下载文档原格式
解三角形挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2018课标Ⅱ,6,5分余弦定理二倍角公式★★★2017课标Ⅱ,17,12分余弦定理及面积公式二倍角公式和同角三角函数的平方关系2.解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017课标Ⅰ,17,12分正弦定理、余弦定理和三角形面积公式两角和的余弦公式★★★2018课标Ⅲ,9,5分余弦定理和三角形面积公式特殊角的函数值2016课标Ⅰ,17,12分正弦、余弦定理和三角形面积公式两角和的正弦公式分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.破考点【考点集训】考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sinB,c=√5,且cos C=56,则a=( )A.2√2B.3C.3√2D.4答案 B2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=2√23,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π 答案 C3.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c 分别是△ABC 内角A,B,C 的对边,a=4,b=5,c=6,则sin(A +A )sin2A= .答案 1考点二 解三角形及其综合应用1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A +A +A sin A +sin A +sin A =2√33,A=π3,b=1,则△ABC的面积为( )A.√32B.√34C.12D.14答案 B2.如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°,则A 点离地面的高AB 等于( )A.10 mB.5√3 mC.5(√3-1)mD.5(√3+1)m 答案 D3.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC 中,边AB 的垂直平分线交边AC 于D,若C=π3,BC=8,BD=7,则△ABC 的面积为 . 答案 20√3或24√3炼技法 【方法集训】方法1 利用正弦、余弦定理解三角形1.(2017广东珠海调研,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=12asin C,则sin B=( ) A.√74 B.34 C.√73 D.13答案 A2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=√3c,则角C 的大小为 . 答案π33.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC 中,D 为线段BC 上一点(不能与端点重合),∠ACB=π3,AB=√7,AC=3,BD=1,则AD= . 答案 √7方法2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状1.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若tan A -tan A tan A +tan A =A -AA,则这个三角形必含有( ) A.90°的内角 B.60°的内角 C.45°的内角 D.30°的内角答案 B2.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A 的大小;(2)若sin B+sin C=√3,试判断△ABC 的形状. 解析 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得2a 2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b 2+c 2-a 2, 所以cos A=A 2+A 2-A 22AA =12,因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°. 由sin B+sin C=√3,得sin B+sin(120°-B)=√3, 所以sin B+sin 120°cos B -cos 120°sin B=√3. 所以32sin B+√32cos B=√3,即sin(B+30°)=1.因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°. 所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC 为等边三角形. 方法3 与面积、范围有关的问题1.(2018河南中原名校联考,9)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且2absinC=√3(b 2+c 2-a 2),若a=√13,c=3,则△ABC 的面积为( ) A.3 B.3√3 C.2√3 D.3√32答案 B2.(2018吉林长春一模,15)在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若(12b -sin A )cos A=sin Acos C,且a=2√3,则△ABC 面积的最大值为 . 答案 3√3过专题 【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 正弦定理和余弦定理1.(2014课标Ⅱ,4,5分,0.472)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( ) A.5 B.√5 C.2 D.1答案 B2.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= . 答案2113考点二 解三角形及其综合应用1.(2018课标Ⅲ,9,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为A 2+A 2-A 24,则C=( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C2.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2,求BC.解析 (1)在△ABD 中,由正弦定理得AA sin∠A =AAsin∠AAA . 由题设知,5sin45°=2sin∠AAA ,所以sin∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25. 所以BC=5.3.(2017课标Ⅲ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD⊥AC,求△AB D 的面积. 解析 (1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3.在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4ccos 2π3,即c 2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4. (2)解法一:由题设可得∠CAD=π2, 所以∠BAD=∠BAC -∠CAD=π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3.解法二:由余弦定理得cos C=7,在Rt△ACD 中,cos C=AAAA ,∴CD=√7,∴AD=√3,DB=CD=√7,∴S △ABD =S △ACD =12×2×√7×sin C=√7×√3√7=√3.解法三:∠BAD=π6,由余弦定理得cos C=√7,∴CD=√7,∴AD=√3,∴S △ABD =12×4×√3×sin∠DAB=√3.解法四:过B 作BE 垂直AD,交AD 的延长线于E,在△ABE中,∠EAB=2π3-π2=π6,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D 为BC 中点,∴S △ABD =12S △ABC =12×12×2×4×sin∠CAB=√3.4.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcosA)=c. (1)求C;(2)若c=√7,△ABC 的面积为3√32,求△ABC 的周长.解析 (1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2cos Csin C=sin C.