暑假作业三角--解三角形-Ⅱ-教师版

解三角形一、单项选择题1．在△ABC 中，“sin sin A B >〞是“A B >〞的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】试题分析：由正弦定理sin sin a b k A B ==，得sin ,sin a b A B k k ==，由sin sin A B >得a bk k>，即a b >，由大边对大角得A B >；当A B >得a b >，即a bk k>，由正弦定理得sin sin A B >，因此“sin sin A B >〞是“A B >〞的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.2．ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，30,45A B ==，如此a b=A．2C ．23【答案】B【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理知，sin sin a b A B=,即sin sin30sin sin 452a Ab B ︒===︒， 应当选：B【点睛】此题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题.3．在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边的长，假如2222020a b c +=，如此2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为A ．1B ．2018C ．2019D ．2020【答案】C【分析】先利用商数关系将2tan tan tan (tan tan )A B C A B ⋅+，转化为sin sin 2cos cos sin sin sin cos cos cos A BA BC A B C A B ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通分结合两角和的正弦公式得到22sin sin cos sin A B CC，再利用正弦定理将角转化为边，然后利用余弦定理结合2222020a b c +=求解. 【详解】sin sin 22tan tan cos cos sin sin sin tan (tan tan )cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B ⋅⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2sin sin cos sin (sin cos cos sin )A B CC A B A B =+ ，22sin sin cos sin A B CC=，222222cos 2019ab C a b c c c+-===. 应当选：C.【点睛】此题主要考查同角三角函数根本关系式，正弦定理，余弦定理以与两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题4．在ABC 中6a =，8b =，12ABC S ∆=，如此C =______. 【答案】30或150【分析】先由三角形面积公式，得到1sin 122∆==ABC S ab C ，求出sin C ，即可得出结果. 【详解】因为在ABC 中6a =，8b =，12ABC S ∆=， 所以1sin 122∆==ABC S ab C ，因此241sin 682==⋅C ，所以C =30或150. 故答案为30或150【点睛】此题主要考查三角形面积公式的应用，熟记公式即可，属于根底题型. 5．在ABC 中，假如222sin sin sin A B C =+，如此这个三角形一定为______三角形. 【答案】直角【分析】由正弦定理得到222a b c =+，即可得出结果. 【详解】因为在ABC 中，222sin sin sin A B C =+， 由正弦定理可得：222a b c =+，满足勾股定理， 因此，该三角形是直角三角形. 故答案为直角【点睛】此题主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于根底题型.6．在ABC 中，假如a =6b =，60A =︒，如此B =______. 【答案】30【分析】先由正弦定理求出sin B ，再由大边对大角，即可得出结果.【详解】因为在ABC 中，a =6b =，60A =︒，由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以1sin sin 22===b B A a ， 又a b >，所以A B >，因此30B =︒. 故答案为30【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理以与三角形的性质即可，属于根底题型. 7．在ABC 中，假如30A =︒，120B =︒，12b =，如此a =______. 【答案】【分析】根据正弦定理，可直接得出结果.【详解】因为在ABC 中，30A =︒，120B =︒，12b =，由正弦定理可得：sin sin a bA B=，所以112sin sin ⨯===b A a B故答案为【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于根底题型.8．在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，假如ABC ∆，且A ,B ,C 成等差数列，如此ac 最小值为______． 【答案】4【分析】先根据A ,B ,C 成等差数列得到60B =︒，再根据余弦定理得到,,a b c 满足的等式关系，而由面积可得ac b =，利用根本不等式可求ac 的最小值.【详解】因为A ,B ,C 成等差数列，180A B C ++=︒，故60B =︒. 由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-. 由根本不等式可以得到2b ac ≥，当且仅当a c =时等号成立.因为11sin sin2223S ac B ac π===，所以2ac b =， 所以224a c ac ≥即4ac ≥，当且仅当2a c ==时等号成立.故填4.【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用适宜的根本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.三、解答题9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a b c bc a b c-+=+-. 〔1〕求角A ；〔2〕假如ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值．【答案】(1) 3A π=；(2) 【分析】〔1〕化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A .〔2〕根据正弦定理求出a ，根据余弦定理结合根本不等式以与三角形的面积公式进展求解即可．【详解】解：〔1〕由a b c bc a b c-+=+-化简得222b c a bc +-=， 由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得1cos 22bc A bc == 又因为0A π<<， 所以3A π=.〔2〕由正弦定理得22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+--=， 当且仅当b c =时取等号．故11sin 3222S bc A =⨯⨯=〔b c =时取等号〕．即ABC 面积S 【点睛】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，根本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于根底题．10．ABC 的外接圆半径是2，假如c =6A π=，求边长b .【答案】2b =或4b =【分析】先正弦定理得到4sin =c C ，求出3C π=，或23C π=，进而可得出2B π=，或6B π=，从而可求出结果.【详解】因为ABC 的外接圆半径是2，c =6A π=，所以24sin ==cr C〔其中r 为外接圆半径〕，即sin C =，所以3C π=，或23C π=，因此2B π=，或6B π=，所以2sin 4==b r B 或2b =.【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 11．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． 〔1〕求b ； 〔2〕求∠A ．【答案】〔1〕5b =；〔2〕∠A ＝120°. 【分析】〔1〕利用正弦定理边角互化直接求解 〔2〕利用余弦定理直接求解 【详解】〔1〕由正弦定理得sin b B ＝sin c C可得， c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533⨯＝5． 〔2〕由余弦定理得cos A ＝2222c b a c b+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为0180A << ，所以∠A ＝120°．【点睛】此题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，准确计算是关键，属于根底试题．12．在ABC 中，b =60A =︒，75C =°，求边长a 和ABC 的面积. 【答案】a =3S =【分析】先由180B A C =︒--求出B ；再由正弦定理求出sin sin ==b Aa B可求出结果.【详解】因为在ABC 中，b =60A =︒，75C =°， 所以18045=︒--=︒B A C ；由正弦定理可得：sin sin a bA B=，所以sin sin ==b A a B所以11sin 3224==⋅=S ab C 【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理以与三角形面积公式即可，属于常考题型. 13．在ABC ∆中，假如3C B =，求cb的取值X 围. 【答案】()1,3【分析】利用正弦定理，把边化角，结合二倍角公式，可得结果. 【详解】由正弦定理可得sin sin c C b B =sin 3sin BB=所以c b sin 2cos cos 2sin sin B B B B B += 所以cb22cos cos 2B B =+24cos 1B =-因为3,180C B A B C ︒=++=，所以045B ︒︒<<cos 1B <<， 因此214cos 13B <-<， 即13c b <<，故cb的取值X 围是()1,3. 【点睛】此题主要考查正弦定理的应用，还考查了二倍角公式，属中档题.14．在△ABC 中，假如22tan tan a Ab B=，试判断△ABC 的形状．【答案】△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化简，得到sin 2sin 2A B =，解得A B =或2A B π=-，从而判断△ABC 的形状.【详解】由正弦定理，得22sin tan sin tan A AB B =， 即22sin sin cos ,sin 0,sin 0sin cos sin A A B A B B A B=⋅>>sin cos sin cos A A B B ∴=，sin 2sin 2A B =．∴222A k B π=+，或222()A k B k Z ππ=+-∈． ∵0,0,0A B k ππ<<<<∴=，如此A B =或2A B π=-．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【点睛】此题考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，属于中档题.。

