巧构直角三角形解题

专题14 巧用解直角三角形解决实际问题知识解读在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。

解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。

培优学案典例示范例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m .（1）求FM 的长；（2）连接AF ，若sin ∠F AM =13，求AM 的长.【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解；（2）有sin ∠F AM =13可以求AF ，再求AM .图3-14-1AB CDEFM跟踪训练如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）.【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题.【解答】DCB30°A图3-14-1l 1l 2例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.12 1.41≈3 1.73≈）【提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，看懂图形构建合适的方程模型.【解答】ACDBFE图3-14-3跟踪训练一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°（如图3-14-4），求树高（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈,3 1.73≈）【解答】图3-14-4A BCD30°45°例3.如图3-14-5，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离.（计算结果用根号表示，不取【提示】本题考查了解直角三角形的应用一一方位角问题，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形。

构造直角三角形解题
本文将重点介绍用来构造直角三角形的基本方法：
一、三角形属性
1、任何三角形都有三条边和三个内角；
2、三条边和三个内角皆可用来构造直角三角形；
3、直角三角形必须有一个直角，也就是其中一个内角是90度；
4、直角三角形的边长必须符合勾股定理：a² + b² = c²。

其中a和b是直角三角形的两条相较较短的边，c是直角三角形的斜边。

二、构造直角三角形的基本方法
1、依据勾股定理构造直角三角形：根据斜边c的长度来计算出a和b 两边的长度，即a² + b² = c²，然后画出三边，再将内角调节至90度即可构造出一个直角三角形。

2、拉伸和缩短给定的边：将给定的边进行拉伸和缩短，确保它们仍符合勾股定理即a² + b² = c²，然后根据调整后的边构建三角形，最后将内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。

3、给定三角形的两边和一内角：可用勾股定理来计算另一边的长度，即a² + b² = c²，然后绘制出三条边，把最后一个内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。

综上所述，用来构造直角三角形的基本方法有三：依据勾股定理构造直角三角形，拉伸和缩短给定的边，给定三角形的两边和一内角。

熟练掌握这些技巧，就可以有效构建直角三角形。

微专题 巧构30°的直角三角形【方法技巧】 遇到30°角常用的辅助线就是作垂线，构造直角三角形，将角度关系转化为边的关系来解决问题．基本图形：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ＝12BC ，CD ＝12AC ，BC ＝12AB .一、连接两点构造1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系．(导学号：58024208)【解题过程】解：连接AE ，证BE ＝AE ，∠EAC ＝90°，∴CE ＝2AE ＝2BE .2．如图，以等腰直角△ABC 的直角边AC 为边作等边△ACD ，CE ⊥AD 于E ，BD ，CE 交于点F .(导学号：58024209)(1)求∠DFE 的度数；(2)求证：AB ＝2DF .【解题过程】解：(1)易求∠BDC ＝15°，∠DCF ＝30°，∴∠DFE ＝45°.(2)证明：连接AF ，易证∠AFD ＝90°，AF ＝DF ，易求∠ABD ＝30°，∴AB ＝2AF ＝2DF .二、作垂线构造3．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝30°，求证：AD ＝2BC .(导学号：58024210)【解题过程】证明：过C作CE⊥AD于E，证∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，CE＝CB，∴CD＝2BC.∵CD＝AD，∴AD＝2BC.4．如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD＝30°，求证：AC＝2BC.(导学号：58024211)【解题过程】证明：过A作AE⊥CD于E，∴AC＝2AE，证△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∴AC＝2BC.三、延长两边构造5．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，若AB＝2，CD＝8，求AD的长．(导学号：58024212)【解题过程】解：延长CD，BA交于M，构造30°的直角△CBM，证△ADM是等边三角形，设AD＝AM ＝DM＝x，∴8＋x＝2(x＋2)，x＝4，∴AD＝4.。

