第31讲 等差数列的概念及基本运算

学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。

等差数列的基本概念和性质1. 等差数列的定义等差数列，简称等差数列，是由一个常数d演化的数列。

数列中的每个数与它前面的数之间的差值都是相等的，这个公差d成为等差数列的公差。

等差数列可以用以下公式表示：a_n = a_1 + (n-1)d其中，a_n是等差数列的第n项，a_1是等差数列的第一项，d是等差数列的公差。

2. 等差数列的性质2.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用来计算等差数列的每一项。

根据等差数列的定义，我们可以得到通项公式：a_n = a_1 + (n-1)d其中，a_n是等差数列的第n项，a_1是等差数列的第一项，d是等差数列的公差。

2.2 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式可以用来计算等差数列的前n项的和。

根据等差数列的定义，我们可以得到前n项和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)其中，S_n是等差数列的前n项和，n是等差数列的项数，a_1是等差数列的第一项，a_n是等差数列的第n项。

2.3 等差数列的性质以下是等差数列的一些性质：•等差数列的前n项和是一个一次函数关于n的多项式。

•等差数列的和序列是一个等差数列，且公差是1。

•等差数列的一个重要性质是：任意三项成等差数列。

•两个等差数列的和序列是一个等差数列，且公差是两个等差数列的公差之和。

3. 等差数列的应用3.1 数学领域中的应用等差数列在数学领域中有广泛的应用，特别是在代数学和数学分析中。

它们可以用来建模和解决各种数学问题，包括泛函分析、微积分和线性代数等。

3.2 自然科学领域中的应用等差数列在自然科学领域中也有一些应用。

例如，在物理学中，等差数列可以用来描述物体的运动状态。

在化学和生物学中，等差数列可以用来描述化学反应和生物学过程中的分子数量和时间之间的关系。

4. 总结等差数列是一个常见且重要的数学概念，它具有一些基本的性质和应用。

通过学习和理解等差数列的定义和性质，我们可以更好地应用它们于数学和自然科学领域，并解决相关的问题。

等差数列知识点精讲知识精讲1．等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；【例1】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。

【例2】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项为1a ，公差为d ，末项为n a 推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=；总结：等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

【例1】（2003年全国高考题）等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51【例2】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 。

【例3】（2006年全国卷1）设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11+a 12+a 13等于（ ）A.120B.105C.90D.75【例4】若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2-10n(n ＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________；数列{na n }中数值最小的项是第_______项。

3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 【例1】如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++= 那么【例2】已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则等差数列的公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3【例3】（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ） A 、5B 、6C 、8D 、10【例4】在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝（ ）A.32B.12C ．－32D ．－12【例5】（2009北京东城高三第一学期期末检测）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______. 【例6】等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项：()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）【例1】（2011年高考江西卷文科）设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.24【例2】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 【例3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则 【例4】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972,___.S a a a =++=则，则a 5为______. 【例5】设{}n a 是公差为-2的等差数列，如果a 1+a 4+….. + a 97 =50，那么a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-82【例6】（2006年重庆高考题）在等差数列{}n a 中，若a 4+a 6=12，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则S 9的值为（ ）A.48B.54C.60D.66【例7】（1）已知等差数列{}n a 的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项。

3.1等差数列（课时）1等差数列教学目的：．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：一、复习引入：二、讲解新课：．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{},若－=d，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。

2．等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：……由此归纳等差数列的通项公式可得：第二通项公式三、例题讲解例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2在等差数列中，已知，，求,,例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例4梯子最高一级宽33c，最低一级宽为110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

例5已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看是不是一个与n 无关的常数。

注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…②若p≠0,则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q。

