第八章+静电场+场强习题课
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静电场复习课件 PPT页数:52
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静电场习题(1)页数:27
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静电场习题优秀课件
设经过S1、S2旳电场强度通量分别为1、2，经过整个
球面旳电场强度通量为3，则
[]
（A）1>2，3=q/0 （B）1<2，3=2q/0 （C）1=2，3=q/0； （D）1<2，3=q/0；
q
o
S2
图1-4
2q
o
X
S12a
答：[ D ]
1-14(a) 点电荷q位于边长为a旳正立方体旳中心，经 过此立方体旳每一面旳电通量各是多少？
(b) 若电荷移至正方体旳一种顶点上，则经过每个面 旳电通量又各是多少？
解: (a) 因为6个全等旳正方形构成一种封闭
面, 所以 q 6 0
(b) 该顶点可视为边长等于2a 旳大立方 q
体旳中心, 经过每个大面旳电通量为 每个小立方体中不经过该顶点旳
6 0
三个小面上旳电通量为
q
24 0
而经过该顶点旳另三个 小面旳电通量为0.
s
E
dS
4r
2E
q内
0
(1) E1 = 0
（2）E2
q1
4 0r22
9
109
1.0 108 (0.2)2
q1 q2
2.25 103 v / m
(3)
E3
q1 q2
4 0r32
9
109
(1.0
1.5) (0.5)2
108
9 102 v / m
E不是r旳连续函数, 在两个球面处有跃变.
1-16 (1)设地球表面附近旳场强约为200v·m-1,方向指向 地球中心，试求地球所带旳总电量。 (2) 在离地面 1400m高处，场强降为20v·m-1，方向仍指向地球中心, 试计算在1400m下大气层里旳平均电荷密度.
静电场习题课讲稿PPT课件
x
L
第10页/共114页
例 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
第11页/共114页
课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
电荷元dq产生的场
dE
dq
4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
r dS E
第41页/共114页
dS
E
r
第42页/共114页
r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
r
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
q
E 4 0r 2
第43页/共114页
E
R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
E
R
qr E 40R3
q
ε 40r 2
O
r
O
R
第44页/共114页
E
E
均匀带电球面
E
E
E
dS
R
r
E
第36页/共114页
E
高斯面
E
E
E
E
E
dS
rE
E
高斯面
E
R
E
E
第37页/共114页
rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
L
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例 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
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课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
电荷元dq产生的场
dE
dq
4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
r dS E
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dS
E
r
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r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
r
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
q
E 4 0r 2
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E
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高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
E
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qr E 40R3
q
ε 40r 2
O
r
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均匀带电球面
E
E
E
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R
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E
E
E
E
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rE
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高斯面
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rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
大学物理第八章静电场(答案)
