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第1章_矩阵代数

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第一章 矩阵代数

第一章 矩阵代数
形成新的矩阵的转置。 即，令cij aij 的代数余子式，有：
c11 c12
Adj
A
c21
c22
cn1 cn2
c1n c11 c21
c2n
c12
c22
cnn c1n c2n
cn1
cn2
cnn
例
1 2 3
A 1 3
5
1 5 12
3 5 1 5 1 3
5 12
B
1 0 0 3 1 4
（ii）假设我们将第二行乘上-3而得到：
有：
1 2 3
C
0
12
6
3 1 4
1 0 01 2 3
0
3
0
0
4
2
C
0 0 1 3 1 4
（iii）假设我们在第二行上加上7倍的第三行而得到：
1 2 3
D
21
11
30
3 1 4
有
1 0 01 2 3
32
A13
1
4
12 2 10
c13 (1)13 A13 1 10 10
26 A32 3 3 6 18 12
c32 (1)32 A32 (1) (12) 12
• 定理 令 A 为 n n矩阵，有
n
A aijcij 对于每个i, (由i行展开) j 1
n
aijcij 对于每个j, (由j列展开) i 1
例 找出下列矩阵的逆：
1 2 1
A
0
1
1
2 1 4
首先应该保证 A 0 ，下面我们使用标记A B ，表明B
是通过对A 施以基本行（列）运算而得到的。

《线性代数》第1章线性方程组与矩阵

《线性代数》第1章线性方程组与矩阵
当 a1 a2 L an 1 时，这个数量矩阵就称为 n 阶单位矩阵，简称为单位阵，
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.
L L O M
0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
得到的 n m 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT ，即
a11 a21 L
AT
a12
L
a22 L LL
a1n
a2n L
am1
am 2
.
L
anm
矩阵的转置满足下面的运算规律（这里 k 为常数， A 与 B 为同型矩阵）：
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。

本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。

通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。

线性代数 第一章、矩阵

线性代数 第一章、矩阵

张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,

第一章线性代数

第一章线性代数

2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。

线性代数第一章矩阵的转置

矩阵转置的性质
矩阵转置具有一些重要的性质，如$(A+B)^T=A^T+B^T$、$(AB)^T=B^TA^T$、$(A^T)^T=A$等，这 些性质在基变换过程中具有重要作用。
实例分析：利用矩阵转置进行向量空间基变换
实例描述
基变换过程
结果分析
考虑二维平面上的一个向量空间，其 原基为$begin{bmatrix} 1 0 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} 0 1 end{bmatrix}$，现需要将其变换为 新基$begin{bmatrix} 1 1 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} -1 1 end{bmatrix}$。
线性代数第一章矩阵的转置
• 矩阵转置基本概念 • 矩阵转置与线性变换 • 特殊类型矩阵的转置 • 矩阵转置在方程组求解中应用 • 矩阵转置在向量空间中应用 • 总结与回顾
01
矩阵转置基本概念
矩阵转置定义
01
将矩阵的行和列互换得到的新矩 阵称为原矩阵的转置矩阵。
02
对于任意矩阵A，其转置矩阵记为 AT或A'，满足AT=A'。
关键知识点总结
01
02
03
04
$(kA)^T = kA^T$，其中$k$ 是常数
$(AB)^T = B^TA^T$
对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = A$，则称$A$为对称
矩阵。
反对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = -A$，则称$A$为反
对称矩阵。
常见误区提示
误区一
认为只有方阵才能进行转 置操作。实际上，任何形 状的矩阵都可以进行转置。
误区二
错误地认为$(AB)^T = A^TB^T$。正确的公式是 $(AB)^T = B^TA^T$。