称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

要求层次重难点数列的概念 数列的概念和表示法A 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 根据数列的递推公式写出数列的前几项 等差数列等差数列的概念B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题等差数列的通项公式与前n 项和公式C（一） 知识内容1．数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．2．数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项． 数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a 或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．3．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式． 4．数列的分类数列的分类方式一般有三种：⑴项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列； ⑵从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项； ⑶如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列． 5．数列的表示方法数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{1,2,3,,}n ）的一类特殊的函数()f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式． 例题精讲高考要求板块一：数列概念与基础知识数列及等差数列⑵图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）； ⑶列表法． 6．数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，111,2(2)n n a a a n -==-≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．7．数列的前n 项和数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++．数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．例如：数列{}n a ：2,4,6,8,10,，是一个递增数列，且是无穷数列，无界数列，它的首项12a =，2n a n =是它的一个通项公式； 其中112,2(2)n n a a a n -==+≥是它的一个递推公式； 它的前n 项和2422(12)(1)n S n n n n =+++=+++=+．<教师备案>1．提醒学生注意{}n a 和n a 的区别，前者表示一个数列，后者表示数列中的一项：第n 项，也称为数列的通项．2．数列是一种特殊的函数，它的定义域为一个离散的集合，是自然数集或自然数集的有限子集{1,2,3,,}n ，用图象法表示数列时，图象是一组离散的点，其横坐标分别为正整数：1,2,3,．3．⑴并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能有解析式一样， 例如：π的不足近似值精确到1,0.1,0.01,0.001,所构成的数列：3,3.1,3.14,3.141,3.1415,，该数列就没有通项公式．⑵数列的通项公式存在时，在形式上也不一定是唯一的，例如，数列1,1,1,1,1,---的通项公式可以写成(1)n n a =-，也可以写成11n n a n ⎧-=⎨⎩为奇数 为偶数，还可以写成cos n a n π=．⑶对于只写出前几项的数列，不仅可以有形式上不同的解析式，也可以有表示的数列 就不相同的通项公式，因为仅仅知道几个点不能完全确定一个函数，即后面的项可以 不对应相等．例如，给定数列{}n a 的前四项：1,3,5,7，我们得到21n a n =-是它的一 个通项公式，同时21(1)(2)(3)(4)n b n n n n n =-+----也是它的一个通项公式，但我们 有55933a b =≠=．所以通常只要求写出一个满足条件的通项公式即可．4．递推公式的可以推广为：如果已知数列的前n 项，且从第1n +项开始的任一项与它前几项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 例如，12211,1,(3)n n n b b b b b n --===+≥．由这些条件我们可以求出{}n b 的任意一项来：34562,3,5,8,b b b b ====，这个数列就是著名的斐波那契数列．（二）主要方法：求数列的通项公式有四种办法，首先是观察法，第二是累加法，第三是迭乘法，第四是构造已知数列的方法;关于第四种方法也就是根据递推公式求数列的通项公式的方法,在本讲和下一讲会分别续两项之间的关系给出的,可见其重要作用.求数列的通项公式一共三种题型，⑴已知数列的前几项，求通项公式,⑵已知数列的前n 项和与na 的关系, 求通项公式;⑶已知递推公式求通项公式（三）典例分析：1.数列的基础概念，观察法求数列规律【例1】 请写出下面数列的一个通项公式．⑴2，0，2，0，2，…⑵12-，16，112-，120，…【变式】 ⑴ 已知数列{}n a 满足1a a =，()1112n n a n a -=+≥，若40a =，则a =_____． ⑵ 请写出下面数列的一个通项公式：0.9,0.99,0.999,0.9999,【变式】 ⑴ 请写出下面数列的一个通项公式：12，2，92，8，252…， ⑵ 请写出下面数列的一个通项公式：1，2，3，4，5，8，7，16，9…，⑶ (2008-2009学年度山东省费县第一学期考试数学试卷) 已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，求通项n a ．【变式】 观察下列等式：2111,22n i i n n ==+∑ 2321111,326n i i n n n ==++∑ 34321111,424n i i n n n ==++∑ 454311111,52330n i i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212n i i n n n n ==++-∑ 67653111111,722642n i i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nk k k k k k k k k i i a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑ 可以推测，当2n ≥时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 2k a -= .【例2】 已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n ∈N ，则2009a = ；2014a = ．【例3】 ⑴根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.⑵将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．