第八章 静电场8.1 真空中有两个点电荷M 、N ，相互间作用力为F，当另一点电荷Q 移近这两个点电荷时，M 、N两点电荷之间的作用力 (A) 大小不变，方向改变． (B) 大小改变，方向不变．(C) 大小和方向都不变． (D) 大小和方向都改． ［ C ］8.2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：(A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零．［ D ］8.3有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点a /2处，有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为(A)03εq ． (B) 04επq (C) 03επq ． (D) 06εq［ D ］q8.4面积为S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q ，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为(A)Sq 02ε． (B) S q 022ε．(C) 2022S q ε． (D) 202Sq ε． ［ B ］8.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A 点经C 点运动到B 点，其运动轨迹如图所示．已知质点运动的速率是递增的，下面关于C 点场强方向的四个图示中正确的是：［ D ］8.6如图所示，直线MN 长为2l ，弧OCD 是以N 点为中心，l 为半径的半圆弧，N 点有正电荷＋q ，M 点有负电荷-q ．今将一试验电荷＋q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功(A) A ＜0 , 且为有限常量． (B) A ＞0 ,且为有限常量．(C) A ＝∞． (D) A ＝0． ［ D ］-8.7静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q 0置于该点时具有的电势能． (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［ C ］8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？(A) 电场强度E M ＜E N ． (B) 电势U M ＜U N ．(C) 电势能W M ＜W N ． (D) 电场力的功A ＞0．［ C ］A8.9 电荷为＋q 和－2q 的两个点电荷分别置于x ＝1 m 和x ＝－1 m 处．一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：设试验电荷置于x 处所受合力为零，即该点场强为零．()()0142142020=+π-+-πx qx q εε 2分 得 x 2－6x +1=0, ()223±=x m因23-=x 点处于q 、－2q 两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得()223+=x m3分8.10 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．L解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L x q -+π=ε 2分d EO总场强为 ⎰+π=Lx d L x L q E 020)(d 4－ε()d L d q+π=04ε 3分 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．8.11 一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π。
大学物理静电场习题课(老师课件)
2
-q
q2 (B) f 0S
q2 (C) f 2 0 S √
S
d
参考解答：
正板(或说负板)处在负板(或说正板)的场中 E 2 0 2 df Edq ds ds 2 0 2 0
因为各电荷元受力方向相同，所以
E
2 q2 f df S 2 0 2 0 S (Q )
解：设地球带的总电量为Q， 大气层带电量为q。
q Q R R+h 0
（1）由高斯定理得 E 4R
2
Q
Q E 4R 0
2
0
1 6 2 5 200 ( 6 . 37 10 ) 9 10 (C) 9 9 10
（2）由高斯定理得
E 4 ( R h)
E
9
R
d
3.12 10 9 10 2 0.5
9
0.72(V/m)
3. 如图所示在真空中有两块相距为 d，面积均 为 S，带电量 分别为 +q 和 -q 的 平行板, 两板 的线度远大于 d，因此可忽略边缘效应。 求两板间的作用力。 +q 你选择下列哪个答案？
q 怎么能将平板看作是 (A) f 2 4π 0 d 点电荷呢?
静电场习题课
1．在电荷体密度为 的均匀带电球内，挖去一个球心 在o′（oo′ a ）的小球，如图所示。试求：小球内部 任一点的场强。 用挖补法（补偿法） 依据电荷守恒
解：由高斯定理可得 均匀带电球内任一点的场强
P
O O
4 3 ρ πr 1 ρ 3 EP r 2 4 πr ε0 3ε0
ox
x
M1
M
a
M2
-q
q2 (B) f 0S
q2 (C) f 2 0 S √
S
d
参考解答：
正板(或说负板)处在负板(或说正板)的场中 E 2 0 2 df Edq ds ds 2 0 2 0
因为各电荷元受力方向相同，所以
E
2 q2 f df S 2 0 2 0 S (Q )
解：设地球带的总电量为Q， 大气层带电量为q。
q Q R R+h 0
（1）由高斯定理得 E 4R
2
Q
Q E 4R 0
2
0
1 6 2 5 200 ( 6 . 37 10 ) 9 10 (C) 9 9 10
（2）由高斯定理得
E 4 ( R h)
E
9
R
d
3.12 10 9 10 2 0.5
9
0.72(V/m)
3. 如图所示在真空中有两块相距为 d，面积均 为 S，带电量 分别为 +q 和 -q 的 平行板, 两板 的线度远大于 d，因此可忽略边缘效应。 求两板间的作用力。 +q 你选择下列哪个答案？
q 怎么能将平板看作是 (A) f 2 4π 0 d 点电荷呢?
静电场习题课
1．在电荷体密度为 的均匀带电球内，挖去一个球心 在o′（oo′ a ）的小球，如图所示。试求：小球内部 任一点的场强。 用挖补法（补偿法） 依据电荷守恒
解：由高斯定理可得 均匀带电球内任一点的场强
P
O O
4 3 ρ πr 1 ρ 3 EP r 2 4 πr ε0 3ε0
ox
x
M1
M
a
M2
静电场习题课.