第二十三天 任意角的三角函数1. 三角函数的定义：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r ＝x 2＋y 2)． 2. 同角三角函数的基本关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x.1. 已知sin α＝45，且α是第二象限角，求cos α，tan α的值．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 2. 已知tan α＝125，求sin α，cos α的值．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 3. 已知cos(75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，求cos(15°－α)的值．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. 已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________(参考时间60分钟 满分100分)班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________一、 选择题(每题5分，共30分)1. (*)410°角的终边落在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. (*)已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π2，k ∈Z ，则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是( )3. (*)已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于( ) A. 48 B. 24 C. 12D. 64. (*)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则sin α的值为( )A. 12 B. －12C.32D. －325. (**)化简sin θ1－sin 2θ＋1－cos 2θcos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π的结果是( )A. 0B. 2tan θC. －2tan θD. 12tan θ6. (**)已知sin α＋cos α＝－52，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( ) A. －32B.32C. －34D. 34二、 填空题(每题5分，共20分)7. (*)若sin(π＋α)＝－35，则sin(π－α)＝________.8. (**)函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为________．9. (**)已知cos (75°＋α)＝13，α为第三象限角，那么cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝________.10. (***)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3＋2x 的值为_________________________________________________________________．三、 解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11. (**)已知tan α＝－13，求下列各式的值：(1) 3cos α＋5sin αsin α－cos α；(2) sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α._________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题六倍长中线构造全等三角形中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造.类型倍长中线构造全等三角形1. 在△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是.2. 在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，AD，BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45∘；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长.正确结论的序号是.4.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC).（1）求证：AB−AC<2AD<AB+AC；（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围.5. 如图，已知AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E.若BE=6，求点C到AD的距离.6.某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，点D是BC的中点，试探究BC 边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程.（1）求证：△ADC≌△EDB.证明：∵延长AD到点E，使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中,AD=ED（已作）,∠ADC=∠EDB（）, CD=BD（中点定义）,∴△ADC≌△EDB（）.（2）探究得出AD的取值范围是.【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF.求证：∠BFD=∠CAD.7. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE,请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A. SSSB. SASC. AAS（2）求得AD的取值范围是.A. 6<AD<8B. 6≤AD≤8C. 1<AD<7D. 1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF.试说明AC=BF.（1）【方法学习】数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法（如图2）.①延长AD到点M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB−BM<AM<AB+BM，从而得到AD的取值范围是.【方法总结】上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以说明.（3）【深入思考】如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE =∠CAF=90∘，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以说明.答案专题六倍长中线构造全等三角形类型倍长中线构造全等三角形1．2<AD<52．2<AD<83．①③④4．（1）证明：如图,延长AD至点E，使AD=DE，连接BE.在△ACD 和△EBD 中，{DC =BD ,∠ADC =∠BDE ,AD =DE ,∴△ACD≌△EBD (SAS)，∴AC =BE （全等三角形的对应边相等）.在△ABE 中，由三角形的三边关系可得AB−BE <AE <AB +BE ，即AB−AC <2AD <AB +AC .（2） 解：∵AB =8cm ，AC =5cm ，∴8−5<2AD <8+5，∴32<AD <132.5．解：如图，过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F .∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD .∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD .在△BED 和△CFD 中，{∠BED =∠CFD ,∠BDE =∠CDF ,BD =CD ,∴△BED≌△CFD (AAS),∴BE =CF .∵BE =6,∴CF =6,∴ 点C 到AD 的距离为6.（1） 对顶角相等； SAS（2） 1<AD <7（3） 证明：如图，延长AD 到点H ，使DH =AD ,连接BH .由（1）得△ADC≌△HDB,∴BH=AC,∠BHD=∠CAD.∵AC=BF,∴BH=BF,∴∠BFD=∠BHD,∴∠BFD=∠CAD.（1）B（2）C（3）解：如图，延长AD到点M，使AD=DM，连接BM.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵在△ADC和△MDB中,{DC=DB,∠ADC=∠MDB,DA=DM,∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M.∵AE=EF,∴∠CAD=∠AFE.∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠M,∴BF=BM=AC,即AC=BF.（1）1<AD<7（2）解：AC//BM,且AC=BM.理由:由（1）知,△MDB≌△ADC,∴∠M=∠CAD,AC=BM,∴AC//BM.（3）EF=2AD.理由：如图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由（2）知:AC//BM，∴∠BAC+∠ABM=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘,∴∠ABM=∠EAF.在△ABM和△EAF中，{AB=EA,∠ABM=∠EAF,BM=AF,∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF.∵AD=DM,∴AM=2AD.∵AM=EF,∴EF=2AD.。

