【高考数学真题解三角形】专题5 四边形突破-教师版

．题源探究·黄金母题【例】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北°的方向上。

行驶后到达处，测得此山顶在西偏北°的方向上，仰角为°，求此山的高.【解析】在△中，错误！未指定书签。

，错误！未指定书签。

，根据正弦定理错误！未指定书签。

得，错误！未指定书签。

错误！未指定书签。

≈（）,∴错误！未指定书签。

错误！未指定书签。

≈（）.答：山的高约为米.精彩解读【试题来源】人教版版必修第页例．【母题评析】本题考查正弦定理在测量的高问题中的应用，是一道典型的正余弦定理应用题．【思路方法】先根据图形和已知条件得到∠，∠，∠的度数和的长度，再利用正弦定理求出的长度，利用解直角三角形即可求出山高． 【变式】一架飞机在海拔的高度飞行，在高空测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是°和°，计算这个海岛的宽度.（人教版版必修第页习题组第题)．考场精彩·真题回放【例】【年高考湖北理科数学第题】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到错误！未指定书签。

处时测得公路北侧一山顶在西偏北错误！未指定书签。

的方向上，行驶后到达错误！未指定书签。

处，测得此山顶在西偏北错误！未指定书签。

的方向上，仰角为错误！未指定书签。

，则此山的高度错误！未指定书签。

.【解析】依题意，错误！未指定书签。

，错误！未指定书签。

，在错误！未指定书签。

中，由错误！未指定书签。

， 所以错误！未指定书签。

，因为错误！未指定书签。

，由正弦定理可得错误！未指定书签。

，即错误！未指定书签。

，在错误！未指定书签。

中，因为错误！未指定书签。

，错误！未指定书签。

，，所以错误！未指定书签。

.所以错误！未指定书签。

【例】【全国课标】如图，为测量山高错误！未指定书签。

，选择错误！未指定书签。

和另一座山的山顶错误！未指定书签。

为测量观测点.从错误！未指定书签。

点测得错误！未指定书签。

(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破5三角函数与解三角形(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破5三角函数与解三角形(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破5三角函数与解三角形(word版可编辑修改)的全部内容。

2019—2020年高考数学小题高分突破5 三角函数与解三角形1．已知cos x＝34，则cos 2x等于（）A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!答案D解析cos 2x＝2cos2x－1＝2×错误!2－1＝错误!.故选D。

2．已知sin α＝1010，α∈错误!，则cos错误!的值为( ）A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!答案A解析∵sin α＝错误!，α∈错误!，∴cos α＝错误!＝错误!,∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×错误!×错误!＝错误!，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×错误!2＝错误!.∴cos错误!＝错误!cos 2α－错误!sin 2α＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.3．将周期为π的函数f（x）＝错误!sin错误!＋cos错误!（ω〉0)的图象向右平移错误!个单位长度后,所得的函数解析式为( )A．y＝2sin错误!B．y＝2cos错误!C．y＝2sin 2x D．y＝2cos错误!答案A解析由题意得f(x)＝2sin错误!＝2sin错误!，因为函数的周期是π,所以错误!＝π,所以ω＝2.所以f（x)＝2sin错误!。

