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级数敛散性判别方法的归纳级数是数列之和的概念在数学中的推广。
级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。
下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。
一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。
1.比较判别法对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。
2.比较判别法的极限形式对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：（1）若0<c<∞，则∑b_n收敛或发散，则∑a_n也收敛或发散。
（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。
比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。
二、比值判别法比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。
比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。
三、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；（2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛；（b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。
级数的敛散性判别法
级数的敛散性判别法是一种用于识别时间序列中的周期变化的方法。
它通过对时间序列中连续若干次测量值的变化，来判断其是否存在周期性变化。
该法的基本思路是：将序列的多次观测值按照一定的顺序排列，从上往下看，当某组序列的增减情况遵循“相邻两个值之间相差均不超过一定阈值，而一定次数后又重新开始”的规律时，即可推断出该序列存在周期变化。
级数的敛散性判别法主要用于检测周期性变化，例如利用此法可以检测出某项指标的周期，并预测未来的变化趋势。
级数的敛散性判别法也可用于检测某种特定的模式，例如抑郁、焦虑等心理状态的变化模式，以及检测时间序列中特定的结构性变化。
常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。
当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。
比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。
例2：判别级数的敛散性。
解：因为由比值判别法知级数收敛。
2.3 根植判别法设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。
当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。
根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。
级数发散的判定
级数是指由一系列无穷多个数相加而成的数列。
在数学中，有些级数是收敛的，也就是说它们的和是有限的，而有些级数则是发散的，也就是说它们的和无限大或无限小。
判定一个级数是否收敛或发散，是数学中的一个重要问题。
下面介绍几种常见的级数发散的判定方法。
1. 正项级数判别法
如果级数的每一项都是非负数，并且这些项呈递减趋势，那么这个级数一定是收敛的。
反之，如果级数的每一项都是非负数，并且这些项不呈递减趋势，那么这个级数一定是发散的。
2. 比较判别法
如果一个级数的每一项都大于另一个级数的对应项，而后者是收敛的，那么前者也是收敛的。
反之，如果一个级数的每一项都小于另一个级数的对应项，而后者是发散的，那么前者也是发散的。
3. 比值判别法
如果一个级数的相邻两项的比值有极限，且这个极限小于1，那么这个级数是收敛的。
反之，如果这个极限大于1或不存在，那么这个级数是发散的。
4. 根值判别法
如果一个级数的相邻两项的根的比值有极限，且这个极限小于1，那么这个级数是收敛的。
反之，如果这个极限大于1或不存在，那么这个级数是发散的。
以上是几种常见的级数发散的判定方法，它们为数学家们判断级数收敛性提供了一些基本的工具。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。
正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。
在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。
这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。
我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。
对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。
本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。
希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。
1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。
正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。
正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。
深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。
1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。
关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。
在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。
目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。
这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。
无穷级数的收敛与发散判别无穷级数是数学中一个重要的概念，它由无限多个数的和构成。
在研究无穷级数时，一个重要的问题就是判断该级数是否收敛或发散。
本文将介绍几种常见的判别方法。
一、数项级数的收敛与发散数项级数是指由单独的项构成的无穷级数，每一项可以用数列$a_n$表示。
数项级数的收敛与发散判别方法如下：1. 等差级数：若数列$a_n$满足$a_n = d \cdot n + c$，其中$d$和$c$为常数，且$d \neq 0$，则该等差级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛当且仅当$-1 < d < 1$。
2. 正项级数：若数列$a_n$的每一项都大于等于零，且满足$\lim_{n \to \infty}a_n = 0$，则该正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。
3. 一般比较判别法：若存在一个收敛的正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，使得对于$n$的所有正整数值，$|a_n| \leqb_n$成立，则由$a_n$构成的级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。
4. 比值判别法：若存在常数$0 < q < 1$，使得$n$充分大时，$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq q$，则由$a_n$构成的级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。