一 基础再现考点17：两角和（差）的正弦、余弦和正切1.在ABC ∆中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C ∠等于___▲___．2.若)2tan(,3)tan(,2tan αβαβα-=-=则的值为 ▲ .3. 求值2cos10sin 20cos20-= ▲4. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量1(sin,sin ),(cos ,sin ),222A B C A B +==⋅=a b a b ,则tan tan A B ⋅＝ ▲ ．5: 若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan αβ= ▲ （变式）13sin(),sin(),55αβαβ+=-=求tan tan αβ= ▲ 6. 已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- ▲考点18：二倍角的正弦、余弦和正切7.求值：cos20cos40cos80︒︒︒= ▲ .8.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= ▲ . 9.0203sin 702cos 10--= ▲ 10. 已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈，则m 的值为 ▲二 感悟解答1．解析:两式平方相加得25+24sin()37A B +=即1sin()sin 2A B C +== 30C ∴=︒或150︒ 又113cos 14sin 1cos 32A B A =-<∴<<60A ∴>︒ 12030C C ∴<︒∴=︒；2. 解析: 321tan(2)tan[()]1327βαβαα--=--==+⨯; 点评：本题考察和差角公式的灵活应用，关键是角的变换技巧.: 103020︒=︒-︒; 4.13; 5. 两式展开相加得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ∴=两式相除得1tan tan 2αβ= 变式：同理得2-6.解析：3cos()sin sin 622παααα-+=+=14cos 225αα+=，714sin()sin()cos .6625ππαααα⎫+=-+=-+=-⎪⎪⎝⎭7. 原式=sin 20cos 20cos 40cos80sin 20︒︒︒︒︒= 1sin 40cos 40cos802sin 20︒︒︒︒= 1sin80cos804sin 20︒︒︒ =1sin1608sin 20︒︒ = 18 8 . 由条件得22=- 所以cos sin αα+= 12 9 . 解：22223sin 703cos 203(2cos 101)22cos 102cos 102cos 10----===---， 10. 解析：由题意480sin cos sin cos 2m m θθθθ⎧∆=+≥⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+， 1m =+，所以m =． 点评：本题考察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系及韦达定理的应用.三 范例剖析例1. 已知向量)22()sin (cos ，，，==b x x a ，若58=⋅b a ，且ππ42<<x （I ）试求出co s()x -π4和tan()x -π4的值； （II ）求s i n (t a n )t a n 211x x x +-的值。