2020年第4期中学数学月刊・63・EFGH I构造直角三角形解题一例侯明辉（辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校114300）问题已知正数％%#b）与锐角a%!#%）满足%人・!92"——1）+b=b・tan a—%%—b'sin"%/=槡%2+b2，求a+%的大小.分析题中给岀关于正数％%与锐角a%的三角函 间比较的等量关系%特点,直接求a十％的度数，往往使人感策，所以直接有一定的难度由槡%2+b2，可以很自然地联想到勾股定理，因此通过构造直角三角形%将其转化为，然后利用几何、三角函数和代数的一些相关知识，可使此题得到妙解.解如图1作△ABC,使6ACB=90°,BC=%AC=b%矿一则AB=槡%2+b2•”"■图—长AB到点M,使BM、=%；延长BA到点N,使AN=b.过点A作AE丄AB AE交MC的延长线于点E；过点B作BF丄BABF交NC的延长线于点F所以6ACE= 90o—Z BCM=90°—Z M=Z E,MW AE=AC= b.类似地,BF=BC=%.%—,・(^2一1)十b=槡％2+b2,得%—b sn%'sin2a%2一%b+b2+(%—b)・槡％2十b2=2—，即sin%%sin2a_%2+b2+(一b)・—%2十b2一%b sin2%=%2+b2—b2(—%2+b2+%)・(—%2+b2一b)(—%2+b2+b)・(—%2+b2一b)—%2+b2+%—%2+b2+b，sin a sin6E所以i%=i z F-因a%,6E,6F都是锐角，故T③”sin6F由b・tan a一%=—%2+b2,得tan a=—%2+b2+%b AE=tn6E，即"=6E%由③④可知％=6F.易知6M=—6ABC,6N=—Z BAC,故sin2Z EAM2ME2(槡％2十b2+%)2所以6M+6N=—(6ABC+6BAC)= (槡％2十b2+%)2+b2(!%2十b2+%)22!2+b2)+2%・槡％2十b2(!%2+b2+%)2槡%2+b+%=①2槡%2+b2・((%2+b2+%)2槡%2+b类似地sin26F =槡%2十b2十b②2槡％2十b2—X90。

1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。

在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。

「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧在初中数学中有这样一个定理:在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的边是斜边的一半.它通过角的关系揭示出了边的关系，从角的类别跨出到了边的类别，建立了不同类别之间的联系，所以非常重要，那么在证明线段之间的倍分关系时，我们就要注意提醒自己，题中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通过某种方法构造含30°的直角三角形.这一定理运用比较广泛，下面结合八年级的习题分别说明。

一.直接运用含30°角的直角三角形的性质1.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证:BP=2PQ.【分析】由等边三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，显然△ACD≌△BAE.结论要证BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°则达到目的.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.求证:AD=DC.【分析】欲证，AD=CD，想到什么:等腰三角形三线合一;想到证底角相等？不管你想到哪个定理和性质，还得联系其他条件，条件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，这些条件又与结论怎样联系呢？那我们就要画辅助线试着分析一下，因为∠ABD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，过点A作AE⊥BD于E，E为垂足，使30°的角处于直角三角形中，则有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，则AD是∠CAE的角平分线，而DE⊥AE，于是想到过点D作DF⊥AC于F，则可证△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得证.如图证明:过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°则在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，则AE=AC/2，在△ABD 中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根据∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.那么依据∠DAC=∠DCA是否也可证AD=DC呢？只要同学们善于分析，还是可以的，下面给出一种作辅助线的方法，希望同学们仔细体会.以BC为边在△ABC的同侧作等边三角形BEC，连接AE，如图，由于正三角形，等腰直角三角形的对称性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，则∠ACD=15°，由上边证得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法关键是作出一个等边三角形，有同学要问，你怎么就知道作等边三角形呢？显然我也是学来的，多总结，多归纳，多记忆，多体会，你也会知道这种辅助线。

第七讲 构造直角三角形知识梳理1．勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形(1) 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。

(2) 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。

常用的勾股数组：如: 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k ≠0,k 为常数）也是勾股数。

2．判定一个三角形是否为直角三角形的步骤与方法◆步骤：① 首先确定最大边；② 计算最大边的平方及其余两边的平方和； ③ 比较最大边的平方与其余两边的平方和。

◆方法：假设三角形的三边分别为a ，b ，c ，且c 为最大边：（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形； （2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； （3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。

例题精讲例1：已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状。

（1）a ＝6，b ＝8，c ＝10； （2）a ＝41，b ＝40，c ＝9；（3））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=。

例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB ＝13，BC ＝4，CD ＝3，AD ＝12，求证：AD ⊥BD 。

同步训练 A 组1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，（1）a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5； （2）a ＝4，b ＝5，c ＝6； （3）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （4）a ＝15，b ＝20，c ＝25． 上述四个三角形中，直角三角形有( )个。

2．下列命题中的假命题是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形；B ．在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C ．在△ABC 中，若∠A,∠B,∠C 的度数比是1：2：3，则△ABC 是直角三角形；D ．在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形。

