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(全国通用)2015届高考数学冲刺“得分题”训练07 理(含解析)

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2015届高考冲刺数学“得分题”训练 专题七一、选择题（每题5分，共50分） 1．，M A B = ，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A 【答案】A 【解析】集合M A B = 表示平面内由点围成的正方形，22(1)x y +-看作点()(),,0,1x y 距离的平方，结合坐标系可知22(1)x y +-的取值范围是2. i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1z i =+，则zi z i+⋅= （A ）2- （B ）2 （C ）i 2- （D ）i 2 【答案】A 【解析】因为i Z +=1，所以()21111-=-+--=+⋅+-=⋅+i i i i ii Z i i Z . 3. 已知0,0a b >>，如果不等式恒成立，那么m 的最大值等于（ ） A ．10 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】所以9m ≤，m 的最大值等于9，选D ．4. ．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①若αβ∥，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则l m ∥；③若l m ∥，则αβ⊥；④若l m ⊥，则αβ∥. 以上命题中，正确命题的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④ 【答案】B 【解析】直线l ⊥平面α，αβ∥m l l ⊥⇒⊥⇒β，①正确；②中l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故②错；直线l ⊥平面α，l m ∥α⊥⇒m ，又直线m ⊂平面β，故αβ⊥，③正确；④中α与β可能相交 5. 在某次选拔比赛中，六位评委为B A ,两位选手打出分数的茎叶图如图所示（其中x 为数字0～9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，B A ,两位选手得分的平均数分别为b a ,，则一定有（ ）A ．b a >B ．b a <C ．b a =D ．b a ,的大小关系不能确定 【答案】B 【解析】A 选手的最低分为；B 选手的最低分为79，最高分为936. ） A. a b ⊥B. 向量a 与向量c的夹角为90︒C. b ∥cD.对同一平面内的任意向量d ,都存在一对实数12,k k ,使得12k k =d b+c 【答案】D【解析】022=-=⋅b a ，故A 正确；0)2()2()4(1=-⨯-+-⨯=⋅c a ，所以B C 正确；因为c b ,是共线的，不能作为基底，故D 错7. 设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式展开式中的3x 项的系数为（ ） A ．160- B ．20 C ．20- D ．160 【答案】A 【解析】设第1r +项中有3x ，所以，令1233,3r r -=∴=，所以展开式中的3x 项的系数为()3362160C -=-，故选A ．8. △ABC ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 【答案】A 【解析】 由正弦定理，得cos sin cos sin A a A B b B== ，即cos sin cos sin ,cos sin -cos sin =0A B B A A B B A =∴ ， 即sin(B A)0-= ，所以0B A -= ，即B A =9. 在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）A ．0．998B ．0．046C ．0．002D ．0．954 【答案】A10. 已知三个数2,8m ，构成一个等比数列, ）A B C ．【答案】C 【解析】由2,,8m 构成一个等比数列，可得4m =或4m =-；当m ＝4表示椭圆，其中2a =，故c 当m ＝－4，2b = ，二、填空题（每题5分，共20分） 11. 由所围成的封闭图形的面积为______________.【答案】【解析】由图形可知求出x 从1到3，函数上的定积分即为所围成的封闭图形的面积．由定积分在求面积中的应用可知，所围成的封闭图形的面积设为S ，12. 已知,x y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比为 .【答案】1:2 【解析】将y x z +=2化为z x y +-=2，作出可行域和目标函数基准直线x y 2-=，当直线z x y +-=2向右上方平移时，直线在y 轴上的截距z 变大；由图像，得：当直线z x y +-=2经过点)1,1(时，3211min =⨯+=z ；当直线z x y +-=2经过点)2,2(C 时，6222max =⨯+=z ，则最大值与最小值的比为1:2.13. 已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++ = .【解析】1{}n n a a +是首项为128a a =，公比为，14. 已知数列{}n a 满足则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的集合为 ．【答案】{}|2015,n n n *≥∈N【解析】由已知221(1)(1)1n n a a +-=-+，所以数列2{(1)}n a -是等差数列，且公差为1，所以221(1)(1)(1)n a a n -=-+-，2220151(1)(1)2014a a -=-+，则由20152051a >得221(1)20142014a -+>，，且1*a N ∈，∴12015a ≥.三、解答题15. （本小题满分12的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=．（1）求()f x 的表达式；（2，求cos()αβ-的值．【答案】（1（2【解析】2分 A=4， 4分 分分分分分分 16. （12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品可获得利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该产品，以X （单位：t ，150100≤≤X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内该农产品的销售利润．（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率． 【答案】（1）80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（2）0.7【解析】（1）当130100<≤X 时，;39000800)130(300500-=--=X X X T 当150130≤≤X 时，.65000130500=⨯=T.150130,65000130100,39000800⎩⎨⎧≤≤<≤-=∴X X X T 6分（2）令.12057000≥⇒≥X T 8分7.010)015.0025.0030.0()120()57000(=⨯++=≥=≥∴X P T P 12分17. （本小题满分14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面； （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，C 1ABA 1B 1D 1CDM NEFE 1F 1所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ． 2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以1MN BA ． 4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面． 6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直，()0,3,0D ，()10,0,3E ， 8分，()10,3,3DE =-，10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.n DE n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则2x =，是平面1MNE D 的一个法向量． 12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为 14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间，()0,3,0D ，()10,0,3E ， 2分所以()10,3,3DE =- ，()0,1,1MN =-． 3分 因为13DE MN = ，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ． 5分 所以M ，N ，1E ，D 四点共面． 6分（2）解：由（1，()10,3,3DE=- ， 10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分） 设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量， 则10,0.n DE n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则2x =， 是平面1MNE D 的一个法向量． 12分 设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为 14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ， 所以11A E BD 且11=A E BD ， 所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ． 2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以1MN BA ． 4分 所以1MN DE ． 所以M ，N ，1E ，D 四点共面． 6分 C 1 A B A 1 B 1D 1CDM N E F E 1 F 112分13分故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为 14分。

