专题复习---解三角形(一)教学设计

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

28.2解直角三角形教学设计第1课时一、教学任务分析二、教学流程安排三、教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图 活动一：复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a bA b aA c bA c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b aB abB c aB c b B ====cot ;tan ;cos ;sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．3．通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形。

教师引导学生进行锐角三角形相关知识回顾与复习。

要求学生了解解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

活动二：探究新知通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形，详见书本P85页. 进行探究1：（1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？思考与提问：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？例题1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 解 ∵tanA=a b =62=3 ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=22详见P86-88页，例2，例3，例4；教师提问，学生互动； (1)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． （3）边角之间的关系如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.引导学生思考分析完成后，让学生独立完成教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

《解三角形》（复习课案例）发表时间：2011-11-18T15:23:06.347Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年31期作者：郝言阳[导读] 以往的教学中，常常是教师总结知识点和例题，学生模仿练习，靠大量习题的训练来完成，这样显然不利于学生主动探索自主学习，学生的思维得到了限制和压抑，不会有好的效果。

山东省莱阳第一中学数学组郝言阳一、教学设计1.学情分析：以往的教学中，常常是教师总结知识点和例题，学生模仿练习，靠大量习题的训练来完成，这样显然不利于学生主动探索自主学习，学生的思维得到了限制和压抑，不会有好的效果。

正如皮亚杰强调的“教师的工作不是‘教给’学生什么，而是努力构建学生的知识结构，并以种种方式刺激学生的欲望。

这样，学习对学生来说，就是一个‘主动参与’的过程”。

我们初步进行了让学生自己建构总结，学生较平时有了一些主动性，能独立思考总结，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究索取知识，增强了学习数学的兴趣。

2.教材分析：《课标》把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章有联系密切的内容，这使这部分的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。

比如对余弦定理的证明常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

3.课标要求：掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

在处理解三角形的实际应用问题中，获得综合运用解三角形的知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。

4.设计思路：多媒体展示本章的知识网络及重要知识点，让学生自己加以对比补充。

②展示题目、小组讨论、教师环视：小组讨论时，教师要巡视教室，参与到学生的讨论中，并积极捕捉学生中出现的一些“意见”，尽量快速判断出教学中有利用价值的动态资源，并力求能巧妙地运用在教学活动中。

一轮复习解三角形教学设计临高中学吴金竹教学目标同步教学知识内容掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题个性化学习问题解决主要利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积及解三角形的具体应用问题教学重点熟练运用正、余弦定理解三角形教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力教学过程教师活动一、知识点复习二、典型例题题型1 利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有().A.1个B.2个C.0个D.无法确定在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,且sin C=2sin B,则角A的大小为.题型2 与三角形面积有关的问题【例2】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=a cos C.(1)求A 的值;(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值; (3)若a=2,求△ABC 周长的取值范围.变式训练2在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足2ac sin B=a 2+b 2-c 2.(1)求角C 的大小;(2)若b sin (π-A )=a cos B ,且b=,求△ABC 的面积.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。

（边化角）三、课堂练习：1、满足︒=45A ，c=6，a=2的ABC ∆的个数为m ，则m a 为2、已知a=5，b=35，︒=30A ，解三角形。

人教版下册四年级数学《复习三角形知识》
教案
教学目标
- 复习三角形的定义和性质
- 认识不同类型的三角形
- 掌握判断和画出不同类型三角形的方法
教学准备
- 教材：人教版下册四年级数学教材
- 教具：直尺、量角器、彩色铅笔
教学过程
导入
1. 利用多媒体展示图片，让学生回顾三角形的定义和性质。

复习三角形的定义和性质
1. 提问学生对三角形的定义和性质进行回答，鼓励学生积极参
与讨论。

2. 引导学生总结三角形的性质，例如三条边的长度关系、角的
和等于180度等。

认识不同类型的三角形
1. 利用多媒体展示不同类型的三角形图片，如等边三角形、等
腰三角形、直角三角形等。

2. 引导学生观察并讨论不同类型的三角形的特点，例如等边三
角形三条边相等、直角三角形有一个角为直角等。

判断和画出不同类型三角形的方法
1. 引导学生通过观察三角形的边长和角度来判断三角形的类型。

2. 提示学生使用直尺和量角器来画出不同类型的三角形，帮助
他们理解三角形的构成。

拓展练习
1. 分发练习册，让学生自主完成相关练习题，巩固所学的知识。

2. 教师巡视并及时解答学生的疑惑。

总结
1. 总结本节课所学的内容，强调三角形的定义、性质以及不同类型的三角形。

2. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识。

课后作业
1. 完成练习册上的相关练习题。

2. 复习并总结本节课所学的知识。

解三角形之求边的比值的取值范围问题教学设计一、设计思路解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。

而三角形中的最值问题又是一个重点，其中最典型的就是对面积、周长的最值问题考查，但是近年来的题型一直在不断地创新，其中2018年北京卷文科卷、2022年全国一卷、2022年全国甲卷理科卷都考查了三角形中边的比值的取值范围问题，处理这个最值问题解决方法主要是通过消元建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性解决。

这种方法对学生的思维训练而言是很有价值的，所以笔者设计了这样一节微课，总结出解决此类问题的基本步骤和数学思想方法，希望对同学们有所帮助。

二、教学目标1、能运用正弦定理，消元等方法将边的比值问题转化为一元函数的值域问题；2、通过对此类问题的分析，对数学思想方法有更深的理解，培养严谨的数学逻辑思维。

三、核心素养数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象四、教学重难点重点：将三角形边的比值转化为对角的正弦之比。

