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线性变换与对称矩阵的对角化线性代数是数学中十分重要的一个分支。
其中线性变换和矩阵的对角化是其最为基础的内容。
线性变换和矩阵的对角化的应用非常广泛，尤其在物理、工程和计算机科学等领域中被广泛使用。
在此，我们将简单介绍线性变换和矩阵的概念，并重点探讨对称矩阵的对角化。
1. 线性变换线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，满足两个向量空间之间的线性性质：对于任意向量u和v，以及任意实数a和b，满足以下条件：(1) T(u+v)=T(u)+T(v)(2) T(au)=aT(u)其中，T(u)表示对向量u进行线性变换的结果。
对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵来表示它。
具体地，对于一个n维向量空间中的线性变换T，我们可以用一个n×n矩阵A来表示它。
特别地，如果向量空间是二维的，则可以用如下的矩阵表示：$A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$此时，我们可以将一个二维向量$(x,y)$看成是一个列向量$\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$，于是线性变换T将一个向量$\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$映射到了另一个向量$\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}$，并且有：$\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}=T(\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}a & b\\ c &d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$2. 对称矩阵和对角矩阵对于一个矩阵A，如果它满足$A=A^T$，那么我们称其为对称矩阵。
其中，A^T表示矩阵A的转置。
例如，对于一个二阶矩阵$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{bmatrix}$，它是一个对称矩阵，因为$A=A^T$。
第四章 线性变换习题精解1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则 A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X 故A 是n n P ⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2 并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z) 所以A 4=B 4=C 4=E 2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以A 2B 2=B 2A 23) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2(a)=(-x,-y,z) 所以(AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k B-BA k =k A 1-k (k>1) 证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可.因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
本科毕业论文（设计）题目：关于线性变换的可对角化问题学生：学号: 学院：专业: 入学时间：年月日指导教师：职称: 完成日期：年月日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《关于线性变换的可对角化问题》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：年月日关于线性变换的可对角化问题摘要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题.关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式；矩阵可对角化；实对称矩阵Diagonolization of linear transformationAbstract: The diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems.Key words: Diagonalization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Matrix diagonalization; Real symmetric matrices目录1 引言........................................................ . (1)2 可对角化的概念 (1)3 判定方法 (1)4 两个矩阵同时合同对角化 (4)5 几类特别的可对角化矩阵 (6)6 应用........................................................ . (6)6.1 矩阵相似的判断 (6)6.2 方阵高次幂 (7)6.3 化实对称矩阵为对角形矩阵 (7)6.4 求特征值 (8)6.5 经典例题 (8)7 小结........................................................ .. (9)参考文献........................................................ ..101 引言我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题.2 可对角化的概念定义[8] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 为δ在某一组基下的矩阵且A 与矩阵B 相似，其中矩阵B 是对角形矩阵，则称A 可对角化,也称线性变换δ可对角化.我们把B 叫做A 的相似对角形矩阵.3 判定方法3.1 定理1[8] 设n 维线性空间内有一个线性变换，且A 为它在某一组基下的矩阵，要是A 为对角形矩阵，那么δ可对角化.例1设在三维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000300031A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，由于1A 为对角形矩阵，可知δ可对角化.3.2 定理2[1] 设δ是n 维线性空间内的一个线性变换，且δ有n 个线性无关的特征向量，则δ可对角化.证明 “必要性” 假设δ可对角化，令=),,,(21n αααδ ),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21. 即i i i αλαδ=)( ，n i ,2,1=；特征值为n λλλ 21,，则 n ααα,,,21 是δ的特征向量,由已学知识可知n ααα,,,21 是不相关的.“充分性” 设有n 个不相关的向量n ααα,,,21 ，并且它们都是δ的特征向量，设i i i αλαδ=)( ，其中n i ,2,1=； 将n ααα,,,21 作为线性空间中的一组基，则满足：)(,),(),((21n αδαδαδ )),,,(2211n n αλαλαλ ==),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21.即δ在基n ααα,,,21 下的矩阵为对角形矩阵，从而δ可对角化.例2[2] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理2判断δ是否可对角化.解 由于)4()2(1632221232+-=+---+--=-λλλλλλA E ，A 的特征值为：4,2321-===λλλ.对于221==λλ，由()02=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101. 由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为：2112ααε+-=, 312ααε+=.对于43-=λ，由()04=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-13231.由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为：32133231αααε+-=. 由以上可知δ包含三个特征向量1ε，2ε，3ε，并且它们是线性无关的.