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2015年高考数学模拟冲刺卷(理科)含答案

2015年高考数学模拟冲刺卷(理科)含答案

2015年高考数学模拟冲刺卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．A ．奇函数且图象关于点（2π，0）对称B ．偶函数且图象关于直线x=2π对称 C ．奇函数且图象关于直线x=2π对称D ．偶函数且图象关于点（2π，0）对称． ． ． ．设平面PAB 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0=∙AB n ,0=∙PB nm =（x ，y ，z ），则n CB =0,m PB =0，即x=0,3y-x=021．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区（如图），L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是0.5；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为0.75，0.6．（Ⅰ）求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（Ⅱ）若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设”L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则P (A )＝213303)21(21)21(⨯⨯+⨯C C （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2P (X ＝0)＝(1−101)531()43=-⨯P (X ＝1)＝20953)431()531(43=⨯-+-⨯，P (X ＝2)＝2095343=⨯EX ＝0×101×1209+×209+2×209=2027设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3，P (Y ＝0)＝303)21(⨯C ＝(Y ＝1)＝13C ×21×(21)2＝P (Y ＝2)＝23C ×(21)2×21＝(Y ＝3)＝33C ×(21)3＝若在线段MN 上取一点R ，使得RN MR λ-=，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）∴b ＝（Ⅱ）直线MN 的斜率必存在，设其直线方程为y=k （x+4），并设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．直线方程与椭圆方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2+32k 2x+64k 2-12=0，则x 0＝解：（1）函数f （x ）的定义域是：（0，+∞）由已知f ′(x )＝∴x=e ∵当0＜x ＜e 时，f ′(x )＝0ln 12>-x x ，当x ＞e 时，f ′(x )＝2ln 1xx -＜0∴函数f （x ）在（0，e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f （x ）在（0，e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减故①当0＜2m ≤e 即0＜m ≤(x )m ax ＝f (2m )＝m m 2)2ln(−1，②当m ≥e 时，f （x ）在[m ，2m]上单调递减∴f (x )max ＝f (m )＝mm ln −1，m ＜e 时∴f (x )m ax ＝f (e )＝e1−1．（3）由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，f (x )max ＝f (e )＝e1−1，∴在（0，+∞）上恒有f (x )＝m m ln −1≤e1−1，≤≤e 10，nn +1≠e ，∴ln n n +1＜e 1•n n +1⇒ln (n n +1)e ＜n n +1，即对∀n ∈N *，不等式ln (n n +1)e＜。