作业17 三角公式及变换（2）参考时量：分钟完成时间：月日一、选择题1、函数y ＝2cos x (sin x ＋cos x )的最大值和最小正周期分别是( )A ．2，π B.2＋1，π C ．2,2π D.2＋1,2π 2、若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.123、已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2π,2π)，则tan2βα+的值是( )A.21 B.－2 C.34D.21或－24、△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．45、若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－1－ 56、函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 二、填空题7、若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．8、当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.9、已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.10、已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两根，则a ＝________. 三、解答题11、已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．12、已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值..13、（1）已知（2）已知（3）已知（4）已知练习答案 1、答案：B.详解： y ＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时取得最大值2＋1，最小正周期T ＝2π2＝π.2、答案：D. 详解：∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.3、解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222βαtan 32βα-+++=0.解得tan 2βα+=－2. 答案：B4、答案：B.详解：因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.5、答案：B.详解：由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 6、答案：B详解：将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，∴f (x )的值域为[－3，3]． 二、填空题 7、答案：2.详解： －1＝ta n 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tanβ.∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 8、答案：56π.详解：利用正弦函数的性质求解．∵y ＝sin x －3co s x (0≤x <2π)，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3(0≤x <2π)．由0≤x <2π知，－π3≤x －π3<5π3，∴当y 取得最大值时，x －π3＝π2，即x ＝56π.9、答案：0. 详解：原式＝cos α1＋sin 2αcos 2 α＋sin α 1＋cos 2αsin 2α＝cos α 1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.10、答案：1－ 2详解：由题意知，原方程判别式△≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．三、解答题11、答案：(1)见详解. (2) f (x )＝x1＋2x2详解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3s in(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x2.2237177512:cos(),sin 2cos 2().,2,45425124344sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin (sin cos )cos sin()sin 451tan cos sin 1cos 74()sin 2sin()28255475cos()45x x x xx x x x x x x x x xx x x x x xx x x ππππππππππ+=∴=-+=<<∴<+<+++∴+=-==---⨯-+===+、解又13、 解：（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式：（和差与倍半的综合关系）∴ ＝①∵ ∴∴ ②③∴将②③代入①得（2）注意到这里有关各角的关系式： （和差与倍半的综合关系）∴＝①∵∴∴又②∴③∴将②③代入①得于是有 .（3）注意到这里有关各角之间的关系式∴∴①∵∴又②∴③∴将②③代入①得，故得（4）解法一（从寻找两角与的联系切入）：由已知得：①∵∴②③此时注意到在内单调递增.∴由①②③得∴于是得 .解法二（从已知式的化简切入）由已知得④∵∴∴由④得⑤于是再由及⑤得 .。

高中-《求解三角形中周长(面积)最大值的方法(教师版)》引言三角形是几何学中常见的图形之一，通过研究三角形的特性和性质，可以解决许多与三角形相关的问题。

本文将重点介绍如何求解三角形中周长和面积的最大值的方法，帮助教师们更好地教授相关知识。

方法一：使用三角函数三角函数是研究三角形性质的重要工具之一。

在求解三角形中周长和面积的最大值时，可以利用三角函数的性质进行分析。

步骤：1. 首先，假设三角形的一个角度为θ，另外两个角度为α和β，且α+β+θ=180°。

2. 根据三角函数的定义和三角形周长的公式，可以得到三角形的周长为L = a + b + c = a + 2asin(θ/2)，其中a和b为两边的长度，c为斜边的长度。

3. 而三角形的面积可以由海伦公式S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中s为周长的一半。

4. 接下来，我们需要确定如何选择θ的取值，使得周长或面积最大。

5. 对于周长最大值的求解，可以通过求导数的方法得到最优解。

6. 对于面积最大值的求解，也可以采用求导数的方法或者通过研究面积的性质进行分析。

方法二：使用几何图形的性质除了三角函数的方法外，我们还可以利用几何图形的性质来求解三角形中周长和面积的最大值。

步骤：1. 考虑一个固定的底边AC，底边两端点分别为A和C。

2. 假设顶点B在AC的一侧，并且以顶点B为顶点的两条边长度为x和y。

3. 则三角形的周长为L = AC + x + y，面积为S = (1/2) * AC * h，其中h为由顶点B到底边AC的垂直距离。

4. 可以通过分析底边AC不变的情况下，如何选择x和y的取值，使得周长或面积最大。

结论通过使用三角函数的方法或几何图形的性质，可以求解三角形中周长和面积的最大值。

在教学过程中，教师们可以根据学生的研究能力和兴趣，选择适用的方法进行教授，帮助学生理解并应用相关的数学知识。

请注意：本文介绍的方法仅供参考，具体的求解过程和结果可能因具体问题而有所不同。

执笔人：姚东盐审核人：2009年 9月日必修5第一章小结与复习1 第7课时一、学习目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题.二、课前预习(-)三角形中的定理1.正弦定理：，其中R为.正弦定理的作用：(1) __________________________________________________⑵__________________________________________________正弦定理的变形：① a = 2R sin A , ,；®a:b:c =.2.余弦定理：a2 =b~ +c2 - 2bc cos A ,余弦定理的作用：(1) __________________________________________________________(2) ________________________________________________________(3).(4).余弦定理的变形：① cos A =等；®a2 +b2-c2 =等.3」三角形面积公式：S. = —aZ?sinC = =A 2 --------------------------------------------------4.在已知两边a, b及角A解三角形时，需要讨论.(1)若AN 9 0 ° ,则有①a〉b时有解; ②aWb时 .(2)若A< 9 0 °时，则有①若 a<bsinA,则；②若 a=bsinA,则 ft;③若bsinA<a<b,则有解;④若aNb,则有解.预习题：1.（2009年广东卷文）已知AA3C中，ZA,Zfi,ZC的对边分别为a,b,c若a = c = V^ + 扼且ZA = 75°,则8=sin A = sin 75° = sin（3O° +45°） = sin 30° cos 45° + sin 45° cos 30° =a = c =后5可知，ZC = 75°,所以 Zfi = 30°, sinB = -2由正弦定理得b = ^—・sin3=« + ^xL = 2sin A J2+J6 242.（2008浙江）在ZXABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若{^/3b - cjcos A = a cos C ,贝ij cos A =.3.（2007湖南）在左A3C中，角A, B C所对的边分别为a, b c,若a = l,b=J7, c =也,则3= _______________ .答案—64.（2009长郡中学第六次月考）ZXABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p = （a + c,b）, q = （b-a,c-a）,若p〃q ,则角C1的大小为£3三、数学运用例1. （2009全国卷I理）在AA3C中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c , a~ -c~ = 2b ,且sin A cos C = 3 cos A sin C,求b【随堂记录】：分析:此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条件C2=2。