及分布所决定的。
(2)若闭合曲面S上各点的场强为零时，则S面内必未 包围电荷。
答：不对，
E 0,
E dS 0
S
如：
qi 0
S
q q
但不能说S面内未包围电荷。
(3)通过闭合曲面S的总电通量，仅由S面所包围的电 荷提供。
答：正确。
(4)闭合曲面S上各点的场强，仅由S面所包围的电荷 提供。
•
•
q
q
如：中心o点处E 0 ，仅由该点的且是不能求出V的， 必须知道场的分布才能求出。按点电荷电场分布及
电势叠加原理可以求出该点：
V 4 1 q 1 q
40 a 0 a
为正方形对角线的一半
(2)已知某点的V就可以确定该点的 E。
答：不对。 E V ，某点的 E应由该点附近电
势V分布求得。
40 r 2
1 qi 0 inside,i
E ( i j k )V gradV V x y z
典型静电场：
点电荷：
E
1
4 0
qr r3
均匀带电圆环轴线上：
1
4 0
E
1
4
q r2
0(erR2ຫໍສະໝຸດ qxi x2)
3 2
无限长均匀带电直线： E 2 0 r
( 带电直线）
均匀带电球面： E(rR)
例如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是
一等势面，求出在这一等势面上各点场强是不相等的。
(参见P45 例2)
E p 1
场点到偶极子连线中点的距离
40 y3
而由上例(4)知在均匀带电球面的电场中，等势面上
各点的场强大小相等。
静电场习题课
静电场场强习题课
0
常见旳电量分布旳对称性：
球对称
柱对称
面对称
均 球体 匀 带 球面
无限长柱体 柱面
电 (点电荷) 旳
带电 线
n
r
n
无限大平板 平面
S
S
n
E
2 0 r
E
2 0
7
例：无限大带电平面旳电场叠加问题
σ
σ
E
E
E
E
σ
σ
ε0
0
ε0
0
0
0
8
例8-11 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称，
设单位长度上旳电荷为，圆柱半径R.求距轴心
E内 0
2）电荷在柱体内均匀分布：
右边： q (s内) i
0
1
0
r 2h R 2 h
h
1
0
r2 R2
h
E内 2rh
r2
0R2
h
E内 2R2 0 r
方向沿半径向外
10
均匀带电柱面 电场图示
E
2 0 R
O
R
均匀带电柱体 电场图示
E
2 0 R
O
R
r 1
r
r 1
r
11
例: 均匀带电球体场强旳 分布 ( 解：分析知场强球对称E Er
E
Q
4 0 R 2
O
R
r 2
r
r 2
r
13
例. 求均匀带电球体空腔部分旳电场。球半径为R， 在球内挖去一种半径为r（r<R）旳球体。
试证：空腔部分旳电场为匀强电场，并求出该电场。
证明： 用补缺法证明。设空腔内P点场强为E
将空腔补上，实心球p点场强为 E1
常见旳电量分布旳对称性：
球对称
柱对称
面对称
均 球体 匀 带 球面
无限长柱体 柱面
电 (点电荷) 旳
带电 线
n
r
n
无限大平板 平面
S
S
n
E
2 0 r
E
2 0
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例：无限大带电平面旳电场叠加问题
σ
σ
E
E
E
E
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σ
ε0
0
ε0
0
0
0
8
例8-11 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称，
设单位长度上旳电荷为，圆柱半径R.求距轴心
E内 0
2）电荷在柱体内均匀分布：
右边： q (s内) i
0
1
0
r 2h R 2 h
h
1
0
r2 R2
h
E内 2rh
r2
0R2
h
E内 2R2 0 r
方向沿半径向外
10
均匀带电柱面 电场图示
E
2 0 R
O
R
均匀带电柱体 电场图示
E
2 0 R
O
R
r 1
r
r 1
r
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例: 均匀带电球体场强旳 分布 ( 解：分析知场强球对称E Er
E
Q
4 0 R 2
O
R
r 2
r
r 2
r
13
例. 求均匀带电球体空腔部分旳电场。球半径为R， 在球内挖去一种半径为r（r<R）旳球体。
试证：空腔部分旳电场为匀强电场，并求出该电场。
证明： 用补缺法证明。设空腔内P点场强为E
将空腔补上，实心球p点场强为 E1
静电习题课
5、给出电场强度的方向
xdq dE 2 2 3/ 2 4 0 ( r x )
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课
y
dl R r O x R x R x
y
r
O dE
r R sin ,
x R cos ,
dl Rd
E
/2
0
2R 3 sin cos d 3 4 0 40 R
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课 2. 一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R1和R2 ， 在它的侧面上均匀带电，电荷面密度σ，求：顶角O的 电势。（以无穷远处电势为零点）
R1
R2
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课 1、判断带电体类型（均匀的连续面分布） 2、选坐标 3、找微元
dq ds
4 r q U 4 r
i 1 0
i
连续分布的带电体 场无对称性
U
dq 4 r
0
场有对称性
哈尔滨工程大学理学院
U P E dl
P
静电场习题课
F
定理
D ds q
0
qq ˆ r 4 r 1
1 2 2
i
有源场
s
静 电 学
方向沿x正方向
电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qdx) / (40 x) 整个线电荷在电场中具有电势能：
q W 4 0
哈尔滨工程大学理学院
r0 l r0
r0 l dx q ln x 4 0 r0
静电场习题课 8.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半 径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量 为r 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点 的电场强度和A点与外筒间的电势差．