2015年高考数学(理)三轮冲刺模拟：概率与统计_Word版含新题解析

2015年高考数学(理)三轮冲刺模拟：概率与统计_Word版含新题解析

概率与统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} 2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样4．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( ) A ．240种 B ．360种 C ．480种 D ．720种5．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7图16．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A ．25B ．710C ．45D ．9107．执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )图2A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.8 8．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )图39．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，110．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知x ，y从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ，则a ＝________.12．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图4所示．图4(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．13．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)14．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3}，那么a ⊥b 的概率是________．15．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）根据以上数据，我们能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K 2＝nad －bc2a ＋bc＋da ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：17．(本小题满分12分)如图5是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图518．(本小题满分12分)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3 乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5（1）画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；（2）现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；（3）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．图619．(本小题满分12分)如图6所示，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率e ＝12，斜率为2的直线l 过点A (2,3)．（1）求椭圆E的方程；（2）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．20．(本小题满分13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．21．(本小题满分14分)某算法的程序框图如图7所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图7（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(乙的频数统计表(当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；（3）将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．参考答案ADCCB CCACA11.1.45 12.(1)0.004 4 (2)70 13.10 14.16 15.1,1,3,316.【解】 (1)依题意，随机变量X 的取值为0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为P ＝56.根据题意可得X ～B (3，56)，∴P (X ＝k )＝C k 3(16)3－k (56)k，k ＝0,1,2,3. ∴E (X )＝np ＝3×56＝52.(2)提出假设H 0：休闲方式与性别无关系． 根据样本提供的2×2列联表得 K 2＝nad －bc 2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d＝－260×20×20×60＝809≈8.889>6.635.因为当H 0成立时，K 2≥6.635的概率约为0.01，所以我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为“在20：00－22：00时间段性别与休闲方式有关”．17.【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 18.【解】 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为x 甲＝x 乙＝8.5，又s 2甲＝0.27，s 2乙＝0.405，得s 2甲＜s 2乙，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B (3，12)．所以P (ξ＝k )＝C k 3(12)3－k (1－12)k ＝C k 3(12)3， k ＝0,1,2,3.所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.19.【解】 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意e ＝c a ＝12，4a 2＋9b2＝1，又∵c 2＝a 2－b 2，解得：c ＝2，a ＝4，b ＝23，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ，令P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，且PQ 的中点为R (x 0，y 0)．∵PQ ⊥l ，∴k PQ ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1，① ②两式相减得：x 22－x 2116＋y 22－y 2112＝0.∴x 2＋x 1y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝－1612×(－12)＝23，即x 0y 0＝23，③ 又∵R (x 0，y 0)在直线l 上，∴y 0＝2x 0－1，④ 由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．20.【解】 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．21.【解】 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127. 故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第2讲_概率、随机变量及其分布(含答案)

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第2讲_概率、随机变量及其分布(含答案)