解三角形及其应用1.(2024·海南校考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a=8√3,b=6,A=60°,则sin B=( ).A .23B .√63C .√22D .38【答案】D【解析】由正弦定理得a sinA =b sinB ,则8√3sin60°=6sinB,故sin B=8√3=√38√3=38. 2.(2024·四川模拟)在△ABC 中,已知A=7π12,C=π6,AC=2√2,则AB 边的长为( ).A .2√2B .2C .√2D .√3【答案】B【解析】由A=7π12,C=π6,可得B=π-A-C=π-7π12-π6=π4,由正弦定理可得AC sinB =ABsinC,则AB=ACsinC sinB =2√2sin π6sin π4=2. 3.(2024·浙江检测)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b 2=a 2+c 2-ac ,则B=( ).A .π6B .π3C .3π4D .2π3【答案】B【解析】依题意得b 2=a 2+c 2-ac ,即a 2+c 2-b 2=ac ,由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b22ac=12,又0<B<π,所以B=π3.4.(2024·湖南模拟)在△ABC 中,BC=3,sin B+sin C=√103sin A ,且△ABC 的面积为12sin A ,则A=( ).A .π6B .π4C .π3D .2π3【答案】D【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,因为sin B+sin C=√103sin A ,所以由正弦定理可得b+c=√103a=√10,又S △ABC =12bc sin A=12sin A ,解得bc=1,所以由余弦定理可得cos A=b 2+c 2-a 22bc =(b+c)2-2bc -a 22bc=10−2−92=-12.因为A ∈(0,π),所以A=2π3.5.(2024·黑龙江统考)爱立信球形体育馆位于瑞典斯德哥尔摩,其外形像一个大高尔夫球.某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径,在体育馆外围测得AB=40√6 m ,CD=80m ,∠ACB=45°,∠ABC=∠ACD=60°(其中A ,B ,C ,D 四点共面),据此可估计该体育馆的直径AD 为( ).(参考数据:√3≈1.732,√7≈2.646)A .98 mB .102 mC .106 mD .122 m【答案】C 【解析】如图,连接AC ,AD ,在△ABC 中,由正弦定理得AC sin ∠ABC =ABsin ∠ACB, 即√32=√6√22,解得AC=120.在△ACD 中,由余弦定理得AD 2=AC 2+CD 2-2AC ·CD ·cos ∠ACD ,即AD 2=1202+802-2×120×80×12=11200,所以AD=√11200=40√7≈106(m ).6.(2024·上海期中)在钝角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a=1,b=2,则最长边c 的取值范围是( ). A .(√6,3) B .(2,√5) C .(√5,2√2) D .(√5,3)【答案】D【解析】因为△ABC 是钝角三角形,a=1,b=2,且c 是最长边,所以由余弦定理可得cosC=a 2+b 2-c 22ab <0,即c 2>a 2+b 2=5,又c>0,所以c>√5.因为c<a+b=3,所以c 的取值范围是(√5,3).7.(2024·山东统考)某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M 和教学楼顶部N 之间的距离,已知旗杆AM 高15 m ,教学楼BN 高21 m ,在与A ,B 同一水平面的C 处测得的旗杆顶部M 的仰角为30°,教学楼顶部N 的仰角为60°,∠ACB=120°,则M ,N 之间的距离为( ).A .√511 mB .√1137 mC .√1143 mD .√1173 m【答案】D 【解析】如图,过点M 作MD ⊥BN 于点D ,则MD=AB.在Rt △ACM 中,AM=15,∠ACM=30°,∴AC=√3AM=15√3.在Rt △BCN 中,BN=21,∠BCN=60°,∴BC=√3=7√3.易知BD=AM=15,DN=BN-BD=6.在△ABC 中,∠ACB=120°,由余弦定理得AB=√AC 2+BC 2-2AC ·BCcos ∠ACB=√(15√3)2+(7√3)2-2×15√3×7√3cos ∠120° =√1137, ∴DM=AB=√1137.在Rt △DMN 中,∠MDN=90°,得MN=√DM 2+DN 2=√(√1137)2+62=√1173(m ).8.(2024·浙江模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若B=π3,a=4,且该三角形有两解,则b 的取值范围是( ).A .(2√3,+∞)B .(2√3,4)C .(0,4)D .(3√3,4)【答案】B【解析】由正弦定理得a sinA =bsinB ,所以b=asinB sinA =4×sin π3sinA =2√3sinA .因为该三角形有两解,所以π3=B<A<2π3,A ≠π2,故sin A ∈√32,1,即b ∈(2√3,4).【方法解读】解三角形之“三角形解的个数”问题 在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角 或直角图形关系 式 a=b sin A b sin A <a<b a ≥b a>b 解的 个数一解两解一解一解9.(2024·福建期中)(多选题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列说法不正确的是( ).A .若A>B ,则sin A>sin BB .若sin 2A+sin 2B>sin 2C ,则△ABC 是锐角三角形C .若sin A-sin B=cos B-cos A ,则△ABC 为等腰三角形D .若a=3,b=2,A=60°,则符合条件的△ABC 有两个【答案】BCD【解析】对于选项A ,由正弦定理得a sinA =b sinB=2R ,即a=2R sin A ,b=2R sin B ,因为A>B ,所以a>b ,所以2R sin A>2R sin B ,得到sin A>sin B ,所以选项A 正确;对于选项B ,sin 2A+sin 2B>sin 2C ,则由正弦定理得a 2+b 2>c 2,即a 2+b 2-c 2>0,又因为cos C=a 2+b 2-c 22ab,所以cos C>0,即C 为锐角,但无法判断A ,B 的范围,所以选项B 错误;对于选项C ,由sin A-sin B=cos B-cos A ,得sin A+cos A=sin B+cos B ,则有√2sin A+π4=√2sin B+π4,即A=B 或A+B=π2,所以选项C 错误;对于选项D ,因为a=3,b=2,A=60°,所以b sin A=2×√32=√3<a ,又b<a ,所以符合条件的△ABC 只有1个,所以选项D 错误.故选BCD .10.(2024·上海模拟)在△ABC 中,(a+c )(sin A-sin C )=b (sin A-sin B ),则C= .【答案】π3【解析】因为(a+c )(sin A-sin C )=b (sin A-sin B ),所以由正弦定理得(a+c )(a-c )=b (a-b ),变形得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab=12,又0<C<π,所以C=π3.11.