微专题20 竖直面内的圆周运动

微专题20 竖直面内的圆周运动【核心要点提示】1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．2．绳、杆模型涉及的临界问题均是有支撑的小球【微专题训练】(2014·江苏扬州)如图所示，杂技演员在表演“水流星”，用长为1.6 m轻绳的一端，系一个总质量为0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2，则下列说法正确的是()A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器的底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 【解析】 当水对桶底压力为零时，有mg ＝m v 2r，解得v ＝gr ＝4 m/s ，“水流星”通过最高点的速度为4 m/s ，知水对桶底压力为零，不会从容器中流出．对水和桶分析，有T ＋Mg ＝M v 2r ，解得T ＝0，知此时绳子的拉力为零，故A 、D 项错误，B 项正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C 项错误．【答案】B一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图(a)所示，曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v 0抛出，如图(b)所示．则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是( )A.v 20gB.v 20sin 2αgC.v 20cos 2αgD. v 20cos 2αg sin α【解析】 在最高点只有重力提供“圆周运动”的向心力，有mg ＝m v 2r ＝m v 0cos α2ρ，故ρ＝v 20cos 2αg . 【答案】C如图所示为空间站中模拟地球上重力的装置，环形实验装置的外侧壁相当于“地板”，让环形实验装置绕O 点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g ，装置的外半径为R )( )A.g RB.R g C ．2g R D. 2R g【解析】物体随同环形装置做圆周运动，“重力”提供向心力，可得：mg ＝mω2R ，解得：ω＝g R，A 正确，选项B 、C 、D 错误． 【答案】A如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R ＝0.50 m 的绝缘光滑槽轨．槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B ＝0.50 T ．有一个质量m ＝0.10 g ，带电量为q ＝＋1.6×10－3C 的小球在水平轨道上向右运动．若小球恰好能通过最高点，则下列说法正确的是( )A ．小球在最高点所受合力为零B ．小球到达最高点时的机械能与小球在水平轨道上的机械能相等C ．如果设小球到达最高点的线速度是v ，小球在最高点时式子mg ＋qBv ＝m v 2R成立 D ．如果重力加速度取10 m/s 2，则小球初速度v 0＝21 m/s【解析】 设小球在最高点的速度为v ，则小球在最高点所受洛伦兹力为f ＝qBv ，方向竖直向上，由于小球恰好能通过最高点，故小球在最高点由洛伦兹力和重力共同提供向心力，有mg －qBv ＝m v 2R，解得v ＝1 m/s ，若mg ＝qBv ，解得速度v ＝1.25 m/s ，故A 、C 项错误；由于无摩擦力，且洛伦兹力不做功，支持力不做功，只有重力做功，所以小球在运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律，可得12mv 20＝mg ×2R ＋12mv 2，解得v 0＝21 m/s ，故B 、D 两项正确．【答案】BD(2016·海南单科)如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的圆周运动。

已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N 1，在最高点时对轨道的压力大小为N 2。

重力加速度大小为g ，则N 1－N 2的值为( )A ．3mgB ．4mgC ．5mgD ．6mg【解析】设小球在最低点速度为v 1，在最高点速度为v 2，在根据牛顿第二定律：在最低点：N 1－mg ＝m v 21R在最高点：N 2＋mg ＝m v 22R同时从最高点到最低点，根据动能定理：mg ·2R ＝12mv 21－12mv 22 联立以上三式方程式可以得到：N 1－N 2＝6mgR ，故选项D 正确。