第2讲 概率、随机变量及其分布考情解读 1．该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查.2．从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题．1．随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. （2）古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.（3）几何概型的概率P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率：P (B |A )＝P (AB )P (A ).3．相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )． 4．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . 5．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6．离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i 的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称下表：为离散型随机变量X （2）离散型随机变量X 的分布列具有两个性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．（3）E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望(简称期望)．D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 叫做随机变量ξ的方差． （4）性质①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )； ③X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 7．正态分布若X ～N (μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.热点一 古典概型与几何概型例1 （1）在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________．（2）(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A ．14 B ．12 C ．34 D ．78思维启迪 (1)符合古典概型特点，求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数；(2)由几何概型的特点，利用数形结合求解．思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．（1）(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为____．（2）在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1有意义的概率为________．热点二 相互独立事件和独立重复试验例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； （2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．思维启迪 本题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算；(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解． 思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；（2）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．热点三 随机变量的分布列例3 (2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．思维启迪 (1)利用对立事件求概率；(2)计算每个X 的值所对应的概率． 思维升华 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．（1）(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的数学期望E (X )等于( )A ．126125B ．65C ．168125D ．75（2）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：（1）基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的基本事件个数m ；（2）与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A 的概率可用“事件A 包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；（3）两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；（4）事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；（5）有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差.真题感悟1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．452．(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．（1）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；（2）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 押题精练1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()A ．521B ．27C ．13D ．8212．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ) A ．16625 B ．96625 C ．624625 D ．46253．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； （2）设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A ．18 B ．38 C ．58 D ．782．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π83．已知Ω＝{(x ，y )|⎩⎨⎧y ≥0，y ≤4－x2}，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈[π－22π，1]，则实数m 的取值范围为( )A ．[12，1]B ．[0，33]C ．[33，1] D ．[0,1]4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( ) A ．310 B ．29 C ．78 D ．795．将三个骰子各掷一次，设事件A 为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B 为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，126．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，则c 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题7．(2014·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________． 8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 9．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.10．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，点数不是3的倍数，1，点数是3的倍数，S n是其前n 项和，则S 5＝3的概率是________．三、解答题11．一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等)． （1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．12．(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．13．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.（1）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望． （2）求教师甲在一场比赛中获奖的概率．例1 (1)14 (2)C 变式训练1 (1)16 (2)23例2 解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A 1、A 2、A 3；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则P (E )＝P (A 1A2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38. 即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.6×0.6＝0.36，P (B )＝0.5×0.6＝0.3，P (C )＝0.4×0.75＝0.3.事件F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”． 则F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，即F ＝A B C ， 于是P (F )＝1－P (F )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4. 即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是0.686 4.变式训练2 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D .“系统A 在3次相互独立的检测中发生k 次故障”为事件D k . 则D ＝D 0＋D 1，且D 0、D 1互斥． 依题意，得P (D 0)＝C 03(1－110)3，P (D 1)＝C 13·110(1－110)2， 所以P (D )＝P (D 0)＋P (D 1)＝7291 000＋2431 000＝243250.所以系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.例3 解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125；P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125；P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.变式训练3 (1)B (2)53解析 (1)125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆， ∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的数学期望 E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.(2)由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.CA DB3．解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列． 设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n (10n ＋70)2＝300. 解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，∴总决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为 C 14(12)4＝14. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490. 又P (X ＝220)＝2·(12)4＝18，P (X ＝300)＝C 14(12)4＝14， P (X ＝390)＝C 25(12)5＝516，P (X ＝490)＝C 36(12)6＝516. 所以，X 的分布列为所以X 的均值为E (X )＝220×18＋300×14＋390×516＋490×516＝377.5(万元)．DDDDAC 7．12 8．1132 9．25 10．1024311．解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同．P (A )＝2(C 12C 13＋C 23)＋1C 47＝1935.(2)随机变量X 的可能取值为3,4,6.P (X ＝3)＝1C 47＝135，P (X ＝4)＝C 12C 34＋C 24C 47＝25，P (X ＝6)＝C 36C 47＝47. 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望E (X )＝3×135＋4×25＋6×47＝17935.12．解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意得D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为 所以所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.13．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知，X ～B (6，23)P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k(k ＝0,1,2,3,4,5,6) X 的分布列为E (X )＝1729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4.或因为X ～B (6，23)，所以E (X )＝6×23＝4.即X 的数学期望为4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则 P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281. 答 教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.。

