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第17讲 导数在函数中的应用——极值与最值1．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于(A)A ．2B ．1C ．－1D ．－2因为y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 所以当－1<x <1时，y ′>0；当x >1时，y ′<0， 所以x ＝1时，y 有极大值2，所以b ＝1，c ＝2， 又因为a ，b ，c ，d 成等比数列，所以ad ＝bc ＝2.2．函数f (x )＝xe x 在[0,1]上的最大值为(B)A ．0 B.1eC ．e D.2e因为f ′(x )＝e x －x e x (e x )2＝1－xe x ≥0在[0,1]上恒成立，所以f (x )在[0,1]上为增函数，所以当x ＝1时，f (x )有最大值1e.3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在区间[－2,0]上的最大值和最小值分别为(C) A ．1，－1 B ．3,1 C ．3，－1 D ．5,1f ′(x )＝3x 2－3＝0，解得x ＝－1或x ＝1(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2,－1)－1 (－1,0) 0 f ′(x ) ＋ 0 －f (x )－131所以最大值为3，最小值为－1.4．(2017·鞍山二模)已知函数f (x )＝a －x ＋x e x ，若存在x 0>－1，使得f (x 0)≤0，则实数a 的取值范围为(B)A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]由f (x )≤0，得a ≤x －x e x ，令h (x )＝x －x e x (x >－1)，h ′(x )＝1－(1＋x )e x ， 令g (x )＝h ′(x )，g ′(x )＝－(x ＋2)e x <0， 所以h ′(x )在(－1，＋∞)内递减，而h ′(0)＝0， 所以h (x )在(－1,0)内递增，在(0，＋∞)内递减， 所以h (x )的最大值为h (0)＝0.故a ≤0.5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝ 32 .由f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，又f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24， 所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.6．(2016·深圳市第二次调研)函数f (x )＝x 2－3x ＋ln x 在x ＝ 12处取得极大值．因为f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2(x －1)(x －12)x，x ∈(0，12)时，f ′(x )>0，x ∈(12，1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )＝x 2－3x ＋ln x 在x ＝12处取得极大值．7．设f (x )＝ex 1＋ax 2，其中a 为正实数.(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围.f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.综合①，可知，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )是R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，又a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．8．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)若函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )＝x 3e x ，f (1)＝0，则当x >0时，f (x )(B)A. 有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值由题设知，当x >0时，[f (x )x ]′＝xf ′(x )－f (x )x 2＝x 3e x x2＝x e x ， 可得f (x )x ＝(x －1)e x ＋C (C 为常数)，又f (1)＝0，得C ＝0，所以f (x )＝x (x －1)e x . 又f ′(x )＝(x 2＋x －1)e x ， 令f ′(x )＝0，解得x ＝5－12或x ＝－5－12(舍去)， 所以当x >0时，x ∈(0，5－12)，f ′(x )<0，x ∈(5－12，＋∞)，f ′(x )>0，所以当x >0时，f (x )有极小值f (5－12)，无极大值．9．(2017·天津红桥区模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值为 －13 .因为f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值， 所以f ′(2)＝0，又f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由f ′(2)＝－12＋4a ＝0，所以a ＝3. 所以f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .当m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值为f (x )的最小值与f ′(x )的最小值的和． 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍去)，所以f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)＝－4. 因为f ′(x )＝－3(x －1)2＋3，又f ′(1)＝3，f ′(－1)＝－9，所以f ′(x )min ＝－9. 所以f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.10．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈(0，π2)时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间[0，π2]上单调递减，所以对任意x ∈(0，π2]有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间[0，π2]上单调递减，因此f (x )在区间[0，π2]上的最大值为f (0)＝1，最小值为f (π2)＝－π2.。
导数与函数的极值、最值讲义题型一：用导数求解函数极值问题命题点1：根据函数图象判断极值典例 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 命题点2：求函数的极值典例 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． 命题点3：根据极值求参数典例 (1)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________．(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间)3,21(上有极值点，则实数a 的取值范围是 思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0(2)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间)1,21(内有极大值，则a 的取值范围是 题型二：用导数求函数的最值典例 已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在],1[e e上的最大值和最小值．引申探究：本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”，则函数f (x )在],1[e e上的最大值如何？ 思维升华：求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．跟踪训练设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是______． 题型三：函数极值和最值的综合问题典例已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．跟踪训练 若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)反馈练习1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( ) A.283 B ．6 C.263D ．7 3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极大值4．记函数f (x )＝x －3＋12－3x 的最大值为M ，最小值为m ，则M －m M ＋m的值为( ) A.13 B.34C.35D.235．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或186．若函数f (x )＝13x 3－)21(b +x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －43B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3 7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝______.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．9．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax )21(>a ，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．11．已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．13．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．014．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．15．若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ，且M >0，则实数m 的取值范围是______．。
