数学人教版九年级下册三垂直模型--相似三角形专题

相似三角形专题复习——一线三垂直教学目标：1、深刻理解并掌握“一线三垂直”这一基本图形，并能应用基本图形的一般结论解决证明、计算等问题。

2、增强识图能力，能从图形中分解出基本图形。

3、从“一线三垂直”到“一线三等角”体会从特殊到一般的数学思想，对基本图形的提炼与研究有助于把习题类型化、知识系统化，从而培养举一反三、触类旁通的思维品质和创新能力。

教学重点：提炼基本图形，应用基本图形教学难点：发现基本图形并能灵活应用。

教学过程：一、回顾基本图形：在相似三角形中，我们已学习过哪些基本图形？二、归纳基本图形如图，在四边形ABCD 中, ∠B =∠C = 90°，P 为BC 上任意一点（与B 、C 不重合）,∠APD =90°.观察：图中有哪些相似三角形？说说你的理由. △ABP ∽△PCD 一线三垂直在中考复习题中经常出现，掌握快速识别并解决此类题目的方法，我们的复习效果将事半功倍。

设计意图：学生们先观察得出图中所作图形的特点，三个直角顶点共线，再思考并回答有无相似三角形及原因，强调对应关系，引出一线三垂直。

三、应用基本图形1.如图，已知AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，P 是线段BC 的中点，且AP ⊥PD ，AB =1，BC =4，则CD =_____.图1 图2PD P A CD BP PC AB ==2.如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B = ∠C = 90°，CD =2，AB =3，BC =7，若BC 上有一点P 使得PD ⊥PA ，则PC 的长度是 .3.如图3，矩形ABCD 中,把DA 沿AF 对折,使D 与CB 边上的点E 重合,若AD =10,AB =8,则EF = ______.图3 图4设计意图：首先通过三道小题让学生们应用基本图形解决计算类简单问题，明确相似三角形中的对应关系。

考虑到后面题目学生们做起来时间花费较多，这部分留作课前完成，课堂上对答案。

双垂直、三垂直模型例题讲解：例1、如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，求证：AB.DE=BC.CD例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2B、433C、23D、43例3、（射影定理）如图，已知BA⊥AD，AC⊥BD，求证：①AC2=BC.CD②AB2=BC.BD③AD2=CD.BD④AB.AD=AC.BD课堂练习1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A、32B、76C、256D、22、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5。

过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A、1.6B、2.5C、3D、3.43、如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AD=3，DE=2，则AC=（）A、212B、152C、15D、924、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C’处，并且C’D//BC，则CD的长是（）A、409B、509C、154D、2545、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B’重合，若AB=2，BC=3，则△ECB’与△B’DG的面积之比为（）A、9:4B、3:2C、4:3D、16:96、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、O。

则CP：AC等于（）A、1:3B、1:4C、2:3D、3:47、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E。

求证：△ABD∽△CBE8、如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E （1）证明：AD.EB=AE.DC（2）若∠A=60°，求S△AED：S△ABC例3、（三等角模型）如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为（）A、53-B、2313-C、3213D、35例4、如图，已知等边△ABC中，D、E两点在直线BC上，且∠DAE=120°（1）判断△ABD是否与△ECA相似，并说明你的理由（2）当CE.BD=16，求△ABC的周长10、如图，在△ABC中，∠B=∠AEM=∠C，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M。