xdq dE 2 2 3/ 2 4 0 ( r x )
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课
y
dl R r O x R x R x
y
r
O dE
r R sin ,
x R cos ,
dl Rd
E
/2
0
2R 3 sin cos d 3 4 0 40 R
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静电场习题课 2. 一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R1和R2 ， 在它的侧面上均匀带电，电荷面密度σ，求：顶角O的 电势。（以无穷远处电势为零点）
R1
R2
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课 1、判断带电体类型（均匀的连续面分布） 2、选坐标 3、找微元
dq ds
4 r q U 4 r
i 1 0
i
连续分布的带电体 场无对称性
U
dq 4 r
0
场有对称性
哈尔滨工程大学理学院
U P E dl
P
静电场习题课
F
定理
D ds q
0
qq ˆ r 4 r 1
1 2 2
i
有源场
s
静 电 学
方向沿x正方向
电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qdx) / (40 x) 整个线电荷在电场中具有电势能：
q W 4 0
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r0 l r0
r0 l dx q ln x 4 0 r0
静电场习题课 8.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半 径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量 为r 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点 的电场强度和A点与外筒间的电势差．
第八章静电场
【主要问题】 主要问题】
1、由库仑定律解题 、 例1：课后作业 ：课后作业8.1
例2：课后作业 ：课后作业8.2
2、求电场强度 、 （1）由点电荷场强，利用场强叠加原理求解 由点电荷场强，
1 r0 E = ∫ dE = ∫ dq 2 4πε0 r
求解步骤： 求解步骤： 1.选电荷元dq .选电荷元dq 2.确定电荷元所激发的电场dE的大小和方向. dE的大小和方向 .确定电荷元所激发的电场dE的大小和方向. 3.建立坐标系，将电场dE分解在坐标上. dE分解在坐标上 .建立坐标系，将电场dE分解在坐标上. 4.统一积分变量，进行求解. .统一积分变量，进行求解.
五、其它概念及物理量
1、电容器电容 、
C=
U =∫
Q ε0 S 平行平板电容器 平板电容器的电容 平行平板电容器的电容 C = = U d
Q Q = V A − VB U
AB
E ⋅ dl
2、电容器贮存的电能 、
Q2 1 1 We = = QU = CU 2 2C 2 2
3、电场空间所存储的能量 1 W e = ∫ we d V = ∫ ε E 2 d V V V 2
σ E= 2ε0
2. 当R<<x
无限大均匀带电平面的场强） （无限大均匀带电平面的场强）
σ 1 R2 x σ (1 − 1 + ( ) − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ E= (1− )= 2 2 2 x 2ε0 2ε 0 R +x
q ≈ 2 4πε0 x
练习： 两块无限大均匀带电平面， 练习： 两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度 计算场强分布。 为±σ，计算场强分布。
3. 积分 （1）统一变量 θ l 把 r、、 统一到 θ
大学物理课后习题答案 真空中的静电场
第八章 真空中的静电场 1、[D] 2、[C]要使p 点的电场强度为零，有两种可能：1、在p 点的右侧放正电荷；2、在p 点的左侧放负电荷。
根据题意为负电荷，根据点电荷强度的公式：204rQ E πε=。
其中r=1,负电荷产生的电场：2442120210=⇒=r rQ r Q πεπε，该点在原点的左边。
3、[D]1、粒子作曲线运动的条件必须存在向心力。
2、粒子从A 点出发经C 点运动到B 点是速率递增，存在和运动方向一致的切向力。
3、依据粒子带正电荷，作出作用在质点上的静电力后，符合上诉1、2条件的是[D]。
4、[C]5、[B]6、[D]1、点电荷的电场强度：r e rq E204πε=；2、无限长均匀带电直导线：r rq e rq E r20022πεπε==；3、无限大均匀带电平面：r e E2εσ=4、半径为R 的均匀带电球面外的电场强度：r r R r R r e rq E r302230204414εσσππεπε=⋅==7、[C]对高斯定理的理解。
E是高斯面上各处的电场强度，它是由曲面内外所有静止点和产生的。
∑=0q 并不能说明E有任何特定的性质。
8、[A]应用高斯定理有:⎰=⋅sS d E 0,即:⎰⎰⎰⎰=∆Φ+⋅=⋅+⋅=⋅∆ses s s S d E S d E S d E S d E 0⎰∆Φ-=⋅seS d E9、[B]10、[C]依据公式:R r rQ E ≥=,420πε已知:,4,22σπR Q R r ==代入上式可得:2024444εσπεσπ==RR E11、[D]先构建成一个边长为a 的立方体,表面为高斯面,应用高斯定理,一个侧面的磁通量为: 0661εq S d E S d E ss=⋅=⋅⎰⎰12、[D]13、[D]半径为R 的均匀带电球面:R r R Q U <=,40πεR r r Q U >=,40πε半径为R 的均匀带电球体: R r r Q U >=,40πεR r RQ r R RQ U <+-=,4)(802230πεπε正点电荷: ,40rQ U πε=负点电荷: ,40rQ U πε-=14、[C]分析:先求以无限远处为电势的零点.则半径为R 电量为Q 的球面的电势： 0)(,4)(0=∞=U RQ R U πε,4)()(0RQ R U U U R πε-=-∞=∞对15、[B]利用电势的叠加来解。
最新静电场习题课(北邮版08级用[1].)