【答案】D(2015·福建福州)半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m ，如图所示，今给它一个水平的初速度v 0＝gR ，则物体将( )A ．沿球面下滑至M 点B ．先沿球面至某点N ，再离开球面做斜下抛运动C ．按半径大于R 的新的圆弧轨道运动D ．立即离开半球做平抛运动【解析】小物体在半球面的顶点，若是能沿球面下滑，则它受到的半球面的弹力与重力的合力提供向心力，有mg －F N ＝mv 20R＝mg ，F N ＝0，这说明小物体与半球面之间无相互作用力，小物体只受到重力的作用，又有水平初速度，小物体将做平抛运动，D 选项正确；即使小物体的初速度为0，在光滑曲面上的某点也将离开曲面，其高度我们在力的分解中已证明为h ＝23R ，A 、B 选项错误；离开曲面受恒力mg 的作用，不可能做圆周运动，圆周运动的合外力为变力，C 选项错误．【答案】D(2012·济南模拟)如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( )A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝g (R ＋r )B ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【解析】小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平线ab 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N 与球重力在背离圆心方向的分力F mg 的合力提供向心力，即：F N －F mg ＝ma ，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D 错误．【答案】BC(多选)如图3所示，光滑管形圆轨道半径为R (管径远小于R )，小球a 、b 大小相同，质量均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，则以下说法正确的是( )A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 所需向心力是小球b 所需向心力的5倍B ．速度v 至少为5gR ，才能使两球在管内做圆周运动C ．速度满足2gR ＜v ＜5gR 时，小球在最高点会对内侧轨道有压力作用D ．只要v ≥5gR ，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力大6mg【解析】小球运动到最高点对轨道无压力时，其重力提供向心力，则mg ＝m v 21R，解得v 1＝gR ，根据机械能守恒定律，12mv 2＝12mv 21＋2mgR ，解得v ＝5gR ，根据向心力公式，可知A 正确；两球在管内做完整的圆周运动的临界条件是小球到最高点时速度恰好为0，此状态下，根据机械能守恒定律，12mv 2＝2mgR ，解得v ＝2gR ，所以B 错误；当2gR ＜v ＜5gR ，小球能运动到最高点，在最高点时会和内侧轨道有弹力作用，C 正确；小球b 在轨道最高点的速度为v 1，当v ≥5gR 时，12mv 2＝12mv 21＋2mgR ，在最低点F 1－mg ＝m v 2R ，在最高点F 2＋mg ＝m v 21R，解得F 1－F 2＝6mg ，D 正确．【答案】ACD(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下。

重力加速度大小为g 。

当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )A ．Mg －5mgB ．Mg ＋mgC ．Mg ＋5mgD ．Mg ＋10mg【解析】以小环为研究对象，设大环半径为R ，根据机械能守恒定律，得mg ·2R ＝12mv 2，在大环最低点有F N －mg ＝m v 2R，得F N ＝5mg ，此时再以大环为研究对象，受力分析如图，由牛顿第三定律知，小环对大环的压力大小为F N ′＝F N ＝5mg ，方向竖直向下，故F ＝Mg ＋5mg ，由牛顿第三定律知C 正确。