一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1(雅礼)如图，点A是双曲线y=8xx<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点A 在双曲线y=8xx<0上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为.【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D，∵点A是反比例函数y=8x(x<0)上的一个动点，点B在双曲线y=kx上移动，∴S△AOC=12×|-8|=4，S△BOD=12|k|，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OA=2OB，∴S△BODS △AOC=(OBOA)2=14，∴12|k|4=14，∴|k|=2．∴k<0，∴k=-2，故答案为：-2．2(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=kx于另一点，则ΔOBC的面积为.【解答】解：∵反比例函数y=−4xx<0的图象过点A(-1，a)，∴a=-4-1=4，∴A(-1，4)，过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE=4，OE=1，∵AB∥x轴，∴BF=4，∵∠AOB=90°，∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，∴∠EAO=∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴AEOF=OEBF，∴OF=16，∴B(16，4)，∴k=16×4=64，∵直线OA过A(-1，4)，∴直线AO的解析式为y=-4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y=-4x+b，∴4=-4×16+b，∴b=68，∴直线MN的解析式为y=-4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M(17，0)，N(0，68)，解y=-4x+68y=64x得，x=1y=64或x=16y=4，∴C(1，64)，∴△OBC的面积=S△OMN-S△OCN-S△OBM=12×17×68-12×17×4-12×68×1=510，故答案为510．3(广益)如图，点A ，B 在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，OA ⊥AB ，则k 的值为．【解答】解：过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥AM 于N ，∵∠OAB =90°，∴∠OAM +∠BAN =90°，∵∠AOM +∠OAM =90°，∴∠BAN =∠AOM ，∴△AOM ∽△BAN ，∴AM BN =OMAN，∵点A ，B 在反比例函数y =k x (k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，∴A (2，k2)，B (k ，1)，∴OM =2，AM =k 2，AN =k 2-1，BN =k -2，∴k2k -2=2k 2-1，解得k 1=2(舍去)，k 2=8，∴k 的值为8，故答案为：8．4(长沙中考2020)在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ΔADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．(1)求证：ΔABF ∼ΔFCE(2)若AB =23,AD =4，求EC 的长；(3)若AE -DE =2EC ，记∠BAF =α,∠FAE =β，求tan α+tan β的值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠D =90°，∴∠AFB +∠BAF =90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE =∠D =90°，∴∠AFB +∠CFE =90°，∴∠BAF =∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．(2)解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF =AD =4，∴BF =AF 2-AB 2=42-23 2=2，∴CF =BC -BF =AD -BF =2，由(1)得△ABF ∽△FCE ，∴CE BF =CF AB ，∴CE 2=223，∴EC =23 3．(3)解：由(1)得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tanα+tanβ=BFAB +EFAF=CECF+EFAF，设CE=1，DE=x，∵AE-DE=2EC，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD= AE2-DE2=4x+4∵△ABF∽△FCE，∴ABAF =CFEF，∴x+14x+4=x2-1x，∴x+122x+1=x+1∙x-1x，∴12=x+1x，∴x=2x-1，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF=x2-1=3，EF=x=2，AF=AD=AE2-DE2=4x+4=23，∴tanα+tanβ=CECF +EFAF=13+223=233．5(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠BEP=90°，由折叠知，∠DPE=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠CPD=90°，∴∠BEP=∠CPD，∵∠B=∠C=90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD=AB=8，BC=AD=12，由折叠知，PE=AE，DP= AD=12，在Rt△DPC中，CP=DP2-CD2=45，∴BP=BC-CP=12-45，在Rt△PBE中，PE2 -BE2=BP2，∴AE2-(8-AE)2=(12-45)2，∴AE=18-65；(2)如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG=x，则BG=4-x，∵∠A=∠EPD=90°，∠EGP=∠DHP=90°，∴∠EPG+∠DPH=90°，∠DPH+∠PDH=90°，∴∠EPG=∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴EGPH =PGDH=EPPD=412=13，∴PH=3EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2=PD2，∴(3x)2+(4+x)2=122，解得x=165(负值已经舍弃)，∴BG=4-165=45，在Rt△EGP中，GP=EP2-EG2=125，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴EG EB =GPBF，∴1654=125BF，∴BF=3．