A.导体是个等势体，导体表面是个等势面。
B. 导体内部各点(宏观点)净余电荷为零；电荷只 能分布在表面。
C. 导体表面附近一点的总电场强度方向
D. 与导体表面垂直;场强大小与导体 E. 表面对应点的电荷面密度成正比。
E
0
1 2 3 4
例：设静电平衡后E，va金lu属ati板on各on面ly.所带
ea电•te当荷d w两面it板密hCA带度ospp等之yors量i间ge.h异S的tl2i号关d0e0电s系4f-荷o2r0 时.11 N1 :EA T4 s1p3 ,o.5 s4＝ e2 C0 P l,it ey n2L3 ttP dr.o3file 5.2.0
23. 接地线的存在意味着: A.导体的电势为零;
B.接地线只提供导体与地交换电荷的通道，并不 保证导体腔外壁上的电荷在任何情况下都为零。
例：如图，两导体板分别带qa和
2 3
qb当一导体接地时，求两板之间
的场强。E 2 qa
S
ea222t564e．..d电w有D i孤位t介h C立移A质o0 s导矢ppｒ 时yＥ o体量r si的ge＝ 0的.hD S高tl的电2EiＥ 斯d 0v引容e0a0s定4sl入uf-o理2art0i.1CoN1n EAoe Tqns pl3yo..5sS Ｄ eCPlditS eyn Lqt atPidr.q oq0 fiible 5.2.0
(当电荷分布具有一定的对称性时,用高斯定理很容易求
出场强分布,这种情况下用该式求电势较方便） 外
例: 半径为R，带电量为 q 的均
内
匀带电球面的电场中的电势分布。
Ｒ
eateUd外 with4CAoｑ spp外 yorrsige.hStl2Eid0ve0Uas4l内uf-o＝2art0i.1o4N1nｑEAoT外nsRpl3yo..5seCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0
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建立如图所示坐标系， 解:建立如图所示坐标系，取电荷元 建立如图所示坐标系 取电荷元dq
Y
q q dq = λdl = dl = adθ aθ0 aθ0 合场强沿 y 轴的反
方向,场强微元： 方向,场强微元：
d q
d q
r dE =
dq r r 2 0 4 0a πε
θ0
O
a
X
2 q d E = ∫ d c sθ = ∫ E o c sθ o 2 0 4 0a πε 2 /θ0 q =∫ c sθ θ o d 2 4 0a πε = q 2 0θ0a πε
v v 左边： 左边： ∫∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2πrh
S
+ +
v E
r > R 右边： 右边：
h
∑s内) q ( i
ε0
λh ∴ E = λ = 外 2 rε0 π ε0
方向沿半径向外
r+
+
+
o
y
x
结果同无限长带电线。 结果同无限长带电线。
9
r <R
1）电荷在柱面上均匀分布： 电荷在柱面上均匀分布： 柱面上均匀分布
2
λ r ∴ E = 内 2 2 R ε0 π
方向沿半径向外
10
均匀带电柱面 均匀带电柱面 电场图示
E λ 2πε0R O R
∝r
−1
r
均匀带电 均匀带电柱体 电场图示
λ 2 0R πε
E
∝r
R
−1
O
r
11
均匀带电球体场强的分布( 例: 均匀带电球体场强的分布( R ρ ) , r r r 解：分析知场强球对称E = E r = E r0 S 高斯面： 高斯面：同心球面 r r 1 2 ϕ = ∫∫ E ⋅ dS = 4πr E = ∑ q S ε0 球 ρr 4 3 内 r < R, ∑ = ρ⋅ π r ⇒ E = q 3 3ε0 部
∑s内) q i 右边： 右边： (
ε0
=0
E 2 rh = 0 内 π
∴ E =0 内
2）电荷在柱体内均匀分布： 电荷在柱体内均匀分布： 柱体内均匀分布
1 r2 1 π 2h r 右边： 右边： ∑ qi = λh λh = 2 2 ε0 ε0 R ε0 πR h
(s内 )
r E 2 rh = λh 内 π 2 ε0R
2
θ0 / 2
si n
θ0 dE
2
θ
d E
r E =−
q 2 0θ0a πε
2
sin
θ0 r
2 j
3
