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第八章则多元函数微分学习题课61973

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第八章 多元函数微分学习题解

第八章 多元函数微分学习题解

第八章多元函数微分学习题解第八章多元函数微分学习题解第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyx f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)xx f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210yx -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）zx y=-解：要使表达式有意义，必须0x y ≥， ∴ {(,)|}D x y x y =≥★★（3）22ux y=+解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）22ln()1x z y x x y=-+--解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）2210y x y x y→→+知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

多元函数微分学(1)

多元函数微分学(1)

第八章 多元函数微分学
5
6、偏导数概念及求法 7、高阶偏导数及求法 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
8、全微分概念及求法 9、多元函数连续、偏导存在、可微的关系
微积分Ⅰ
第八章 多元函数微分学
6
函数连续
偏导存在
函数可微 偏导数连续
微积分Ⅰ
第八章 多元函数微分学
7
10、复合函数求导法则
(1) 复合函数的中间变量均为一元函数的情形; (2) 复合函数的中间变量均为多元函数的情形; (3) 复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元 函数的情形.
xy et2 dt, 求
0
x y
2 f x2
2 f 2
xy

y x
2 f y2
.
解 f ye x2 y2 , f xe x2 y2 ,
x
y
2 f x 2
2 xy3e x2 y2 ,
2 f y 2
2 x 3 ye x2 y2 ,
2 f ( ye x2 y2 ) xy y

2
1
,

u x


2(1 z
x
( 1)2
)


2
(1

2x 1
( 1)2
)


2(1 2x) ( 1)3
.
微积分Ⅰ
第八章 多元函数微分学
23
u f (x, y)
例6
设函数 u (x) 由方程组

g(
x,
y,
x2
x y xy
y2
.
解 x2 y2 2 | xy |,

多元函数微分学习题课-14页精品文档

多元函数微分学习题课-14页精品文档
法则的推广——任意多个中间变量，任意多 个自变量 如何求二阶偏导数
6、全微分形式不变性
无论 z是自变量u 、 v 的函数或中间变量u 、 v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dzzduzdv. u v
7、隐函数的求导法则
(1) F(x,y)0
dyFx
dx Fy
(2 )F (x ,y ,z) 0
z Fx,z Fy x Fz y Fz
求隐函数偏导数的方法 ①公式法 ②直接法 ③全微分法
8、多元函数的极值
极值、驻点、必要条件P341 (偏导为0)
充分条件P342 P(x,y )
求 函 数 z f ( x ,y ) 极 值 的 一 般 步 骤 ：
最值 条件极值，目标函数、约束条件
一、主要内容
极限运算 多元连续函数
的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数的极值
全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用
1、多元函数的极限 说明：（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限运算法则与一元 函数类似． 存在性 ——定义，夹逼定理
构造 Lagrange 函数 F ( x ,y ,z ) f ( x ,y ,z ) ( x ,y ,z )
二重积分
1. 二重积分的定义
n

D
f
x, y d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)

第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (4)

第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (4)

−
ct)
+ψ
′(x
+
ct)]
= ϕ′′(x
−
ct) ⋅1 +ψ
′′(x
+
ct) ⋅1
= ϕ′′(x − ct) +ψ ′′(x + ct) ,
f2′ +
f3′ ,
∂z ∂y
=
f
′
2
⋅
1
+
f
′
3
⋅
(−1)
=
f
′
2
−
f
′
3
.
(3)
∂z ∂x
=
y
−
y x2
f
(xy) +
y x
f ′(xy) ⋅
y
=
y
−
y x2
f (xy) + y2 x
f ′(xy)
,
∂z = x + 1 f (xy) + y f ′(xy) ⋅ x = x + 1 f (xy) + yf ′(xy) .
∂2u ∂x2
=
∂ (2xf ∂x
′)
=
2f′+
2x ⋅
f ′′ ⋅ 2x
=
2f′+
4x2
f
′′ ,
∂2u = ∂ (2xf ′) = 2xf ′′ ⋅ 2 y = 4xyf ′′ , ∂x∂y ∂y
∂3u = ∂ (4xyf ′′) = 4xyf ′′′ ⋅ 2z = 8xyzf ′′′ . ∂x∂y∂z ∂z
= ex + (x + sin x)ex + ex cos x = ex (1 + x + sin x + cos x) .