解三角形专题三角形共有9个要素，三个顶点，三条边，三个角础基⎣⎦⎡⎤径半圆接外=+=−+=−+==+−+−====∆∆B A C B A C B A C S ac B ac B b a c ac B a c b B A C k R ABC b a c ABC 04sin sin ,cos cos ,tan tan 203sin 1202cos ,=2cos sin sin sin 012222222)()()()()()()()(强加][==−+++−A B CC B C B C B C tan tan tan n tan tan 1tan tan )()()(证径半圆切内为++++===++⎝⎭⎪===⋅=⎛⎫=+−=∆∆∆∆A B A B C A B C S a b c A B C S a b c r r R R R S S ac B ac abc b abc B A C A C B a b c A B C ABC ABC ABC ABC :tan tan ta 08tan tan tan tan tan tan ;8sin sin sin ;12;14222407sin ;1106sin sin sin 2sin sin cos ;05::sin :sin :sin ;3222222)()()()()()(殊特⎣⎦⎡⎤∴=−=−−B A C A C B A C 222sin cos .222cos cos cos ;证列数差等成⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪=++−=⎛⎫⎛⎫+−+−+==+⇔=⇔=+−=+⇔=+⇔=−∆⋅==+−RHS A C A C A C A C A C LHS B B B A C A C A C A C b a c B A C B A C ABC a b c BA BC ac B a c b 22222sin sin sin 222sincos ;:2sin sin sin 222232cos cos tan tan 12222sin sin sin 2sincos 10,,,209cos 1222)()()(2024届高考数学专项解三角形清北班（解析版）[]:问题类型()()()()()01:02:03:04:;05:边长,角度数值计算问题;三角形形状判断问题;边长,角度等范围最值问题;实际问题中高度,长度等表达式问题三角形唯一性等问题；第001题 正弦定理、三角恒等变换、三角函数、最值范围问题在ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3A π=，2a =.()1求ABC ∆的周长的取值范围；()2求22b c +的取值范围.类型题:在ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .()1已知︒=120A ，求C B sin sin +的最大值；()2已知3=a ，︒=60A ，求bc 的最大值；()3已知2222c b a =+，求C cos 的最小值；()4已知C B A sin 2sin 2sin =+，求C cos 的最小值.第002题 边长与数列，内角与向量，函数与方程已知在ABC ∆中，三边长,,a b c 依次成等差数列．()1若sin :sin 3:5A B =，求三个内角中最大角的度数； 2若1b =且()22BA BC b a c ⋅=−−，求ABC ∆的面积．003题 倍角公式、余弦和角公式、诱导公式、面积公式、余弦定理24sin 4sin sin 22A B A B −+=. ()1求角C 的大小；()2已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值．第004题 正弦定理、余弦定理、函数方程与不等式在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,角B 为锐角，且22sin sin sin A C B =，则a c b+的取值范围为（ ）(1....2A B C D ⎛ ⎝⎭⎝⎭第005题 2018届高三广东省惠州市第二次调研考试文数17题已知ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos 0C a C c A b ++=. ()1求角C 的大小；()2若2b =，c =，求ABC ∆的面积.第006题 2018届高三上期广雅中学、东华中学、河南名校联考理(文)数17题在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知cos sin 122C A a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1求C ；()2若c =ABC ∆的面积S 取到最大值时a 的值.第007题 2018届高三广东省华南师范大学附属中学上期第一次月考理数17题已知函数()222cos 1,f x x x x R =−−∈.()1求函数()f x 的最小正周期和最小值;()2在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()0c f C ==,sin 2sin B A =，求,a b 的值.第008题 2018届高三山西省太原五中10月月考文数18题在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin cos a C c A ==. ()1求c ；()2若ABC ∆的面积为92，求a .第009题 2018届高三山西省太原五中10月月考理数19题 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2A C =. ()1若a =，求角C 的大小；()2若,,,C B A c b a <<是三个连续的正整数，求ABC ∆的面积.第010题 2018届高三四川省绵阳市第一次诊断性测试文数19题已知ABC ∆中，23B π∠=，D 是边BC 上一点，且AD =2BD =.()1求ADC ∠的大小；()2若AC =ABC ∆的面积.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知18,2,cos 4a b c A =−==−，则ABC ∆的面积为_________.第012题 2018届高三河南省郑州一中上期第二次月考理数16题 在斜三角形ABC 中，D 为BC 的中点，且90BAD C ∠+∠=︒，则B C ∠∠的值是_________.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2,3c C π==.()1当()2sin 2sin 2sin A B C C ++=时,求ABC ∆的面积； ()2求ABC ∆周长的最大值.第014题 2018届高三江苏省苏州市上学期期中考试数学12题 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A =+且CD =ABC ∆面积的最大值是_________.第015题 2018届高三河北省衡水中学上学期第三次月考理数11题 ABC ∆中,若24ac b =,sin sin sin A C p B +=,且B 为锐角,则p 的取值范围是（ ）((....22A B C D ⎛⎛ ⎝⎝第016题 2018届高三河南省中原名校第四次质检理数10题在ABC ∆中,222a c b +=cos A C +的最大值是（ ）.1.2.3.4A B C D第017题 2018届高三湖南省长郡中学上期月考四文数11题∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +−=，2,a c ==C =（ ） 5....6643A B C D ππππ第018题 2018届高三河南省天一大联考三理数18题已知∆ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足()222tan a c b B +−=)222b c a +−.()1求角A ；()2若ABC ∆的面积为32，求(22cos cos bc A ac B a b −+−的值.第019题 2018届高三四川省达州市一诊理数16题在锐角ABC ∆中，A B C 、、成等差数列，AC =BA BC ⋅的取值范围是 _________.第020题 2017届高三江苏省连云港市三调数学14题 已知∆ABC 三个内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ,且3C π=,2c =,当AC AB ⋅取得最大值时b的值为第022题 2018届高三河南省八市12月联考高二文数20题在锐角ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin 2cos 0.3C A B ++= ()1求角C 的值;()2若ABC ∆的外接圆的半径为求ABC ∆的面积的最大值.第023题已知锐角三角形ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222tan A c b a =+−.()1求角A 的大小; ()2当a =,求22c b +的最大值,并判断此时得形状.第024题 2018届高三河南省中原名校第六次质量考评理数16题在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,设ABC ∆的面积为S ,若22232a b c =+,则222Sb c +的最大值为_________.第025题 2018届高三黑龙江省哈尔滨市第三中学二模文数9题在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2,cos cos cos 0B A A B C =>,则sin a Ab的取值范围是（ ）11....22A B C D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭第026题 2018届高三安徽省皖北协作区联考理数16题在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知1,2cos b c b a B =+=,当ABC ∆的面积最大时,cos _________.A =第027题 2018届高三河北省衡水中学十五模文数16题在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知a =,()223tan b c A +−=,)22cos 1cos 2A BC +=−,则ABC ∆的面积等于_________.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,AB 边上的高为h ,若2c h =,则a b b a+的取值范围是_________.ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,ABC ∆的面积12S =,且满足sin cos a B b A =,则1cos C ab+的取值范围是（ ）((1....222A B C D ⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭在ABC ∆中,若1,tan 2tan AB B C ==,则ABC ∆面积的最大值是_________.如图,在四边形ABCD 中,,60,75AB BC ABC ADC =∠=︒∠=︒,对角线2BD =,则在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且2,90b a c A C =+−=︒,则cos B =_________.第033题在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin sin sin sin cos21A B B C B ++=.若23C π=,则_________.a b=在ABC ∆中,已知2,B A ACB =∠的平分线把CD 三角形分成面积为:43的两部分,则cos A =（ ）第035题如图所示的四边形ABCD 中,已知,120,60,27AB AD ABC ACD AD ⊥∠=︒∠=︒=, 设ACB θ∠=,C 点到AD 的距离为h .第036题 2019届高三河南省八市学评第一次测评文数17题 已知锐角ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若25cos,325A AB AC =⋅=. ()1求ABC ∆的面积; ()2若6b c +=,求a 的值.第037题 2019届高三天一大联考“顶尖计划”毕业班第一次联考理数12题 已知D 为ABC ∆的边AC 上一点,满足3,2AD DC ABADB DBC π==∠=∠=,则sin ABC ∠=（ ）....A B C D第038题ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若3cos cos 5a B b A c −=,则()tan A B −的最大值为（ ）43..1..34A B C D第039题 2018届高三河南省洛阳市第三次统考文数16题在ABC ∆中,D 是AB 的中点,ACD ∠与CBD ∠互为余角,2,3AD AC ==,则sin A 的值为_________.第040题 2019届高三河南省名校联盟“尖子生”调研考试二理数16题 在ABC ∆中,若4,32AB BC BC BA ⋅=−=,则ABC ∆面积的最大值为_____.在面积为2的ABC ∆中,2222a b c ++的最小值_________.第042题 2019届高三四川省成都七中上期半期测试理数16题设,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 的对边,已知()2223c a b =−,且tan 3C =,则B ∠的大小为_________.第043题 2019届高三河南省中原名校第二次教学指导卷理数16题 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()sin cos 0A A B ⋅+<,且3sin sin sin 2A B C +=,则2abc的取值范围为_________.三角形共有9个要素，三个顶点，三条边，三个角⎡⎤⎣⎦基础()()()()()()()()222222012sin sin sin 02cos ,=2cos 2103sin 204sin sin ,cos cos ,tan tan ABC b a ck R ABC B A Ca cb B b ac ac BacS ac BB AC B A C B A C ∆====∆+−=+−==+=−+=−+外接圆半径 []加强()()()()()()222322205::sin :sin :sin ;06sin sin sin 2sin sin cos ;1107sin ;422241;21sin sin sin ;808tan tan tan tan tan tan ;:tan tan ta ABC ABC ABC ABCa b c A B C B A C A C B abc b abc S S ac B ac R R R S a b c r r S a b c A B C A B C A B C A B ∆∆∆∆==+−⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭=++=++=++为内切圆半径证()()()n tan tan 1tan tan tan tan tan C B C B C B C A B C=−+++−=⎡⎤⎣⎦特殊()()()222109cos 210,,,22sin sin sin 2sincos 2212cos cos tan tan 22223:2sin sin sin 2sincos ;22sin sin sin 22222BA BC ac B a c b ABC a b c B A C b a c B A C A C A C A C B A CB B LHS AC A C A C A C A C RHS ⋅==+−∆−=+⇔=+⇔=+−⇔=⇔==+=+−+−+⎛⎫⎛⎫=++−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成等差数列证cos cos cos ;2222sin cos .22A C B A C B A C−−=−∴=[]:问题类型()()()()()01:02:03:04:;05:边长,角度数值计算问题;三角形形状判断问题;边长,角度等范围最值问题;实际问题中高度,长度等表达式问题三角形唯一性等问题；第001题 正弦定理、三角恒等变换、三角函数、最值范围问题 在ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3A π=，2a =.()1求ABC ∆的周长的取值范围； ()2求22b c +的取值范围.