若存在常数$q > 1$，使得$n$充分大时，$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \geq q$，则该级数发散。
5. 根值判别法：若存在常数$0 < q < 1$，使得$n$充分大时，$\sqrt[n]{|a_n|} \leq q$，则该级数收敛。
若存在常数$q > 1$，使得$n$充分大时，$\sqrt[n]{|a_n|} \geq q$，则该级数发散。
二、幂级数的收敛域幂级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的级数，其中$a_n$和$x$都是实数或复数。
正项级数敛散性的判别刘 兵 军无穷级数是数学分析的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。
本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。
一． 常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。
对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式+++++n u u u u 321叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u ，即+++++=∑∞=n n nu u u u u 3211， (1)其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。
级数(1)的前n 项的和构成的数列n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n(2)称为级数(1)的部分和数列。
根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。
定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞→n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。
级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。
二． 正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。
比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。
比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞=1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞=1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。
几何级数∑∞=-11n n aq和p-级数∑∞=11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。
例１ 证明级数∑∞=+1221n n 是收敛的。
无穷级数敛散性判别无穷级数在数学中扮演着重要的角色，我们经常需要判别一个级数是否收敛。
级数的收敛意味着其和存在，而发散则意味着级数的和不存在。
在实际问题中，我们经常需要确定级数的敛散性，因为这关系到级数所代表的数学模型的有效性和可行性。
1. 定义首先，让我们来看一下无穷级数的定义。
一个无穷级数是指形如a1+a2+a3+...的数列之和，其中a n称为级数的第n个项。
当我们讨论级数的敛散性时，我们实际上是在讨论级数的部分和序列是否收敛。
2. 级数收敛的判别条件接下来，我们来介绍一些常见的级数敛散性判别方法。
2.1 收敛级数对于一个正项级数$\\sum a_n$，如果数列$\\{s_n\\}$的部分和序列收敛，即$\\lim_{n\\to\\infty} s_n = s$存在，则该级数收敛，其中s n=a1+a2+...+a n。
2.2 正项级数收敛判别法正项级数$\\sum a_n$的比较判别法和比值判别法是常用的方法之一。
当我们能找到一个收敛级数$\\sum b_n$，使得对于足够大的n，恒有$a_n \\leq b_n$，则级数$\\sum a_n$也收敛。
同样，如果$\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = L$存在，且L<1，则级数$\\sum a_n$收敛。
2.3 绝对收敛级数与条件收敛级数当级数的所有项取绝对值后构成的级数收敛时，称原级数为绝对收敛级数。
对于绝对收敛级数，我们通常可以改变项的次序而不改变级数的和。
如果级数收敛但不绝对收敛，则称之为条件收敛级数。
2.4 整数幂级数对于整数幂级数$\\sum a_nx^n$，我们可以利用收敛半径的计算来判别级数的敛散性。
收敛半径R是一个重要的概念，使得级数在|x|<R时一定收敛，在|x|>R 时一定发散。
3. 发散级数当级数的部分和序列$\\{s_n\\}$发散时，级数也称为发散级数。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使（i ） 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ） 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数）， 则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q∞=∑收敛，根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u ∞=∑发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ） 当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n nn e∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n nre→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nnn ∞=+-∑的敛散性． 解 由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解 答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a∞=-∑收敛，这与1(1)nnn a∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+， 根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lim an n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n pu n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n +→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛 ，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n p u p n=>，那么 这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性． 解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若n u =，1limnn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。
级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21 ①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。
无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=n u u u +++ 21 ②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。
若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑nv 发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。
