2018年高中数学北师大版必修三：第1章 9 §7 相关性 §8 最小二乘估计含解析

§8最小二乘估计1．了解最小二乘法的思想及意义．(重点)2．会求线性回归方程并进行简单应用．(难点)[基础·初探]教材整理最小二乘法及线性回归方程阅读教材P54～P59“信息技术应用”以上部分，完成下列问题．1．最小二乘法利用最小二乘法估计时，要先做出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．2．线性回归方程用x表示x1＋x2＋…＋x nn，用y表示y1＋y2＋…＋y nn，由最小二乘法可以求得b＝(x1－x)(y1－y)＋(x2－x)(y2－y)＋…＋(x n－x)(y n－y) (x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2＝x1y1＋x2y2＋…＋x n y n－n x y x21＋x22＋…＋x2n－n x2，a＝y－b x.这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a、b是线性回归方程的系数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)回归直线总经过样本中的所有点．()(2)由回归直线求出的值不是一个准确值．()(3)任何一组数据，都可以由最小二乘法得出线性回归方程．()【解析】(1)×，回归直线不一定经过样本中的点，若经过所有点，则两变量为函数关系．(2)√，求出的值是一个估计值．(3)×，只有线性相关的数据才有线性回归方程．【答案】(1)×(2)√(3)×[小组合作型]y(单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b＝∑ni＝1(t i－t)(y i－y)∑n i＝1(t i－t)2，a＝y－b t.【精彩点拨】(1)借助最小二乘法求回归直线的斜率和截距．(2)根据b的值判断2007～2013年的人均收入情况，令t＝9求出y的值即为2015年的收入情况．【自主解答】(1)因为t＝1＋2＋…＋77＝4，y＝2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.97＝4.3，设回归方程为y＝bt＋a，代入公式，经计算得b＝3×1.4＋2＋0.7＋0＋0.5＋1.8＋4.8(9＋4＋1)×2＝1414×2＝12，a＝y－b t＝4.3－12×4＝2.3，所以，y关于t的回归方程为y＝0.5t＋2.3.(2)因为b＝12＞0，所以2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该地区农村居民家庭人均纯收入y＝0.5×9＋2.3＝6.8(千元)，所以，预计到2015年，该地区农村居民家庭人均纯收入约6.8千元．用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)做出散点图，判断散点是否在一条直线附近.(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出线性回归方程(否则求出回归方程是没有意义的).(3)根据线性回归方程对总体进行估计.[再练一题]1．2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：【导学号：63580015】(1)如果已知y 与x 是线性相关的，求线性回归方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑10i ＝1x i y i ＝117.7，∑10i ＝1x 2i ＝406)【解】 依题意可计算得x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑10i ＝1x i y i ＝117.7，∑10i ＝1x 2i ＝406，∴b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10i ＝1x 2i －10x2≈0.17.a ＝y －b x ＝0.81，∴y ＝0.17x ＋0.81. ∴所求的线性回归方程为y ＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y ＝0.17×9＋0.81＝2.34.可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．[探究共研型]探究1 一个好的线性关系与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？【提示】 整体上最接近．探究2 设直线方程为y ＝a ＋bx ，任意给定一个样本点A (x i ，y i )，用什么样的方法刻画点与直线的距离更方便有效？【提示】 如图：法一 点到直线的距离公式 d ＝|bx i －y i ＋a |b 2＋1. 法二 [y i －(a ＋bx i )]2.显然法二比法一更方便计算，所以我们用它表示二者之间的接近程度．探究3如果有5个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，怎样刻画这些样本点与直线y＝a＋bx的接近程度？【提示】[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋[y3－(a＋bx3)]2＋[y4－(a＋bx4)]2＋[y5－(a＋bx5)]2.探究4任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？【提示】用最小二乘法求回归直线的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否则求出的线性回归方程是无意义的．探究5线性回归方程是否经过一定点？【提示】线性回归方程恒过定点(x，y)．关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．【精彩点拨】(1)做出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关关系，并做出拟合直线；(2)利用公式求出线性回归方程的系数a，b即可．【自主解答】(1)以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量(百分比)，画出散点图，如下图．进一步观察，发现上图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可以用这一直线来逼近，根据图中分析，人体的脂肪含量(百分比)和年龄具有相关关系．(2)设回归直线为y＝bx＋a，那么结合题中数据，可得 x ＝40.875，y ＝23.25，∑8i ＝1x i y i ＝8 092.8，∑8i ＝1x 2i ＝14 195，则b ＝∑8i ＝1x i y i －8x y ∑8i ＝1x 2i －8x2，＝8 092.8－8×40.875×23.2514 195－8×40.8752≈0.591 2，a ＝y －b x ＝23.25－0.591 2×40.875＝－0.915 3， 所以所求的线性回归方程是y ＝0.591 2x －0.915 3.1．最小二乘法的适用条件：两个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必须先对两个变量进行相关性检验．2．注意事项：(1)利用求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法． (2)计算a ，b 的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误．同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器．[再练一题]2．已知变量x ，y 有如下对应数据：(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 【解】 (1)散点图如下图所示．(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝1＋3＋4＋54＝134， ∑4i ＝1x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39，∑4i ＝1x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30，b ＝39－4×52×13430－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝1310，a ＝134－1310×52＝0，故所求回归直线方程为y ＝1310x .1．变量y 对x 的回归方程的意义是( ) A ．表示y 与x 之间的函数关系 B ．表示y 与x 之间的线性关系 C ．反映y 与x 之间的真实关系D ．反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合【解析】 线性回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的线性相关关系，反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合．【答案】 D2．下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过( )C ．点(1,2)D ．点(1.5,4)【解析】 回归方程必过样本点(x ，y )，经计算得(1.5,4)． 【答案】 D3．设有一个回归方程为y ＝－1.5x ＋2，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位【解析】 回归方程斜率为－1.5，所以变量x 增加一个单位，y 平均减少1.5个单位．【答案】 C4．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y (单位：元)的对应数据如下：则x ＝________，y ＝________，∑i ＝1x 2i ＝________，∑6i ＝1x i y i ＝________，回归方程为________．【解析】 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得x ＝6.5，y ＝8，∑6i ＝1x 2i ＝327.∑6i ＝1x i y i ＝396，回归方程为y ＝1.14 x ＋0.59.【答案】 6.5 8 327 396 y ＝1.14x ＋0.595．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：已知记忆力x【解】x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，∑4i＝1x2i＝62＋82＋102＋122＝344，∑4i＝1x i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，b＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a＝y－b x＝4－0.7×9＝－2.3.则所求的线性回归方程为y＝0.7x－2.3.。