线性代数 第一章矩阵 参考答案


0 A2
0 A1
0 I A11r1 , A21r2 I 0 I 0 0 I
0 A11
A2 1 0
P31 习题 1.4 1.按上课要求做，则此题中行阶梯形答案不唯一，行最简形和标准形答案唯一
1 1 1 （1） 0 2 1 0 0 0
法一
2 1 1 B ( A 2 I ) A ，求出 ( A 2 I ) 1 1 1 4 3 4 2 3 3 8 B 1 5 3 1 1 0 2 9 1 6 4 1 2 3 2 12
4.解： 4 X
4 0 0 4 8 (3) 2 14 2 (4) 3 11 5 11 5 4 10 1 1 0 1 7.解: AB ; BA 1 2 0 0 1 2
1 0 （2） 0 0 1 0 （3） 0 0 1 0 （4） 0 0
1 1 0 0 3 2 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 3 1 1 0 2 1 0 0
1 0 1 ，0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 ， 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 1 5 1 , 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 5 1 ，0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
（法二）
A1 X1 X 2 的逆阵为 B ，则有 0 X 3 X4 A1 X 1 X 2 I 0 0 X X I 0 4 3
A21 。 0
I 0 r1 r2 A2 0 I 0 0 A21 1 所以 A 1 0 A1 A1 0

线性代数-第一章第2节-矩阵的运算


四、矩阵的转置
1. 定义
将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列 换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。
例如： A 1 0 2
4 3 0
则
AT
1 0
4 3
2 0
2）、转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XXT T ET 2 XXT T
E 2XXT H , H是对称矩阵.
HH T H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
1.55 2.1 2.6
C (cik )32, A (aij )32, B (bjk )22
•而
2
cik aijbjk j 1
• （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）
三、矩阵与矩阵相乘 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,
则 A 与 B 的乘积 C＝AB = ( cij ) m×n
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.

《多元统计分析》第一章 矩阵代数

v 线性无关：同维向量a1,a2,⋯ ,an不线性相关。 v 行秩：矩阵A的线性无关行向量的最大数目。 v 列秩：矩阵A的线性无关列向量的最大数目。 v 行秩和列秩必然相等，统称为秩，记作rank(A)。
5
矩阵秩的基本性质
v (1) rank(A)=0 A=0。 v (2) 若A为p×q矩阵, 且A≠0，则1≤rank(A)≤min{p,q}。 v (3) rank(A)=rank(A′)。 v (4) 若A和C为非退化方阵，则
，

3 5
0 1
1 1

5
矩阵的运算
v 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：p×q，则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij)：p×q
v 常数c与A的积定义为
cA=(caij)：p×q
v 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：q×r，则A与B的积定义为

AB
tr(A)=λ1+λ2+⋯ +λp
3
《多元统计分析》MOOC
1.5 正定矩阵、非负定矩阵和 矩阵函数值的SAS输出
王学民
正定矩阵和非负定矩阵
设A是对称矩阵，则定义 二次型：x′Ax，其中x是一向量。 正定矩阵：x′Ax>0，若对一切x≠0。记作A>0。 非负定矩阵：x′Ax≥0，若对一切x。记作A≥0。