从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。
例 1 . 设∑∞=12n n a 收敛，证明：∑∞=2ln n nnn a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞=12n n a <)ln 1(2122n n a n +易知：∑∞=22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 21222n n a n n +∑∞=（收敛。
由比较判别法知∑∞=2ln n nnn a 收敛（n a >0）. 例 2 . 证明：级数)0(sin )1(1≠∀-∑∞=x n xn 都是条件收敛的。
证： 不妨设x>0,则∃x N >0，当n>x N 时，0<n x <2π,此时0sin >n x ,且{nxsin }为单调递减数列，且nxn sin lim ∞→=0。
由莱布尼茨判别法知)0(sin )1(1≠∀-∑∞=x n xn 收敛。
而当n>x N 时，n x n sin)1(- =nxsin >0，nxn x n sin lim∞→=1又∑∞=1n n x 发散，由比较判别法知∑∞=1sin n n x也发散。
所以0≠∀x ，级数)0(sin )1(1≠∀-∑∞=x n xn 都是条件收敛的。
例 3. 证明级数)]!1!21!111([1n e n ++++-∑∞= 收敛证： 0< n a = )!1!21!111(n e +++- < !1n n ⋅= n b .nn n b b 1lim +∞→= !1)!1()1(1lim n n n n n ⋅+⋅+∞→= 2)1(lim +∞→n n n =0由比值判别法知∑n b 收敛，再由比较判别法知∑n a 收敛，即有：级数)]!1!21!111([1n e n ++++-∑∞= 收敛。
根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。
2 柯西判别法（根式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式n n u ≤l ＜1，则级数∑n u 收敛。
（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式1≥n n u 则级数∑n u 发散。
例 1 . 判别级数∑n n 22的敛散性。
解：因为 =∞→n n n u lim 2lim 2nn n ∞→=121<所以由根式判别法知级数∑n n 22收敛。
3 达朗贝尔判别法（比值判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q （0＜q ＜1）. （i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式≤+nn u u 1q ，则级数∑n u 收敛。
（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式11≥+nn u u 则级数∑n u 发散。
例 1 .判别级数∑⋅n n nn !3的敛散性。
解：因为 =+∞→n n n u u 1lim !3)1()!1(3lim 11n n n n n n n n n ⋅++++∞→= n n n)11(3lim +∞→= e 3>1 所以由比式判别法知级数∑⋅n n nn !3发散。
4积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
设f 为[1，+ ∞)上非负减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分dx x f ⎰∞1)(同时收敛或同时发散。
例 1 .判别级数∑∞=3)ln (ln )(ln 1n qp n n n 的敛散性。
解：设f(x)=qp n n n )ln (ln )(ln 1,则f(x)在[3，+ )∞上非负递减。
若1=p ，这时有⎰+∞3)ln (ln )(ln q p x x x dx = ⎰+∞3ln ln q u du = ⎪⎩⎪⎨⎧≤∞+>--)1()1()3ln (ln 1111q q q q当小q ＞1时级数收敛；当小q ≤1时级数发散； 若1≠p ,这时有⎰+∞3)ln (ln )(ln q p x x x dx =⎰+∞-3ln ln )1(qu p u e du 对任意的q ，当01>-p 时，取t>1,有qu p t u u e u )1(1lim -∞→⋅=0 即该积分收敛。
当01<-p 时，有 qu p t u u e u )1(1lim -∞→⋅=∞+即该积分发散。
5拉贝判别法设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r ，（i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式r u u n nn ≥-+)1(1＞1，则级数∑n u 收敛。
（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式1)1(1≤-+nn u u n 则级数∑n u 发散。
例 1 .判别级数∑+++)()2)(1(!n x x x n （x>0）的敛散性。
解：因为 )1(lim 1n n n u u n +∞→-= n n ∞→lim [1- )1()2)(1()!1(+++++n x x x n • !)()2)(1(n n x x x +++ ]= x n x nxn =++∞→1lim所以由拉贝判别法知，当小x ＞1时级数收敛；当小x ≤1时级数发散；6对数判别法对于正项级数∑n u ，如果存在q nu nn =∞→ln )1ln(lim，则当q>1时，级数∑n u 收敛；当q<1时，级数∑n u 发散。
例 1判别级数∑∞=2n n a =∑∞=-+--2])1(ln [15n n n 的敛散性。
证明：∞→n lim na n ln )1ln(= ∞→n lim n n n ln 5ln ])1([ln 1---=ln 5>1因此有对数判别法可知级数∑∞=2n n a =∑∞=-+--2])1(ln [15n n n 收敛。
7双比值判别法对于正项级数∑n u ，如果存在nn n u u 2lim ∞→= 112lim ++∞→n n n u u = ρ，则当ρ< 21时，级数∑n u 收敛；当ρ>21时，级数∑n u 发散。
例 1判别级数∑∞=12ln n nn的敛散性。
证明：因为nnn u u 2lim ∞→=41ln )2()2ln(lim22=⋅∞→n n n n n 21< 由此知级数∑∞=12ln n nn收敛。
例 2 判别级数∑∞=1!n n nen n 的敛散性。
证明：这里1+>n n a a ，即n nen n !> 11)!1()1(++++n n e n n 有∞→n lim n n a a 2= n n n n n n e n e n n !)!2()2(lim 22⋅∞→= n n nn n n n n n e n n e n n e n e n 2222)2()2(22)2(lim --∞→⋅ππ= 22> 21 所以级数∑∞=1!n n nen n 发散。
8高斯判别法设∑n a 是严格正项级数，并设1+n n a a =λ+n μ+nn v ln +)ln 1(n n ο，则关于级数∑na的敛散性，有以下结论：（i ）如果λ>1，那么级数∑n a 收敛；如果λ<1，那么级数∑n a 发散。
（ii ）如果λ=1，μ>1，那么级数∑n a 收敛；如果λ=1，μ<1，那么级数∑na发散。
（iii ）如果λ=μ=1，υ>1，那么级数∑n a 收敛；如果λ=μ=1，υ<1，那么级数∑n a 发散。
例1 Gauss 超几何级数1+∑=-+++-++-++nn n n n n 1)1()2)(1(!)1()1()1()1(γγγγβββααα nx 的敛散性，其中均χγβα,,,为非负常数。
解：因为1+n n a a =χβαγβαγ1)1)(1()1)(11(1))(())(1(nn n n xn n n n ++++=++++ 又因为1)1(-+n α=1-n α+)1(2n ο，1)1(-+n β=1-nβ+)1(2n ο，所以1+n n a a =x 1（1+n βαγ--+1+)1(2nο）。
根据高斯判别法可以判别：如果x<1;或者x=1, βαγ+>,那么级数收敛。