（1） （4）（7）（ ） （ ）【变式】 如下图，第⑴个多边形是由正三角形“扩展“而来，第⑵个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ， 则6a =【变式】 观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个【例4】 将正ABC ∆分割成2n （2≥n ，n *∈N ）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了2n =，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ∆的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =_________，，()f n =_____________．图3图22.应用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥，求通项2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点【例5】 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则3a =_______．【变式】 数列{}n a 的前n 项和n S 满足：32n n S =-，试求{}n a 的通项公式．【变式】 数列{}n a 的前n 项和2(1)n S n n =≥，求它的通项公式．【变式】 一个数列的通项公式是2813n a n n =-+，写出此数列的前五项，并求此数列的最小项的值？【例6】 已知数列{}n a 的前n 项和291,n S n n =-+则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，k = .【变式】 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．63.数列递推公式【例7】 已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于( )A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-【例8】 数列{}n a 的通项公式是n a =n 项和为10，则项数n 为 .【变式】 ⑵已知数列{}n a 的前n 项和为1(51)2n S n n =-，n +∈N ，现从前m 项：1a ，2a ，…，m a 中抽出一项（不是1a ，也不是m a ），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是第____项．【例9】 ⑴（广东省惠阳高级中学2008-2009学年期中考试）数列{}n a 的通项公式是()()*11n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9⑵ 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式n a ．【例10】 已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S满足n n S S -==则n a =【例11】 ⑴数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，≤，≤，若135a =，则数列的第2007项为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45⑵已知11(2)(1)n n a a n n n -=+-≥，11a =，求出此数列的一个通项公式；⑵数列{}n a 中，112,3n n a a a +==+，求{}n a 的一个通项公式；4.数列的前n 项和【例12】 已知{}n a 的前n 项之和241n S n n =-+，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=_______．【变式】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210||||||a a a +++=_______.【变式】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.【例13】 已知数列1(1)(2)n a n n n =++，求它的前n 项和n S ．【点评】 常见的裂项相消的方法有：分式：1111()()n n p p n n p=-++；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；1p=； 对数式：lglg()lg n pn p n n +=+-； 指数式：1()1n n n aaq q q q+=--.【变式】 ⑴已知n a ，求它的前n 项和n S ．⑵已知21(1)1n a n =+-，求它的前n 项和n S ．5.数列的单调性【例14】 设{}n a 为首项14a =的单调递增数列，且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，则n a =【例15】 已知n a n ={}n a 的单调性．【例16】 已知函数22()1x f x x=+，设()()n a f n n +=∈N ， ⑴ 判断0.98是否是数列{}n a 的项；⑵ 求证：1n a <；⑶ 判断并证明数列{}n a 的单调性．【例17】 已知{}n a 是递增数列，且对任意*n ∈N 都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是______【变式】 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=（1,2,3,n =），求数列{}n a 的通项公式，判断数列的单调性.【例18】 已知数列{}n a 的通项)n a n +=∈N ，求数列{}n a 的前30项中的最大项与最小项．【变式】 已知一个数列的通项公式是230n a n n =+-.⑴ 问60-是否是这个数列中的项？⑵ 当n 分别为何值时，000n n n a a a =><，，？ ⑶ 当n 为何值时，n a 有最大值？并求出最大值.【变式】 设函数2()log log 4(01)x f x x x =-<<，数列{}n a 的通项n a 满足(2)2()n a f n n +=∈N ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵判定数列{}n a 的单调性．1．等差数列基本概念（1）等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． （2）等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．（3）等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． （4）等差数列的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． <教师备案>1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a da a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-， 把项的顺序反过来，可将n S 写成： ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2．等差数列的性质 （1）(),m nm n a a a a m n d d m n-=+-=- （2）在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+（3）若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±。