4 5
8 9
15 20
30 20
20 40

求它的逆矩阵、特征值、特 征向量、行列式和迹。
3
当p=1时，A=a 是一个正数
当p=1时，A=a 是一个非负数。
1
基本性质
(1) A>0(或≥0) A′=A，λi >0(或≥0)，i=1,2,⋯,p。 (2) 设A≥0，则A的秩等于A的正特征值个数。
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利用代数余子式求逆。 定义 令Ann {aij }，我们将 A 中所有元素用其代数余子式来代替 可得到一个新的矩阵。A 的伴随矩阵，记作 Adj A ，是所 形成新的矩阵的转置。 即，令cij aij 的代数余子式，有：
c11 c Adj A 21 cn1
c12 c1n c11 c22 c2 n c12 cn 2 cnn c1n
0 I { ij } 0
0 1 D {i ij } 0 n
3、对角矩阵
4、零矩阵 加以表示。
所有元素都为零的矩阵，常用一个大写的零
5、幂等矩阵 如果 AA A，则 A 为幂等矩阵 6、向量 行向量是一个1 n 的矩阵而列向量是一个 m 1的 矩阵 向量x和向量y间的欧几里德距离：
• 例 在上例中
A a11c11 a12c12 a13c13 26 4(24) 6 10 12 96 60 24
• 步骤 • 如果矩阵的某一行或者某一列中有多个零，可以用此行或 者此列对行列式进行展开。
• 行列式的性质 1、 A A
3 7 1 A 2 0 6 1 4 1
用大写字母表示矩形，用下标表示其行数和列数;用小写 字母表示其中元素，用元素的下标表示该元素在矩阵中所 占据的位置。 • 基本矩阵运算 B {b } ，当且仅当 a b 时， A B 1、相等 Amn {aij }， B {b } ，则 A B {aij bij } 2、相加 A {a } ， 3、系数相乘 A { aij } ,其中 为一实数。
1 2 1 5 7 1 1 0 0 AB 0 1 1 2 2 1 0 1 0 2 1 4 2 3 1 0 0 1
因此该矩阵具有逆。
• 定义 如果方阵 A 有逆，则其为非奇异的；如果方阵 A 没有逆， 则其为奇异的。 • 逆的性质
AA1 A1 A I ？ 单位矩阵
注意： （ii） A1 1/ A
（i）如果 A 是方阵的话，其才可能存在逆
A1 I / A
• 定义 令 A 为n n 的方阵，如果存在某个n n 方阵 A1 使得：
A1 A AA1 I 则 A1就是 A 的逆。 例 1 2 1
第一章
矩阵代数
• 本章先介绍一些矩阵的基本概念，引入矩 阵的基本运算和一些常见矩阵，然后介绍 行列式和矩阵的逆，接着介绍作为特殊矩 阵——向量的线性相关性以及矩阵的秩， 最后作为补充介绍克罗内克乘积和矩阵向 量化
1.1 基本概念
• 矩阵是元素的矩形组合。
Amn a11 a 21 am1 a12 a1n a22 a2 n am 2 amn
（i）如果 A 有逆，则其逆唯一。
（ii）如果 A 和 B 都是非奇异的，( AB)1 B1 A1
（iii）
（iv）
( A1 ) 1 A
( A) 1 ( A1 )
• 下面证明其唯一性，而其他性质可以很容易得出 • 设 A 有两个逆 B 和C ，那么AB BA I ， AC CA I 。有 B BAC IC C
性质（6）使得我们能够回答在本节前面所提出的问题。 • 步骤 如果 A 中没有零，则用一行（列）的倍数加到另一行 （列）上以使得其出现尽可能多的零。
例1
1 2 3 5 4 7 7 0 1 11 0 3 411 7 1 11 3
r12r3 411 r 1
r2 r2 4r3
1(1)3 2
• 定理 令A {aij }为n n 矩阵，cij 为aij 的代数余子式，有
a c
j
ij kj
0 ik 0 jk
a c
i
ij ik
该结论经常被称为“利用异代数余子式进行展开”
1.3 矩阵的逆
在实数体系中，对于任意实数a 0 ，总存在一个数 a 1 ， a 的倒数，使得 aa1 a 1a 1 那么这种性质在矩阵中是否存在呢？对于给定矩阵 A ，是 否存在矩阵A1 使得：
3 7 1 A 2 0 6 1 4 1
6 14 2 C 4 0 12 2A 8 A
5、 如果 A 和B 都是 n n阶的，
AB BA A B
6、将一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变。