有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘， 例 有一半径为 ，电荷均匀分布的薄圆盘， 其电荷面密度为σ 其电荷面密度为σ . 求通过盘心且垂直盘面的 轴线上任意一点处的电场强度. 轴线上任意一点处的电场强度
r ρrr E= r 30 ε 0
P
r
E
1
球 外 部
Q r >R E= , 4 0 r2 πε
r ρ R3 r E= r 2 0 3 0r ε
点电荷
o
r
R
12
均匀带电球面 均匀带电球面 电场图示
E Q 4πε0R2 O R
∝r
−2
r
均匀带电球体 均匀带电球体 电场图示
E
Q 4 0R2 πε
∝r
R
−2
O
r
13
求均匀带电球体空腔部分的电场。球半径为R， 空腔部分的电场 例. 求均匀带电球体空腔部分的电场。球半径为 ， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。
v 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 设空腔内P点场强为 设空腔内 点场强为 E
将空腔补上，实心球 点场强为 将空腔补上，实心球p点场强为 补上的小球， 补上的小球，在p点场强为 点场强为
v ρ Ε = O P 1 3 0 ε
r E 1 r E 2
v E r1
c p o
R
v E = 2
ρ c p 3 0 ε
v E 2
实心大球，减去实心小球，即为p点的场强 实心大球，减去实心小球，即为 点的场强
E = ∫ dE x
=
σx
2ε0
(
1 x
2
−
1 x +R
2 2
R
(x2 +r2)1/2
)
o
r
dr
x
P
x
5
讨论
x << R
E=
σ E≈ 2ε0
σx
2ε0
(
1 x2
−
1 x2 + R2
)
无限大平面结果
R
x >> R
o
q E≈ 4 π ε0 x 2
点电荷结果
x
P
x
6
二、按高斯定理求解
常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 均 匀 带 电 的 球体 球面 (点电荷) 点电荷) 柱对称 无限长柱体 无限长柱体 柱面 带电线 r
R
R
P
x
o
x
x
o
x
P
x
4
解： 利用均匀带电环轴线上电场结果。 利用均匀带电环轴线上电场结果。
dq = σ2πrdr
σ = q / πR
2
qx qx E= = 3 3 2 2 2 4 0r πε 4 0(R + x ) πε
细圆环在轴线上产生的电场微元： 细圆环在轴线上产生的电场微元：
xdq σ xrdr σ xd( x 2 + r 2 ) dEx = 4 πε0 ( x2 + r 2 )3 2 = 2ε ( x 2 + r 2 )3 2 = 4ε ( x 2 + r 2 )3 2 0 0
电场强度
一、按点电荷和叠加原理求解
v E= Q v r 点电荷 2 0 —点电荷 4π εr
r 1 dq r dE = r 2 0 4 0r πε —电荷在有限空间分布 电荷在有限空间分布
例.电偶极子中垂线场强。 电偶极子中垂线场强 电偶极子中垂线 半径为R 例.半径为R的均匀带电环轴线上的场强(电势)。 半径为 的均匀带电环轴线上的场强(电势) 均匀分布电荷， 例.长细杆均匀分布电荷，求延长线上距杆为 的P点处 长细杆均匀分布电荷 求延长线上距杆为a的 点处 场强(电势 电势) 场强 电势 一段细圆弧 电势)。 例.一段细圆弧，均匀分布电荷，求圆心处场强 电势 。 一段细圆弧，均匀分布电荷，求圆心处场强(电势
1
如图，电量q 例 如图，电量 均匀分布在 长为a 的细杆上， 长为 的细杆上，求杆的延 X 长线上与杆一端距离为b的 长线上与杆一端距离为 的P 点的电场强度 电场强度. 点的电场强度
dq
a b段半径为a的细圆弧 对圆心的张角为θ 的细圆弧， 例 一段半径为 的细圆弧，对圆心的张角为 0，其上均匀 分布有正电荷q，如图所示。试以a 表示出圆心o处 分布有正电荷 ，如图所示。试以 , q , θ0 表示出圆心 处 的电场强度。
r r r E = E −E 1 2
14
r ρ ρ o c E= (o −cp) = p 30 ε 30 ε
因为oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。 因为 为常矢量，所以空腔内为匀强电场。 为常矢量
v E r1
c
v o pE