2015届高考数学冲刺“得分题”训练09理(含解析)

2015届高考数学冲刺“得分题”训练09理(含解析)

专题09 2015届高考数学“得分题”训练09一.选择题（每小题5分,共50分）1．己知集合{}{}=|1,,|2A y y x x R B x x =-∈=≥，则下列结论正确的是（ ） A ．3A -∈ B ． 3B ∉ C ．A B B = D ． A B B = 【答案】D 【解析】试题分析：由题可知，)(1||R x x y ∈-=的值域为),1(+∞-∈y ，故集合-1}y |{y ≥=A ，而集合}2|{≥=x x B ，因此集合B 是集合A 的子集，故A B B = ；2．i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1z i =+，则zi z i+⋅= （A ）2- （B ）2 （C ）i 2- （D ）i 2 【答案】A 【解析】试题分析：因为i Z +=1，所以()21111-=-+--=+⋅+-=⋅+i i i i ii Z i i Z . 3．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析：因为R x ∀∈，20x ≥，所以命题p 是假命题，因为当αβ=-时，()tan tan tan αβαβ+=+，所以命题q 是真命题，所以p q ∧是假命题，()p q ∨⌝是假命题，()p q ⌝∧是真命题，()p q ∧⌝是假命题，故选C ．4．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l n m n ⊥⊥，则//l mC ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：对于A,l 和n 还可以是异面关系；B 选项中，l 和m 还可以是相交和异面；C 中，l 也可以平行，且l 可以与β相交，不一定是垂直；D 中，由//l β，可以在β平面上 找到与l 平行的直线k ，由l α⊥，所以k α⊥，那么根据判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，所以αβ⊥. 5．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ ）A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．xy 2=的图像上 D ．12-=x y 的图像上【答案】D 【解析】试题分析：由题可知，输入1,1==y x ，由于41≤，输出点（1,1），进入循环，212,211=⨯==+=y x ，由于42≤，输出点（2,2），进入循环，422,312=⨯==+=y x ，由于43≤，输出点（3,4），进入循环，842413=⨯==+=y x ，，由于44≤，输出点（4,8），进入循环，4514>=+=x ，循环结束；故点（2,2），点（3,4）点（4,8）满足均在函数12-=x y 的图像上；6．将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π后，得到的图像关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.3π-B.6π C.3π D.56π【答案】D 【解析】试题分析：将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π后，得cos[2()]cos(2)63y x x ππϕϕ=-+=-+的图像，由于图象关于原点对称，所以5,()326k k k Z πππϕπϕπ-+=+=+∈，取0k =得56πϕ=，选D. 7．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 （）（A ）14种. （B ）48种. （C ）72种 （D ） 120种. 【答案】D 【解析】试题分析：可先选一个合唱节目排在节目单的最后，然后再从剩下的5个节目中选3个排在前面，因此共有1325120C A =种编排方法.8．设1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0)b >的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为A ．3 B ．3C ．53D 【答案】A9．设二次函数())(42R x c x ax x f ∈+-=的值域为[0，+∞），则9911+++a c 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．56Ｄ．1 【答案】C【解析】试题分析：由二次函数特点可知，在定义域R 上其值域为),0[+∞，则0>a ,且0416=-=∆ac ,即4=ac . 欲求9911+++a c 的最大值，利用前面关系，建立133651)9)(1(1899911)(+++=++++=+++=a aa c a c c c a f ，由561336251133651)(=+⨯+≤+++=a aa aa f ，故选C. 10．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是（ ） A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+C ．1tan()41πβββ++=-D ．1tan()41πβββ-+=+ 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，kx x k xx =⇒=|sin ||sin |，因此要使方程有两个不同的解，则有|sin |x y =图像与kx y =的图像有且仅有三个公共点，所以直线kx y =与|sin |x y =在)23,(ππ内相切，且切于点)sin ,(ββ-，由βββββtan sin cos =⇒-=-，即1tan()41πβββ++=-；二.填空题（每小题5分,共20分）11．若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a = .