(4分) 可得cos C=12,所以C=π3.(6分)(2)由已知,得12absin C=3√32.又C=π3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2abcos C=7. 故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25.∴a+b=5.(10分) 所以△ABC 的周长为5+√7.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 正弦定理与余弦定理1.(2017山东,9,5分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案 A2.(2016天津,3,5分)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A3.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案√217;3 4.(2018天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos (A -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC 中,由正弦定理A sin A =Asin A ,可得bsin A=asin B, 又由bsin A=acos (A -π6),得asin B=acos (A -π6), 即sin B=cos (A -π6),可得tan B=√3. 又因为B∈(0,π),可得B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3, 有b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=√7.由bsin A=acos (A -π6),可得sin A=√3√7.又a<c,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin Acos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314.解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos (A -π6)是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a<c 确定cos A>0是求解第(2)问的关键. 失分警示 (1)由于忽略a<c 这一条件,从而导致cos A 有两个值,最终结果出现增解; (2)由于不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错. 考点二 解三角形及其综合应用1.(2018江苏,13,5分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为 . 答案 92.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos∠BDC= . 答案√152;√1043.(2018北京,15,13分)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A; (2)求AC 边上的高.解析 (1)在△ABC 中,因为cos B=-17,所以sin B=√1-cos 2B =4√37.由正弦定理得sin A=A sin A A=√32. 由题设知π2<∠B<π,所以0<∠A<π2. 所以∠A=π3.(2)在△ABC 中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3√314,所以AC 边上的高为asin C=7×3√314=3√32.方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.4.(2017天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在△ABC 中,因为a>b,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B=13,所以b=√13. 由正弦定理A sin A =Asin A,得sin A=A sin A A =3√1313. 所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√1313.(2)由(1)及a<c,得cos A=2√1313,所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin 2A=-513.故sin (2A +π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7√226.方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号.C 组 教师专用题组考点一 正弦定理与余弦定理1.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010答案 C2.(2015天津,13,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为 . 答案 83.(2015广东,11,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=√3,sin B=12,C=π6,则b= . 答案 14.(2015重庆,13,5分)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC= . 答案 √65.(2015北京,12,5分)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2A sin A= .答案 16.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 答案 77.(2014天津,12,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sin B=3sin C,则cos A 的值为 . 答案 - 148.(2014广东,12,5分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则AA = . 答案 29.(2016浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C 的值.解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0<A-B<π, 所以,B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.(2)由cos B=23得sin B=√53, cos 2B=2cos 2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=4√59,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227.评析 本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 10.(2015安徽,16,12分)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.解析 设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B=A sin∠AAA A ==√1010, 由题设知0<B<π4,所以cos B=√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AA ·sin Asin(π-2A )=6sin A2sin A cos A=3cos A =√10.11.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos∠ADC=17. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC 的长.解析 (1)在△ADC 中,因为cos∠ADC=17, 所以sin∠ADC=4√37.所以sin∠BAD=sin(∠ADC -∠B) =sin∠ADCcos B -cos∠ADCsin B =4√37×12-17×√32=3√314.(2)在△ABD 中,由正弦定理得BD=AA ·sin∠AAA sin∠AAA =8×3√314437=3,所以BC=5.