工程力学A 平面弯曲ppt

M
中性轴
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝ 120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c
各点的正应力。
A l2
FL
F B
C l2
h6
a
b
h
h2 c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh3
3
12
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
1 FL h
y 2
cos 2
x sin
2
(a)
同理，由∑Fy=0 可 得：
x
2
y
sin
2
x
cos 2
(b)
符号规定：σ—拉为正；τ—顺时针为正；α—逆时针为正。
2、主应力、主平面、主剪应力
由(a)、(b)式可确定应力的极值及其作用面方位
d d
0
:
max min
1 2
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
;
12MPa
6
梁的正应力强度条件
对梁的某一截面：
max
Mymax Iz
M
WZ
对全梁（等截面）：
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403×10－ 7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按 正应力强度条件校核梁的强度。
座 梁的三种形式：简支梁、外伸梁、悬臂梁
载荷类型:

工程力学上课课件：弯曲精品
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。

截面对轴的惯性矩等于该截面各部分对同一轴的 惯性矩之和。
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
第九页，共81页。
· 型钢截面
可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。
第十页，共81页。
四、平行移轴定理
I y
z 2dA
A
A (zC a)2dA
A zC2dA 2a A zCdA a2
2max
M2 Wz 2
M2
d23
32
ห้องสมุดไป่ตู้
d2
3
32 M 2
3
32 4.55103
140106
0.018m
第三十七页，共81页。
例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为 [σ t] = 30MPa，抗压许用应力为[σ c] = 160MPa，试校核梁的强度。
解：⑴ 求支座约束力，作弯矩图
第三十页，共81页。
max
FS
S* z max
Iz
FS
8Iz
[bh02
(b )h2 ]
min
FS
8Iz
[bh02
bh2 ]
腹板厚度 远小于翼缘宽度 b 时， b -， ≈ b
τmax ，≈τ可m认in 为腹板上的切应力均匀分布
FS
A
腹板的面积
2.翼缘的切应力
翼缘部分切应力分布复杂且数值很小，一般不作计算，认为 翼缘主要承受截面的弯矩。
第七页，共81页。
· 圆环截面 （内径为d ，外径为D ，y、z轴过圆心）
Iz
Iy
(D4 d4)
64
D4
64
(1 4 )

P A x Q M
QAC = −20 M AC = −20x
在CB段：(1<x<5) CB段：(1<x<5)
A
P
M
q
Q M
C 1m YC x
QBC = 35 − 20 −10(x −1) 2 MBC = 35(x −1) + 40 − 20x − 5(x−1)
QBC = 25 −10x 2 MBC = 25x − 5 x
∑M =0
RAy − P − Q = 0 1
M + P1 × ( x − a ) − RAy x = 0
∑Y = 0
Q = RAy − P 1
M = RAy x − P ( x − a ) 1
说明： 说明：
1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。 、一般情况下， 方向的约束反力为零。 2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 、如果不求剪力， 平衡方程。 平衡方程。 3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 、不考虑剪力时， 建立在截面的中心。 建立在截面的中心。
平面弯曲的概念
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内， 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 因此， 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
横向力：与杆件轴线相垂直的外力 横向力： 梁：以弯曲变形为主的杆件 根据固定情况可分为： 根据固定情况可分为：
2 梁的所有与轴线平行 的纵向纤维都是轴向 拉伸或压缩， 拉伸或压缩，变形量 与其中性轴的距离有 关。
二) 梁横截面上的正应力
ρ M dθ M y
(ρ + y)dθ − ρdθ y 1) 变形几何方程: ε = 变形几何方程: = ρdθ ρ

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21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

C 求3-3截面的剪力和弯矩
Fy 0, FS3 FRB qa 0
3qa
FS3 4
MB3 0 , M3
M3
qa 2 2
(
qa 2
2
(
)
)
0
A FRA
D 求4-4截面的剪力和弯矩
Fy 0, FS4 qa 0
FS4 qa ( )
qa 2
MB4
0
,
M4
qa 2
2
M4 2
0
x l, M 0
+
令
dM ( x) ql qx 0 dx 2
得驻点x l 2
弯矩的极值
M max
M
x l 2
ql 2 8
Bx FRB
-x
ql/2
x
39
注意：一般情况下，梁全长上的剪力和弯矩不能用一个 函数表示，外力有突变时，剪力方程和弯矩方程可能发生变 化，应分段描述。
分段原则： 集中力作用点、集中力偶作用点
FS
x ＝FRA
Fb l
0 x a
FS
x
＝ FRB
Fa l
a x l
M
x ＝FRA x
Fb l
x
0 x a
M x＝FRB (l x)
Fa l x
a x l
l
41
F
剪力方程和弯矩方程
a
b
AC：
Fs
x ＝FRA
Fb l
0 x a
M x＝FRA x
CB：
Fb l
x
0 x a
FS
（a） L
o
x
P
解: ①建立坐标系,列出梁