(2024·陕西模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a 2=b 2+c 2+√3bc.已知a=√3,S 为△ABC 的面积,则S+3cos B cos C 的最大值是 .【答案】3【解析】因为a 2=b 2+c 2+√3bc ,所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=-√32,因为0<A<π,所以A=5π6.设△ABC 外接圆的半径为R ,则2R=a sinA =√3sin 5π6=2√3,所以b=2R sin B=2√3sin B ,c=2√3sin C ,所以S+3cos B cosC=12bc sin A+3cos B cos C=14bc+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos (B-C ),所以当B-C=0,即B=C 时,S+3cos B cos C 取得最大值,最大值为3.12.(2024·山西统考)以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点.在△ABC 中,已知A=90°,AC=2√3,BC=4√3,现以AB ,BC ,CA 为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为D ,E ,F ,则DE 的长为( ).A .4√2B .2√7C .3√3D .2√5【答案】B 【解析】如图,在Rt △ABC 中,AB=√BC 2-AC 2=6,由题意可知BE=12×BC sin60°=12×4√3√32=4,BD=12×AB sin60°=12×6√32=2√3,且∠EBC=∠CBA=∠ABD=30°,所以∠EBD=90°,所以DE=√BE 2+BD 2=2√7.13.(2024·江苏期中)(多选题)下列结论正确的是( ).A .在△ABC 中,若sin 2A=sin 2B ,则△ABC 是等腰三角形 B .在△ABC 中,A>B 是sin A>sin B 的充要条件C .将函数y=sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=cos 2x 的图象 D .在△ABC 中,若AB=√3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积为√34或√32【答案】BCD【解析】A 选项中,因为sin 2A=sin 2B ,所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,所以A 错误;B 选项中,由A>B ,得a>b ,则由正弦定理得sin A>sin B ,反之亦成立,所以B 正确;C 选项中,将函数y=sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到y=sin 2x+π4=sin 2x+π2=cos 2x 的图象,所以C 正确;D 选项中,由正弦定理得AB sinC =AC sinB ,即√3sinC =1sin30°,得sin C=√32,则C=60°或C=120°,所以A=90°或A=30°,所以△ABC 的面积为S=12×√3×1×sin 90°=√32或S=12×√3×1×sin 30°=√34,所以D正确.14.(2024·湖北联考)(多选题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a=√3,a 2+b 2-c 2=2ab sinC ,tanA -tanB tanA+tanB =c -bc,则下列结论正确的是( ).A .C=π4B .△ABC 外接圆的半径为1 C .c=√2D .△ABC 的面积为3+√32【答案】ABC【解析】因为a 2+b 2-c 2=2ab sin C ,所以由余弦定理得cos C=a 2+b 2-c 22ab=sin C ,故tan C=1.因为C 为△ABC 的内角,所以C=π4,故A 正确.由tanA -tanB tanA+tanB =c -b c ,得sinA cosA -sinBcosB sinA cosA +sinB cosB =sinC -sinB sinC ,则sin(A -B)sin(A+B)=sin(A+B)-sinB sin(A+B),整理得2sin B cos A=sin B.因为B 为△ABC 的内角,所以sin B ≠0,故cos A=12.因为A 为△ABC 的内角,所以A=π3.由正弦定理得2R=asinA ,则△ABC 外接圆的半径为R=12×a sinA =12×√3sin π3=1,故B 正确.由正弦定理得c=asinC sinA =√3×√22√32=√2,故C 正确.因为sin B=sin (A+C )=sin A cos C+cos A sin C=√32×√22+12×√22=√6+√24,所以△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B=12×√3×√2×√6+√24=3+√34,故D 错误.故选ABC .15.(原创)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=2,2sin B+√3b cos A-√32ab=0,△ABC 的面积为√3,则b+c=( ). A .4 B .5 C .6 D .7【答案】A【解析】因为a=2,2sin B+√3b cos A=√3b ,所以a sin B+√3b cos A=√3b ,由正弦定理可得sinA ·sin B+√3sinB cos A=√3sin B ,即2sin A+π3=√3,得sin A+π3=√32.因为π3<A+π3<4π3,所以A+π3=2π3,得A=π3,所以S △ABC =12bc sin A=√34bc=√3,得bc=4.由余弦定理知a 2=4=b 2+c 2-2bc cos A=(b+c )2-3bc=(b+c )2-12,所以b+c=4.16.(原创)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足1tanA +1tanB =√3bcosA ,则a 2bc 的最小值为 .【答案】1 【解析】由1tanA +1tanB =√3bcosA ,得cosA sinA +cosB sinB =√3sinBcosA,化简得sinBcosA+cosBsinA sinAsinB =sinC sinAsinB =sinC √3sinBcosA,解得tan A=√3,故A=π3.由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,当且仅当b=c 时等号成立,所以a 2bc的最小值为1.17.(原创)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,写出同时满足条件“①a cos A=b cosB ;②△ABC 不是等腰三角形”的∠A ,∠B ,则∠A= ,∠B= .【答案】π6,π3(答案不唯一)【解析】因为a cos A=b cos B ,所以由正弦定理得sin A cos A=sin B cos B ,则sin 2A=sin 2B ,则在△ABC 中,2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2.因为△ABC 不是等腰三角形,所以A+B=π2且A ≠B ,故A=π6,B=π3符合题意(答案不唯一).。

