四川大学线性代数课件第一章第一节 向量与矩阵的定义及运算

((
k 1 n j 1
s
n
aij b jk )ckt )
a b
k 1 j 1 s n ij j 1
s
n
jk c kt


j 1 k 1
s
aij (b jk ckt )
a ( b
k 1
jk ckt )
[ A( BC)]it
矩阵的乘幂
（1）定义 设A为n阶方阵，k为正整数， 则k个A的乘积称为A的k次幂，记为Ak 即 k个 （2）运算规律 ① ②
定义2
向量相等： a1, a2 ,, an ,
b1 , b2 ,, bn ,
+
O
B

A

ai bi
i 1,2,....n.
向量加法：（向量的和），记为 + .
(a1 b1 ,, an bn )
向量数乘：（伸缩变换）
15 40 37 7 21 30 40 10 7 25 18 10
与数表对 应
引例3.线性方程组
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33 b1 b2 b3
三、向量的线性组合
n 维向量组 1, 2, …, n ，实数 k1, k2, …, kn, α=k1 1 + k2 2+ …+kn n 称α 为 1, 2, …, n 的线性组合，或可 以由向量组1, 2, …, n线性表出。
四、矩阵
定义3。 数域（number field）：P是复数集C的一
结合律的证明：
（Am×nBn×s）Cs×p=A m×n (Bn×sCs×p）
证明： [( AB)C ]it AB的第i行 C的第t列；
A的i行 × B的1列
[ A( BC)]it A的第i行 BC的第t列。
设M AB的第i行 M i1，M i 2， ，M is） （
(
称为m行n列矩阵，简称 矩阵， 称 为矩阵A的第i行的第j列元素，元素是实 数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩 阵称为复矩阵.本书中讨论的矩阵如不特 别声明，都是指实矩阵.
矩阵A记为 或 在不引起混淆时简记为 ，
m×n矩阵有m行，n列 矩阵第 i 行第 j 列的元素表为：
aij
行下标 列下标
一些特殊的矩阵： 1、n阶矩阵：行数与列数相同，且都是 为n的矩阵 称为n阶矩阵或n阶方阵
a b
j 1
n
ij j1 , ,
a b
j 1
n
ij js )
c1t c 2t [( AB)C ]it M i1，M i 2， ，M is） （ c st

A的i行 × BC的t列
M
k 1
ij
s
ik c kt

数乘: 数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11 a21 A A a m1
a12 a1 n a22 a2 n