6(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，OQ =182，点P 是x 轴正半轴上一点，tan ∠POC =1，连接PQ ，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求⊙A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求⊙A 的半径；(3)在(2)的条件下，若OP <10，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足tan ∠OFM =12的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：(1)∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC =1，OQ =182，∴PQ =OP ，∵在Rt △OPQ 中，OQ =PQ 2+OP 2=2OP =182．∴OP =18．∴⊙A 的半径为9；(2)如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ 是⊙A 的切线，∴AP ⊥PQ ，则∠APQ =90°，∵AM ⊥x 轴，QB ⊥x 轴，∴∠AMP =∠PBC =90°，∴∠PAM =90°-∠APM =∠QPB ，∴△APM ∽△PBQ ，∴AM PB =MPBQ，∵tan ∠POC =1，QB =182，∴OB =QB =18，∵AM =2，设MP =MO =x ，∴PB =18-2x ，∴218-2x =x18，解得x =3或x =6，∴MO =3或MO =x ，∴A (3，2)或A (6，2)，∴AP =32+22=13或AP =32+62=210．∴半径为13或210．(3)∵OP<10，∴BO=3，P(6，0)，∴A(3，2)，∵tan∠POC=1，设D(a，a)，∵AD=13，∴(3-a)2+(2-a)2=13，解得：a=0或a=5，∴D(5，5)，设抛物线解析式为y=ax2+bx，将点P(6，0)，D(5，5)代入得，36a+6b=0 25a+5b=5，解得：a=-1b=6，∴y=-x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，tan∠OFM=12，则|K FM |=12，设直线MF：y=-12x+b或y=12x+b，联立y=-x2+6xy=-12x+b，y=-x2+6xy=12x+b，得x2-132x+b=0或x2-112x+b=0，当△1=b2-4ac=1694-4b=0或△2=b2-4ac=1214-4b=0，解得：b=16916或12116，∴直线MF：y=12x+16916或y=12x+12116，令y=0，解得：x=1698或x=-1218，∴6<x F<1698或-1218<x F<0．7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=kx上(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．【解答】解：(1)如图1，设∠A=90°，AC≤AB，S△ABC=12 AC•AB，①若AC=2，i )AB =2AC =2，∴S =12×2×2=2，ii )BC =2AC =2，则AB =BC 2-AC 2=4-2=2，∴S =12×2×2=1，②若AB =2，i )AB =2AC ，即AC =AB 2=1，∴S =12×1×2=22，ii )BC =2AB =2，则AC =BC 2-AB 2=4-2=2∴S =12×2×2=1，③若BC =2，若AB =AC =BC 2=1，∴S =12×1×1=12，若AB =2AC ，AB =233，63，S =12×63×233=23，故答案为：2或1或22或12或23．(2)证明：如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC =∠BDC =90°，在Rt △BCD 中，∠B =30°，∴BC =2CD ，∠BCD =90°-∠B =60°，∵∠ACB =105°，∴∠ACD =∠ACB -∠BCD =45°，∴Rt △ACD 中，AD =CD ，∴AC =AD 2+CD 2=2CD ，∴BC AC =2CD2CD=2，∴△ABC 是智慧三角形．(3)∵△ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∠B 为智慧角，∴BC =2AB ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 不可能为斜边，即∠ACB ≠90°∴∠ABC =90°或∠BAC =90°①当∠ABC =90°时，过B 作BE ⊥x 轴于E ，过C 作CF ⊥EB 于F ，过C 作CG ⊥x 轴于G ，如图3，∴∠AEB =∠F =∠ABC =90°，∴∠BCF +∠CBF =∠ABE +∠CBF =90°，∴∠BCF =∠ABE ，∴△BCF ∽△ABE ，∴BF AE =CF BE =BCAB=2，设AE =a ，则BF =2AE =2a ，∵A (3，0)，∴OE =OA +AE =3+a ，∵B 的纵坐标为2，即BE =2，∴CF =2BE =2，CG =EF =BE +BF =2+2a ，B (3+a ，2)，∴OG =OE -GE =OE -CF =3+a -2=1+a ，∴C (1+a ，2+2a )，∵点B 、C 在在函数y =kx上(x >0)的图象上，∴2(3+a )=(1+a )(2+2a )=k解得：a 1=-2(舍去)，a 2=1，∴k =42，②当∠BAC =90°时，过C 作CM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，如图4，∴∠CMA =∠ANB =∠BAC =90°，∴∠MCA +∠MAC =∠MAC +∠NAB =90°，∴∠MCA =∠NAB ，∴△MCA ∽△NAB ，∵BC =2AB ，∴2AB 2=BC 2=AB 2+AC 2，∴AC=AB，∴△MCA≌△NAB(AAS)，∴AM=BN=2，∴OM=OA-AM=3-2，设CM=AN=b，则ON=OA+AN=3+b，∴C(3-2，b)，B(3+b，2)，∵点B、C在在函数y=kx上(x>0)的图象上，∴(3-2)b=2(3+b)=k解得：b=92+12，∴k=18+152，综上所述，k的值为42或18+152。