在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos B =82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.评析 本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识,考查分析推理、运算求解能力. 考点二 解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.若c 2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.9√32C.3√32D.3√3答案 C2.(2015课标Ⅰ,16,5分,0.043)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案 (√6-√2,√6+√2)3.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为 . 答案 √34.(2014江苏,14,5分)若△ABC 的内角满足sin A+√2sin B=2sin C,则cos C 的最小值是 . 答案√6-√245.(2014山东,12,5分)在△ABC 中,已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tan A,当A=π6时,△ABC 的面积为 . 答案 166.(2017北京,15,13分)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a, 所以由正弦定理得sin C=A sin A A =37×√32=3√314. (2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 得72=b 2+32-2b×3×12, 解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3.解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.7.(2016山东,16,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tan A cos A +tan Acos A . (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值.解析 (1)证明:由题意知2(sin Acos A +sin Acos A )=sin Acos A cos A +sin Acos A cos A , 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=A +A 2,所以cos C=A 2+A 2-A 22AA =A 2+A 2-(A +A 2)22AA=38(AA +A A )-14≥12,当且仅当a=b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12. 8.(2016北京,15,13分)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求∠B 的大小;(2)求√2cos A+cos C 的最大值. 解析 (1)由余弦定理及题设得cos B=A 2+A 2-A 22AA =√2ac 2AA =√22. 又因为0<∠B<π, 所以∠B=π4.(6分) (2)由(1)知∠A+∠C=3π4.√2cos A+cos C=√2cos A+cos (3π4-A )=√2cos A-√22cos A+√22sin A =√22cos A+√22sin A =cos (A -π4).(11分)因为0<∠A<3π4,所以当∠A=π4时,√2cos A+cos C 取得最大值1.(13分)9.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin∠A sin∠A;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长. 解析 (1)S △ABD =12AB·ADsin∠BAD, S △ADC =12AC·ADsin∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin∠A sin∠A =AA AA =12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos∠ADB①, AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos∠ADC②. ①+2×②得AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.10.(2015陕西,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,√3b)与n=(cos A,sin B)平行. (1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.解析 (1)因为m∥n,所以asin B-√3bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0, 又sin B≠0,从而tan A=√3, 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 及a=√7,b=2,A=π3, 得7=4+c 2-2c,即c 2-2c-3=0, 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bcsin A=3√32.解法二:由正弦定理,得√7sinπ3=2sin A ,从而sin B=√217, 又由a>b,知A>B,所以cos B=2√77.故sin C=sin(A+B)=sin (A +π3)=sin Bcos π3+cos Bsin π3=3√2114.所以△ABC 的面积为12absin C=3√32.11.(2015湖南,17,12分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B 为钝角. (1)证明:B-A=π2;(2)求sin A+sin C 的取值范围.解析 (1)证明:由a=btan A 及正弦定理,得sin A cos A =A A =sin Asin A ,所以sin B=cos A,即sin B=sin (π2+A ).又B 为钝角,因此π2+A∈(π2,π),故B=π2+A,即B-A=π2. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2A +π2)=π2-2A>0,所以A∈(0,π4).于是sin A+sin C=sin A+sin (π2-2A )=sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1 =-2(sin A -14)2+98.因为0<A<π4,所以0<sin A<√22,因此√22<-2(sin A -14)2+98≤98.由此可知sin A+sin C 的取值范围是(√22,98].12.(2015浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知A=π4,b 2-a 2=12c 2.(1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.解析 (1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C,所以-cos 2B=sin 2C.又由A=π4,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=2√55,cos C=√55.又因为sin B=sin(A+C)=sin (π4+C ), 所以sin B=3√1010.由正弦定理得c=2√23b,又因为A=π4,12bcsin A=3,所以bc=6√2,故b=3.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 13.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos∠CAD 的值; (2)若cos∠BAD=-√714,sin∠CBA=√216,求BC 的长.解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD=AA 2+A A 2-C A 22AA ·AA ==2√77. (2)设∠BAC=α,则α=∠BAD -∠CAD. 