()()(](]()()222222221:sin ,sin ,3sin sin 4sin 6250,2sin s :sin sin ,,,:2,436662,4,6.si in 2s n 3in ()sin 3:ABC b k B c k C B Cb c k B C C b c k B b c a k B C C C b c a k C C A a b C c πππππππ∆+===−⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∈+∈=+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎡=+⎤⎣+=+=−+===∈=⎦正弦定理易得析得则解由有又则(]2222211sin 226271110,,2,,sin 2,366626421331sin 2,264216,4,8.3C k C C C C C k b c πππππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈−∈−−∈− ⎪⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦⎛⎫⎛⎤∴+−∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦=+∈由得则又则类型题:在ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .()1已知︒=120A ，求C B sin sin +的最大值；()2已知3=a ，︒=60A ，求bc 的最大值； ()3已知2222c b a =+，求C cos 的最小值； ()4已知C B A sin 2sin 2sin =+，求C cos 的最小值.第002题 边长与数列，内角与向量，函数与方程 已知在ABC ∆中，三边长,,a b c 依次成等差数列．()1若sin :sin 3:5A B =，求三个内角中最大角的度数；()2若1b =且()22BA BC b a c ⋅=−−，求ABC ∆的面积．()()()()22222222222222221,,,2sin :sin 3:5,:3:53,5,712cos ,;21:cos 2cos ,2,c 2os :223a b c b a c A B a b a a b c C c b a c BA BC b a c ac B b a a b ab k b k c k C a b c C C Ca cbc a bb a π+=+=⋅=−−=−−=−==++=+====⎡⎤⎣=+−==−=−−⎦由依次成等差数列得又则令则即最大由得又解角为余弦定理得由由得析292cos ,cos ,3101sin sin 3220ABC ac B B ac B S ac B ==∴===得即第003题 倍角公式、余弦和角公式、诱导公式、面积公式、余弦定理 在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知24sin 4sin sin 22A B A B −+=.()1求角C 的大小；()2已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值．()()()()222214sin 4sin sin 221cos 4sin sin 222cos cos 2sin sin cos 12sin ,6,4,,242cos ,23.44:ABC ABC A BA B A B A B A B A B A B A B C S ab C S b C a c a b ab C c πππ∆∆=====−+=+−−+=+⎡⎤⎣⎡⎦∴−+=∴+=−∴+===+−⎤⎣⎦=由及得又解则析即即第004题 正弦定理、余弦定理、函数方程与不等式 在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,角B 为锐角，且22sin sin sin A C B =，则a cb+的取值范围为（ ）(1....2A B C D ⎛ ⎝⎭⎝⎭()()()()()()22222222222222sin sin sin 2cos ,,0,122420,12,32.:A CB ac b a c b a c b B B ac aca c ac a c a c acb b ac b==+−+−=∈+−++∴=−∈∈+∴∈⎡⎤⎣⎦由及正弦定理,得:又且为锐角则:即解析第005题 2018届高三广东省惠州市第二次调研考试文数17题已知ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos 0C a C c A b ++=.()1求角C 的大小；()2若2b =，c =，求ABC ∆的面积.[]()():1120;2C S =︒=答案第006题 2018届高三上期广雅中学、东华中学、河南名校联考理(文)数17题在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知cos sin 122C A a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1求C ；()2若c =ABC ∆的面积S 取到最大值时a 的值.[]()()2:1;2.3C S a b π=≤==答案 第007题 2018届高三广东省华南师范大学附属中学上期第一次月考理数17题已知函数()222cos 1,f x x x x R =−−∈.()1求函数()f x 的最小正周期和最小值;()2在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()0c f C ==,sin 2sin B A =，求,a b 的值.[]()()()min :1,4;21, 2.T f x a b π==−==答案第008题 2018届高三山西省太原五中10月月考文数18题 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin cos 3a C c A ==.()1求c ；()2若ABC ∆的面积为92，求a . []()():16;215.c a ==答案第009题 2018届高三山西省太原五中10月月考理数19题 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2A C =.()1若3a c =，求角C 的大小；()2若,,,C B A c b a <<是三个连续的正整数，求ABC ∆的面积.[]()()157:1;2.64C S π==答案 第010题 2018届高三四川省绵阳市第一次诊断性测试文数19题 已知ABC ∆中，23B π∠=，D 是边BC 上一点，且23AD =，2BD =. ()1求ADC ∠的大小；()2若213AC =，求ABC ∆的面积.()()2222222222221,cos 23,2,2328023:cos 225;52,cos ,=213,2664006466ABC BD AB AD ABD B AD BD B BD AB AB AB AB AD DB AB ADB AD DB ADB ADC AD DC AC ADC ADC ADC AC AD DC DC DC DC BC S ππππ∆+−∆====⋅+−+−∆∠=∠=⋅+==+−−=⎡⎤⎣∴∠==⋅∴∠==∴=∴∠⎦=在中由及得即解在即即析中由及,得1sin 3 3.2AB BC B =⋅=在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知18,2,cos 4a b c A =−==−，则ABC ∆的面积为_________.()222222cos ,cos 221158,2,cos ,:24,sin 441sin 315.2:ABC b c bc a b c a A A bc bca b c A bc A S bc A ∆−+−+−===−==−=⎣=⎡⎦=∴⎤=解由得又则有析第012题 2018届高三河南省郑州一中上期第二次月考理数16题 在斜三角形ABC 中，D 为BC 的中点，且90BAD C ∠+∠=︒，则BC∠∠的值是_________.():,22,;sin sin sin ,;sin sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin 2sin 2:,1;:22,,2:::x c aABD x b aADC Bi ABC C ii ABC AE ππαβθϕϕγαβδθβθβϕϕαϕββϕβϕπβϕπβϕ+=+=∆==∆==∴==∴=∠=∆=∠+=+=∆⎡⎤⎣⎦方法一:由题意可得在中在中即为等腰三角形,为直角三角形与题意不符舍去.方法二如图所示解析为():,,1:,90,ABC Bi D O AE BC ABC Cii D O BC ABC BAC ABC ∆∠⊥∆=∠∆∠=︒∆的直径;与不重合则为等腰三角形,；与重合则为的直径,为直角三角形与题意不符舍去；在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2,3c C π==.()1当()2sin 2sin 2sin A B C C ++=时,求ABC ∆的面积； ()2求ABC ∆周长的最大值.()()22212sin 2sin 2sin ,4sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos sin cos 1:cos 0,,,,sin ;23323:cos 0,2sin sin ,2,2cos ,2,,,33:ABC A BC C A A B A B A A B A BA AB Ai A A a b S ab C ii A A B a b c a b ab C c C a b ππ∆++=−+=+∴=======≠===+⎡−==⎣==⎤⎦由得解析()()()max 2222231sin :22:sin ,sin ,sin sin sin sin sin sin 5sin sin ,,66666,.3:2cos 44ABC ABC ABC ABC S ab C S c c c a A b B C a b c A B C C C CA B A A C A c a b ab C a b ab πππππ∆∆∆∆======++=++⎛⎫⎛⎫+=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴== ⎪⎝⎭=+−⇒=+−=由得方法一周长取得最大值方法二()()()()()()222222max31344462,.ABC a b ab a b ab a b a b a b a b C a b ∆+−=+−≥+−+=++≤===即当时周长取得最大值第014题 2018届高三江苏省苏州市上学期期中考试数学12题 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A =+且CD =ABC ∆面积的最大值是_________. ()()(22222cos sin ,,:sin sin cos sin sin ,sin sin cos sin sin sin tan 1412,:cos 122484822:1sin 2ABC b a C c A B A C C A B A C B A C A C C A A A b c CD ADC CD A b cb c bc bc S bc A ππ∆=+=+=−+=+∴=∴==⎛⎫+− ⎪⎝⎭∆==⋅=+−≥−≤=+==⎡⎤⎣⎦∴由及正弦定理得又则即在中由余弦定理即解得析 1.4bc ≤+第015题 2018届高三河北省衡水中学上学期第三次月考理数11题ABC ∆中,若24ac b =,sin sin sin A C p B +=,且B 为锐角,则p 的取值范围是（ ）((....22A B C D ⎛⎛ ⎝⎝()()2222222sin sin sin ,,04cos 1230,122.:2A C p B a c pb p ac b B a c ba cb B p ac ac p +=+=>=+−+−==−=−∈⎛∴∈⎡⎤⎣⎦⎝由及正弦定理,得:又,且角为锐角,则解析第016题 2018届高三河南省中原名校第四次质检理数10题 在ABC ∆中,222a c b +=cos A C +的最大值是（ ）.1.2.3.4A B C D)222max,:cos 243344cos 3cos 4cos 22cos sin 22sin 43:0,,,444cos 1,:.4a c b B B A C C A A C A A A A A A A A A A A CA ππππππππππ+=+==∴+==−+⎛⎫=+− ⎪⎝⎭=−+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴+== ⎪⎡⎤⎣⎦⎝⎭解由得即即易知则原式取得最大值析第017题 2018届高三湖南省长郡中学上期月考四文数11题∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +−=，2,a c ==C =（ ） 5....6643A B C D ππππ()2222222222sin sin sin cos 0,:sin 02222,sin ,cos 44sin cos 1,42,41cos .26:B A C C a b c b a C ab b b a c C C b b C C b b b b C C π+−=⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭−+====+==±<=−⎡⎤⎣=−==⎦∴由及正余弦定理得又则有又则易知则即即解析第018题 2018届高三河南省天一大联考三理数18题已知∆ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足()222tan a c b B +−=)222b c a +−.()1求角A ；()2若ABC ∆的面积为32，求(22cos cos bc A ac B a b −+−的值. []()():1;21.3A π=答案第019题 2018届高三四川省达州市一诊理数16题在锐角ABC ∆中，A B C 、、成等差数列，AC =BA BC ⋅的取值范围是 _________.()22221cos 322sin sin sin 312sin sin sin 24265,,:2,6266631,:.2BA BC ac B a c a c b A C BBA BC A C C C C BA BC ππππππ⋅==+−===⎛⎫⎛⎫∴⋅=+−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∈−∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎣⎦⎝⎭⎛⎤∴⋅∈ ⎥⎝⎦由向量的数量积公式,及余弦定理易得解又由得析 第020题 2017届高三江苏省连云港市三调数学14题 已知∆ABC 三个内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ,且3C π=,2c =,当 AC AB ⋅取得最大值时ba的值为_________.[]:2+答案 ()()()2222max1cos 42sin sin sin 82sin sin 2236270,,:2,366672,261212sin :AC AB bc A b a a b c A B C AC AB B A B B B B B AC AB A b a πππππππππ⋅==−+===⎛⎫∴⋅=+−=−− ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∈−∈− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴−==⋅=+∴=⎣∴⎤⎦=⎡解析又由得当即时则有：sin 462sin sin 46B A ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫− ⎪⎝⎭第022题 2018届高三河南省八市12月联考高二文数20题 在锐角ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin 2cos 0.3C A B ++= ()1求角C 的值;()2若ABC ∆的外接圆的半径为求ABC ∆的面积的最大值.[]()():1;23ABC S π∆=答案第023题已知锐角三角形ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222tan A c b a =+−.()1求角A 的大小; ()2当a =,求22c b +的最大值,并判断此时得形状.