思维特训(二)巧用30 °角的直角三角形解题方法点津·30°的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常考查，利用它的关键是设法构造出含有30°角的直角三角形，再利用它的性质解题．典题精练·类型之一无须构造，直接运用含30°角的直角三角形的性质解题1．如图2－TX－1①，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4 m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2－TX－1②所示．若EF＝3 m，则斜梁增加部分AE的长为()图2－TX－1A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m2．如图2－TX－2，一块含有30°角(∠ABC＝30°，∠ACB＝90°)的木制三角板是由三块宽度相等的木条拼合而成的．若木条的宽度为5 cm，求制作时拼合缝AA′的长．图2－TX－23．如图2－TX－3，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4 3，AD平分∠BAC，交BC于点D.求AD的长．图2－TX－34．如图2－TX－4，在等边三角形ABC中，AB＝2，P是AB边上任意一点(点P可以与点A重合)，过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ ⊥AB，垂足为Q.求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．图2－TX－45．如图2－TX－5，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．该船以原速度继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里．图2－TX－5类型之二作辅助线构造含有30°角的直角三角形解题6．设计一张折叠型方桌如图2－TX－6，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使B距离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB的度数为()图2－TX－6A．60°B．90°C．120°D．150°7．在△ABC中，已知AB＝4，BC＝10，∠B＝30°，则△ABC的面积为__________．8．如图2－TX－7，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD＝15°，∠ADC＝4∠BAD，DC＝2BD.(1)求∠ABC的度数；(2)求证：∠CAD ＝∠ABC .图2－TX －79．如图2－TX －8，某气象站测得台风中心在A 城正西方向300 km 的B 处，以每小时10 7 km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动．已知距台风中心200 km 的范围是受台风干扰的区域，则A 城是否会受到此次台风的干扰？为什么？若会受到台风干扰，求出A 城受台风干扰的时间．图2－TX －8类型之三 与含有30°角的直角三角形有关的分类讨论题10．已知等腰三角形的腰长为10厘米，一腰上的高为5厘米，则这个等腰三角形的顶角为____________．11．学习了三角形后，八(6)班的王老师出了这样一道题让同学们讨论：“已知一个三角形的两边长分别是6 cm 和5 cm ，其中一个内角是30°，求这个三角形的面积．”于是得到很多结果：甲同学认为面积应该是152 cm 2，乙同学认为面积应该是3（3 3－4）2cm 2，而丙同学认为面积应该是3（3 3＋4）2 cm 2等，你认为他们的说法全面吗？若你有不同的结论，请你用所学的数学知识求出其面积．详解详析1．D [解析] ∵立柱AD 垂直平分横梁BC ，∴AB ＝AC ＝4 m ．∵∠B ＝30°，∴BE ＝2EF ＝6 m ，∴AE ＝BE －AB ＝6－4＝2(m)．2．解：如图，过点A ′分别作A ′D ⊥AC 于点D ，A ′E ⊥AB 于点E .A ′D ＝A ′E ，∴AA ′平分∠CAB . ∵∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝60°， ∴∠DAA ′＝30°.∵∠ADA ′＝90°，∴DA ′＝12AA ′.∵木条的宽度为5 cm ，∴DA ′＝5 cm ，∴AA ′＝10 cm.3．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝4 3， ∴∠BAC ＝60°，AC ＝12AB ＝2 3.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠DAC ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，AC ＝2 3， 设AD 的长为x ，则CD 的长为x2.由勾股定理，得x 2＝⎝⎛⎭⎫x 22＋(2 3)2. ∵x >0，解得x ＝4，∴AD 的长为4.4．解：设BP ＝x .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°. 在Rt △PBE 中，∵∠BPE ＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°， ∴BE ＝12BP ＝12x ，则EC ＝2－12x .在Rt △EFC 中，∠FEC ＝90°－∠ACB ＝90°－60°＝30°， ∴FC ＝12EC ＝1－14x ，∴AF ＝2－FC ＝2－(1－14x )＝1＋14x .