【答案】C(2014·深圳一模)如图为过山车以及轨道简化模型，不计一切阻力，以下判断正确的是( )A ．过山车在圆轨道上做匀速圆周运动B ．过山车在圆轨道最高点时的速度应不小于gRC ．过山车在圆轨道最低点时乘客处于超重状态D ．过山车在斜面h ＝2R 高处由静止滑下能通过圆轨道最高点【解析】由于过山车在轨道上运动时，速度大小发生变化，因此其运动为非匀速圆周运动，A 错误；在轨道最高点，过山车应满足mg ＋N ＝m v 2R，因为N ≥0，则v ≥gR ，B 正确；过山车过轨道最低点时，合外力、加速度竖直向上，车内的乘客均处于超重状态，C 正确；过山车由释放点至圆轨道最高点由机械能守恒定律得mgh ＝mg 2R ＋12mv 2，其中v ≥gR ，则h >52R, 故D 错误．【答案】BC如图所示，用长为L 的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L 的O 点处，小铁球以O 为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B 处，则有( )A ．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为6mgB ．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mgC ．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为7gLD ．若小铁球运动到最低点时轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L【解析】小铁球以O 为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B 处，说明小铁球在最高点B 处时，轻绳的拉力最小为零，mg ＝mv 2L，v ＝gL ，由机械能守恒定律得，小铁球运动到最低点时动能mv 212＝mv 22＋mg ·2L ，在最低点时轻绳的拉力最大，由牛顿第二定律F －mg ＝mv 21L，联立解得轻绳的拉力最大为F ＝6mg ，选项A 正确，B 错误；以地面为重力势能参考平面，小铁球在B 点处的总机械能为mg ·3L ＋12mv 2＝72mgL ，无论轻绳是在何处断开，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能12mv ′2＝72mgL ，落到地面时的速度大小为v ′＝7gL ，选项C 正确；小铁球运动到最低点时速度v 1＝5gL ，由x ＝v 1t ，L ＝12gt 2，联立解得小铁球落到地面时的水平位移为x ＝10L ，选项D 错误．【答案】AC如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L ＝0.8 m 的细绳，一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝0.2 kg 的小球，小球沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A ，则小球在最低点B 的最小速度是( )A ．2 m/sB ．210 m/sC ．2 5 m/sD ．2 2 m/s【解析】小球通过最高点的最小速度为v A ＝gL sin α＝2 m/s ，在B 点的最小速度v B 满足12mv 2B ＝12mv 2A＋2mgL sin α，解得v B ＝2 5 m/s. 【答案】C如图所示，半径为R 的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为2m 和m 的静止小球A 、B ，它们由长为2R 的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动．今对上方小球A 施加微小扰动、两球开始运动后，下列说法不正确的是( )A ．轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等B ．轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等C ．运动过程中A 球速度的最大值为 4gR 3D ．当A 球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为133mg 【解析】两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项A 正确，B 错误；A 、B 两球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小(即A 在最低点)时，线速度最大，则mg ·2R ＝12×3mv 2，最大速度v ＝ 4gR 3，选项C 正确；A 在最低点时，分别对A 、B 受力分析，F N A －2mg ＝2m v 2R ，F N B ＋mg ＝m v 2R ，则F N A －F N B ＝13mg 3，选项D 正确．【答案】B(多选)如图9所示，一个内壁光滑的34圆管轨道ABC 竖直放置，轨道半径为R .O 、A 、D 位于同一水平线上，A 、D 间的距离为R .质量为m 的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A 正上方由静止释放，要使小球能通过C 点落到AD 区，则球经过C 点时( )A ．速度大小满足 gR 2≤v C ≤2gRB ．速度大小满足0≤vC ≤gRC ．对管的作用力大小满足12mg ≤F C ≤mg D ．对管的作用力大小满足0≤F C ≤mg【解析】小球离开C 点做平抛运动，落到A 点时水平位移为R ，竖直下落高度为R ，根据运动学公式可得：竖直方向有R ＝12gt 2，水平方向有R ＝v C 1t ，解得v C 1＝ gR 2；小球落到D 点时水平位移为2R ，则有2R ＝v C 2t ，解得v C 2＝2gR ，故速度大小满足 gR 2≤v C ≤2gR ，A 项正确，B 项错误；由于球的直径略小于圆管直径，所以过C 点时，管壁对小球的作用力可能向下，也可能向上，当v C 1＝gR 2，向心力F 1＝mv 2C 1R ＝mg 2＜mg ，所以管壁对小球的作用力向上，根据牛顿第二定律得mg －F N ＝mv 2C 1R ，解得F N ＝12mg ；当v C 2＝2gR ，向心力F 2＝mv 2C 2R ＝2mg ＞mg ，所以管壁对小球的作用力向下，根据牛顿第二定律得mg ＋F N ′＝mv 2C 2R，解得F N ′＝mg ；假设在C 点管壁对小球的作用力为0时的速度大小为v C 3，则由向心力公式可得mg ＝mv 2C 3R ，解得v C 3＝gR ，v C 3在 gR 2≤v C≤2gR 范围内，所以满足条件．所以球经过C 点时对管的作用力大小满足0≤F C ≤mg ，C 项错误，D 项正确．