等差数列许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和．大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢?当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法．通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题．什么叫等差数列呢?我们先来看个例子：①1，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13…③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21…⑤100，95，90，85，80，75，70…上面五组数都是数列。

数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项,第二个数叫第二项……以此类推,最后一个数叫做这个数列的末项。

项的个数叫做项数。

这五个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，象这样的数列就称为等差数列．一个数列中,如果从第二项起,每一项与它前面一项的差都相等,这样的数列叫等差数列。

后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。

如等差数列：4,7,10,13,16,19,22,25,28。

首项是4,末项是28,公差是3。

下面我们就来学习有关等差数列的知识。

【例1】 1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=?[分析]我们通过观察,发现数列中的数有这样的关系：l+100=101,2+99=101,3+98=101,……一共有多少个10l呢?因为一共有100个数,每两个数一组,所以,一共有100÷2=50(组)。

也就是说有50个101。

[解]原式=(1+100)×(100÷2)=5050答：和是5050。

点评从1开始的连续自然数列求和，而且个数正好可以两两配对，这类题目的解题方法就同高斯的做法相同。

第六单元 数列与算法第30讲 数列的概念与通项公式1.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，且a 8＝3421，则a 3＝( )A.32B.53C.85D.1382.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．643.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则其通项公式a n ＝( )A ．3·2n －1B ．2·3n －1 C ．2n D ．3n4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．555.已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则该数列{a n }的通项公式为________．6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S nn)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .7.在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab ＝______.8.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2，3，…)，求a n .9.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，(n ∈N *)． (1)求通项a n ； (2)若b n ＝2n ·(a n －12)(n ∈N *)，求数列{b n }的最小项．第31讲等差数列的概念及基本运算1.设{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A．18 B．20C．22 D．242.设数列{a n}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，S n是数列{a n}的前n项和，则有()A．S9<S10B．S9＝S10C．S11<S10D．S11＝S103.若等差数列{a n}满足a n a n＋1＝n2＋3n＋2，则公差为()A．1 B．2C．1或－1 D．2或－24.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差为d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝()A．8 B．7C．6 D．55.已知数列{a n}中，a1＝－1，a n＋1·a n＝a n＋1－a n，则数列{a n}的通项公式为________．6.已知等差数列{a n}，若a1＝3，前三项和为21，则a4＋a5＋a6＝______.7.等差数列{a n}的公差d<0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取最大值时n＝________.8.已知数列{a n}中，a1＝35，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，数列{b n}满足b n＝1a n－1(n∈N*)．(1)求证：{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项与最小项，并说明理由．9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a4＝－12，a8＝－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及其相应的n的值；(3)从数列{a n}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，a2n－1，…构成一个新的数列{b n}，求{b n}的前n项和．第32讲 等比数列的概念及基本运算1.已知数列{a n }是正项等比数列，若a 2＝2,2a 3＋a 4＝16，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －2B ．22－nC ．2n －1 D ．2n2.等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )A ．254B ．255C ．256D ．2573.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13 B.13C ．－12 D.124.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，其前4项和S 4＝60，则a 2等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－65.已知数列{a n }为等比数列，且a 5＝4，a 9＝64，则a 7＝ .6.等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.7.设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.8.设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .9.已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .第33讲 等差、等比数列的性质及综合应用1.在等差数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20－a 10等于( ) A.52 B.25 C.52或－52 D.25或－252.已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 4＋a 6＝3，则a 5＋a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．63.设S n 表示等比数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，已知S 10S 5＝3，则S 15S 5＝( )A ．3B ．5C ．7D ．94.已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．8(2n －1) B.83(4n －1)C.163(2n －1)D.23(4n －1) 5.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.6.