第024题 2018届高三河南省中原名校第六次质量考评理数16题在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,设ABC ∆的面积为S ,若22232a b c =+,则222Sb c +的最大值为_________.222222222222222232,233326cos 1sin sin 12tan 2212cos 126cos ,:cos tan 32'''',2:24nax a b c b c b c a b c bc Abc AS bc A A b c b c bc A bc A A A S b b c =++=+−∴+=∴===++≥≥≤⎛⎫∴== ⎪+⎝⎭⎡⎤⎣⎦由得:又则有即当时解析第025题 2018届高三黑龙江省哈尔滨市第三中学二模文数9题在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2,cos cos cos 0B A A B C =>,则sin a Ab的取值范围是（ ）11....22A B C D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()cos cos cos 0,:,,0,2222,:6422tan 3sin sin sin 11tan .2sin c :os 262A B C A B C A B A A A A A a A A A A b A A ππππππ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭⎧<⎪⎪=<<⎨⎪<−+⎪⎩⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫∴==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎣⎦由则解得又有即析,,0,20,0,02222,tan ,1643:sin sin sin sin sin sin sin 1tan sin sin 22sin cos 2sin 1.:62A B C A B C B A A A A a A A A A A A A A b B A A A a Ab ππππππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴<<<<<<⎛⎫=<<∈ ⎪ ⎡⎤⎪⎝⎭====⎣⎦⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭注意到此三角形为锐角三角形,则有由可得出角的范围:即再由正弦定理容易得出故的取值范围是分析此题的关A C 键是角的范围,易错的地方是对角的范围运用.第026题 2018届高三安徽省皖北协作区联考理数16题在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知1,2cos b c b a B =+=,当ABC ∆的面积最大时,cos _________.A =()()()()()22222222221,2cos cos ,122cos ,:22cos 1112sin 1sin 12cos sin ,0,222312133:12cos sin ,0,,'2cos 23864:ABC a c b b c b a B B a c aca b c bc A a AS bc A a A A A A f A A A A f A A ππ∆+−=+===+=+−=+⎛⎫∴==−=+∈ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∈=+−⎢ ⎪ ⎪⎡⎤⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎣由及可得:由得构造解数则:析函()()()()1cos ,'0,;81cos ,'0,;81,cos .8A f A f A A f A f A ABC A ⎥⎥⎦−∴==−==∆=取得最大值取得最小值故:当的面积取得最大值时 ()()()()32:::2cos ,:sin sin 2sin ,:sin sin sin 11sin 1sin313sin 4sin sin sin sin sin 22sin 2sin 2sin 1134sin sin 12cos222ABC ABC A i c b a B B A B A Bb c Cc B C BC B B BS bc A A A A B B B B A B ∆⎡⎤⎣⎦∆+==−===−∴==⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅−⋅=⋅+⋅分析容易分析出的面积是关于角的函数,注意边角的转由得即由得另解换()()()21sin 12cos sin 2:,1332,cos ,.864A A A ii f A f u u u A =⋅+⋅⎡⎤⎛⎫=+−=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦关于构造的函数,在讨论其单调性时可看成二次函数模型,需要注意复合函数这一点第027题 2018届高三河北省衡水中学十五模文数16题在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知a =,()223tan b c A +−=,)22cos 1cos 2A BC +=−,则ABC ∆的面积等于_________.)())2222cos ,sin 22tan 232cos 1cos ,:1cos 1cos 2cos ,245sin sin cos cos sin 124sin ,:sin sin sin 1:3sin 24ABC b c a A A A bc bc A A BC A B CC C B B A C A C a c C c a A C AS ac B πππ∆+−====+=−++=−∴==+∴==+===⋅=+∴=⎡⎤⎣⎦=由得:由得即得解由析注:多个知识点的综合,难度不大,知识点累加. 第028题 该题待考虑在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,AB 边上的高为h ,若2c h =,则a b b a+的取值范围是_________.()(222222cos =2cos 11sin ,:222sin 2sin 2cos 40,,:,444:.b a a b c ab C c C a b ab ab ab c ab C ch ab C b a C C C a b C C b aa bππππππ+++==+==⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫∈+∈+ ⎪⎝⎭∴+=∈⎡⎤⎣⎦由得由得解析ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,ABC ∆的面积12S =,且满足sin cos a B b A =,则1cos C ab+的取值范围是（ ）((1....222A B C D ⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭(sin cos ,,:sin sin sin cos sin 0,:sin cos 41sin ,:sin 121cos sin cos 430sin cos ,,,444::1cos ,,.:si a B b A A B B A B A A A S ab C ab C C C C C ab C C C aba Bb A ππππππ==≠====⎛⎫∴+=+=+ ⎡⎤⎣⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+∈=⎦解析方法一方法由及正二弦由定及正弦定理得又则即理得又则(](2222222222n sin sin cos sin 0,:sin cos 411sin ,,:22:cos 221:cos cos 21sin cos sin 30,:sin 0141cos A B B AB A A A S bc A S bc b c a A c a b bc a b c bC C ab abb B C B ab a AB BC ab ππ=≠=====+−==+−+−−==∴+===⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭∴+∈又则即由及得由余弦定理得即由余弦定理得即又，则，在ABC ∆中,若1,tan 2tan AB B C ==,则ABC ∆面积的最大值是_________.()()22222222222222222222222tan 2tan ,:sin cos 2sin cos :233221,:314144:cos cos 234sin 1cos 311s :in ,:sin 24ABC ABC A B C B C C Ba b c a c b b c a c b abac c a b b b C C ab b b C C b S ab C S a b C S ∆∆∆==+−+−⋅=⋅⋅+===−⎡⎤⎣−−==−∴=−===∴⎦由得由正余弦定理可得即又则由余弦定理得即又则解析()()()()222222222222max 3411591144344245199,:244163:.4BCABCABC ABC b b b b b b b b S S S ∆∆∆⎡⎤−⎛⎫=−⋅=−⋅−=−−+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⋅=∴当时取得最大值为的最大值为如图,在四边形ABCD 中,,60,75AB BC ABC ADC =∠=︒∠=︒,对角线2BD =,则四边形ABCD 面积的最小值为_________.()()min ,13:5,90,1ABCD ADB DCB EDB CDE ABCD EDB ECB DABS S S S S CH DCE DOE DO EO C DCE CH S ∆∆∆∆∆≅∆=+=−=−∠=︒∠=︒==≤−∴=−⎡⎤⎣⎦四边形四边形作等边三角形易证易四川成都知点在弧张上,强老师解析第032题在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且2,90b a c A C =+−=︒,则cos B =_________.()22,90,90sin cos ,cos sin ,cos sin 22,:2sin sin sin 12cos sin cos sin cos sin 23sin 24,2903cos sin 2s :co 4ABC A C C A C A C B C b a c B A CC C C C C C C A B C B C B C B π⎡⎤⎣∆−=︒<︒∴==−==+=+∴−=++=∴=++=+=︒∴==⎦在中由可得由可得即又则即解析 第033题在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin sin sin sin cos21A B B C B ++=.若23C π=,则_________.ab= 222sin sin sin sin cos 21,sin sin 2sin 223,cos ,.325:A B B C B A C B a c b a b c a C C ab b π++=+=+=+−⎡==⎤=⎣⎦解析由及倍角公式,整理得得即由及得在ABC ∆中,已知2,B A ACB =∠的平分线把CD 三角形分成面积为:43的两部分,则cos A =（ ）2113....3324A B C D4:3:,2,sin sin sin 242cos .sin 33:AD AC DB BC BC ACB A A BA A A ⎡⎤======⎣⎦由角平分线定理得由正弦定理：解及即析得第035题如图所示的四边形ABCD 中,已知,120,60,27AB AD ABC ACD AD ⊥∠=︒∠=︒=, 设ACB θ∠=,C 点到AD 的距离为h .()1用θ表示h 的解析式; ()2求AB BC +的最大值.()()()()()()1:90,30,sin cos ,sin sin 27cos sin 30s 2,1in 30sin 6023s 0,060;2:in 30ADC CAD CG hRt CGD ADC CD CD CD ADCAD CAD hhRt CAG A h h C ABC θθθθθθθθθθθ∠=︒−∠=︒+∆∠===∠∠==︒+︒+︒∴=++︒<<︒∆⎡∆⎤⎦=⎣=︒+由题设条件易得在中即由正弦定理可得:即解在中在析其中中()()36cos sin sin sin 18sin 236cos sin 6029sin 21826006015,:18.AB BC ACBAC BAB BC AB BC AB BC θθθθθθθθθθ===∠∴==︒−=+−∴+=++︒<<︒∴=︒+,当时取得最大值为ABDBDB第036题 2019届高三河南省八市学评第一次测评文数17题 已知锐角ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若cos,325A AB AC =⋅=. ()1求ABC ∆的面积; ()2若6b c +=,求a 的值.()()()()2222222231cos ,:cos 2cos 125254sin 53,cos 35122:cos cos 2215,6,3sin 6105120;2:ABC A A b c bc a b c a A A bc bcbc b c a A A AB AC cb A bc b a S c A ∆+−−+−===−==+==∴==⋅===−⎡⎤⎣=∴===⎦−由余弦定理由得由得即由知及可:即析得得即解第037题 2019届高三天一大联考“顶尖计划”毕业班第一次联考理数12题 已知D 为ABC ∆的边AC 上一点,满足3,2AD DC AB ADB DBC π==∠=∠=,则sin ABC ∠=（ ）....A B C D2222233,2,,36,:cos 22sin ,:sin sin sin 1s :in 7AD DC x ADB DBC C a b c ABC AB C ab x b AB b CABC AB BC C ABC C cABC ππ==∠=∠==+−∆===∴=∆=∠=∠∴∠=⎡⎤⎣=⎦=设由易得在中由余弦定理得即在中由正弦定理即解得析第038题ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若3cos cos 5a B b A c −=,则()tan A B −的最大值为（ ）43..1..34A B C D()()()23cos cos ,53sin cos sin cos sin 53sin sin ,sin cos sin cos sin 5sin cos 4sin cos tan 4tan 02tan tan 3tan 33tan 11tan tan 14tan 44tan ta :n "ta a B b A c A B B A CC A B A B B A A B A B B A A B B A A B BA B A B BB Bπ−=−==+−=+∴==∴<<<−∴−===≤++⎦+⎡⎤⎣由及正弦定理,可得又则:当且仅当解即析1n ="""2B =时成立.第039题 2018届高三河南省洛阳市第三次统考文数16题在ABC ∆中,D 是AB 的中点,ACD ∠与CBD ∠互为余角,2,3AD AC ==,则sin A 的值为_________.:,;2222,;sin sin sin cos 22;sin sin sin cos sin cos sin 2sin 2sin cos :22,,sin ;:22,,sin ;324,sin 3:4B A CD CD ADC A A BCD CD DBC B B AB A A BA Bi A B A B A ii A B A B A A ππαβαβππ+=+=∆==∆==∴=====+=+==⎡⎤⎣⎦依题意可知在中即在中即即综上所述解析B第040题 2019届高三河南省名校联盟“尖子生”调研考试二理数16题 在ABC ∆中,若4,32AB BC BC BA ⋅=−=则ABC ∆面积的最大值为_____.222224,:4232,:261sin 22,,:2:,.:2ABCa cb AB BC BC BA b ac S ac Bac ABC B AC ∆+−⋅==−==∴+=∴==≤==∆⎡⎤⎣⎦由得由得故当时面积取得最大值为方法二数形结合点在的中点为圆心半径为解方法一析第041题在面积为2的ABC ∆中,2222a b c ++的最小值_________.()2222222222222221222522:a b c x y h b x y h b b h ++=+++≥±++=+≥⎡⎤⎦=⎣解析第042题 2019届高三四川省成都七中上期半期测试理数16题设,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 的对边,已知()2223c a b =−,且tan 3C =,则B ∠的大小为_________.()22222222222222222242223,:cos 23333tan 31,:sin 232,:sin sin sin sin 232cos sin 1,:1324,:10130101340:3a c b cc a b B ac aa b c C C abb c b a c B C B C c acc a c B B a ac c t t t t a t t +−=−==+−=>=−===⎛⎫−⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎡⎤⎭⎝⎭=+⎣=+=∴⎦−−由余弦解定理及得由得又则又则令则有即析2214sin ,253cos 2c t B a B −⎛⎫=== ⎪⎝⎭∴=或此时舍去第043题 2019届高三河南省中原名校第二次教学指导卷理数16题 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()sin cos 0A A B ⋅+<,且3sin sin sin 2A B C +=,则2abc的取值范围为_________.()()()222222222222223:0cos 1,24cos 0,:98,50,0,:249cos 1,:112226,526,2,5991,44:2C a b c C a b c a b a b a b b a a b a b b aa b a b a b c C abab a b b a a b b a ab ab a b c a b b a<<+=>+>+>++>>>+≥+−++−<<<+<⎡⎫+⎪⎢⎣⎭==+++⎡⎤⎣⎦由题意可知①由得即所以当时有②由得即所以所以的取值范围为:又解析则有:259:,.1616ab c ⎛⎤ ⎥⎝⎦得取值范围为。