R
2
15
n
r r ∑s内) q ( i E⋅ dS = ∫∫
S
ε0
面对称 无限大平板 无限大平板 平面
∆ S
∆ S
r
r n r n
λ E= 2 0r πε
σ σ E= 20 ε
7
例：无限大带电平面的电场叠加问题
+σ
v E v E v E
−σ
v E
+σ
+σ
+σ
−σ
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
8
例8-11 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称， 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称， 圆柱半径R. 设单位长度上的电荷为λ，圆柱半径 .求距轴心 距离为r处的电场强度 处的电场强度。 距离为 处的电场强度。 解 高斯面：圆柱形轴对称 高斯面：
Y
q q dq = λdl = dl = adθ aθ0 aθ0 合场强沿 y 轴的反
方向,场强微元： 方向,场强微元：
d q
d q
r dE =
dq r r 2 0 4 0a πε
θ0
O
a
X
2 q d E = ∫ d c sθ = ∫ E o c sθ o 2 0 4 0a πε 2 /θ0 q =∫ c sθ θ o d 2 4 0a πε = q 2 0θ0a πε
v v 左边： 左边： ∫∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2πrh
S
+ +
v E
r > R 右边： 右边：
h
∑s内) q ( i
ε0
λh ∴ E = λ = 外 2 rε0 π ε0
方向沿半径向外
r+
+
+
o
y
x
结果同无限长带电线。 结果同无限长带电线。
9
r <R
1）电荷在柱面上均匀分布： 电荷在柱面上均匀分布： 柱面上均匀分布
2
λ r ∴ E = 内 2 2 R ε0 π
方向沿半径向外
10
均匀带电柱面 均匀带电柱面 电场图示
E λ 2πε0R O R
∝r
−1
r
均匀带电 均匀带电柱体 电场图示
λ 2 0R πε
E
∝r
R
−1
O
r
11
均匀带电球体场强的分布( 例: 均匀带电球体场强的分布( R ρ ) , r r r 解：分析知场强球对称E = E r = E r0 S 高斯面： 高斯面：同心球面 r r 1 2 ϕ = ∫∫ E ⋅ dS = 4πr E = ∑ q S ε0 球 ρr 4 3 内 r < R, ∑ = ρ⋅ π r ⇒ E = q 3 3ε0 部
∑s内) q i 右边： 右边： (
ε0
=0
E 2 rh = 0 内 π
∴ E =0 内
2）电荷在柱体内均匀分布： 电荷在柱体内均匀分布： 柱体内均匀分布
1 r2 1 π 2h r 右边： 右边： ∑ qi = λh λh = 2 2 ε0 ε0 R ε0 πR h
(s内 )
r E 2 rh = λh 内 π 2 ε0R
2
θ0 / 2
si n
θ0 dE
2
θ
d E
r E =−
q 2 0θ0a πε
2
sin
θ0 r
2 j
3
有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘， 例 有一半径为 ，电荷均匀分布的薄圆盘， 其电荷面密度为σ 其电荷面密度为σ . 求通过盘心且垂直盘面的 轴线上任意一点处的电场强度. 轴线上任意一点处的电场强度
r ρrr E= r 30 ε 0
P
r
E
1
球 外 部
Q r >R E= , 4 0 r2 πε
r ρ R3 r E= r 2 0 3 0r ε
点电荷
o
r
R
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均匀带电球面 均匀带电球面 电场图示
E Q 4πε0R2 O R
∝r
−2
r
均匀带电球体 均匀带电球体 电场图示
E
Q 4 0R2 πε
∝r
R
−2
O
r
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求均匀带电球体空腔部分的电场。球半径为R， 空腔部分的电场 例. 求均匀带电球体空腔部分的电场。球半径为 ， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。