已知1，a 1，a 2,9成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，且a 1，a 2，b 1，b 2，b 3都是实数，则(a 2－a 1)b 2＝______.7.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝________.8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 5＝4a 3＋6，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{1S n}的前n 项和．9.设各项均不为0的数列{a n }的前n 项之乘积是b n ，且λa n ＋b n ＝1(λ∈R ，λ＞0)． (1)探求a n 、b n 、b n －1之间的关系式；(2)设λ＝1，求证：数列{1b n}是等差数列；(3)设λ＝2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <23.第34讲 数列求和1.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n 2－22.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋2)，则S 10等于( )A.175264B.7255C.1012D.11123.已知数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{ab n }前10项的和M 10等于( )A ．511B ．512C ．1023D ．10334.数列{(3n －1)·4n －1}的前n 项和S n ＝( )A ．(n －23)·4n ＋23B ．(n －23)·4n ＋1＋23C ．(n －23)·4n －1＋23D ．(n －23)·4n ＋435.已知等差数列{a n }中，a 5＝1，a 3＝a 2＋2，则S 11＝ .6.若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 5＋a 6＋a 7＝______.7.已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.8.数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．9.已知f (x )＝－4＋1x 2，点P n (a n ，－1a n ＋1)在曲线y ＝f (x )(n ∈N *)上且a 1＝1，a n >0.(1)求证：数列{1a 2n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a 2n ·a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N *，存在正整数t ，使得S n <t 2－t －12恒成立，求最小正整数t 的值．第35讲 数列模型及综合应用1.某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2022年年底在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )A ．5110－1B ．4110－1C ．3110－1D ．4111－12.等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．1＋log 35D ．2＋log 353.已知函数f (x )＝3x 2＋bx ＋1是偶函数，g (x )＝5x ＋c 是奇函数．若a 1＝1，f (a n ＋a n ＋1)－g (a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，则正数数列{a n }的通项公式为( )A ．(23)n －1B ．(32)n －1C ．(23)nD ．(32)n4.已知f (x )＝sin 2x ，若等差数列{a n }的第5项的值为f ′(π6)，则a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝( )A ．2B ．4C ．8D ．165.五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2014次被报出的数为______．6.王老师从2011年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2018年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回______元．7.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是________．8.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为n －1千元时多卖出b2n (n ∈N *)件．(1)试写出销售量S n 与n 的函数关系式；(2)当a ＝10，b ＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？9.已知正数数列{a n }中，a 1＝2.若关于x 的方程x 2－a n ＋1x ＋2a n ＋14＝0(n ∈N *)对任意自然数n 都有相等的实根．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n <23(n ∈N *)．第36讲算法与程序框图1.以下结论正确的是()A．任何一个算法都必须有的基本结构是条件结构B．任何一个算法都必须有的基本结构是顺序结构C．在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断的是循环结构D．在算法的逻辑结构中，要求根据结果进行不同处理的是顺序结构2.下面的问题中必须用选择结构才能实现的个数是()①已知三角形的三边长，求三角形的面积；②求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根；③求三个实数a，b，c中的最大者；④求1＋2＋3＋…＋100的值．A．4 B．3C．2 D．13.执行如图的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最小值是()A．6 B．7C．8 D．15(第3题)(第4题)4.已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填()A．2 B．3C．5 D．75.执行如图所示的程框图，若输入x＝4，则输出y的值为________．(第5题)(第6题)6.下图给出了一个算法流程图．若给出实数a，b，c为a＝4，b＝x2，c＝2x2－3x＋2，输出的结果为b，则实数x的取值范围是__________．7.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4(单位：吨)，根据下图所示的程序框图，若x 1、x 2、x 3、x 4分别为1、1.5、1.5、2，则输出的结果s 为________．8.试写出一个求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥4)x 2－2x ＋3 (x <4)的函数值的算法，并画出框图．9.某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(假定通话时间均为整数，不足1分钟按1分钟计)．试设计一个计算通话费用的算法．要求画出流程图．第37讲基本算法语句和算法案例1.下列关于“赋值语句”叙述正确的是()A．3.6＝x是赋值语句B．利用赋值语句可以进行代数式的化简C．赋值语句中的等号与数学中的等号意义相同D．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值2.当a＝3时，下面的程序段输出的结果是()IF a<10THENy＝2]A．9 B．3C．10 D．63.读下面的甲、乙两程序：甲乙i＝1S＝0WHILE i<＝1000 S＝S＋ii＝i＋1WENDPRINT SENDi＝1000S＝0DOS＝S＋ii＝i－1LOOP UNTIL i<1 PRINT SEND对甲、乙两程序和输出的结果判断正确的是()A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同 4.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x4＋3x3＋2x2＋6x＋1当x＝0.5时的值，需要做乘法的次数是()A．9 B．14C．4 D．55.程序如下：t＝1i＝2WHILE i<＝4t＝t×ii＝i＋1WENDPRINT t以上程序输出的结果是________．6.若k进制数123(k)与十进制数38(10)相等，则k＝.7.程序如下，若输入10,20,30，则输出结果为__________．INPUT“a，b，c＝”；a，b，ca＝bb＝cc＝aPRINT a，b，c8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.00833x5＋0.04167x4＋0.16667x3＋0.5x2＋x＋1，当x＝－0.2时的值．