因为cos∠CAD=2√77,cos∠BAD=-√714,所以sin∠CAD=√1-cos 2∠CAD =√1-(2√77)2=√217,sin∠BAD=√1-cos 2∠BAD =√1-(-√714)2=3√2114.于是sin α=sin(∠BAD -∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD -cos∠BADsin∠CAD=3√2114×2√77-(-√714)×√217=√32. 在△ABC 中,由正弦定理,得AA sin A =AAsin∠AAA , 故BC=AA ·sin A sin∠AAA =√7×√32√216=3.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边,若2sin C=sin A+sin B,cos C=35且S △ABC =4,则c=( ) A.4√63B.4C.2√63D.5答案 A2.(2018山东菏泽3月联考,8)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acos B-c-A2=0,a 2=72bc,b>c,则AA =( ) A.32 B.2 C.3 D.52 答案 B3.(2018江西赣州2月联考,7)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足2acos A=bcos C+ccos B,且b+c=4,则a 的最小值为( ) A.2 B.2√2 C.3 D.2√3 答案 A4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acos B+√3asin B=b+c,b=1,点D 是△ABC 的重心,且AD=√73,则△ABC 的外接圆的半径为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A5.(2018河南郑州一模,11)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC 的面积S=√3c,则ab 的最小值为( ) A.28B.36C.48D.56答案 C6.(2018山东济宁二模,12)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcosA=23c,则tan(A-B)的最大值为( ) A.2√55B.√55C.√33 D.√3答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019届安徽黄山11月八校联考,15)在△ABC 中,∠B=60°,b=√3,则当c+2a 取最大值时,sin C= . 答案2√778.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,cos A=√55,cos B=√1010,c=√2,则a= .答案4√55三、解答题(共45分)9.(2019届广东佛山顺德第二次质检,17)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,2bsin Ccos A+asin A=2csin B. (1)证明:△ABC 为等腰三角形;(2)若D 为BC 边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b 的值. 解析 (1)证明:由正弦定理得2bccos A+a 2=2cb, 由余弦定理得2bc·A 2+A 2-A 22AA+a 2=2bc,化简得b 2+c 2=2bc,所以(b-c)2=0,即b=c,故△ABC 为等腰三角形.(2)如图,由已知得BD=2,DC=1, ∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,∴AA 2+B A 2-A A 22AA ·AA =-AA 2+C A 2-A A 22AA ·AA ,即12+22-A 22×2×1=-12+12-A 22×1×1,得2b 2+c 2=9,由(1)知b=c,∴b=√3.10.(2019届湖北、山东重点中学一联,17)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 所对的边,已知acos A=R,其中R 为△ABC 外接圆的半径,S 为△ABC 的面积,a 2+c 2-b 2=4√33S.(1)求sin C;(2)若a-b=√2-√3,求△ABC 的周长.解析 (1)由正弦定理得a=2Rsin A,由已知得2Rsin Acos A=R,∴sin 2A=1.又∵0<2A<2π,∴2A=π2,则A=π4. S=12acsin B,∴a 2+c 2-b 2=4√33·12·acsin B,由余弦定理得2accos B=2√33acsin B,∴tan B=√3.又0<B<π,∴B=π3.∴sin C=sin(A+B)=sin (π4+π3)=√2+√64. (2)由正弦定理得A A =sin A sin A =√23,∵a -b=√2-√3,∴{A =√2,A =√3,∴c=√2√22·√2+√64=√2+√62, ∴△ABC 的周长为a+b+c=3√22+√3+√62.方法总结 本题主要考查正弦定理和余弦定理的边角互化与特殊角的三角函数值,属于简单题.对于余弦定理,一定要熟记两种形式:(1)a 2=b 2+c2-2bccos A;(2)cos A=A 2+A 2-A 22AA .11.(2019届清华大学能力诊断测试,17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知A 2+A 2-A 2AA =2sin A -sin Asin A. (1)求角C 的值;(2)若a+b=4,当边c 取最小值时,求△ABC 的面积. 解析 (1)由条件和正弦定理可得A 2+A 2-A 2A=2b-a,整理得b 2+a 2-c 2=ab,由余弦定理得cosC=12.又∵C 是三角形的内角,∴C=π3.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2-ab. ∵a+b=4,∴c 2=a 2+b 2-ab=(a+b)2-3ab=16-3ab, ∴c 2=16-3ab≥16-3·(A +A 2)2=4(当且仅当a=b=2时等号成立).∴c 的最小值为2,故S △ABC =12absin C=√3.12.(2018河南顶级名校联考,17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a 2+c 2+√2ac=b 2,√5sin A+cos B=0. (1)求cos C;(2)若△ABC 的面积S=52,求b.解析 (1)由a 2+c 2+√2ac=b 2,得a 2+c 2-b 2=-√2ac,∴cos B=A 2+A 2-A 22AA =-√2ac 2AA =-√22.∵0<B<π,∴B=3π4.又∵√5sin A+cos B=0,∴sin A=-√55cos B=-√55×(-√22)=√1010,又0<A<π4,∴cos A=√1-sin 2A =√1-(√1010)2=3√1010.∴cos C=cos (π4-A )=√22cos A+√22sin A=√22×3√1010+√22×√1010=2√55. (2)由(1)可得sin C=√1-cos 2C =√1-(2√55)2=√55.由S=12acsin B 及题设条件,得12acsin 3π4=52,∴ac=5√2.由A sin A =A sin A =A sin A ,得√1010=√22=√55,∴b 2=5√22ac=5√22×5√2=25,∴b=5.。