a m 1
. amn
1 3 2 2 6 4 2 0 5 2 0 10 4
(Square Matrix)
即 2、零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为 零矩阵，记为O 注意：不同阶的零矩阵不同.
3、行矩阵、列矩阵
只有一行的矩阵 称为行矩阵A1×n
(Row Matrix)
只有一列的矩阵
称为列矩阵An×1
(Column Matrix)
4、对角矩阵： 除主对角线上元素外，其它 元素都为零的n阶方阵
的对应元素分别相等. 即 则称这两个矩阵相等，记为A=B
五、矩阵运算
1、矩阵的和 （1）加法
定义 设 、 为 两个同型矩阵，将它们的对应元素分 别相加，得到一个新的矩阵称为矩阵 A、B的和，记为A+B.
即
A+B=
（2）负矩阵 将矩阵 的各元素取相 反符号，得到的矩阵称为矩阵A的负 矩阵，记为-A
，求2A+B。
解 2A+B = 2
(4)、矩阵乘法 （1）定义 设 是一个
矩阵， 是一个 矩阵，则由元素
（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）
构成的
矩阵
称为矩阵A与矩阵B的乘积, 记为
简记为：C=AB
注意 只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行 数时，矩阵A与B才能相乘，乘积矩阵C的第 i行第j列元素 等于A的第i行与B的第j列 的对应元素乘积之和.例如要计算 ,就是 用A的第2行各元素分别乘以B的第3列相应 的各元素，然后相加.用图表示即为：
数乘矩阵满足的运算规律：
（设 A、B 为
m n 矩阵， , 为数）
1 A A;
2 A B A B .
矩阵的加法与数乘运算结合起来, 统称为矩阵的线性运算.
例1 设A=
，B= +
矩阵A，B乘积的行数、列数间的关系是 （m,s）×（s,n）=（m，n） 用图示表示就是 s n n m s =m
例2 设A= ，B= ，求AB.
解 AB=
其中c11=1×1+1×1=2
c13=1×1+1×0=1
=
c12=1×(-1) +1×1=0
c21=0×1+1×1 =1
c22=0×(-1)+1×1=1 c23=0×1+1×0=0
即
1 1 E 1
6、数量矩阵：若对角线元素为k（k为 常数），其余元素都为零的n阶矩阵， 称为n阶数量矩阵(Scalar Matrix):，记为kE
即
7、同型矩阵：若两个矩阵A、B的行列 数相同，则称A、B为同型矩阵. 矩阵相等：若两个同型矩阵
cij
ai1 b1 j ai 2 b2 j ais bsj
第i行j列
b11 b21 b s1
c11 c i1 cm1
b1 j b1n b2 j b2 n bsj bsn
21+32 2(–2)+3(–1)
31+12 3(–2)+1(–1) 2(–3)+30 20+31
= 11+(–2)2 1(–2)+(–2)(–1) 1(–3)+(–2)0 10+(–2)1
3(–3)+10 30+11
8 7 6 3 3 0 3 2 5 7 9 1
k ka1 , ka2 ,, kan ,

2 2
k R
零向量： 0 0,0,,0, 负向量： a1 ,a2 ,,an , 二、向量线性运算的运算法则 1) + = + ; (加法交换律)
2) ( + ) + = + ( + ); (加法结合律) 3) 0 + = ; 6) 1( 2 ) = ( 1 2) ; (数乘结合律)
Λ=
记为 称为对角矩阵
(Diagonal Matrix)
1 2 n
5、单位矩阵：若对角线元素为1，其它 元素为零的矩阵，称为n阶单位矩阵 (Identity Matrix)，记为En（或In），简记为E.
一、n维向量的概念
定义1 既有大小，又有方向的量称为向量(vector），又 称矢量。.n维向量可以用n个数构成的有序数组来表示。
a1 , a2 , , an
a1 a2 a n
称为行向量；
称为列向量, ai 称为它的第i个分量.
Ak B k ( AB) k
（其中k、l为正整数) 成立的条件是？
A，B可交换
例6 设A= 解
，求A3 .
归纳可得
1 1 例7 设矩阵 A , 求与A可交换的所有矩阵。 0 1
与数表对 应
上述问题必须引进一些新的概念， 如矩阵.矩阵是一个非常重要的概念， 不仅应用于线性代数，而且深入数学、 物理、计算机等学科领域中.
矩阵（Matrix）的定义
定义4
m n个数aij (i=1, 2, , m; j=1, 2, , n)排成的长方形数表
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
例4 求矩阵A与B的乘积AB及BA，其中
解
例5
设
1 2 3 0 B , 求AB 2 1 0 1
2 3 A 1 2 , 3 1
解：因为A的列数等于B的行数，所以
A与B可以相乘，其乘积是一个 3×4的矩阵
2 3 1 2 3 0 AB 1 2 2 1 0 1 3 1
4) + ( ) = 0; 7) (1 + 2) = 1 + 2 ; (第一分 配律) 5) 1 = ; 8) ( + ) = + ; (第二分配 律)
性质：9) 0 =0，(-1) = - ，k0=0
性质：10) k =0，
= 0，or k=0.
BA=？
从例子可以看出，矩阵的乘法交换律不成立， 即在一般情况下，AB≠BA.满足交换律的两个矩 阵称为可以交换的。从例4还可看出，A ≠ O，B ≠ O时，可以有AB=O.因此由AB=O，不能推出 A=O或B=O.即消去律不成立。