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a a a 31 32 33
A a11a22 a33 a12 a21a33 a12 a23a31 a13a22 a31 a13a21a32 a11a23a32
• 利用代数余子式对行列式进行展开 定义 如果去掉 A 的一行一列，我们可以得到一个 A 的 n 1 n 1 阶子矩阵。取该子矩阵的行列式，我们就得到 A 的一个子 行列式。 用 A 表示去除 i 行 j 列后矩阵 A 的子行列式。 aij 的代数余子式记为 cij ， cij (1)i j Aij 。 例
c21 cn1 c22 cn 2 c2 n cnn
例
1 2 3 A 1 3 5 1 5 12
3 5 1 5 1 3 5 12 1 12 1 5 2 3 1 3 1 2 Adj A 15 5 12 1 12 2 3 1 3 1 2 3 5 1 5 1 3 11 7 2 11 9 1 9 9 3 7 9 2 1 2 1 2 3 1
• 定理 令 A 为一非奇异方阵，那么：
A1 Adj A / A
证明： 考虑A Adj A 的第(i, j )个元素，
( A Adj A)ij aik ckj
k
如果 i j ，其等于 A ，而i j 其等于零，因此
A Adj A A I
类似的， Adj A A A I 从而 A1 Adj A / A
d ( x, y ) ( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ( xn yn ) 2
第二节 行列式
• 引言 det A 行列式 ： A ， 1、2 2情形
a11 a12 A a21 a22
A a11a22 a12 a21
2、 3 3 情形
tr A aii
i 1
n
6 矩阵的转置 A ，将 A 的行与列互换即可得 如果 A A ，则 A 是对称的
转置规则： （i）( A) A （ii）( A B) A B （iii） ( AB) BA （iv） AA 和 AA 是对称的
• 特殊矩阵 1、单位矩阵 主对角线上元素为1而其余元素为0的方阵 2、系数矩阵 系数矩阵可表示为 I nn ，其中 为系数
例 考虑
（i）假设我们将1，3行交换而得到：
3 1 4 B 0 4 2 1 2 3
1 2 3 A 0 4 2 3 1 4
有
0 0 1 1 2 3 0 1 0 0 4 2 B 1 0 0 3 1 4
3 2 1 4
2 6 3 3
27 3 24
12 2 10
6 18 12
c13 (1)13 A13 1 10 10
c32 (1)3 2 A32 (1) (12) 12
• 定理 令 A 为 n n矩阵，有
A aij cij 对于每个i, (由i行展开)
A 0 1 1 2 1 4
考虑
5 7 1 B 2 2 1 2 3 1
则
定理 方阵 A 有逆的充分必要条件是 A 0 。 对于上例中的 A ，有
1 2 1 A 0 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 4 r r 2 r 0 3 2 3 1 3 1 1 1(1)11 1(2 3) 1 0 3 2
3 2 1 7 0 1 6 1
3 7 1 1 4 1
3 2 1 A 7 0 4 1 6 1
4 2 0 6
2、任意两行或者两列进行交换会使得行列式的符号发生 改变。
3 7 1 A 2 0 6 1 4 1 1 4 1 B 2 0 6 3 7 1
mn ij
ij ij
mn ij
mn
ij
4 矩阵相乘 令Amn {aij }，Bn p {bij }，那么C AB是一个m p 的 n c ( i , j ) 矩阵，其中 第个元素为 ij k 1 aik bkj ai1b1 j aib2 j ainbnj 。 注意：1、矩阵乘法的相容性 2、矩阵乘法不遵循交换律 5 矩阵的迹 只有方阵才有迹，方阵A 的迹 tr A为其主对角线 元素之和：
ij
2 4 6 A 3 2 3 1 4 9
则
A11 2 3 4 9 18 12 6
c11 (1)11 A11 16 6
c12 (1)1 2 A12 (1)24 24
A12
A13
A32
3 3 19
j 1 n
（1.1） （1.2）
aij cij 对于每个j , (由j列展开)
i 1
n
将（1.1）完整的写出，有：
A ai1ci1 ai 2ci 2 aincin
将（1.2）完整的写出，有：
A a1 j c1 j a2 j c2 j anj cnj