其个数刚好等于空间维数，由定理1知δ可对角化.3.2推论1[2] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换，若在数域P 中δ的特征多项式包含n 个互不相等的根，那么δ可对角化.例3 设二维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3102A 是它在基21,αα下的矩阵，试利用推论1判断δ是否可对角化.解 由3102---=-λλλA E )3)(2(--=λλ知A 的特征值为3,221==λλ.因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相等.由推论1知δ可对角化.3.3 推论2[5] 设n 维线性空间V 内有一个线性变换δ，其中δ的特征值是n λλλ ,,21，并且它们是不相同的.用iir i i ααα,,,21 来表示i λ对应的i r 个特征向量，;,,2,1k i =那么：[]1 n r r r i =+++ 21，则δ可对角化.[]2 n r r r i <+++ 21，则δ不可对角化.例4 已知 ,4001300132⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000301033A ，试利用推论2判断它们是否可对角化.解 通过计算02=-A E λ和03=-A E λ知32,A A 的特征值是相同的，它们全部为31=λ（二重），42=λ.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系是：()T 1013，，=ε；故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化.3.4 定理3[7] 在数域P 上，设k λλλλ，，，， 3,21是矩阵A 的所有互不相同的特征值.如果满足()()()()0321=----E A E A E A E A k λλλλ ，那么A 可以对角化.例5 设有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理3判断δ能否可对角化. 解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，故4-2与是矩阵A 的所有不同特征值.又()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-00000000036322212736324212142E A E A . 通过定理3知A 可以对角化.3.5 定理4[9] A 是复数域上的矩阵，当矩阵A 的最小多项式没有重根时，则A 可以对角化.例6 设一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理4判断δ是否可对角化.解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，则A 的最小多项式有以下两种可能：()()()()42422+-+-λλλλ或.计算()()042=+-E A E A 推出A 的最小多项式为()()42+-λλ.通过定理4知A 可对角化.4[10] 两个矩阵同时合同对角化4.1 定义[10] 设矩阵A ，B n n R ⨯∈，若存在可逆矩阵P ，使AP P T 和BP P T 同时为对角形矩阵，则A 、B 可同时合同对角化.4.2[10] 同时合同对角化的计算方法下面是以A 为n 阶实对阵正定矩阵，B 为n 阶实对阵矩阵为例给出计算步骤：（1）求出A 的n 个特征值，再求出特征向量；（2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n 阶正交阵1P ，那么()n T diagAP P λλλ，，， 2111=，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n d ia g P P λλλ111211，，， ， 则P 是可逆的，同时满足AP P T E =；（3）解出BP P T ，再求出它的n 个特征值i μ和它的n 个特征向量i η；（4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n阶正交矩阵Q ，则()()n T T diag Q BP P Q μμμ，，， 21=； （5）记PQ T =，则()n T T diag BT T E AT T μμμ，，，， 21==.例7设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011010200021012B A ，，求可逆矩阵T 将A 、B 可同时合同对角化.解 计算0=-A E λ可知321321===λλλ，，为A 的特征值.对于11=λ，由()01=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T0111，，-=ξ； 对于22=λ，由()02=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 1002，，=ξ；对于33=λ，由()03=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 0113，，=ξ.将其单位化得()TT T ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,2110002121321，，，，，，，，ααα.则正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01021021210211P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32111AP P T . 记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02106102161021312111P P ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210321010321021AP P T . 其特征方程为()031131=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-μμμμBP P E T . 它们的特征值为31131321==-=μμμ，，.由()01=-X BP P E T μ知()T23011-=，，η是1μ的一个特征向量； 由()02=-X BP P E T μ知()T0102，，=η是2μ的一个特征向量；由()03=-X BP P E T μ知()T23013+=，，η是3μ的一个特征向量； 将其单位化，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+-=322322032223010322103221Q ； 于是有：()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=31131Q BP P Q TT .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+--==021032613032613326103261PQ T ，则T 可逆，且()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-====31131BT T E EQ Q Q AP P Q AT T T T T T T ，， 故T 就是合乎题意的矩阵. 5 几类特别的可对角化矩阵命题4.1[4] 如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题 4.2[4] 如果一个矩阵为对合矩阵()E A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.3[4] 如果一个矩阵为周期矩阵)(E A m =，那么该矩阵可以对角化.命题 4.4[7] 如果一个矩阵为幂等矩阵()A A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.5[7] 如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题4.6[4] 如果一个矩阵为幂零矩阵)00(=≠m A A ，，那么该矩阵不可以对角化.解 通过计算01=-A E λ，02=-A E λ和03=-A E λ知321,,A A A 的特征值相同，它们全部为31=λ（二重），42=λ；其中1A 已经是对角形矩阵，所以只需判断2A ，3A 是否可对角化.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化，则1A 与2A 不相似.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系为：()T 1013，，=ε,故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化, 则1A 与3A 相似.参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京，2003：299．[2] 邱森．高等代数．武汉：武汉大学出版社，2008：216-219．[3] 张禾端，郝炳新．高等代数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2000．[4] 李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法[J]．北京：科学出版社，2008：204．[5] 唐忠明，戴桂生．高等代数[M]．南京：南京大学出版社，2000：146-147．[6] 张正成．可对角化矩阵的应用[J]．科技资讯，2007．252（2）：252-253．[7] 冯莉．矩阵对角化的若干方法[J]．赤峰学院学报（自然科学版），2011，27（9）：9-11．[8] 徐新萍．有关对角化问题综述[J]．江苏教育学院学报（自然科学），2010，26（6）：44-46．[9] 李至琳．关于矩阵可对角化的问题[J]．黔东南民族师专学报，1998，16（5）：1-3．[10] 周立仁．矩阵同时对角化的条件[J]．理工学院学报，2007，20（1）：8-10．内部资料仅供参考。