9.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款利息．若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱的钱全部付清后，实际付了多少元？请画出程序框图，并写出程序．第六单元 数列与算法第30讲 数列的概念与通项公式1．A 由a 8＝3421＝1＋1a 7，得a 7＝2113＝1＋1a 6. 类似有a 6＝138＝1＋1a 5，a 5＝85＝1＋1a 4，a 4＝53＝1＋1a 3，从而a 3＝32，故选A. 2．A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.3．B 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2·3n －1，又a 1＝S 1＝31－1＝2满足2·3n －1，故选B.4．C 由a n ＝(－1)n (n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5.5．a n ＝n 2－2n ＋21 因为a n ＋1－a n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，n ≥2，以上各式相加可得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)⇒a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21(n ≥2)． 又a 1＝20适合上式，故a n ＝n 2－2n ＋21.6．6n －5 因为S n n＝3n －2，所以S n ＝3n 2－2n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2(n ∈N *)时，a n ＝S n －S n －1＝6n －5.所以a n ＝6n －5.7．－1 因为a n ＝4n －52， a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －[a (n －1)2＋b (n －1)]＝2an －a ＋b ，所以a ＝2，b ＝－12，则ab ＝－1. 8．解析：因为a n ＋1＝13S n ，所以a n ＝13S n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)， 所以a n ＋1＝43a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13， 所以{a n }是从第2项起，公比为43的等比数列， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n ＝1)13·(43)n －2 (n ≥2，n ∈N *). 9．解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.又n ＝1时，a 1＝2×1＋1＝3成立，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)b n ＝2n ·(a n －12)＝2n ·(2n －11)，由⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤b n ＋1b n ≤b n －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧2n ·(2n －11)≤2n ＋1·(2n －9)2n ·(2n －11)≤2n －1·(2n －13) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ≥3.5n ≤4.5， 所以3.5≤n ≤4.5，所以n ＝4，所以最小项为b 4＝－48.第31讲 等差数列的概念及基本运算1．B 由S 11＝S 10⇒a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11－10d ＝0－10×(－2)＝20.2．B 由题意得，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 15－a 215－2＝1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n －10，则a 10＝0，所以S 9＝S 10，故选B.3．C a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝n ＋1或a n ＝－n －1，公差为1或－1，故选C.4．D 由题意S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋(k ＋1)d ＋a 1＋kd ＝24⇒k ＝5.5．a n ＝－1n 由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，得1a n －1a n ＋1＝1， 即1a n ＋1－1a n＝－1，又1a 1＝－1， 则数列{1a n}是以－1为首项和公差的等差数列， 于是1a n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n. 6．57 由条件知3×3＋3d ＝21，d ＝4，所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×3＋4×12＝57.7．5或6 由题意知a 21＝a 211＝(a 1＋10d )2＝a 21＋20a 1d ＋100d 2，即a 1＝－5d ，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －11)2d ， 故当n ＝5或6时，S n 最大．8．解析：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1 ＝a n a n －1－1a n －1＝1，所以{b n }是公差为1的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝b 1＋(n －1)×1＝135－1＋(n －1)＝n －72， 所以1a n －1＝n －72，所以a n ＝2n －52n －7， 又a n ＝1＋1n －72， 由函数y ＝1＋1x －72的图象可知，n ＝4时，a n 最大；n ＝3时，a n 最小，所以最大项为a 4，最小项为a 3.9．解析：(1)设公差为d ，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－12a 8＝－4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝－12a 1＋7d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－18d ＝2. 所以a n ＝2n －20.(2)由数列{a n }的通项公式可知，当n ≤9时，a n <0；当n ＝10时，a n ＝0；当n ≥11时，a n >0.所以当n ＝9或n ＝10时，S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90.(3)记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知b n ＝a 2n －1＝2×2n －1－20＝2n －20.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20n＝2－2n ＋11－2－20n ＝2n ＋1－20n －2.第32讲 等比数列的概念及基本运算1．C 设等比数列的首项及公比分别为a 1，q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝22a 1q 2＋a 1q 3＝16，由此可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2， 故数列的通项公式为a n ＝2n －1，故选C.2．B 由a 8＝1，q ＝12，得a 1＝27. 所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255. 3．A 因为等比数列前n 项和可写为形如S n ＝kq n －k ，所以－a 2＝16，解得a ＝－13，故选A. 4．A S 4＝60，q ＝2⇒a 1(1－24)1－2＝60⇒a 1＝4，故a 2＝8，故选A. 5．16 因为a 5，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 5·a 9＝256.又a 5，a 7，a 9符号相同，所以a 7＝16.6.152由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1， 即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2.