突破点2 解三角形(1)(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.(1)(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断．注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.设△ABC 的内角. (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sinB ．(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．回访1 正、余弦定理的应用1．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.2113 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.]2．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(6－2，6＋2) 如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.] 回访2 三角形的面积问题3．(2014·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．3 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为 (a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴∠A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.]题型分析：应用正、余弦定理实现边角的互化.(2016·四川高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a＋cos B b ＝sin C c.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tanB ．解] (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，2分 即sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).4分 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C ．6分(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，8分所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.9分由(1)知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35 sin B ，11分故tan B ＝sin B cos B＝4.12分关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练1] (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14，则sin Acos C＝__________.【导学号：85952013】2155由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝22＋32－2×2×3×14＝10，所以b ＝10.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋10－92×2×10＝108.因为B 是△ABC 的内角， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝154. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝64，所以sin A cos C ＝2155.](2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a cos B ＋b cos(B ＋C )＝0. ①证明：△ABC 为等腰三角形；②若2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，求cos B ＋cos C 的值． 解] ①证明：∵a cos B ＋b cos (B ＋C )＝0， ∴由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos(π－A )＝0， 即sin A cos B －sin B cos A ＝0，3分 ∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝k π，k ∈Z .4分 ∵A ，B 是△ABC 的两内角， ∴A －B ＝0，即A ＝B ，5分 ∴△ABC 是等腰三角形.6分 ②由2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，得b 2＋c 2－a 22bc ＝14，7分由余弦定理得cos A ＝14，8分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝1－2cos 2A ＝78.10分∵A ＝B ，∴cos B ＝cos A ＝14，11分∴cos B ＋cos C ＝14＋78＝98.12分题型分析：之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等.(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．【解题指导】 (1)fx――→恒等变换化归思想f x ＝Aωx ＋φ＋k ―→求f x 的单调区间(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0――→锐角三角形求A ――→余弦定理建立b ，c 的等量关系――→基本不等式求bc 的最大值――→正弦定理求△ABC 的面积解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .4分所以f (x )的单调递增区间是－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).6分(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，7分由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.8分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，10分 即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.12分1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B ，y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B )的形式，进而利用函数y ＝sin x (或y ＝cos x ，y ＝tan x )的图象与性质解决问题．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA 中，有a 2＋c 2和ac 两项，二者的关系a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．变式训练2] (名师押题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cosC ，b ＝1.(1)若sin C ＝217，求a ，c ； (2)若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积． 解] (1)∵sin C ＝217，∴cos 2C ＝1－sin 2C ＝47，cos C ＝27.1分 ∵4cos C ＝a ＋1a，∴87＝a ＋1a ，解得a ＝7或a ＝77.3分又1a ＋a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝4×a 2＋1－c 22a， ∴a 2＋1＝2(a 2＋1－c 2)，即2c 2＝a 2＋1.5分∴当a ＝7时，c ＝2；当a ＝17时，c ＝27.6分(2)由(1)可知2c 2＝a 2＋1.又△ABC 为直角三角形，C 不可能为直角． ①若角A 为直角，则a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1， ∴2c 2－1＝c 2＋1， ∴c ＝2，a ＝3，8分∴S ＝12bc ＝12×1×2＝22.9分②若角B 为直角，则b 2＝a 2＋c 2，a 2＋c 2＝1. ∴2c 2＝a 2＋1＝(1－c 2)＋1，∴c 2＝23，a 2＝13，即c ＝63，a ＝33，11分∴S ＝12ac ＝12×63×33＝26.12分。