五年高考三年模拟数学必修五答案【篇一：05 高中数学必修5课后习题答案】=txt>第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（p4） 1、（1）a?14，b?19，b?105?；（2）a?18cm，b?15cm，c?75?. 2、（1）a?65?，c?85?，c?22；或a?115?，c?35?，c?13；（2）b?41?，a?24?，a?24. 练习（p8） 1、（1）a?39.6?,b?58.2?,c?4.2 cm；（2）b?55.8?,c?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）a?43.5?,b?100.3?,c?36.2?；（2）a?24.7?,b?44.9?,c?110.4?. 习题1.1 a组（p10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,b?80?；（2）a?38cm,b?56cm,c?90? 2、（1）a?114?,b?43?,a?35cm;a?20?,b?137?,a?13cm （2）b?35?,c?85?,c?17cm；（3）a?97?,b?58?,a?47cm;a?33?,b?122?,a?26cm； 3、（1）a?49?,b?24?,c?62cm；（2）a?59?,c?55?,b?62cm；（3）b?36?,c?38?,a?62cm； 4、（1）a?36?,b?40?,c?104?；（2）a?48?,b?93?,c?39?；习题1.1 a组（p10）1、证明：如图1，设?abc的外接圆的半径是r，①当?abc时直角三角形时，?c?90?时，?abc的外接圆的圆心o在rt?abc的斜边ab上.bcac在rt?abc中，?sina，?sinbababab即?sina，?sinb 2r2ra?2rsinab?2rsinb所以，又c?2r?2r?sin90??2rsinc （第1题图1）所以a?2rsina, b?2rsinb, c?2rsinc②当?abc时锐角三角形时，它的外接圆的圆心o在三角形内（图2），作过o、b的直径a1b，连接ac， 1?90?，?bac??bac则?a1bc直角三角形，?acb. 11在rt?a1bc中，即bc?sin?bac1， a1ba?sin?bac?sina， 12r所以a?2rsina，同理：b?2rsinb，c?2rsinc③当?abc时钝角三角形时，不妨假设?a为钝角，它的外接圆的圆心o在?abc外（图3）（第1题图2）作过o、b的直径a1b，连接ac. 1?90?，?bac?180???则?a1bc直角三角形，且?acb11在rt?a1bc中，bc?2rsin?bac1，即a?2rsin(180???bac)即a?2rsina同理：b?2rsinb，c?2rsinc综上，对任意三角形?abc，如果它的外接圆半径等于r，则a?2rsina, b?2rsinb, c?2rsinc2、因为acosa?bcosb，所以sinacosa?sinbcosb，即sin2a?sin2b 因为0?2a,2b?2?，所以2a?2b，或2a???2b，或2a???2??2b. 即a?b或a?b?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2a?sin2b后，也可以化为sin2a?sin2b?0 所以cos(a?b)sin(a?b)?0a?b??2.?2，或a?b?0即a?b??2，或a?b，得到问题的结论.1．2应用举例练习（p13）1、在?abs中，ab?32.2?0.5?16.1 n mile，?abs?115?，asab?根据正弦定理，sin?abssin(65??20?)得as?sin(65??20?)?ab?sin?abs16.1?sin115∴s到直线ab的距离是d?as?sin20??16.1?sin115sin20??7.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（p15）1、在?abp中，?abp?180?????，?bpa?180??(???)??abp?180??(???)?(180?????)????在?abp中，根据正弦定理，apab?sin?abpsin?apbapa?sin(180?????)sin(???)a?sin(???)ap?sin(???)asin?sin(???)所以，山高为h?apsin??sin(???)2、在?abc中，ac?65.3m，?bac?????25?25??17?38??7?47? ?abc?90????90??25?25??64?35?acbc?sin?abcsin?bacac?sin?bac65.3?sin7?47?bc???9.8m?sin?abcsin64?35井架的高约9.8m.根据正弦定理，3、山的高度为200?sin38?sin29??382msin9?练习（p16）1、约63.77?. 练习（p18）1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosc?ccosb?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2????a?左边【类似可以证明另外两个等式】 2a2a2a习题1.2 a组（p19）1、在?abc中，bc?35?0.5?17.5 n mile，?abc?148??126??22? ?acb?78??(180??148?)?110?，?bac?180??110??22??48?acbc?sin?abcsin?bacbc?sin?abc17.5?sin22?ac???8.82 n milesin?bacsin48?货轮到达c点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?bcd中，?bcd?30??10??40?，?bdc?180???adb?180??45??10??12 5?1cd?30??10 n mile3cdbd根据正弦定理， ?sin?cbdsin?bcd10bd?sin?(180??40??125?)sin40?根据正弦定理，10?sin40?sin15?在?abd中，?adb?45??10??55?，?bad?180??60??10??110? ?abd?180??110??55??15? adbdabadbdab根据正弦定理，，即 ????sin?abdsin?badsin?adbsin15?sin110?sin55?bd?10?sin40??sin15?bd?sin15?10?sin40?ad????6.84 n mile sin110?sin110?sin70?bd?sin55?10?sin40??sin55???21.65 n milesin110?sin15??sin70?如果一切正常，此船从c开始到b所需要的时间为：ad?ab6.84?21.6520??60?10?30??60?86.98 min3030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达b岛. 4、约5821.71 m5、在?abd中，ab?700 km，?acb?180??21??35??124?700acbc根据正弦定理， ??sin124?sin35?sin21?700?sin35?700?sin21?，bc? ac?sin124?sin124?ab?700?sin35?700?sin21???786.89 kmsin124?sin124?所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离a处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离b处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx?根据正弦定理，sin(81??18.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan81??14721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81??sin(81??18.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?abt中，?atb?21.4??18.6??2.8?，?abt?90??18.6?，ab?15 mabat15?cos18.6?根据正弦定理，，即at? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为at?sin21.4???sin21.4??106.19 msin2.8?326?189、ae??97.8 km 60在?acd中，根据余弦定理：ac?bc?ac101.235（第9题）根据正弦定理，adac?sin?acdsin?adcad?sin?adc57?sin66?sin?acd???0.5144ac101.235?acd?30.96??acb?133??30.96??102.04?在?abc中，根据余弦定理：ab?245.93 ab2?ac2?bc2245.932?101.2352?2042cos?bac???0.58472?ab?ac2?245.93?101.235?bac?54.21?在?ace中，根据余弦定理：ce?90.75ae2?ec2?ac297.82?90.752?101.2352cos?aec???0.42542?ae?ec2?97.8?90.75?aec?64.82?180???aec?(180??75?)?75??64.82??10.18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km. 10、如图，在?abc中，根据余弦定理：ac??37515.44 km ab2?ac2?bc264002?37515.442?422002?bac????0.69242?ab?ac2?6400?37515.44?bac?133.82?