v 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 设空腔内P点场强为 设空腔内 点场强为 E
将空腔补上，实心球 点场强为 将空腔补上，实心球p点场强为 补上的小球， 补上的小球，在p点场强为 点场强为
v ρ Ε = O P 1 3 0 ε
r E 1 r E 2
v E r1
c p o
R
v E = 2
ρ c p 3 0 ε
v E 2
实心大球，减去实心小球，即为p点的场强 实心大球，减去实心小球，即为 点的场强
E = ∫ dE x
=
σx
2ε0
(
1 x
2
−
1 x +R
2 2
R
(x2 +r2)1/2
)
o
r
dr
x
P
x
5
讨论
x << R
E=
σ E≈ 2ε0
σx
2ε0
(
1 x2
−
1 x2 + R2
)
无限大平面结果
R
x >> R
o
q E≈ 4 π ε0 x 2
点电荷结果
x
P
x
6
二、按高斯定理求解
常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 均 匀 带 电 的 球体 球面 (点电荷) 点电荷) 柱对称 无限长柱体 无限长柱体 柱面 带电线 r
R
R
P
x
o
x
x
o
x
P
x
4
解： 利用均匀带电环轴线上电场结果。 利用均匀带电环轴线上电场结果。
dq = σ2πrdr
σ = q / πR
2
qx qx E= = 3 3 2 2 2 4 0r πε 4 0(R + x ) πε
细圆环在轴线上产生的电场微元： 细圆环在轴线上产生的电场微元：
xdq σ xrdr σ xd( x 2 + r 2 ) dEx = 4 πε0 ( x2 + r 2 )3 2 = 2ε ( x 2 + r 2 )3 2 = 4ε ( x 2 + r 2 )3 2 0 0
电场强度
一、按点电荷和叠加原理求解
v E= Q v r 点电荷 2 0 —点电荷 4π εr
r 1 dq r dE = r 2 0 4 0r πε —电荷在有限空间分布 电荷在有限空间分布
例.电偶极子中垂线场强。 电偶极子中垂线场强 电偶极子中垂线 半径为R 例.半径为R的均匀带电环轴线上的场强(电势)。 半径为 的均匀带电环轴线上的场强(电势) 均匀分布电荷， 例.长细杆均匀分布电荷，求延长线上距杆为 的P点处 长细杆均匀分布电荷 求延长线上距杆为a的 点处 场强(电势 电势) 场强 电势 一段细圆弧 电势)。 例.一段细圆弧，均匀分布电荷，求圆心处场强 电势 。 一段细圆弧，均匀分布电荷，求圆心处场强(电势
1
如图，电量q 例 如图，电量 均匀分布在 长为a 的细杆上， 长为 的细杆上，求杆的延 X 长线上与杆一端距离为b的 长线上与杆一端距离为 的P 点的电场强度 电场强度. 点的电场强度
dq
a b段半径为a的细圆弧 对圆心的张角为θ 的细圆弧， 例 一段半径为 的细圆弧，对圆心的张角为 0，其上均匀 分布有正电荷q，如图所示。试以a 表示出圆心o处 分布有正电荷 ，如图所示。试以 , q , θ0 表示出圆心 处 的电场强度。
r r r E = E −E 1 2
14
r ρ ρ o c E= (o −cp) = p 30 ε 30 ε
因为oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。 因为 为常矢量，所以空腔内为匀强电场。 为常矢量
v E r1
c
v o pE
R
2
15
n
r r ∑s内) q ( i E⋅ dS = ∫∫
S
ε0
面对称 无限大平板 无限大平板 平面
∆ S
∆ S
r
r n r n
λ E= 2 0r πε
σ σ E= 20 ε
7
例：无限大带电平面的电场叠加问题
+σ
v E v E v E
−σ
v E
+σ
+σ
+σ
−σ
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
8
例8-11 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称， 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称， 圆柱半径R. 设单位长度上的电荷为λ，圆柱半径 .求距轴心 距离为r处的电场强度 处的电场强度。 距离为 处的电场强度。 解 高斯面：圆柱形轴对称 高斯面：