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP ＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB 向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D 点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB 的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO ＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB＝∠ABO ＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE 交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在则OP的最小值为．直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB ＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF 和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC ＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C （n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD （AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB ＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB ＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E ＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB ＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB ＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM 中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，⊥⊥QAH+⊥HAP＝⊥HAP+⊥P AD＝90°，⊥AQH＝⊥APD＝90°，⊥⊥QAH＝⊥P AD，⊥⊥P AQ为等腰直角三角形，⊥AQ＝AP，在⊥AQH和⊥APD中，，⊥⊥AQH⊥⊥APD（ASA），⊥AH＝AD，QH＝PD，⊥HA⊥AC，⊥BAC＝45°，⊥⊥HAF＝⊥DAF，在⊥AHF和⊥ADF中，，⊥⊥AHF⊥⊥ADF（SAS），⊥HF＝DF，⊥＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，⊥BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证⊥ABO＝⊥CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求⊥CEM的度数；（3）如图3，⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：⊥⊥BOA＝90°，⊥⊥BAO+⊥ABO＝90°，又⊥⊥BAC＝⊥BAO+⊥CAM＝90°，⊥⊥ABO＝⊥CAM；（2）解：⊥CM⊥y轴，⊥⊥AMC＝⊥BOA＝90°，⊥AB＝AC，⊥ABO＝⊥CAM，⊥⊥AMC⊥⊥BOA （AAS），⊥CM＝AO，AM＝BO，⊥BD＝BE，BD⊥BE，⊥⊥BDE是等腰直角三角形，⊥⊥BDE＝⊥BED ＝45°，⊥EBO＝⊥DBE＝45°，⊥⊥EBO＝⊥BEO，⊥BO＝EO＝AM，⊥EO﹣OM＝AM﹣OM，⊥EM＝AO＝CM，⊥⊥CME是等腰直角三角形，⊥⊥CEM＝45°；（3）解：⊥AB＝AC，⊥BAC＝90°，⊥⊥ACB＝45°，⊥⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P A＝QA，⊥P AQ＝⊥CAB＝90°，⊥⊥P AQ+⊥QAC＝⊥CAB+⊥QAC，即⊥P AC＝⊥QAB，⊥AC＝AB，⊥⊥P AC⊥⊥QAB（SAS），⊥⊥APC＝⊥AQB，⊥⊥AKP＝⊥QKN，⊥⊥QNK＝⊥P AK＝90°，⊥CM⊥y 轴，⊥CM⊥NO，⊥⊥NCM＝⊥KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：⊥CN＝CM，⊥CNI＝⊥CMH＝90°，⊥⊥CNI⊥⊥CMH（SAS），⊥⊥NCI＝⊥MCH，CI＝CH，⊥⊥NCG+⊥NCI＝⊥NCG+⊥MCH＝⊥NCM﹣⊥GCH＝90°﹣45°＝45°＝⊥GCH＝⊥GCI，⊥⊥GCI⊥⊥GCH（SAS），⊥GI＝GH，⊥GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，⊥GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt⊥ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt⊥APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt⊥FGH，始终保持⊥GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：⊥m﹣n为定值；⊥m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，⊥CM⊥OA，AC⊥AB，⊥⊥MAC+⊥OAB ＝90°，⊥OAB+⊥OBA＝90°则⊥MAC＝⊥OBA在⊥MAC和⊥OBA中，则⊥MAC⊥⊥OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，⊥APO+⊥QPD＝90°⊥APO+⊥OAP＝90°，则⊥QPD＝⊥OAP，在⊥AOP和⊥PDQ中，则⊥AOP⊥⊥PDQ（AAS），⊥OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论⊥是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T 点，则FS＝FT＝2，⊥FHS＝⊥HFT＝⊥FGT，在⊥FSH和⊥FTG中，则⊥FSH⊥⊥FTG（AAS），则GT＝HS，又⊥G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），⊥OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，⊥GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求⊥AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）⊥﹣+b2+4b+8＝0，⊥﹣+（b﹣4）2＝0，⊥a＝4，b＝4，⊥A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥AB＝BC＝OC＝OA＝4，⊥四边形OABC是菱形，⊥⊥AOC＝90°，⊥菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，⊥⊥PNQ ＝90°，⊥⊥QPN+⊥PQN＝90°，⊥BP⊥BQ，⊥⊥BPQ＝90°，⊥⊥BPC+⊥QPN＝90°，⊥⊥PQN ＝⊥BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥BC＝4，BC⊥x，⊥⊥BCP＝⊥PNQ＝90°，在⊥BCP和⊥PNQ中，，⊥⊥BCP⊥⊥PNQ（AAS），⊥CP＝QN，BC＝PN，⊥OC＝PN＝4，⊥当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，⊥⊥AOQ＝45°，⊥当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP ＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。