9
例：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的转 角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。 设梁的抗弯刚度为EI。
F
A
B
l
10
解：
1、FA=F，MA=Fl
MA
A
2 、 M (x) M A F Ax
x l
3﹑EIwMx
y FA
F l Fx
积分：
EI'wEIFlxF2x2C
EIwFl2xF3xC xD 2 23
D B :w 2 2 F b ( 6 l2 E I lb 2 ) 2 F E b I lx 2 2 F E I(x a ) 2
w 2 F b (6 l2 E Ilb 2)x 6 F E b Ilx 3 6 F E I(x a )3
当a＞b时 wmax在AD段。
由w1 0，x0
l2 b2。 3
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即边 界条件确定。
7
如：
F
A
A
F

A
C
l
边界条件：
B
wA=0
F
wB=0
边界条件：
D a
B △a
wA=0 θA=0
边界条件：
wA=0
wB=△a
8
E Iw E IM xdxC E Iw M xdx dxC xD
积分常数C,D的几何意义是什么？
EIw'(0)=EIθ0 =C EIw (0)=EIw0 =D
及wmax 。
A
解:1°建立坐标系。
F
a
b
B
CD
x
求支座反力。
x
y
l
FA
Fb l
,

对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例.
§4–1 工程实际中的弯曲问题 ⑤ 非对称弯曲
若梁不具有纵向对称面，或者梁虽具有纵向对称 面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为 非对称弯曲.
以后两章所研究的弯曲问题都是平面弯曲.
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便 于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图.
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类 型：集中力、集中力偶和分布载荷.
① 集中力 F
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
(3) 载荷简化
②分布力
q
q(x)
③集中力偶、分布力偶
M
m
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
(4) 支座简化
A
① 固定铰支座
2个约束，1个自由度.
内力符号按变形规定
剪力FS :
左上右下错动，剪力 为正；反之为负.
弯矩M：
使梁弯曲成凹形时的 弯矩为正，反之为负.
§4–2 剪力和弯矩
例4-1 简支梁AB，在C点作用集中力F=10 kN，求 距A点0.8 m处截面n-n的剪力和弯矩. 解：（1）求支座反力
FA 6.25kN FB 3.75kN
(1) 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁. FP
A
梁的轴线 P
B
l/2
l/2
l/2
l/2
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
(2) 梁的三种基本形式 ①简支梁
②悬臂梁 ③外伸梁
以上梁的约束反力可由静力平衡方程求得，统称静定梁.
§4–1 工程实际中的弯曲问题

2.待定系数的确定
P
P
A
C
B
D
支座边界条件：
wA 0 wB 0
wD 0 D 0
连续条件： wC wC 或 写 w C左 成 w C 右
光滑条件：
C
C
或 写C左 成C右
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的条件确定。 支座边界条件 连续条件 光滑条件 ④优点：使用范围广，直接求出挠曲线的精确解；基本方法。 缺点：计算较繁。
B
Pal EI
列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：
w 1(P x a E 2 1(P IP 2 (ll x a2 a )(P x6l)a)2 l P
0xl )allxla
EI2l
2l
6
w 1[Px aE 31(P IP 6(ll x a3 a )(P x6la x )3 ) l Pa x]ll 0 x x l la
0xl lxla
l
l
Ew I PaxPP (ll axa)(xl)
0xl lxla
l
l
Ew I P 2l a x2 P P 2(ll2 la xa 2 )(C x1l)2C2
0xl lxla
[例4] 用积分法求梁（刚度为EI）的 wA 和 B 。
w
B FB
L
P
C
a
x
A
EwI P 2l a x2P P 2(ll2 la xa 2 )(C x1l)2C2
a
P
L
x
x001 2P2aC10
C1
1 2
Pa2