解三角形之最值型【题集】转化为正弦型（1）（2）1.在中，，，分别为角，，的对边，且．求．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）　，则，则，可得，因为，所以．由，得，其中，．由得，所以得最大值为，所以得最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦；正弦定理；正余弦定理综合求解边角2.在平面四边形中，已知，，，．（1）（2）求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由条件即求的长，在中，设，，则，∵，∴，∴，整理得：，解得或，当时，可得，与矛盾，故舍去，∴．在中，设，则，∴，，∴，∴周长最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．若，求．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得：．因为的内角和，，所以，因为，所以，因为，所以，当即时，面积取得最大值．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）4.的内角，，的对边分别为，，，已知，且满足．求角的大小．求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，由正弦定理可得，，又由余弦定理，∴，即，又，则．由正弦定理可得，∴，又，即，，，∴原式，其中，由，，∴一定存在使得，此时，此时最大为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求边长相关最值或范围问题均值不等式（1）（2）5.的内角，，的对边分别为，，，若，且外接圆的半径为．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理，有，∴，，，代入，得，则，即，由余弦定理得，∵，∴．由正弦定理得，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角；正弦定理（1）（2）6.在中，内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，∵，∴，由正弦定理，得，整理，得，∴，∴，又，∴．∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）7.如图，在中，、、分别为的内角、、所对的边，外接圆的半径为，．求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及，得，由，得，∴，∵，∴，∴．∵，∴．又外接圆的半径，∴，∴．∵，∴，由，得，∴，当且仅当时，等号成立．又∵，∴周长的最大值为．【标注】【知识点】余弦定理；正余弦定理综合求解边角（1）（2）8.在平面四边形中，，，．求的面积．设为的中点，且，求四边形周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）连接，在中，由余弦定理得，设，则，即，解得或（舍去），所以，因此的面积．由为的中点，得为的边的中线，又，得，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，即四边形的周长的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题9.如图，在平面四边形中，，，．（1）（2）求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，均为锐角，∴，，∴，为直角三角形，∴，∴．由（）知，，在中，由余弦定理得，∴，，，∴四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）10.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得，所以，所以．，因为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立．所以的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正弦定理11.在中，内角，，所对的边分别为，，，是边的中点，若，且，求面积的最大值．【答案】．【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，又，，又因为是的中点，所以，故，则，则，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值是．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）12.在中，内角、、所对的边长分别为，，，．求角．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．面积的最大值为．【解析】（1）（2）由，可得：，，因为，所以，．由，得，，，所以，当时，面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）13.的内角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由题意得，即，所以，因为，∴．由余弦定理得：，，故，则，当时，的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）14.在中，角，，的对边分别为，，，已知，．求的余弦值．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）由已知条件得：，由正弦定理得，则，即，由，整理得：，即，即，由，故．（2）由（）知，则，由余弦定理得：，而，则，由得，即，所以，当时取等号．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）15.设，，分别为锐角内角，，的对边，且满足，．求角的大小．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，则即，所以有，又因为锐角，则．由（Ⅰ）可知，且有，由余弦定理可得：，则，．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）16.已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．求角的值．若的外接圆半径为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．当时取最大值．．【解析】（1）方法一：方法二：（2）∵，，，∵，则．由题：，，，，，，当时取最大值．由题：，∵，，则（当，取“”），．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角（1）（2）17.在中，，，分别是角，，的对边，．求角的大小；若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）因为．可得，即，，．，（2），．由余弦定理得：，．即，当且仅当时取等号．，那么：的面积．的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）18.已知，，是的内角，，，分别是角，，的对边，若．求角的大小．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及得由余弦定理，又，则．由（）得，又，得，又可得，∴，当时取得等号，所以的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求的值．若，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由以及正弦定理可知，，即，因为，所以，所以．∵，∴．由余弦定理，可得：，又，可得，当且仅当时等号成立，即存在的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）20.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，当角最大时，求的面积．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由知，，∴由余弦定理得，，即，且．