专题05三角形中的角平分线模型【模型1】如图，已知OP 平分AOB ∠，过点P 作OA PD ⊥,OB PE ⊥；可根据角平分线性质证得ODP ∆≌OEP ∆，从而可得OPE OPD ∠=∠，PE PD OE OD ==;。

【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法【辅助线作法一】如图，已知OP 平分AOB ∠，点C 是OA 上的一点，通常情况下，在OB 上取一点D，使得OC OD =，连接PD，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，可证得OPC ∆≌OPD ∆。

从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，DPO CPO ∠=∠。

【辅助线作法二】如图，已知OP 平分AOB ∠，OP CP ⊥，通常情况下，延长CP 交OB 于点D，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，︒=∠=∠90OPD OPC ，可证得OPC ∆≌OPD ∆。

从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，OD OC =。

【辅助线作法三】如图，已知OP 平分AOB ∠，通常情况下，过点P 作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等；结合POD POC ∠=∠，从而可得PC OC =，CPO COP ∠=∠。

【例1】如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ；③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】证明△ODP ≌△OEP （AAS ），由全等三角形的性质可推出OD =OE ，证明△DPF ≌△EPF （SAS ），由全等三角形的性质可推出DF =EF ．∠DFP =∠EFP ，S △DFP =S △EFP ，则可得出答案．【解析】解：①∵OC 平分∠AOB ，∴∠DOP =∠EOP ，∵PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠ODP =∠OEP =90°，∵OP =OP ，∴△ODP ≌△OEP （AAS ），∴OD =OE ．故①正确；②∵△ODP ≌△OEP ，∴PD =PE ，∠OPD =∠OPE ，∴∠DPF =∠EPF ，∵PF =PF ，∴△DPF ≌△EPF （SAS ），∴DF =EF ．故②正确；③∵△DPF ≌△EPF ，∴∠DFO =∠EFO ，故③正确；④∵△DPF ≌△EPF ，∴S △DFP =S △EFP ，故④正确．故选：D ．【例2】如图，已知OC 平分∠MON ，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，且OA ＝OB ．求证：△AOC ≌△BOC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．【解析】证明：∵OC 平分∠MON ，∴∠AOC ＝∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOC （SAS ）．【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AB BD AC CD=，下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2，过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，AD 平分∠BAC ，求BD 的长．（请按照本题题干的定理进行解决）【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，利用平行线分线段成比例定理得到BD CD ＝BA EA，利用平行线的性质得∠2=∠ACE ，∠1=∠E ，由∠1=∠2得∠ACE =∠E ，所以AE =AC 即可证明结论；（2）先利用勾股定理计算出AC =5，再利用（1）中的结论得到AC AB ＝CD BD ，即53＝CD BD ，则可计算出BD =32，然后利用勾股定理计算出AD =2，从而可得到△ABD 的周长．【解析】（1）解：如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，∵CE //AD ，∴BD CD ＝BA EA，∠2＝∠ACE ，∠1＝∠E ，∵AD 平分∠BAC∴∠1＝∠2，∴∠ACE ＝∠E ，∴AE ＝AC ，∴AB AC ＝BD CD；（2）∵AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5，∵AD 平分∠BAC ，∴AC AB ＝CD BD ，即53＝4BD BD -，∴BD ＝32，∴AD∴△ABD 的周长＝32+3+2＝92+．一、单选题1．如图，ABC 中，5AB =，6BC =，10CA =，点D ，E 分别在BC ，CA 上，DE AB ∥，F 为DE 中点，AF 平分BAC ∠，则BD 的长为（）A ．32B ．65C ．85D ．2【答案】B【分析】根据角平分线和平行可得EA EF =，从而可得2DE AE =，然后证明EDC ABC △△∽，利用相似三角形的性质即可求出AE ，DE ，进而求出CD ，最后进行计算求出BD 即可解答．【解析】解：∵F 为DE 中点，∴2ED EF =，∵AF 平分BAC ∠，∴EAF FAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴FAB AFE ∠=∠，∴EAF AFE ∠=∠，∴EA EF =，∴2DE AE =，设AE x =，则2DE x =，∵DE AB ∥，∴EDC B ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴EDC ABC △△∽，∴ED EC DC AB AC BC==，∵5AB =，6BC =，10CA =，∴210510x x -=，∴2x =，∴24DE x ==，∴456CD =，∴245CD =，∴246655BD BC CD =-=-=．故选：B ．2．如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．2.5D ．4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB =∠AED ，然后根据角平分线的定义可得∠EAB =∠EAD ，从而得出∠EAD =∠AED ，根据等角对等边可得DA =DE =3，即可求出EC 的长．【解析】解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =5，BC =3，∴AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD∴∠EAB =∠AED∵AE 平分∠DAB∴∠EAB =∠EAD∴∠EAD =∠AED∴DA =DE =3∴EC =CD －DE =2故选B ．3．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．PA PQ=B ．PA PQ <C ．PA PQ >D ．PA PQ≤【答案】D 【分析】连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，根据角平分线的性质得出PQ =PA ，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．【解析】解：连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，∵OP 平分∠MON ，PQ ⊥OM ，PA ⊥ON ，∴PQ =PA ，此时点P 到OM 的距离PQ 最小，∴PA ≤PQ ，故选：D ．4．如图，CD ，CE ，CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．2AB BF=B．12ACE ACB∠=∠C．AE BE=D．CD BE⊥【答案】C【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．【解析】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥AB，∠ACE＝12∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE =60°，∴③DE 平分∠ADB 错误；∵BE +AE =AB ，AE =AC ，∴BE +AC =AB ，∴④BE +AC =AB 正确；∵∠BDE =90°-∠B ，∠BAC =90°-∠B ，∴∠BDE =∠BAC ，∴②∠BAC =∠BDE 正确．综上，正确的个数的3个，故选：C ．6．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【分析】过点D 作DG AC ⊥，根据角平分线的性质可得DF DG =，根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定，可得AE ED =，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【解析】如图，过点D 作DG AC ⊥ AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB ，DG AC⊥∴DF DG =，CAD BAD∠=∠DE DF ⊥ ，DF ⊥AB ，AB DE∴∥BAD EDA∴∠=∠EAD EDA∴∠=∠EA ED∴=8AE = 8DE AE ∴== ∠BAC ＝30°，30DEG ∴∠=︒142DG DE ∴==4DF ∴=故选B二、填空题7．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，请你添加一个条件________，使四边形AEDF 是菱形．【答案】DF ∥AB【分析】添加DF ∥AB ，根据DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，可以判断四边形AEDF 是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．【解析】解：DF ∥AB ，理由如下：∵DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠ADF ＝∠FAD ，∴FA ＝FD ，∴平行四边形AEDF 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．8．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝8，BE ＝3，则AB 的长为________．【答案】5【分析】首先由在平行四边形ABCD 中，AD =8，BE =3，求得CE 的长，然后由DE 平分∠ADC ，可证CD =CE =5，即可求解．【解析】∵在平行四边ABCD 中，AD =8，∴BC =AD =8，AD //BC ，∴CE =BC -BE =8-3=5，∠ADE =∠CED ，∴DE 平分∠ADC ，∴∠ADE =∠CDE ，∴∠CDE =∠CED ，∴CD =CE =5=AB ，故答案为：5．9．如图，在ABC 中，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ．F 为BC 上一点，若DF AD =，6ACD CDF S S -=△△，则AED 的面积为______．【答案】3【分析】在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG ．根据题意易证()CDG CDF SAS ≅ ，得出DG DF =，CDG CDF S S = ．即可求出AD DG =，6ADG S = ．最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求出ADE S ．【解析】如图，在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG，∵CD 平分ACB ∠，∴ACD BCD ∠=∠．在CDG 和CDF 中，CG CF GCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CDG CDF SAS ≅ ，∴DG DF =，CDG CDF S S = ．∵6ACD CDF S S -=△△，∴6ACD CDG S S -= ，即6ADG S = ．∵AD DF =，∴AD DG=．∴AE=EG，∴132ADE GDE ADGS S S===．故答案为：3．10．如图，AB＝BE，∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【答案】①②④【分析】根据已知∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【解析】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝12∠FBC，∵∠DBC＝12∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是___．【答案】2【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案为：2．12．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有____________．（填序号）【答案】①②④【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，求得∠ABC=∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC=90°12-∠ABC，求得∠ADC+∠ABD=90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC=∠BAC，故④正确．【解析】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，故①正确；∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC=90°12-∠ABC，∴∠ADC+12∠ABC=90°，∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；∵∠ABD =∠DBC ，BD =BD ，∠ADB =∠BDC ，∴△ABD ≌△BCD （ASA ），∴AB =CB ，与题目条件矛盾，故③错误，∵∠DCF =∠DBC +∠BDC ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∴2∠DCF =2∠DBC +2∠BDC ，2∠DCF =2∠DBC +∠BAC ，∴2∠BDC =∠BAC ，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题13．如图，AC ＝BC ，∠1＝∠2，求证：OD 平分∠AOB ．【答案】见详解【分析】证明△ACO ≌△BCO 即可求证．【解析】证明：∵∠1=∠2，∠1+∠ACO =180°，∠2+∠BCO =180°，∴∠ACO =∠BCO ，∵AC =BC ，CO =CO ，∴△ACO ≌△BCO ，∴∠AOC =∠BOC ，∴OD 平分∠AOB ．14．如图，在ABC 中，AE 平分BAC BE AE ∠⊥，于点E ，延长BE 交AC 于点D ，点F 是BC 的中点．若35AB AC ==，，求EF 的长．【答案】1【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明BAE DAE ≅ ，即得出3AD AB ==，BE DE =，从而可得出2CD =，点E 为BD 中点，从而可判定EF 为BCD △的中位线，进而可求出EF 的长．【解析】∵AE 平分BAC BE AE∠⊥，∴BAE DAE ∠=∠，90AEB AED ∠=∠=︒．又∵AE =AE ，∴BAE DAE ≅ (ASA)，∴3AD AB ==，BE DE =，∴2CD AC AD =-=，点E 为BD 中点．∵F 是BC 的中点，∴EF 为BCD △的中位线，∴112EF CD ==．15．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 是∠ABC 的平分线，BD =BE ．求证：(1)△CED 是等腰三角形；(2)BD +AD =BC ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）由AB =AC ，∠A =100°求出∠ABC =∠C =40°，再由BD 是∠ABC 的平分线求出∠DBC =12∠ABC =20°，根据BD =BE 求出∠BED =∠BDE =80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC =40°，则∠EDC =∠C ，从而证明ED =EC ，即△CED 是等腰三角形；（2）在BE 上截取BF =BA ，连结DF ，先证明△FBD ≌△ABD ，则FD =AD ，∠BFD =∠A =100°，可证明∠EFD =∠FED =80°，则AD =FD =ED =EC ，即可证明BD +AD =BE +EC =BC ．【解析】（1）∵AB =AC ，∠A =100°，∴∠ABC =∠C =12×（180°-100°）=40°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC =12∠ABC =20°，∵BD =BE ，∴∠BED =∠BDE =12×（180°-20°）=80°，∴∠EDC =∠BED -∠C =80°-40°=40°，∴∠EDC =∠C ，∴ED =EC ，∴△CED 是等腰三角形．（2）如图，在边BC 上取点F ，使BF BA =，在ABD △和FBD 中∵AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD FBD≌△△∴AD DF =，100BFD A ∠=∠=︒，∴18010080DFE ∠=︒-︒=︒，∴DFE DEF∠=∠∴DF DE=∴AD EC=∴BD AD BE EC BC +=+=．16．如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =_______．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；（用含a 、b 的式子表示）(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3；(2)CD =a －b ；(3)ABC S =14【分析】（1）利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得AE ＝AC ＝5，得出答案；（2）利用ASA 证明△ADE ≌△ADC ，得∠C =∠AED ，DC =DE ，再证明∠B =∠BDE ，得出BE =DE ，即可得到结论；（3）利用ASA 证明△AGB ≌△AGH ，得出BG =HG ，即可得出△ABC 的面积．【解析】（1）∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ⊥AD ，∴∠CFA ＝∠EFA ，∵在△AEF 和△ACF 中EAF CAF AF AF AFE AFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AEF ≌△ACF （ASA ），∴AE ＝AC ＝5，∵AB =8，∴BE ＝AB −AC ＝8−5＝3，故答案为：3；(2)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，在△ADE 和△ADC 中AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC∴∠C =∠AED ，DC =DE又∵∠C =2∠B ，∠AED =∠B +∠BDE∴∠B =∠BDE∴DE =BE ，∴DC =DE =BE =AB －AE =AB －AC=a －b ；(3)如图，分别延长AC ，BG 交于点H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵AG ⊥BH ，∴∠AGB =∠AGH =90°，∵在△AGB 和△AGH 中BAD CAD AG AG AGB AGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AGB ≌△AGH ，∴BG =HG ，∴22BCH BCG HCG S S S == ，又∵2ABC BCH ACG CGH S S S S +=+ （）∴ABC S =14．17．已知：如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM AB ⊥，FN BC ⊥，垂足分别为M ，N ．【思考说理】（1）求证：FE FD =．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“90ACB ∠=︒”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE FD =）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠即可求解；（2）在AB 上截取CP =CD ，分别证()CDF CPF SAS ∆≅∆、()AFE AFP ASA ∆≅∆即可求证；【解析】证明：（1）∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴点F 是ABC ∆的内心，∵FM AB ⊥，FN BC ⊥，∴FM FN =，∵90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴30CAB ∠=︒∴15CAD ∠=︒∴75ADC ∠=︒∵45ACE ∠=︒∴75CEB ∠=︒∴ADC CEB∠=∠∴()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠∴FE FD=（2）如图，在AB 上截取CP =CD ，在CDF ∆和CPF ∆中，∵CD CP DCF PCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDF CPF SAS ∆≅∆∴FD FP =，∠CFD =∠CFP ，∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠CAD =∠BAD ，∠ACE =∠BCE ，∵∠B =60°，∴∠ACB +∠BAC =120°，∴∠CAD +∠ACE =60°，∴∠AFC =120°，∵∠CFD =∠AFE =180°-∠AFC =60°，∵∠CFD =∠CFP ，∴∠AFP =∠CFP =∠CFD =∠AFE =60°，在AFE ∆和AFP ∆中，∵AFE AFP AF AF PAF EAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AFE AFP ASA ∆≅∆∴FP =EF∴FD =EF ．18．如图，∠MAN 是一个钝角，AB 平分∠MAN ，点C 在射线AN 上，且AB ＝BC ，BD ⊥AC ，垂足为D．(1)求证：BAM BCA ∠=∠；(2)动点P ，Q 同时从A 点出发，其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动；动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC ＝5，设动点P ，Q 的运动时间为t 秒．①如图②，当点P 在射线AM 上运动时，若点Q 在线段AC 上，且52ABP BQC S S =△△，求此时t 的值；②如图③，当点P 在直线AM 上运动时，点Q 在射线AN 上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得 APB 与 BQC 全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)见解析(2)①2517t =；②存在，54t =或52t =【分析】（1）①先证Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），推出∠BAC ＝∠BCA ．再由角平分线的定义得∠BAM ＝∠BAC ，等量代换即可证明BAM BCA ∠=∠；（2）①作BH ⊥AM ，垂足为M ．先证△AHB ≌△ADB （AAS ），推出BH ＝BD ，再由S △ABP ＝52S △BQC ，推出52AP CQ =，结合P ，Q 运动方向及速度即可求解；②分“点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC 上”，以及“点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP 与CQ 的关系即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥AC ，∴90BDA BDC ∠=∠=︒，在Rt △BDA 和Rt △BDC 中，BD BD AB CB=⎧⎨=⎩，∴Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），∴∠BAC ＝∠BCA ．∵AB 平分∠MAN ，∴∠BAM ＝∠BAC ，∴∠BAM ＝∠BCA ．（2）解：①如下图所示，作BH ⊥AM ，垂足为M ．∵BH ⊥AM ，BD ⊥AC ，∴∠AHB ＝∠ADB ＝90°，在△AHB 和△ADB 中，AHB ADB BAH BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AHB ≌△ADB （AAS ），∴BH ＝BD ，∵S △ABP ＝52S △BQC ，∴151222AP BH CQ BD =⨯ ，∴52AP CQ =，∴5(53)2t t =-，∴2517t =．②存在，理由如下：当点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC上时，如下图所示，∵AB ＝BC ，又由（1）得∠BAM ＝∠BCA ，∴当AP ＝CQ 时，△APB ≌△CQB ，∴53t t =-，∴54t =；当点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴35t t=-，∴52 t=．综上所述，当54t=或52t=时，△APB和△CQB全等．。