又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝12(1－24)1－2＝152. 7．15 对于S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 4＝a 1q 3，所以S 4a 4＝1－q 4q 3(1－q )＝15. 8．解析：(1)由题意得a 1a 2＝2，a 3a 4＝32，即a 21q ＝2，a 21q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2.所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝4n －1＋(n －1)，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1＋0)＋(41＋1)＋(42＋2)＋…＋[4n －1＋(n －1)]＝(1＋41＋42＋…＋4n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝4n －13＋(n －1)n 2.9．解析：(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ∈N *)． 又由a 1＝2，得a 1＋2＝4，所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－2.所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝22(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－2n －4. 第33讲 等差、等比数列的性质及综合应用1．C 由等差数列性质，a 4＋a 14＝a 7＋a 11＝5，又a 7·a 11＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＝2a 11＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝3a 11＝2， 此时d ＝a 11－a 711－7＝14或－14. 所以a 20－a 10＝10d ＝52或－52. 2．C 由题意a 5＋a 7＋a 9＝a 2·q 3＋a 4·q 3＋a 6·q 3＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)＝23×3＝24.3．C 由等比数列的前n 项和性质得S 10＝S 5＋S 5·q 5(q 为公比)．又S 10S 5＝1＋q 5＝3，则q 5＝2. 又S 15＝S 5＋(S 10－S 5)＋(S 15－S 10)＝S 5(1＋q 5＋q 10)＝7S 5，所以S 15S 5＝7. 4．B 由题意得等比数列{a n }的首项a 1＝2，公比q ＝2，则数列{a n a n ＋1}构成首项为8，公比为4的等比数列，所以S n ＝8×(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选B. 5．240 由等比数列性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，由已知条件知公比为2，所以a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)·q 3＝30×23＝240.6．8 由1，a 1，a 2,9成等差数列，可得a 2－a 1＝83， 由1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，可得b 2＞0，且b 2＝3，所以(a 2－a 1)b 2＝8.7.12 由等差数列的性质知1a 3＋1，1a 7＋1，1a 11＋1成等差数列， 则2a 7＋1＝1a 3＋1＋1a 11＋1， 即21＋1＝12＋1＋1a 11＋1，解得a 11＝12. 8．解析：(1)因为S 5＝4a 3＋6，所以5a 1＋5×42d ＝4(a 1＋2d )＋6.① 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2.②由①②及d ≠0可得a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n 可知S n ＝(2＋2n )×n 2＝n 2＋n . 所以1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＋1S n＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 所以数列{1S n }的前n 项和为n n ＋1. 9．解析：(1)由数列{a n }的前n 项之乘积是b n ，得a 1＝b 1，a n ＝b n b n －1. (2)令n ＝1，得λa 1＋b 1＝1，又a 1＝b 1，所以b 1＝1λ＋1，因为λ＝1，所以b 1＝12. 当n ≥2时，将a n ＝b n b n －1代入a n ＋b n ＝1中，得b n b n －1＋b n＝1， 则1b n ＝1b n －1＋1，数列{1b n }是以1b 1＝2为首项，以1为公差的等差数列． (3)因为2a 1＋b 1＝1，a 1＝b 1，所以3b 1＝1，b 1＝13. 当λ＝2时，将a n ＝b n b n －1代入2a n ＋b n ＝1中，得2b n b n －1＋b n＝1， 则1b n ＝2b n －1＋1，所以1b n ＋1＝2(1b n －1＋1)． 所以{1b n ＋1}是以1b 1＋1＝4为首项，以2为公比的等比数列． 所以1b n ＋1＝4·2n －1，解得b n ＝12n ＋1－1. 因为12n ＋1－1＜12n ＋1－2＝12·12n －1， 所以b n ＜12b n －1(n ∈N *，n ≥2)， 所以b 1＋b 2＋…＋b n≤b 1＋12b 1＋122b 1＋…＋12n 1b 1 ＝b 1·1－12n 1－12<b 11－12＝23， 即λ＝2时，b 1＋b 2＋…＋b n <23. 第34讲 数列求和1．C S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.2．A S 10＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋19×11＋110×12＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(19－111)＋(110－112)] ＝12(1＋12－111－112) ＝175264. 故选A.3．D a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，依题意得M n ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(1＋1)＋(2＋1)＋…＋(2n －1＋1)＝2n －1＋n ，M 10＝210＋10－1＝1033，故选D.4．A S n ＝2×1＋5×4＋8×42＋…＋(3n －1)·4n －1，①4S n ＝4×2＋5×42＋…＋(3n －1)·4n ，②②－①得：3S n ＝－2－3(4＋42＋…＋4n －1)＋(3n －1)·4n＝2＋(3n －2)4n ，所以S n ＝(n －23)·4n ＋23，故选A. 5．33 由a 3＝a 2＋2，得d ＝2，所以a 6＝3，故S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝33. 6．39 a 5＋a 6＋a 7＝S 7－S 4＝39.7.511512 由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12， a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n ，因此S 9＝1－(12)9＝511512. 8．解析：(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得， a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)， 又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)． 从而S n ＝13×[1－(13)n ]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *)． (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327. 由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 9．