，?bac?90??43.82? 所以，仰角为43.82?1111、（1）s?acsinb??28?33?sin45??326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c???sinc??sin66.5?sinasincsinasin32.8?11sin66.5?s?acsinb??362??sin(32.8??66.5?)?1082.58 cm2 22sin32.8?（3）约为1597.94 cm2122?12、nrsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosb? 2acaa2所以ma?()2?c2?2??c?cosb 22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? b22ac11（第13题） ?()2[a2?4c2?2(a2?c2?b2)]?()2[2(b2?c2)?a2]22所以ma，同理mb?，mcb2?c2?a2c2?a2?b214、根据余弦定理的推论，cosa?，cosb?2bc2ca所以，左边?c(acosb?bcosa)c2?a2?b2b2?c2?a2?c(a??b?)2ca2bcc2?a2?b2b2?c2?a21?c(?)?(2a2?2b2)?右边2c2c2习题1.2 b组（p20）abasinb，所以b? ?sinasinbsina11asinb1sinbsinc代入三角形面积公式得s?absinc?a? ?sinc?a222sina2sinaa2?b2?c22、（1）根据余弦定理的推论：cosc?2ab1、根据正弦定理：由同角三角函数之间的关系，sinc?【篇二：五年高考三年模拟(数学)-系列4】class=txt>2009年高考题一、填空题1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线??x?1?2t（t为参数）与直线?y?2?3t4x?ky?1垂直，则常数k?x?1?2t337【解析】将?化为普通方程为y??x?,斜率k1??,222?y?2?3t当k?0时,直线4x?ky?1的斜率k2??当k?0时,直线y??综上可知,k??6. 答案?62、(09广东理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点a、b、c是圆o上的点，且ab=4，4?3??4?,由k1k2??????????1得k??6; k?2??k?37x?与直线4x?1不垂直. 22?acb?30o，则圆o的面积等于.图3【解析】连结ao,ob,因为 ?acb?30,所以?aob?60,?aob为等边三角形,故圆2o的半径r?oa?ab?4,圆o的面积s??r?16?.oo答案 16? 3、(天津理?13) 设直线l1的参数方程为?x?1?t（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4y?1?3t?则l1与l2的距离为_______【解析】由题直线l1的普通方程为3x?y?2?0，故它与与l2的距离为答案3 5|4?2|3。
第四章 三角函数及三角恒等变换第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数1)4(cos 22--=πx y 是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数解析 因为22cos ()1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭为奇函数,22T ππ==,所以选A. 答案 A2.（2009全国卷Ⅰ理）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A .6π B.4π C.3π D. 2π解析:函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 423k πφπ∴⋅+=42()3k k Z πφπ∴=-⋅∈由此易得min ||3πφ=.故选C 答案 C3.（2009全国卷Ⅰ理）若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
解析:令tan ,x t =142x t ππ<<∴>,4432224222tan 2222tan 2tan 81111111tan 1()244x t y x x x t t t t ∴=====≤=-------答案4..（2009浙江理）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案：D5..（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度． 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案 D6.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选B.答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x =B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选A.答案:A【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.8（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈D.2[,],63k k k Z ππππ++∈解析 ()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k z ππππ-≤≤+∈，故选C答案 C9..（2009安徽卷文）设函数，其中，则导数的取值范围是A. B. C.D.解析 21(1)sin x f x xθθ='=⋅⋅sin 2sin()3πθθθ==+50,sin()(1)21232f πθπθ⎤⎡⎤⎤'∈∴+∈∴∈⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦，选D10.（2009江西卷文）函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π答案：A解析 由()(1)cos cos 2sin()6f x x x x x x π==+=+可得最小正周期为2π,故选A.11.（2009江西卷理）若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为A ．1B ．2C 1D 2 答案：B解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x =2cos()3x π-当3x π=是，函数取得最大值为2. 故选B12.(2009湖北卷理)函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π答案 B解析 直接用代入法检验比较简单.或者设(,)a x y ''=v，根据定义cos[2()]26y y x x π''-=-+-，根据y 是奇函数，对应求出x '，y '13.（2009全国卷Ⅱ理）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．16B.14C.13D.12解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-， 又min102ωω>∴=.故选D 答案 D14..（2009福建卷理）函数()sin cos f x x x =最小值是 ( ) A ．-1 B. 12- C. 12D.1 答案 B解析 ∵1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-.故选B 15.（2009辽宁卷理）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =( )A.23-B. 23C.－ 12D. 12解析 由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23答案 B16.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 A.6π B.4π C. 3π D. 2π 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。