第一篇 副题3 解三角形【副题考法】本副题考题形式为选择题、填空题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为基础题和中档题，分值为分.【副题回扣】1.三角形中的三角变换：(1)角的变换：因为在ABC ∆中，()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=- 222()C A B π⇔=-+，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin 2A B +=2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+；学科-网 (2)三角形边、角关系定理及面积公式面积公式(r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半).(3)在ABC ∆中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列. 2.要熟记如下知识： (1)正弦定理：分类 内容定理2sin sin sin a b cR A B C===(R 是ABC ∆外接圆的半径) 变形公式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，②sin :sin :sin ::A B C a b c =， ③sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(2)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>.(3)在ABC ∆中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A = sin b A a b << a b ≥a b >解的个数一解 两解一解一解(4)余弦定理分类内容定理在ABC ∆中，有2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-变形公式222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac+-=；222cos 2a b c C ab +-= 解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.2 .注意隐含条件的挖掘；学&科网【副题考向】考向一 已知三角形中的边角关系解三角形【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解.4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.6.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.例1【2020百校联盟12月质量监测】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若8a b +=，27c =，()()2222212sin 22B abc a b a b c -⎛⎫=- ⎪⎝+⎭-，则ABC ∆的面积为( )A ．63B ．83C ．33D ．43【分析】先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将()()2222212sin22B abc a b a b c-⎛⎫=- ⎪⎝+⎭-，变形整理为2cos cos cos a C b C c B =+，再根据正弦定理，变形整理为2sin cos sin A C A =，确定1cos 2C =，然后根据余弦定理，确定12ab =，根据三角形面积公式in 12s S ab C =求解即可. 【解析】依题意，()()22222cos a b a b cabc B -+-=，即()2222cos 2a b c a b c B ab+--=，故()cos 2cos B a C b c =-⋅，故2cos cos cos a C b C c B =+，即2sin cos sin cos sin cos sin A C B C C B A =+=， 因为sin 0A ≠，故1cos 2C =； 由余弦定理，()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即28643ab =-，即336ab =，则12ab =，则ABC ∆的面积13sin 63322S ab C ==⨯=，故选C考向二 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.例2【2020广东六校联盟第三次联考】如图，ABC V 上，D 是BC 上的点，且AC CD =，23AC AD =，2AB AD =，则sin B 等于______.【分析】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，先利用余弦定理求出cos ,ADC ∠再利用正弦定理求出sin B 的值.【解析】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，在ADC V 中由余弦定理可得2223cos 3223ADC x x∠==⨯⨯， 236sin sin 133ADB ADC ⎛⎫∴∠=∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在ADB △中由正弦定理可得62sin 63sin 46x AD ADBB ABx ∠===， 考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步：①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；学=科网 ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.例3【2020湖北宜昌3月线上调研】如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开26D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为( )A ．3B ．32C ．4D ．2【分析】先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.【解析】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒， 所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以3226BC ==所以2212cos 2462266322AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯= B. 考向四 判定三角形性质【解题法宝】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论． 3.如何利用余弦定理判定三角形的形状由于cos A 与222b c a +-同号， 故当2220b c a +->时，角A 为锐角； 当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形； 当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形．例4 【2020江西高安中学期末】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC V 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【分析】将角C 用角A 角B 表示出来，和差公式化简得到答案.【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以2cos sin sin()sin cos cos sin B A A B A B A B =+=+， 即cos sin cos sin 0B A A B -=，所以sin()0A B -= 因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以ππ<-<-B A ， 所以A B ∠=∠，故选C【副题集训】1.【2019届北师大实验中学二模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，p ＝10，S 8，∴此三角形面积的最大值为8，故选C ．2. 【2020陕西汉中11月月考】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a bc =2，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．锐角非等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】D【解析】在ABC ∆中，60A =︒，a bc =2，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-=，()20b c ∴-=，b c ∴=，又60A =︒，故ABC ∆为等边三角形.，故选D3.【2020山东德州期中】中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为2(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/秒)A ．3323B ．5323C ．7323D ．8323【答案】B【解析】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==(米/秒)，故选B ．4. 【2019届上海市七宝中学期末】△ABC 中，a 2：b 2=tan A ：tan B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】∵a 2：b 2=tan A ：tan B ，由正弦定理可得，，∵sin A sin B ≠0，∴，∴sin A cosA=sin B cosB 即sin2A =sin2B ，∴2A =2B 或2A +2B =π，∴A =B 或A +B =，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．5.【2020云南昆明一中期中】在ABC ∆中，3B π=，3AC =2AB BC +的最大值为( )A ．5B ．27C ．3D ．4【答案】B【解析】因为2sin sin sin AB AC BCC B A===，所以22sin 4sin 2sin 4sin 4sin 23cos 27sin()3AB BC C A C C C C C πϕ⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪⎝⎭，其中3tan 2ϕ=，当()sin 1C ϕ+=取得最大值，存在C 使得最大值为27，故选B. 6.【2019届闽粤赣三省十校联考】已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，，则( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由正弦定理可知：，即，即，，在中，，即，解得，故选7.【2020河南洛阳二高期末】一船沿北偏西45o 方向航行，正东有两个灯塔A,B, 10AB =海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60o ，另一灯塔在船的南偏东75o ，则这艘船的速度是每小时 ( ) A ．5海里 B ．52海里C ．10海里D ．102海里【答案】D【解析】如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10，△AOC 中,由正弦定理可得102sin135sin30OC =︒︒，∴52OC =，∴5210212v ==，∴这艘船的速度是每小时102海里，故选D.8.【2019届湖南省怀化一模】在中，角的对边分别为，的面积为，若，则的值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，因为，由余弦定理，所以由，可得，整理得，所以，所以，化简得，因为，所以，故选C ．9. 【2020江西名师联盟一模】在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24a b +=，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，则ABC ∆的面积取得最小值时有2c =( )A ．55+B ．55+C ．2553-D ．4553-【答案】D【解析】由已知有sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，根据正弦定理得2246sin a b ab C +=，又in 12s S ab C =，即22412a b S +=，由于24a b +=，即有2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，即有41612ab S =-，由于224282a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即16128S -≤，解得23s ≥，当且仅当22a b ==时取等号，当2a =，1b =，S 取最小值23，又2sin 3C =(C 为锐角)，则5cos 3C =， 则22242cos 553c a b ab C =+-=-，故选D 10.【2019届陕西省汉中市重点中学3月联考】在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是边的中点，且，则的面积为( ) A ．B ．C ．或D ．或【答案】D 【解析】由题可知，，则，或.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为，故选D.11．【2020四川成都石室天府中学四质检】我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则sin A 等于( )A ．10B ．6C ．10或6D ．1120或1136【答案】C【解析】已知2S =，a =2b =，代入S =2=，即4212450c c -+= ，解得225,9c c ==，当25c =时，由余弦弦定理得：222cos 210b c a A bc +-==，sin 10A ==.当29c =时，由余弦弦定理得：2225cos 26b c a A bc +-== ，11sin 6A ==，故选C 12.【2020湖北武汉3月质检】已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为( )A ．5B ．5C ．5D ．3【答案】B【解析】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-①由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =② 由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤，当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号，故选B13.【2019届河北省保定市10月摸底】已知在河岸处看到河对岸两个帐篷分别在北偏东和北偏东方向，若向东走30米到达处后再次观察帐篷，此时二者分别在北偏西和北偏西方向，则帐篷之间的距离为( )A．米B．米C．米D．米【答案】C【解析】由题意可得在中有因为所以解得在中有：解得在中有：，解得，故选C。

解三角形 【考点导读】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】 1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ . 2．在中，若，则的大小是______________. 3．在中，若，，，则． 4．在ABC中，，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为． 6．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，，那么b=_____． 【范例解析】 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知，，． （1）求的值；（2）求的值． 分析：利用转化为边的关系． 解：（1）由． （2）由得．由余弦定理 得： ，解得：或， 若，则，得，即矛盾，故． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论． 例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状． 分析一：边化角 解法一：由已知得：， 化简得， 由正弦定理得：， 即， 又，，． 又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边 解法二：同解法一得：， 由正余弦定理得：， 整理得：，即或， 即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点， 线段MN经过△ABC的中心G，设(MGA＝(（）． （1）（2）的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心， 所以AG＝，(MAG＝， 由正弦定理得 则S1＝GM(GA(sin(＝，同理可求得S2＝． （2）＝＝72（3＋） 因为，所以当(＝或(＝时，y取得最大值ymax＝240； 当(＝时，y取得最小值ymin＝216． 点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值． 例4.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=. （1）； 分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：，，， （2）解：AC=DC，. ，，. 点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值. 【反馈演练】 1．在中，则BC=_____________． 2．的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_____． 3．已知顶点的直角坐标分别为，，．若是钝角，则的取值范围 ___________ ． 4．已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ． 5．在中，若，，则的形状是____等边___三角形． 6．若的内角满足，则=． 7． 的三个内角为，则的最大值为 ． 8．在中，已知，给出以下四个论断： ① ；② ； ③ ； ④ ． 其中正确的序号有______②④_____． 9．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，给出下列结论： ①和都是锐角三角形； ②和都是钝角三角形； ③是钝角三角形，是锐角三角形； ④是锐角三角形，是钝角三角形． 其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在中，已知，，． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值． Ⅰ）在中，，由正弦定理， ．所以． （Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是 ， ， ． ． 11．在中，已知内角，边．设内角，周长为． （1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值． 解：（1）的内角和，由得． 应用正弦定理，知， ．因为， 所以， （2）因为 ， 所以，当，即时，取得最大值． 12．在中，，． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长． 解：（Ⅰ），． 又，． （Ⅱ），边最大，即． 又，角最小，边为最小边． 由且， 得．由得：． 例4 A β α C D B 例3 D G M N C B A。