知识·巧学一、相似三角形1.定义：如果两个三角形对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似. 例如：在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，k A C CAC B BC B A AB =''=''='',则△ABC 与△A′B′C′相似. 2.记作△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k. 3.读作△ABC 相似于△A′B′C′.4.这里要把对应顶点写在对应的位置上.对应相等的角的顶点是对应点.以一对对应顶点为端点的边是对应边，也可以说对应角所对的边是对应边. 二、三角形一边的平行线性质1.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)平行线截得的三角形与原三角形的形状相同.如图27.2-1，DE ∥BC ，直线DE 的位置有三种，总有△ABC ∽△ADE.图27.2-1(2)如图，DE 在AB 、AC(或它们的延长线)上截得的线段成比例, 即∵DE ∥BC,∴ECAEBD AD =. (3)用几何画板演示三角形一边的平行线构成的相似关系，操作步骤如下： ①新建几何画板文件；②选取“画点”工具画三个点；③选中这三个点，由菜单“作图”→“画直线”，可以画出经过这三点的直线，标上标签； ④选取“画点”工具，在直线AB 上作点D ，标上标签；⑤选中点D 和直线AB ，由菜单“作图”→“平行线”，可以画出经过点D 的AB 的平行线，选取平行线与直线AC 的交点，标上标签E ； ⑥隐藏直线AB 、BC 、CA 、DE ；⑦用“画线段”工具，分别作线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE(△ABC 的三边用粗线，AD 、AE 用虚线，DE 用细线表示)；⑧选中线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE ，由菜单“度量”→“长度”，量出△ABC 和△ADE 的边长(还可以计算各内角的度数)；⑨由菜单“度量”→“计算”，分别计算两个三角形对应边的比.拖动点D ，就能看到点D 在AB 上自由的移动，同时DE 也始终保持与BC 平行(内错角相等)，△ADE 各边的长度不断变化，但两个三角形对应边的比值不变(如图27.2-2).三、相似三角形的判定 1.根据定义判定.判定两个多边形相似的条件是对应边成比例，对应角相等，两条缺一不可.但是，三角形是最简单的多边形，有其特殊性，可以适当减少一些条件.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(如图27.2-3).图27.2-3(1)这个比就是相似比.等边三角形都是相似三角形.(2)把两个三角形的三边先都按从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，最短边与最短边对应，最长边与最长边对应，来计算它们的比值 (作分子的都是同一个三角形的边，同样，作分母的都是另一个三角形的边)；只要三个比值都相等，就可断定这两个三角形相似了. 辨析比较 与全等三角形的判定定理SSS 相仿. 当k=1时，即三组边对应相等时，两三角形全等.4.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.图27.2-4(1)如图27.2-4，在△ABC 和△A′B′C′中，k A C CAB A AB =''=''，∠A=∠A′， 求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于 点E ，则△A′DE ∽△A′B′C′.∴.A C EA CB DE B A D A '''=''=''' ∵A′D=AB ，∴.B A BA B A D A '''=''' ∵k A C CA B A AB =''=''，∴A C CAA C E A ''='''..∴A′E=AC. 又∵∠A=∠A′,∴△A′DE ∽△ABC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.(2)等腰直角三角形都是相似形.(3)与全等三角形的判定定理SAS 相仿.一定是夹角相等，非夹角不能判定相似(如图27.2-5).图27.2-55.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (1)这是识别两个三角形相似的最简单方法.(2)只有两个角相等的三角形不一定全等，但一定相似. (3)特殊三角形的相似.①有一个锐角相等的直角三角形相似; ②顶角(或底角)相等的等腰三角形相似. 四、相似三角形的周长与面积1.两个相似三角形的周长的比等于相似比. 相似多边形的周长的比等于相似比.2.相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似多边形的面积比等于相似比的平方.3.相似三角形对应中线的比、对应高之比、对应角平分线的比都等于相似比. 五、跟相似有关的主要结论上述结论可以由圆周角、弦切角等构成相似三角形得到.2.射影定理(见第29.1《问题·探究》)图27.2-10 如图27.2-10，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， 求证：(1)AC 2=AD·AB ；(2)AB 2=BD·AB ；(3)CD 2=AD·BD. 