难点：掌握解三角形中处理范围问题的方法：转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）五、教学过程（一）解三角形公式回顾1.正弦定理及其应用：，其中为外接圆的半径 C B A c b a sin :sin :sin ::=CB A c b a 222222sin :sin :sin ::=2sin sin sin a b c R A B C===R ABCB C A b c a sin sin sin +=+2. 面积公式： S =12ab sinC =12bcsinA =12ac sinB3. 三角形中其他常用结论均为锐角。

、、是锐角三角形，则若，，C B A ABC C B A C B A C B A C B A C B A ∆=+=+-=+=+=++)3(2sin 2cos 2cos 2sin cos )cos(,sin )sin()2()1(π （二）例题精讲例题：在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()1,m a =，()3sin ,cos n C b a C =-，//m n . (1)求角A ；(2)求bc 的取值范围. [设计意图]： 本题将引导学生利用正弦定理和消元思想将比值转变为一个一元的函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值），但是要注意函数的定义域，即“元”的取值范围。

《解三角形》教学设计崇明中学汤杰【教学目标】1、掌握正弦、余弦定理的内容，灵活运用正、余弦定理解三角形问题。

2、学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题，提升合情推理探索数学规律的数学思维能力。

3、在学习过程中激发学生学习兴趣，激发学生的探索精神。

【教学重点】正、余弦定理的灵活运用、解三角形中边角互化问题。

【教学难点】解三角形中的综合问题。

【教学过程】120，运用，学生课前完成，教师边角互化多向思维应用研究综合提升考点3、解三角形的实际问题研究例题2、如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。

一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。

现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为min/50m。

在甲出发min2后,乙从A乘缆车到B,再从B匀速步行到C。

假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m,山路AC长为m1260,经测量：1312cos=A,53cos=C。

1）求索道AB的长；2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考点3例题教师引导学生审清题意，要求学生先独立思考，然后请学生讲解自己的想法与做法。

教师板书解答过程。

旨在通过本例题让学生学会建立数学模型解决实际问题，让学生在解决问题过程中体验学习数学的乐趣，与此同时也提升了学生的分析解题的能力。

课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？请让学生思考和总结，然后派代表回答。

及时进行总结，同时检查学生本节课的【教学设计说明】1、教材内容分析:解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。

所以通过本章学习，学生应该能够通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形，能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。

45,C∠.求边长能够很好地激发学生的求知欲望。

在新的问题产生时这个时候也正是产生知识缺陷, 急需新知识的时候教师活动2探究一: 直角三角形边角关系如图：在中, 是最大的角, 所对的斜边是最大的边, 探究边角关系。

探究二: 斜三角形边角关系实验1: 如图, 在等边中, ,对应边的边长, 验证是否成立？实验2: 如图, 在等腰中, , , 对应边的边长, 验证是否成立？实验3：借助多媒体演示, 发现随着三角形的任意变换, 的值相等。

通过这样的一些实验, 我们可以猜想。

学生活动2探究一: 在中, 设, 根据正弦函数定义可得:cbBcaA==∴sin;sincBbAa==∴sinsin又1sin=CCcBbAasinsinsin==∴探究二: 学生通过计算验证结论是否正确探究二：学生通过计算验证结论是否正确活动意图说明从已有的知识结构出发, 不让学生在思维上出现跳跃, 逐层递进, 通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点, 再对特殊的斜三角形进行验证, 过渡到一般的斜三角形边角关系的探究。

让学亲自体验数学实验探究的过程, 逐层递进, 激发学生的求知欲和好奇心, 体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。

多媒体技术的引入演示, 让学生更加直观感受到变换, 加深理解。

环节三:教的活动3证明猜想, 得到定理学的活动3分组讨论证明方法并展示活动意图说明经历猜想到证明的过程, 让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的,必须经过严密的数学推导进行证明才可以。

在这个过程中, 也进一步促进学生数学思维思维品质的提升。

7.板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程, 最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。

使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性）课题一、正弦定理定理: 例题练习。

28.2.1解直角三角形（第1课时）教学设计一、教材分析本节课内容是新人教版教材九年级下册，第二十八章《锐角三角函数》的第二节《解直角三角形》第一课时，是在学习了勾股定理、锐角三角函数的基础上进行的。

本节课既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。

教材首先从实际生活比萨斜塔入手，创设问题情境，抽象出数学问题，从而引出解直角三角形的概念，归纳解直角三角形的一般方法。

本节课的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法：数学建模和转化化归，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解直角三角形的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系。

二、教学目标（一）知识与技能1.理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；2.运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．（二）过程与方法目标通过探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”和“转化”思想。

（三）情感、态度和价值观通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识能应用于社会实践。

并让学生体验到学习是需要付出努力和劳动的。

三、学情分析九年级学生已经牢固掌握了勾股定理，也刚刚学习过锐角三角函数，但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都有待提高，因此要在本节课进行有意识的培养。

四、教学重难点教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形教学难点：选择适当的关系式解直角三角形五、教法与学法1、教学方法：利用多媒体辅助教学，通过观察，引导学生思考、讨论，通过归纳、概括等方法启发、诱导，帮助学生理解内容的本质，从而突破教学难点。

2、学习方法：观察、归纳、概括和讨论的学习方法，使他们不仅理解和掌握本节课的内容，而且进一步培养和提高他们各方面的能力，从而逐步由“学会”向“会学”迈进。