(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案

(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

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x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
第12页
例2 已知 w f ( x y, y z,t z)
求
w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w
w
z f2 f3 t f3
w x
w y
w z
w t
即
x y z 3
第31页
切平面在三个坐标轴上截距分别为
3 3 , 3 3 , 3 3
故切平面与三个坐标面所围成四周体体积为
V 1 底面积 高 1[1 | 3 | | 3 | | 3 |]
3
32
9 | | 9 是一个常量
2
2
第32页
例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 拟定
0
例3 已知 z sin(ax by c) 求
mnz x m y n
第13页
解 z a cos(ax by c)
x a sin(ax by c )
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2 )
2
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
2
)
m 1 z
xmy
a m b sin(ax
by
c
边所正确圆心角，则
x yz
三角形面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
第21页
问题就是求A在条件
x y z (0 x, y,z )

第八章多元函数微分学课件


四.多元函数的连续性
习题
返回
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域，记为U (P0, )，即
U (P0, ) {P PP0 }
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2, , xn ) .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
上一页 下一页 返 回
三、多元函数的极限
M 0Tx 对y轴的斜率.
上一页 下一页 返 回
x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数，记作
上一页 下一页 返 回

第八章_则多元函数微分学_习题课知识课件


求z,
2z ,
2z
.
y y2 xy
解
yzx3(f1xf21x) x4f1 x2f2 ,
y 2z 2x 4(f1 x 1f1 1 x 2)x 2(f2 x 1f2 1 x 2)
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x
2
x 2z2a2sia n x(b yc22)
x m m zam sia n xb ( ycm 2)
x m m 1zyam bsian xb ( ycm 2 2)
x m m n y znam bnsian x b ( y c(m 2n ))
例4 设z x3 f(xy, y),( f 具有二阶连续偏)，导数 x
例6 设 xyze (xy z) 求
2z 2z 2z x2 ,xy,y2
解一 记 F ( x ,y ,z ) x y z e ( x y z )
则 FxFyFz 1e(xyz)
z z 1 x y
x2z2 x2zyy2z2
0
解二 方程两边对 x 求偏导
1ze(xyz)(1z)
x
x
(1z)1 [e(xyz)]0 x
2z 2z xy yx
x(x4f1x2f2)
4x3 f1x4[f11y f12(xy2)]2xf2 x2[f21yf22(xy2)]
4 x 3 f 1 2 x f 2 x 4 y f 1 1 y f 2 .2
例5 设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysix n,
(f,具有一阶连 )， 且续 偏 0,求 导 du . 数
称为全导数.
v
设 zfu (x ),v(x ,y),y u x

8,多元函数的微分学-习题课


y x

y x
cos
y x
,
微
zy

y

x sin
y x

cos
y x
,
积
分
曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为
n { sin y0 y0 cos y0 , cos y0 , 1 }
x0 x0 x0
x0
－理学院工科数学教学中心－
n
{ sin
y0 x0
x4
f1 x


( x2 )
f2

x2
f2 x

滨 工 程

4 x3
f1

x4
[
f1 u

u x

f1 v

v x
]

大
学
u
xy,
v
y x
;

2 xf2

x2
[ f2 u

u x

f 2 v

v x
微
u x

f s

s x

f t

t x
,

v
x

g



x

g



x
.
u x

f1 (u
x
u x
)