第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。
第七章 线性变换学习单元5：线性变换的对角化_________________________________________________________● 导学 学习目标：理解属于不同特征值的特征向量的线性关系；掌握线性变换可对角化的判别法；会通过具体计算判断线性变换是否可对角化；会把线性变换的问题转化成矩阵的问题；会判断矩阵是否可对角化。
学习建议：认真理解线性变换可对角化的判别条件及判别步骤；自己通过具体问题多练习，逐步掌握判别方法与计算步骤。
重点难点：重点：线性变换或矩阵可对角化的判别。
难点：对具体线性变换或矩阵的实际判别步骤。
_________________________________________________________● 学习内容 一、基本定理定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈则A 在某个基下的矩阵能为对角阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
二、特征向量间的线性关系定理 设V 为P 上线性空间，(),A L V ∈1,,s λλL 为A 的s 个互不相同的特征值，1,,s ξξL 分别是A 的属于1,,s λλL 的特征向量，则1,,s ξξL 线性无关。
推论 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈若A 恰有n 个互不相同的特征值，则A在某个基下的矩阵可以是对角阵。
推论 设V 为C 上n 维线性空间，(),A L V ∈若A 的特征多项式无重根，则A 在某个基下的矩阵是对角阵。
定理 设V 为P 上线性空间，1,,s λλL 为A 的互不相同的特征值，1,,ii ir ααL 为A 的属于特征值i λ的线性无关的特征向量，则121112121,,,,,,,,,sr r s sr ααααααL L L L线性无关。
定理 设V 为P 上线性空间，dim ,()V n A L V =∈,A 的所有互不相同的特征值为1,,s λλL ，则A 在某个基下的矩阵为对角阵的充要条件是1dim dim s V V n λλ++=L 。
第七章 线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1nii i a =∑ ，而全体特征值的积等于||A .4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A =),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ++-，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵为102033210⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.二、判断题1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα也线性无关. （错） 2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （错）未必有1()(0).V V σσ-=⊕3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2R 的一个线性变换. （错）零向量的像是（1,0）4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)σ-＝｛0｝. （正确）σ是可逆的当且仅当σ是双射.5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W σ为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．（正确）7．已知1-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（ 正确 ）1P AP B -=，P 的列向量为A 的特征向量.8．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．（错）当σ可逆时无关，当σ不可逆时相关.9．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．（ 错 ）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T AT -成对角形.133313331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331E A λλλλλλ----=---=-+---. 矩阵A 的特征值为12,37,2λλ==-.当17λ=时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'ξ=.当2,32λ=-时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-.矩阵A 有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵111110101T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭有1722T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=（1）证明：σ是n P 的线性变换.（2）求()n P σ与1(0).σ-（1）证明：112222(,,,)(0,,,)n n n n x y x y x y x y x y σ+++=++ 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y σσ=+=+12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx σσ== 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x σ==.所以σ是n P 的线性变换.（2）{}2()(0,,,)|,2,,.n n i P x x x P i n σ=∈=. {}111(0)(,0,,0)|.x x P σ-=∈3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a b a +=+⎧⎨=-⎩ 所以5,6a b ==.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335E A λλλλλλ---=--=--- 特征值为1,232,6λλ==.当1,22λ=时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'ξξ==.当16λ=时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'ξ=-.因此可取矩阵011102113P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有B AP P =-1.4．令n n P ⨯表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ⨯∈，对任意的n n P X ⨯∈，定义()''X A XA B XB σ=-. 证明σ是n n P ⨯上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X Y P k P ⨯∈∈，有()'()'()''''()(),X Y A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YB X Y σσσ+=+-+=-+-=+()'()'()('')()kX A kX A B kX B k A XA B XB k X σσ=-=-=.因此σ是n n P ⨯上的一个线性变换.。