同理：AQ ＝12AF ＝12＋18x .当点P 与点Q 重合时，BP ＋AQ ＝2，即x ＋(12＋18x )＝2，解得x ＝43.故当BP ＝43时，点P 与点Q 重合．5．解：由题意，得∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°， ∴∠BCD ＝30°，∴BC ＝2BD .∵船从B 到D 航行了2小时，船速为每小时40海里， ∴BD ＝80海里，∴BC ＝160海里．由∠CBD ＝60°，∠CAD ＝30°，得∠ACB ＝30°， ∴AB ＝BC ，即AB ＝160海里．∵AD ＝AB ＋BD ，∴AD ＝160＋80＝240(海里)． 因此船从A 到D 一共走了240海里．6．C [解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵AD ＝50＋30＝80(cm)，DE ＝40 cm ，∴∠A ＝30°. ∵AO ＝BO ，∴∠B ＝∠A ＝30°，∴∠AOB ＝180°－30°－30°＝120°.故选C.7．10 [解析] 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D .∵AB ＝4，∠B ＝30°，∴AD ＝12AB ＝2.又∵BC ＝10，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×2＝10.8．解：(1)∵∠BAD ＝15°，∠ADC ＝4∠BAD ，∴∠ADC ＝60°，∴∠ABC ＝60°－15°＝45°.(2)证明：如图，过点C 作CE ⊥. 由(1)知∠ADC ＝60°，∴∠ECD ＝90°－60°＝30°，∴DC ＝2ED . ∵DC ＝2BD ，∴ED ＝BD ，∴∠DBE ＝∠DEB ＝12∠ADC ＝30°，∴∠ECD ＝∠DBE ，∠EBA ＝45°－30°＝15°＝∠BAD ， ∴AE ＝CE ＝BE ，∴△AEC 为等腰直角三角形， ∴∠CAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠ABC . 9．解：A 城会受到此次台风的干扰．理由：如图，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，则 ∠AMB ＝90°.∵∠FBA ＝90°－60°＝30°， ∴AM ＝12AB ＝12×300＝150(km)．∵150<200，∴A 城会受到此次台风的干扰．以A 为圆心，200 km 为半径作弧交BF 于C 1，C 2两点，连接AC 1，AC 2，则AC 1＝AC 2. ∵AM ⊥BF ，∴C 1C 2＝2C 1M .在Rt △AMC 1中，有C 1M ＝2002－1502＝50 7(km)， ∴C 1C 2＝100 7 km ， ∴A 城受台风干扰的时间为100 710 7＝10(时)． 10．30°或150°[解析] (1)如图①所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝5厘米． ∵在Rt △ACD 中，CD ＝12AC ，∴∠A ＝30°.(2)如图②所示，在△ABC ＝交BA 的延长线于点D ，且CD ＝5厘米．∵∠CDA ＝90°，CD ＝12AC ，∴∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝150°.故答案为30°或150°.11．解：不全面，应该有四种情况．(1)如图①所示，在△ABC 中，AC ＝5 cm ，AB ＝6 cm ，∠A ＝30°. 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ACD 中，CD ＝12AC ＝52 cm ，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×6×52＝152(cm 2)；(2)如图②所示，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝5 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝3 cm ，∴AD ＝3 3 cm ，在Rt △BDC 中，CD ＝BC 2－BD 2＝52－32＝4(cm)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(3 3＋4)×3＝3（3 3＋4）2(cm 2)；(3)如图③所示，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝5 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 交AC 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝3 cm ，∴AD ＝3 3 cm ，在Rt △BDC 中，CD ＝BC 2－BD 2＝52－32＝4(cm)， ∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(3 3－4)×3＝3（3 3－4）2(cm 2)；(4)如图④所示，在△ABC 中，AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝52 cm ，∴AD ＝52 3 cm.在Rt △BDC 中， CD ＝BC 2－BD 2＝62－（52）2＝1192(cm)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(52 3＋1192)×52＝5（5 3＋119）8(cm 2)．。