第四章 三角函数及三角恒等变换第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009海南宁夏理，5).有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是A ．1p ，4p B.2p ，4p C.1p ，3p D.2p ，4p 答案 A2..（2009辽宁理，8）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ）A.23-B. 23C.- 12D.12答案 C3.（2009辽宁文，8）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A.43-B.54C.34-D.45答案 D4.（2009全国I 文，1）sin 585°的值为A. 2-B.2C.2-D. 2答案 A5.（2009全国I 文，4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= （ ） A.711 B.711- C. 713 D. 713- 答案 B6.（2009全国II 文，4） 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = A. 1213 B.513 C.513- D. 1213-解析：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 7.（2009全国II 文，9）若将函数)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为（ ） A. 61 B.41 C.31D.21答案 D8.（2009北京文）“6πα=”是“1cos 22α=”的 A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当6πα=时，1cos 2cos32πα==，反之，当1cos 22α=时，()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈，或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.9.（2009北京理）“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当2()6k k Z παπ=+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ 反之，当1cos 22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈， 或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.10.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = A. 1213 B. 513 C. 513- D. 1213-答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125-知A 为钝角，cosA<0排除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和选D 11.（2009四川卷文）已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C .函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D . 函数)(x f 是奇函数 答案 D解析∵x x x f cos )2sin()(-=-=π，∴A 、B 、C 均正确，故错误的是D【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。
三角恒等变换挖命题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向 关联考点 三角函数的化简和求值(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)2018课标Ⅲ,4,5分三角函数 的求值 二倍角公式★★★2015课标Ⅰ,2,5分三角函数的 求值和化简两角和的正弦 公式、诱导公式2016课标Ⅱ,9,5分三角函数的求值和化简二倍角的余弦 公式和诱导公式分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.破考点 【考点集训】考点 三角函数的化简和求值1.(2018某某第一次模拟,3)已知tan α=3,则sin2α1+cos2α=( ) A.-3B.-13C.13D.3答案 D2.(2017某某冀州第二次阶段性考试,8)(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( )A.√2B.√3C.2D.√5答案 C3.函数y=cos 2(α-π6)+sin 2(α+π6)-1是 ( )A.周期为π3的函数B.周期为π2的函数 C.周期为π的函数 D.周期为2π的函数 答案 C4.(2018某某三湘名校教育联盟第三次联考,13)已知cos (π6-α)=14,则cos (2π3+2α)=.答案 78炼技法 【方法集训】方法 三角函数化简、求值的解题方法1.(2018某某某某3月模拟,4)√3cos 15°-4sin 215°cos 15°=( ) A.12 B.√22 C.1 D.√2 答案 D2.(2018某某江淮十校第三次(4月)联考,7)已知tan (π4-α)=43,则sin 2(π4+α)=( )A.725B.925C.1625D.2425 答案 B3.(2017某某百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tan α+tan π12=2tan αtan π12-2,则sin (α+5π6)=( ) A.-√1010B.√1010C.-3√1010D.3√1010答案 C4.(2018某某八校联考,10)已知3π≤θ≤4π,且√1+cos α2+√1-cos α2=√62,则θ=( )A.10π3或11π3B.37π12或47π12C.13π4或15π4D.19π6或23π6答案 D过专题 【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α=13,则cos 2α=( )A.89B.79C.-79D.-89答案 B2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( ) A.725 B.15 C.-15 D.-725 答案 D3.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32B.√32C.-12D.12答案 DB 组 自主命题·省(区、市)卷题组1.(2015某某,9,5分)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A.1B.2C.3D.4 答案 C2.(2017某某,5,5分)若tan (α-π4)=16,则tan α=.答案 753.(2018某某,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tan α=43,tan α=sin αcos α,所以sin α=43cos α. 因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,所以cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-√55,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=43,所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247. 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+α)1+tan2αtan(α+α)=- 211.C 组 教师专用题组1.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.737)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sin αcos α,则( )A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2 答案 C2.(2016某某,11,5分)cos 2π8-sin 2π8=. 