证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠B=∠ACD.在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠B=∠ACD ，∠ACB=∠ADC=90°， ∴ Rt △ABC ∽Rt △ACD. ∴ADACAC AB ,即AC 2=AD·AB. 类似地，可证Rt △ABC ∽Rt △CBD ，Rt △ACD ∽Rt △CBD. 于是有AB 2=BD·AB ，CD 2=AD·BD.3.角平分线性质：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例.已知△ABC 中，∠BAD=∠DAC ，AD 交BC 于D.求证：ACABDC BD =图27.2-11证明：过C 作DA 的平行线CE 交BA 延长线于E(如图27.2-11). ∵CE ∥DA ，∴AEBADC BD =. 又∵∠E=∠BAD ，∠ACE=∠DAC ，∠BAD=∠DAC ，∴ ∠E=∠ACE.∴AC=AE. 代入上面的比例式，得ACABDC BD =. 六、相似三角形的实际应用利用相似三角形的性质来进行测量、计算那些不能直接测量的物体的高度和距离. 要点提示 太阳光下，同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的. 知识拓展 视点、视线、盲区：眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线，看不到的地方称为盲区. 问题·探究问题1 相似三角形高之比等于相似比吗？导思：如图27.2-12所示，如果△ABC ∽△A′B′C′，AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高，且k B A AB =''，可以猜想k D A AD=''.图27.2-12探究:猜想要经过证明才能作为结论使用. 老师：通过三角形相似证明比例式是常用的一种方法，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，这里AD 、A′D′分别是在Rt △ABD 与Rt △A′B′D′中，只需要证这两个三角形相似即可.要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？丁婷：两个三角形是直角三角形，有一对直角相等，还差一对锐角相等，但从问题的已知条件△ABC ∽△A′B′C′看，知道∠B=∠B′，所以可以先用三角形相似的性质，得到一组角相等，从而为证另一对三角形相似提供了一个条件，证明过程如下： 证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′.又∵AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. ∴△ABD ∽△A′B′D′.∴k D A ADB A AB =''=''. 老师：请大家用语言来总结这个结论.李亮：相似三角形的对应高的比等于相似比.丁聪：我认为还可以总结得更一般些：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比.老师：首先对这种思考方式表示赞赏，非常不错.但要说明的是，根据一些特殊的结论来进行推广，属于我们合情推理的一部分，但这种推理有些是正确的，而有些会产生错误.能不能再举例子说明你们这个结论的正确性？余童：还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论. 老师：好的，来看一看，如何证明？ (上述结论都可以证明)问题2 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？导思：根据相似多边形的定义，需要从边和角两个方面判定.在判断的过程中，可以通过作对角线把四边形问题转化为三角形问题探索. 探究:从特殊图形入手，逐渐减少对应条件. (1)角的条件：①矩形(含正方形)的角都相等；②平行四边形(含菱形)以及等腰梯形只要有一个内角相等，其它的三个角也就对应相等了. (2)边的条件：①两个菱形(含正方形)的边都是对应成比例的； ②平行四边形(含矩形)需要知道两邻边对应成比例； ③等腰梯形需要知道腰、上底、下底三边的比是否相等.结论：(1)有一个角对应相等，并且两邻边的比相等的平行四边形相似； (2)两邻边的比相等的矩形相似； (3)有一个角对应相等的菱形相似； (4)任意正方形相似；(5)有一个角对应相等，并且腰、上底、下底长的比都相等的等腰梯形相似. 典题•热题例1 (2006辽宁大连中考) 如图27.2-13，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 点中的( ) A.F B.G C.H D.O图27.2-13思路解析：在格点中可以知道三角形的边长和大致形状，本题中，△ABC 是等腰直角三角形，和它相似的△DME 也必须是等腰直角三角形，各选项中，只有点G 符合要求. 答案：B变式方法 在格点中给定一组三角形，判定哪些相似.如图27.2-14，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图27.2-14同一个三角形中把边长按大小顺序排列，分别与△ABC 的三边比较，若它们的比相同，则这两个三角形相似.选B.例 2 (2006浙江嘉兴中考) 如图27.2-15，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________.