2020年第3期中学数学研究•51•综合上述探究，得出正确结论共有(2)(3)(4).点评：以上解题方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、四利用构造新的函数来达到消元的目的，方法二、三则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.3.解法反思含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元冋严2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.通过上述解法探究，可知用构造函数法求解极值点偏移问题大致可以分为以下三步：(1)求导，获得函数的单调性，极值情况，作出图像，由题意得知冋严2的范围(数学结合思想)；(2)构造函数：①幻+%2>(<)2x0型的结论构造函数/'(%)-/(2%-x);②t=x2-x x,t=竺换元构造函数；久1③替换函数法构造函数；④对数平均不等式构造函数；(3)求导，限定范围，判断符号，获得不等式，证明得出结论.构造直角三角形解代数最值问题江苏省泰州中学附属初中(225300)刘兴龙构造法是一种重要的数学思想方法，它可以根据问题的条件结构，构造出一个载体把所给的数学元素及其关系全面准确地载入，实现将已知问题转化的目的.此法新颖独特，对培养学生的联想、迁移、转化等思维有着十分重要的作用.本文主要介绍如何构造直角三角形解代数最值问题，供师生教学参考■例1设m、n、p是正数，且+n=p',求巴土2的最大值.p解：由已知条件知m、n、p均为正数，且rn2+n=p2,故可构造RtAABC如图1.在RtAABC中,sinA=—,cos4p(sinA+cos4)P二#sin(A+45°).而sin(A+45°)W1,二P #.故空土2的最大值为P评注：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形，其构思精巧，令人耳目一新.例2求二次根式y=V%2-8%+25-Vx+1的最大值.解：如图2,将已知函数变形为y=y(4-X)2+323 -启+］，作佃=4,在二同侧作CA丄AB于A且CA=丄于B且DB=3.在图2AB上取点P,令AP=x,易知PD=7(4-x)2+32,PC=W+1.由CD3：1PD-PC I可知y的最大值为CD=/(3-I)2+42= 275.由少血5“呦,得(阳)：(旳)=1：3,解得PA=2.但AP与AP在4点异侧，与AP方向相反.所以％=-P'A=-2.即y取最大值时％的值为-2.评注:本题是一道数形结合的综合题,解题关键是应用勾股定理,相似三角形及不等知识，通过构造•52•中学数学研究2020年第3期直角三角形，使代数问题得以转化，从而化复杂为简单，化抽象为直观.例3已知实数a,6满足条件a>0,6>0,且a+b=4,求代数式+1+/>2+4的最小值.解：因为两个根号内都是岂p 平方和的形式，所以考虑构造直角三角形求解.如图3,作/AE丄丄AB,P是线段AP上的一个动点，设=4,AP=a,BP=b,AE=1,BD=2.过点E作EE丄于F,图3连接DE.根据勾股定理得PE=Va+1,PD=后+4.所以7a2+1+后+4=PE+PDMDE =^32+42=5.故+1+Vb2+4的最小值是5.评注：有些代数题，用代数方法很难解决，但如果抓住“数”与“形”之间的内在联系，就可赋“数”以“形”意，把抽象的数学关系转化为构造直角三角形.用几何图形的直观性，可使已知和结论间的关系变得更明确、更形象,从而使问题变得简单明了.例4求二次根式//+4+7(12-%)2+9的最小值.解:构造直角三角形2UPP和ADCP，使CP+ BP=12丄BC,CD丄BC,AB=2,CD=3.并设BP=力，则PC=12-x,由图44得AP+PD=囲+4+27(12-^)2+9，显然，当仲直+PD=AD时为最小值.为此，延长DC至E,使CE=连结AE.在直角三角形ADE中，AP+PD=AD=7122+52=13,故J/+4+最小值为13.评注：因为W+4、丿(12-%)2+9均与直角三角形的边相关联，故设想用勾股定理解之.又考虑到力与(12-%)之和为12,为此将这两线段放置在同一条线段上，构造出两个直角三角形(如图4).然后通过变形，合二为一，使问题得以转化.综上所述,构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解,有助于培养逻辑推理和直观想象能力.并且这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视野，提高综合解题水平大有益处•运用数形结合思想，不仅能直观发现解题捷径，而且能避免大量的计算和复杂的推理，大大简化解题过程，因此，在平常解题过程中，要多给学生渗透这种思想方法，多加强这方面的训练，以提高解题能力和速度，从而开拓学生的思维和视野.利用“同解方程”简化解析几何的运算江苏省海安市实验中学解析几何是指借助笛卡尔坐标系，利用方程来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支•高中阶段所学曲线都是用方程来表示的，曲线上所有的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，即曲线的方程、方程的曲线.本文重点关注利用“同解方程”以减少解析几何的运算量.(226600)潘新峰—、同解原理原理：已知二次函数/(%)=a^2+b A x+C［、g(力)=a2x2+b2x+c2,若f(x1)=/(x2)=0且g(衍)=g(x2)=0,其中％#%2,则存在入e R且A MO,使得a】=Xa2^b1=Xb2^c1=Ac2-证明：因为g(%)=a2x2+b2x+c2,若/(冋)= /(%2)=0且g(%i)=g(%)=0,所以根据因式分解。