解析：(1)因为－1a n ＋1＝－4＋1a 2n ，所以1a 2n ＋1－1a 2n＝4， 所以{1a 2n}是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以1a 2n ＝4n －3，因为a n >0，所以a n ＝14n －3. (2)b n ＝a 2n ·a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14(14n －3－14n ＋1)． 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14[(1－15)＋(15－19)＋…＋(14n －3－14n ＋1)] ＝14(1－14n ＋1)<14. 对于任意的n ∈N *使得S n <t 2－t －12恒成立， 所以只要14≤t 2－t －12， 所以t ≥32或t ≤－12， 所以存在最小的正整数t ＝2符合题意．第35讲 数列模型及综合应用1．B 设2012年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )10＝4a ⇒x ＝4110－1.(切记翻两番为原来的4倍，而不是2倍) 2．B log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 3(310)＝10.3．A f (x )是偶函数⇒b ＝0，所以f (x )＝3x 2＋1，g (x )是奇函数⇒c ＝0，所以g (x )＝5x ，又f (a n ＋a n ＋1)－g (a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，即3(a n ＋a n ＋1)2＋1－5(a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，(a n ＋a n ＋1)[3(a n ＋a n ＋1)－5a n ]＝0.由于{a n }为正数数列，即a n >0，故3(a n ＋a n ＋1)＝5a n ，a n ＋1a n ＝23，又a 1＝1， 所以{a n }是等比数列，且a n ＝(23)n －1(n ∈N *)． 4．B 因为f ′(x )＝2cos 2x ，所以a 5＝f ′(π6)＝2cos π3＝1， 所以a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝(a 1＋a 9)(a 8＋a 2)＝2a 5·2a 5＝4，故选B.5．8 设五位同学依次报出的数字构成的数列为{a n }，则a 1＝2，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝8，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，……易知此{a n }(n ≥3)是周期为6的数列，所以a 2014＝a 6×335＋4＝a 4＝8.6.a (1＋r )8－a (1＋r )r复利问题，本题为等比数列模型． a (1＋r )7＋a (1＋r )6＋…＋a (1＋r )＝a (1＋r )[1－(1＋r )7]－r＝a (1＋r )8－a (1＋r )r . 7．7月、8月 当n ＝1时，a 1＝S 1＝16. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 230＋n 2－310， 即a n ＝－n 230＋n 2－310. 当n ＝7或n ＝8时，a n >1.5.8．解析：(1)设S 0表示广告费为0元时的销售量．由题意知S n －S n －1＝b 2n ， S n －1－S n －2＝b 2n －1， ……S 2－S 1＝b 22，S 1－S 0＝b 2， 将上述各式相加得，S n ＝b ＋b 2＋b 22＋…＋b 2n ＝b [1－(12)n ＋1]1－12＝b ·(2－12n )． (2)当a ＝10，b ＝4000时，设获利为T n 元．由题意知T n ＝10S n －1000n ＝40000·(2－12n )－1000n . 欲使T n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ T n ≥T n －1T n ≥T n ＋1，代入解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5n ≥5. 所以n ＝5，此时S 5＝7875.即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大．9．解析：(1)由题意得Δ＝a n ＋1－2a n －1＝0，即a n ＋1＝2a n ＋1，进而可得a 2＝5，a 3＝11.(2)证明：由于a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．因为a 1＋1＝3≠0，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，公比为2的等比数列，则数列{1a n ＋1}是以13为首项，公比为12的等比数列． 于是11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n＝13(1＋12＋122＋…＋12n －1) ＝13·1－(12)n 1－12＝23[1－(12)n ] <23， 所以11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n <23(n ∈N *)． 第36讲 算法与程序框图1．B 由顺序结构、条件结构和循环结构的含义可知应选B.2．C 只有②③符合条件，故选C.3．C 执行如图的程序框图，n ＝1，S ＝1；n ＝2，S ＝3；n ＝3，S ＝7；n ＝4，S ＝15；n ＝5输出，则p ＝8为最小值，故选C.4．B 当a ＝1时，进入循环，此时b ＝21＝2；当a ＝2时，再进入循环，此时b ＝22＝4；当a ＝3时，再进入循环，此时b ＝24＝16，所以当a ＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a ≤3，故选B.5．－54 第1次循环后，y ＝1，x ＝1；第2次循环后，y ＝－12，x ＝－12；第3次循环后，y ＝－54. 6．{x |x ＝2或－2≤x ≤1} 流程图的算法功能是求实数a ，b ，c 的最小值，则b ≤a ，b ≤c ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4x 2≤2x 2－3x ＋2， 解得x ＝2或－2≤x ≤1.7.32第一(i ＝1)步：s 1＝s 1＋x i ＝0＋1＝1； 第二(i ＝2)步：s 1＝s 1＋x i ＝1＋1.5＝2.5；第三(i ＝3)步：s 1＝s 1＋x i ＝2.5＋1.5＝4；第四(i ＝4)步：s 1＝s 1＋x i ＝4＋2＝6，s ＝14×6＝32； 第五(i ＝5)步：i ＝5>4，输出s ＝32. 8．解析：第一步：输入实数a ；第二步：若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步：输出2a －1；第四步：输出a 2－2a ＋3.9．解析：该题涉及分段函数，故设y (单位：元)表示通话费，t (单位：分钟)表示通话时间，则依题意有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.2 (0<t ≤3)0.2＋0.1(t －3) (t >3，t ∈N *)0.2＋0.1([t －3]＋1) (t >3，但t ∉N *).流程图如图所示：第37讲 基本算法语句和算法案例1．D 2.D 3.B4．C v 1＝3x ＋3，v 2＝v 1x ＋2，v 3＝v 2x ＋6，v 4＝v 3x ＋1，共需4次乘法，故选C.5．24 第1次运行后，t ＝2，i ＝3；第2次运行后，t ＝6，i ＝4；第3次运行后，t ＝24，i ＝5.6．5 由k 进制数123可判断k ≥4，若k ＝4，38(10)＝212(4)不成立．若k ＝5，38(10)＝123(5)成立，所以k ＝5.7．20,30,20 给a ，b ，c 赋初值分别为10,20,30，执行a ＝b 后a 的值为20，执行b ＝c 后b 的值为30，执行c ＝a 后c 的值为20.8．解析：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f (x )＝((((0.00833x ＋0.04167)x ＋0.16667)x ＋0.5)x ＋1)x ＋1.按照从内到外的顺序依次计算一次多项式，当x ＝－0.2时的值：v 0＝0.00833，v 1＝0.00833×(－0.2)＋0.04167＝0.04，v 2＝0.04×(－0.2)＋0.16667＝0.15867，v 3＝0.15867×(－0.2)＋0.5＝0.46827，v4＝0.46827×(－0.2)＋1＝0.90635，v5＝0.90635×(－0.2)＋1＝0.81873，所以当x＝－0.2时，多项式的值为0.81873.9．解析：购冰箱的钱全部付清后，实际付了1255元．程序框图如下：程序如下：m＝60a＝150S＝0S＝S＋ai＝1WHILE i<＝20S＝S＋mm＝m－0.5i＝i＋1 WENDPRINT SEND。