图27.2-15思路解析：图中Rt △ABC ∽Rt △ADE ，写出已知线段和所求线段的有关比例式. ∵∠CAB=∠DAE ，∴Rt △ABC ∽Rt △ADE.∴AC ∶AE=AB ∶AD. 在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，所以AB=5. 把AC=3，AE=2，AB=5代入比例式，得AD=310. 答案：310 深化升华 用相似性质计算线段长时，一定要注意线段的对应；计算中，只需选定与已知线段和所求线段有关的比例式.例3 如图27.2-16，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置，求球拍击球的高度.图27.2-16图27.2-17思路解析：把三角问题转化为数学问题，结合图形，标上相应的字母；根据题目的意思，图中的两个三角形是相似的，运用相似三角形的边对应成比例就可以求出这个高度了. 解：如图27.2-17所示，分别用BD 表示球网，CE 表示球拍的高度，∵∠A=∠A(公共角)，∠ABD=∠ACE=90°，∴△ABD ∽△ACE(如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似). ∴CE BD AC AB =，即h8.01055=+. 解得h=2.4(米).答:球拍击球的高度为2.4米.误区警示 本题中不要把BC 当作是这两个相似三角形的对应边.常见错误：图27.2-18如图27.2-18，∵ DE ∥BC ，∴BCDEEC AE BD AD ==. 错误原因是把BD 、EC 作为三角形的对应边了.例4 (2006北京中考) 如图27.2-19，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，AB=6，AE=8，ED=4，求CD 的长.图27.2-19思路解析：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 本题中，△ABE ∽△DCE ，列出比例式.解：∵弦AC 与BD 交于E ，所以A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∴∠B=∠C ，∠A=∠D(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等). ∴△ABE ∽△DCE. ∴DE AE AC AB =.∴486=DC .∴CD=3. 深化升华 在圆的问题中，有关比例线段问题都可以用圆周角、弦切角转化为相似三角形问题(见本节“知识·巧学”第五点)例5 (2006湖北武汉中考) 如图27.2-20，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△CFB.其中相似的为( )A.①④B.①②C.②③④D.①②③图27.2-20 图27.2-21思路解析：本题涉及的三角形较多，其中由矩形的性质可以得到有两组全等形，另外较特殊的是直角三角形.①用“同角(或等角)的余角相等”，可以得到几个直角三角形的一个锐角相等，因此图中的所有的直角三角形都相似的. ②由Rt △BEA ∽Rt △AEF ，得到EFAEAE BE =，因为E 为AD 的中点，所以AE=ED ，则EFEDED BE =， 在△FED 与△DEB 中，因为EDBFEF ED =，∠FED=∠DEB ，所以△FED ∽△DEB. ③根据△FED ∽△DEB ，得到∠EDF=∠EBD ，它们的余角相等(∠FDC=∠BGA)，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠FCD=∠BAG ，所以△CFD ∽△ABG . ④△ADF 与△CFB 的形状不同，不能相似. 答案：D深化升华 ①如图27.2-21，若DE 2=EF·EB 时，则△DFE ∽△EBD ； ②比例中项问题通常换成比例式，转化为相似三角形中的对应线段的比.例6 (2006安徽中考) 汪老师要装修自己带阁楼的新居(图27.2-22，右图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m.他量得客厅高AB=2.8 m ，楼梯洞口宽AF=2 m ，阁楼阳台宽EF=3 m.请你帮助汪老师解决下列问题：(1)要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米？ (2)在(1)的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20 cm ，每个台阶宽要大于20 cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？图27.2-22思路解析：根据图中的字母与尺寸，把实际问题数学化.本题的数据集中在△ABC 和△GFA 中，可以看出这两个三角形的相似的，用相似三角形的性质解决问题.台阶宽度之和等于楼梯的总长，高度之和等于楼梯的总高，根据题目中的要求，可以列出不等式组，用不等式组解决问题.解：(1)根据题意，有AF ∥BC ，∴∠ACB=∠GAF. ∵∠ABC=∠AFG=90°，∴△ABC ∽△GFA. ∴FGABAF BC =.得BC=3.2(m)，CD=(2+3)-3.2=1.8(m). (2)设楼梯应建n 个台阶，则⎩⎨⎧<>.2.32.0,8.22.0n n 解得14<n<16.楼梯应建15个台阶.方法归纳 生活中，有很多直角三角形相似问题，而直角三角形相似的条件只要有一组锐角相等即可.找到能解决问题的三角形是关键，尽量把数据集中到少数三角形中.。