【答案】1 【解析】试题分析：由二项式定理可得：()rr r r rrrr x a C x a x C T 277777122---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，因为31x 的系数是84，所以5=r 即84277=-rr r a C ，所以1=a .12．如果实数,x y 满足线性约束条件20,3501,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+-的最小值等于 ．【答案】3- 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:l 0x y +=，上下平移直线l ，当l 过点(2,1)B -时，z 取得最小值3-.13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为__________.【答案】9π 【解析】试题分析：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为3= ，∴长方体的外接球的半径为32，∴球的表面积为23492ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，故答案为9π．14．已知直线()y mx m R =∈与函数312(),02()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】3(,)2+∞． 【解析】试题分析：画出()f x 图象的大致示意图如下所示，则可知问题等价于方程3112x mx +=在(0,)+∞上存在两个不同的根，2112m x x =+，令211()2g x x x =+，∴32211'()x g x x x x-=-=，∴()g x 在(0,1)上单调递减，()g x 在(1,)+∞上单调递增，∴min 3()(1)2g x g ==，即实数m 的取值范围是3(,)2+∞．三.解答题（每小题12分,共36分）15．（本题满分14分）三角形ABC 中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，其中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、． （1）求角C 的大小； （2）求a bc+的取值范围．【答案】（1）23C π=；（2）(1,3a b c +∈. 【解析】试题解析：（1）由正弦定理得：222a b c ab +-=-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==-，∴23C π=． 6分（2）由正弦定理得：sin sin sin )sin a b A B A B c C ++==+ 又 3A B π+=，∴3B A π=-，∴sin sin sin sin()sin()33A B A A A ππ+=+-=+，而03A π<<，∴2333A πππ<+<，∴sin sin A B +∈，∴a b c +∈. 14分 16.（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45A ∠= ,90C ∠=,105ADC ∠= , AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E ，F 分别为棱AC ，AD 的中点．（1）证明DC ⊥平面ABC ；（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； （3）求二面角B EF A --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2；（3）17-. 【解析】试题解析：（1）证明：在图甲中由AB BD =且45A ∠= 得45ADB ∠= ,90ABC ∠= 即AB BD ⊥在图乙中，因为平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC ＝BD 所以AB ⊥底面BDC ，所以AB ⊥CD ． 2分 又90DCB ∠= ，得DC ⊥BC ,且AB BC B = 3分 所以DC ⊥平面ABC ． 4分 （2）解法1：由E 、F 分别为AC 、AD 的中点 得EF //CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ， 所以EF ⊥平面ABC ，垂足为点E则FBE ∠是BF 与平面ABC 所成的角 6分 在图甲中，由105ADC ∠= , 得60BDC ∠= ,30DBC ∠= 设CD a =则2BD a =,BC =,BF ==,1122EF CD a == 8分所以在Rt FEB ∆中，sin EF FBE FB ∠=1a ==即BF 与平面ABC． 9分解法2：如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD a =，则2,BD AB a ==BC =，AD = 6分可得(0,0,0)B ,(2,0,0)D a ,(0,0,2)A a,3(,0)2C a ，(,0,)F a a ，所以1(,,0)2CD a = ,(,0,)BF a a = 8分设BF 与平面ABC 所成的角为θ 由（1）知DC ⊥平面ABC所以cos()2πθ-=||||CD BF CD BF ⋅⋅214a==即sin θ=9分 （3）由（2）知EF ⊥平面ABC ，又因为BE ⊂平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以FE ⊥BE ，FE ⊥AE ， 所以AEB ∠为二面角B EF A --的平面角 11分 在AEB ∆中，12AE BE AC ===2a = 所以cos AEB ∠=222127AE BE AB AE BE +-=-⋅ 即所求二面角B EF A --的余弦为17-． 13分 17．现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏。