积是____________ ・10.如图，AE丄初且AE=AB,3C丄CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所囤成的图形的而积________________ ・A. 50B.62 D.68。