根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．∴当角取最大值时，，．∴的面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）21.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由（I ）知，，∴由余弦定理得，，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．由，得，且，∴的面积．∵，∴．∴．∴的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；正余弦定理综合求解边角（1）22.已知的内角，，满足．求角．（2）若的外接圆半径为，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）设内角，，所对的边分别为，，．根据及正弦定理，可得，得，所以，又因为，所以．设的外接圆半径为，则．因为，所以，所以，所以（当且仅当时取等号）．故的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角（1）（2）23.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角；若点在边上，且，，求的最大值．【答案】（1）（2）．的最大值．【解析】（1）（2）∵，由正弦定理可得，，即，∵，∴，∵，∴．令，，，∵，，∴，中，由余弦定理可得，∴，整理可得，，解不等式可得，，即的最大值．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题；边角互化（利用余弦定理）；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）24.如图，在平面四边形中，，，，．若，求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，（2）所以，又，所以为等腰三角形，作于，则，在中，，所以，所以．由题意知，在中，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以．所以．故四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；多个三角形拼接的解三角形问题；三角形面积公式（1）（2）25.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角的大小．若的面积为，是钝角，求的最小值．【答案】（1）（2）或．的最小值为．【解析】方法一：（1）由已知得：，由正弦定理得：，∴，又在中，，∴，方法二：（2）∴或．∵，∴，∴，∴，∴，∴或．由，，可得：，又， ，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）26.已知，，分别是三个内角，，所对的边，且．求角的大小．已知，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，分别是三个内角，，所对的边，且，∴，即，解得（舍）或，解得．由（）知，又，根据余弦定理得，把，，代入得，∴，解得，∴面积，∴的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；SAS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）27.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角；若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理可知：，，，，由，则，∴，由，，，，则；由，则，由，∴，当且仅当时取等号，∴，故的最小值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）28.已知的内角，，的对边分别为，，，．求角；若，求的周长的最大值．【答案】（1）（2）.周长的最大值为.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：，即，∴，∵，∴，∴，从而．∵，∴．（2）由()和余弦定理得，即，∴，即(当且仅当时等号成立)．所以，周长的最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）29.在中，角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）根据正弦定理得，即，则，即，由于，所以．根据余弦定理，，由于，即，所以面积，当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求面积最值或范围问题（1）（2）30.已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且．求角．若，，当有且只有一解时，求实数的范围及的最大值．【答案】（1）（2）．，．【解析】（1）由己知．所以：，（2）由余弦定理得，所以，即，，，所以：，即：．由己知，当有且只有一解时，或，所以；当，．由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立．∴三角形面积为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）31.已知内角、、的对边分别为，，，若且．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，故，．由，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，，当且仅当时，“”成立，从而，故面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）32.的内角，，的对边分别为，，，且满足，．角的大小．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）依题意：，，，由正弦定理，得，，∵，∴，．依题意，，，，∴，∵，∴，，，∴，当且仅当时取等号．【标注】【知识点】余弦定理的其他应用（1）（2）33.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）已知．正弦定理化简可得：．即．∵，．∴．即．∴．∵，．余弦定理：．可得：．∴，当且仅当时取等号．解得：．那么三角形面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）34.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．若，求和．求的最小值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）因为，代入，得，所以，，得，所以，．把余弦定理代入，得，解得，，当且仅当，即时，取最小值．【标注】【知识点】三角形面积公式；AAS 类三角形（利用正弦定理）；SSS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）35.如图，在三角形中，，，，平面内的动点与点位于直线的异侧，且满足．求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．四边形面积的最大值为．【解析】（1）（2）在中，因，，，由余弦定理得：，所以，再由正弦定理得：，所以．由()知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，．方法：设，，则，于是，即，当且仅当时等号成立．故的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．方法：设，则，，所以，当时，的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）36.在中，角、、所对的边分别为、、，已知．求的值．当角取最大值时，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，∴，∴，化为，∴，∴．由于，则，，又，当且仅当，即时，取等号，可得的最大值为，可得，由正弦定理可得．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用。