【答案】AD如图所示，在质量为M 的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m 的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A 与C 两点分别是轨道的最高点和最低点，B 、D 两点与圆心O 在同一水平面上．在小球运动过程中，物体M 静止于地面，则关于物体M 对地面的压力F N 和地面对物体M 的摩擦力方向，下列说法正确的是( )A ．小球运动到A 点时，F N ＞Mg ，摩擦力方向向左B ．小球运动到B 点时，F N ＝Mg ，摩擦力方向向右C ．小球运动到C 点时，F N ＜(M ＋m )g ，地面对M 无摩擦D ．小球运动到D 点时，F N ＝(M ＋m )g ，摩擦力方向向右【解析】小球在A 点时，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，A 项错误；小球在B 点时，需要的向心力向右，所以M 对小球有向右的支持力的作用，对M 受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M 对地面的压力F N ＝Mg ，B 项正确；小球在C 点时，小球的向心力向上，所以物体M 对小球的支持力要大于小球的重力，故M 受到的小球的压力大于mg ，那么M 对地面的压力就要大于(M ＋m )g ，系统在水平方向上不受力，则地面对M 没有摩擦，C 项错误；小球在D 点和B 点的受力的类似，M 对小球的弹力向左，则小球对M 的弹力向右，则M 受到地面的摩擦力方向向左，在竖直方向上，根据平衡条件知，F N ＝Mg ，D 项错误．【答案】B如图5－3－29所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v 0，若v 0大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．下列说法中正确的是( )A ．如果v 0＝gR ，则小球能够上升的最大高度为R 2B ．如果v 0＝2gR ，则小球能够上升的最大高度为R 2C ．如果v 0＝3gR ，则小球能够上升的最大高度为3R 2D ．如果v 0＝5gR ，则小球能够上升的最大高度为2R【解析】根据机械能守恒定律，当速度为v 0＝gR ，由mgh ＝12mv 20解出h ＝R 2，A 项正确，B 项错误；当v 0＝5gR ，小球正好运动到最高点，D 项正确；当v 0＝3gR 时小球运动到最高点以下，若C 项成立，说明小球此时向心力为0，这是不可能的．【答案】AD如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点在斜面底边的距离s OC ＝L ，求：(1)小球通过最高点A 时的速度v A ；(2)在最高点A 和最低点B 时细线上拉力之差；(3)小球运动到A 点或B 点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到C 点的距离若相等，则l 和L 应满足什么关系？【解析】(1)小球恰好在斜面上做完整的圆周运动，有：mg sin θ＝m v 2A l，v A ＝gl sin θ (2)在A 点：F T A ＋mg sin θ＝m v 2A l在B 点：F T B －mg sin θ＝m v 2B l由机械能守恒12mv 2B ＝12mv 2A＋mg ·2l ·sin θ. 所以F T B －F T A ＝6mg sin θ(3)由(2)可求v B ＝5gl sin θA 点断裂：L ＋l ＝12at 2A ，s A ＝v A t AB 点断裂：L －l ＝12at 2B ，s B ＝v B t B由s A ＝s B 联立可求得L ＝32l . 【答案】(1)gl sin θ (2)6mg sin θ (3)L ＝32l 过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径R 1＝2.0 m 、R 2＝1.4 m ．一个质量为m ＝1.0 kg 的小球(视为质点)，从轨道的左侧A 点以v 0＝12.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距L 1＝6.0 m ．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g ＝10 m/s 2，计算结果保留小数点后一位数字．求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二圆形轨道，B 、C 间距L 应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R 3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离．【解析】(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v 1，根据动能定理，得－μmgL 1－2mgR 1＝12mv 21－12mv 20① 小球在最高点受到重力mg 和轨道对它的作用力F ，根据牛顿第二定律，得F ＋mg ＝m v 21R 1② 由①②式，得F ＝10.0 N ③(2)设小球在第二个圆轨道最高点的速度为v 2，由题意mg ＝m v 22R④ －μmg (L 1＋L )－2mgR 2＝12mv 22－12mv 20⑤ 由④⑤式，得L ＝12.5 m(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种临界情况进行讨论：①轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足mg ＝m v 23R 3⑦－μmg (L 1＋2L )－2mgR 3＝12mv 23－12mv 20⑧ 由⑥⑦⑧式，得R 3＝0.4 m②轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理，得－μmg (L 1＋2L )－mgR 3＝0－12mv 20解得R 3＝1.0 m为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足(R 2＋R 3)2＝L 2＋(R 3－R 2)2解得R 3＝27.9 m综合①②式，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件0＜R 3≤0.4 m 或1.0 m≤R 3≤27.9 m(或写成“1.0 m≤R 3＜27.9 m”也可)当0＜R 3≤0.4 m 时，小球最终停留点与起点A 的距离为L ′，则－μmgL ′＝0－12mv 20L ′＝36.0 m当1.0 m≤R 3≤27.9 m 时，小球最终停留点与起点A 的距离为L ″，则L ″＝L ′－2(L ′－L 1－2L )＝26.0 m【答案】(1)10.0 N (2)12.5 m (3)当0＜R 3≤0.4 m 时，36.0 m ；当1.0 m≤R 3≤27.9 m 时，26.0 m。