答案√223.(2016某某,10,6分)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=. 答案 √2;14.(2015某某,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是. 答案√625.(2015某某,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为. 答案 36.(2014课标Ⅱ,14,5分,0.603)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ·cos(x+φ)的最大值为. 答案 17.(2014某某,5,5分)已知函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是. 答案π68.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.271)设θ为第二象限角,若tan (α+π4)=12,则sin θ+cos θ=. 答案 -√1059.(2016某某,15,14分)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cos (α-π6)的值. 解析 (1)因为cos B=45,0<B<π, 所以sin B=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理知ααsin α=ααsin α, 所以AB=αα·sin αsin α=6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π, 所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos (α+π4)=-cos Bcos π4+sin B·sin π4, 又cos B=45,sin B=35,故cos A=-45×√22+35×√22=-√210.因为0<A<π,所以sin A=√1-cos 2A =7√210.因此,cos (α-π6)=cos Acos π6+sin Asin π6=-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.评析 本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解能力.10.(2014某某,16,12分)已知函数f(x)=Asin (α+π4),x∈R,且f (5π12)=32. (1)求A 的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈(0,π2),求f (3π4-θ).解析 (1)f (5π12)=Asin (5π12+π4)=32,∴A·√32=32,A=√3. (2)f(θ)+f(-θ)=√3sin (α+π4)+√3sin (-α+π4)=32, ∴√3[√22(sin α+cos α)+√22(-sin α+cos α)]=32,∴√6cos θ=32,cos θ=√64,又 θ∈(0,π2),∴sin θ=√1-cos 2θ=√104, ∴f (34π-α)=√3sin(π-θ)=√3sin θ=√304. 11.(2014某某,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈(-π2,π2).(1)当a=√2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f (π2)=0, f(π)=1,求a,θ的值.解析 (1)当a=√2,θ=π4时, f(x)=sin (α+π4)+ √2cos (α+π2)=√22(sin x+cos x)-√2sin x=√22cos x-√22sin x=sin (π4-x ), 由x∈[0,π],知π4-x∈[-3π4,π4].故f(x)在[0,π]上的最大值为√22,最小值为-1. (2)由{α(π2)=0,α(π)=1得{cos α(1-2αsin α)=0,2αsin 2θ-sin α-α=1,由θ∈(-π2,π2)知cos θ≠0,解得{α=-1,α=-π6.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届某某高三第一次调研测试,5)已知tan(α+β)=25,tan (α-π4)=14,则tan (α+π4)的值为( ) A.16 B.2213 C.322 D.1318 答案 C2.(2019届某某某某第一中学高三第二次质检,6)已知函数f(x)={sin(α+α),α≤0,cos(α+α),α>0是偶函数,则下列结论可能成立的是( ) A.α=π4,β=-π4B.α=2π3,β=π6C.α=π3,β=π6 D .α=5π6,β=2π3答案 C3.(2019届某某某某高三第一次十校联考,8)已知cos (α-π12)=35,计算sin (5π3-2α)的值为( ) A.-725B.725C.2425D.-2425答案 B4.(2019届某某某某11月“八校联考”,4)已知sin (π6+α)=cos (π6-α),则cos 2α=( ) A.1 B.12 C.0 D.-1答案 C5.(2019届某某某某实验,某某一中等六校第一次联考,8)已知A 是函数f(x)=sin (2 018α+π6)+cos (2 018α-π3)的最大值,若存在实数x 1,x 2对任意实数x 总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立,则A·|x 1-x 2|的最小值为( ) A.π2 018 B.π1 009 C.2π1 009 D.π4 036 答案 B6.(2018某某某某二模,6)已知sin α=√1010,α∈(0,π2),则cos (2α+π6)的值为( )A.4√3-310B.4√3+310C.4-3√310D.3√3-410答案 A7.(2018某某揭阳二模,5)已知f(x)=sin x-cos x,实数α满足f '(α)=3f(α),则tan 2α=( ) A.-43B.-34C.34D.43 答案 A8.(2017某某新联考四模,6)1-√3tan10°=( )A.14B.12C.√32 D.1 答案 A9.(2018某某、某某两省重点中学4月联考,8)已知atan α+b=(a -btan α)tan β,且α+π6与β的终边相同,则αα的值为( ) A.√23B.√33C.2√23D.√34答案 B10.(2017某某某某二模,9)若tan π12cos5π12=sin5π12-msin π12,则实数m 的值为( )A.2√3B.√3C.2D.3答案 A二、填空题(共5分)11.(2018某某G10教育联盟4月联考,16)已知cos (π2+α)=3sin (α+7π6),则tan (π12+α)=. 答案 2√3-4 三、解答题(共10分)12.(2018某某桓台第二中学4月月考,16)已知函数f(x)=(α+2cos 2α2)cos(x+θ)为奇函数,且f (π2)=0,其中a∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值;(2)若α∈(π2,π), f (α2+π8)+25cos (α+π4)cos 2α=0,求cos α-sin α的值. 解析 (1)因为f(x)=(α+2cos 2α2)cos(x+θ)是奇函数,所以(α+2cos 2α2)cos(x+θ)=-(α+2cos 2α2)cos(-x+θ),化简、整理得,cos xcos θ=0,则有cos θ=0, 由θ∈(0,π),得θ=π2,所以f(x)=-sin x·(α+2cos 2α2).由f (π2)=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知f(x)=-12sin 2x,f (α2+π8)+25cos (α+π4)cos 2α=0⇒sin (α+π4)=45cos (α+π4)cos 2α, 因为cos 2α=sin (2α+π2)=sin [2(α+π4)]=2sin (α+π4)cos (α+π4),所以sin (α+π4)=85cos 2(α+π4)sin (α+π4).又α∈(π2,π),所以sin (α+π4)=0或cos 2(α+π4)=58.①由sin (α+π4)=0⇒α=3π4,所以cos α-sin α=cos 3π4-sin 3π4=-√2;②由cos 2(α+π4)=58,3π4<α+π4<5π4,得cos (α+π4)=-√52√2⇒√2(cos α-sin α)=-√52√2⇒cos α-sin α=-√52.综上,cos α-sin α=-√2或cos α-sin α=- √52.。