三垂直模型相似三角形（教学设计）广州市东晓中学王智君一、学习目标1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。

2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。

二、授课（一）【导入新课】相似三角形在初中的应用非常广泛，用于线段、面积的计算；用于线段关系式、线段的数量关系、位置关系的证明。

前段时间我们学习了相似三角形的A字形、8字形等模型的应用，今天我们继续探索相似三角形的性质和应用。

（二）【探究活动】【探究1】构造格点三角形请在图1中画一个直角三角形ABC，满足条件:（1）以线段AC为斜边；（2）顶点B落在线段MT的格点上。

师问：怎样画出这样一个直角三角形？生答：用直角三角板，把直角顶点B放在线段MT的任一格点上，以点B为顶点旋转三角板，若使得两直角边与点A、点C同时重合，则三角形ABC为直角三角形了。

师问：你能确定你这个三角形一定是直角三角形吗？生答：利用格点图，易知AC=5, AB=V5 , BC=2%丐，在利用勾股定理的逆定理，可以知道AB2 +BC2 =AC2, 所以A ABC必定为直角三角形。

师说：由于题目要求NABC恒为90°,由此我们还可以考虑直径所对的圆周角也恒为90°。

那么我们以线段AC为直径作圆，圆弧与线段MT交点，便为点B.师问：今天我们要研究不如ABC,而是△AMB与^ BTC。

请问△AMB与^ BTC相似吗?生答:相似。

因为夹角为直角，两边对应成比例。

【探究2】构造三垂直模(图2) (0 3)裂师问：我把图2中格线擦掉后，条件不变，依然在正方形中，且NABC=90°,请问图3中4 AMB 与^ BTC这两个三角形还相似吗？依据呢？生答：相似，由于N1+N2=90°且N1+N2=90°,所以N1=N3,又因为NM =ZT = 90° ,因此这两个三角形相似。

师说：很好。

怎样寻找相似三角形证明线段的比例式(或等积式）的常用方法是利用相似三角形，但不少同学证题时,不会寻找相似三角形，特别是当图形比较复杂时，更感到眼花缭乱，无从下手．为帮助同学们正确快速寻找相似三角形,本文介绍几种策略．一、三点定型法基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形,然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论．例1 如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE⊥DF，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F ． 求证：.AF BE AD BD= 二、等线段代换法有时求证比例式中的四条线段都在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或即使四条线段能构成两个三角形，但这两个三角形根本不相似,这时,我们可以根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替，再用三点定型法确定相似三角形．例2 如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE⊥AC 且交AC 于F,过F 作FG∥AB，交AE 于G ．求证：AG 2=AF ⋅FC ．三、等式代换法当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三角形，但这两个三角形不可能相似，同时也无等线段代换时，可考虑用等比代换法，即用“中间比”进行转换，然后再用“三点定型法"确定三角形．例3 如图,在ABC △中，090BAC ∠=，AD BC ⊥，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：::AB AC DF AF =．参考答案例1：分析:横找：这两个比的前项中的线段AF 、BE 有四个不同端点，不能构成三角形；竖找：这个等式左边的线段AF 、AD 有三个不同的端点，构成⊿AFD,右边的线段BE 、BD 的三个端点，构成⊿BED，于是只要证明⊿AFD∽⊿BED 就行了,易证∠1=∠B，∠2=∠3，证明略．例2：分析：欲证AG 2=AF ⋅FC ，只要证AG FC AF AG =，应用三点定型法,定不出两个三角形，此路不通．但由已知条件可先证明BF=AG （由ADF △≌BCE △，得AE=BE,由//GF AB ，得AG=BF ），试把BF 代换AG ，得BF FC AF BF=，由这个比例式可定出ABF △和BCF △，显然Rt ABF △∽BCF △，证明略．例3:分析：用“三点定型法”确定ABC △和ADF △，但它们不会相似,也无等线段可代换，于是考虑等比代换．不难发现AB BD AC AD =，此时只要证DF BD AF AD=,用三点定型法可确定FDB △和FAD △，从而需证FDB △∽FAD △，只要证123C ∠=∠=∠=∠，证明略．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。