f
2

v x
,

v
x

g1

(
u x
1)
g2
2 yv

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。

14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

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x y z 2
3
Amax
33 4
R2
例11 求旋转抛物面 z x2 y2 与平面 x y 2z 2 之间的最短距离． 解 设 P( x, y, z) 为抛物面 z x2 y2 上任一点,则
P 到平面 x y 2z 2 0的距离为d,
f
dz ,
z
显然
dx x y dx z dx
dx
dy cos x, dx
求 dz , 对 ( x2,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
dx
1
2x
2
e
y
dy dx
3
dz dx
0
,
于是可得,
dz dx
1
3
(2
x
1
e s in
x
cos
x
2
),
故
du dx
f x
cos
x
f y
1
3
(
2
x
1
esin x
曲面：隐式、显式给出公式的条件） 梯度的概念——向量 梯度与方向导数的关系
10、多元函数的极值
极值、驻点、必要条件
充分条件 (B2 AC 0)
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
最值 条件极值，目标函数、约束条件 构造 Lagrange 函数
dx Fy
(2) F( x, y, z) 0
z Fx , z Fy x Fz y Fz
求隐函数偏导数的方法
①公式法 ②直接法 ③全微分法
8、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面 (２) 曲面的切平面与法线 求直线、平面的方程 定点（过点）、定向（方向向量、法向量） 曲线：参数式，一般式给出
dx dy dz 0 即 dz dx dy
z z 1 x y
2z x 2
2z xy
2z y2
0
例8 在半径为R的圆的一切内接三角形中， 求其面积最大者
解 如图若以 x ,y , z 表示三角形的
三边所对的圆心角，则
x y z 2
三角形的面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
求 z , 2z , 2z . y y2 xy
解
z y
x3(
f1x
f
2
1 x
)
x4 f1
x2
f2,
2z y2
x4( f11x
f12
1 x
)
x
2
(
f
21
x
f
22
1 x
)
x5
f11
2x3
f12
xf
22
,
x5
f11
2x3
f12
xf
22
,
2z xy
2z yx
x
(
x4
f1
x2 f2)
4 x3 f1
F(x, y,z) f (x, y,z) (x, y,z)
二、典型例题
例1 已知 w f (x y, y z,t z)
求 w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w z
f2
f3
w t
f3
w x
w y
w z
w t
0
例2 已知 z sin(ax by c) 求 mnz
问题就是求A在条件
x y z 2 (0 x, y, z )
zy
x
下的最大值 记
F( x, y, z) (sin x sin y sin z) ( x y z 2 )
FFxy
cos cos
x y
0 0
Fz cos z 0
cos x cos y cos z
（2）二元函数的极限运算法则与一元 函数类似． 存在性 ——定义，夹逼定理
不存在 ——特殊路径、两种方式
求法 ——运算法则、定义验证、夹逼定理
消去致零因子、化成一元极限等
2、多元函数的连续性
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
3、偏导数概念
定义、求法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数——纯偏导、混合偏导
解
z a cos(ax by c) a sin( ax byxcmyn )
x
2
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2
)
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
)
2
m1z
xmy
ambsin(ax
by
c
m
2
)
2
mnz xmyn
ambn
sin(ax
by
c
(m
n)
2
)
例4 设 z x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数)， x
cos
x
2
)
f z
.
例6 设 x y z e( x yz) 求
2z x 2
,
2z xy
,
2z y2
解一 记 F ( x, y, z) x y z e( x yz)
则 Fx Fy Fz 1 e( x yz)
z z 1 x y
2z 2z 2z x2 xy y2
0
解二 方程两边对 x 求偏导
2 2法则
“分道相加，连线相乘”
法则的推广——任意多个中间变量，任意多 个自变量
如何求二阶偏导数
6、全微分形式不变性
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z du z dv . u v
7、隐函数的求导法则
(1) F (x, y) 0
dy Fx
4、全微分概念
定义 可微的必要条件
可微的充分条件
利用定义验证不可微
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
5、复合函数求导法则
z f (u,v), u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
1 z e( x yz)(1 z )
x
x
(1 z )[1 e( x yz) ] 0 x
z 1 由轮换对称性 z 1
x
y
2z x 2
2z xy
2z y2
0
解三 两边取全微分
dx dy dz e(x yz)(dx dy dz)
[1 e(x yz)](dx dy dz) 0
多元函数微分学 习题课
一、主要内容
平面点集 和区域
极限运算
多元连续函数 的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数的极值
全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用
1、多元函数的极限 说明：（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
x4[ f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f22(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4
yf11
yf
22
.
例5 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
( f , 具有一阶连续偏导数)，且 0, 求 du .
解
du
f
f
dy