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4-1统计量和抽样分布

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数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布

数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布

数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布数理统计作为一门重要的学科，为我们分析和理解数据提供了基础和方法。

在数理统计中，样本统计量和抽样分布是两个关键概念。

本文将详细解释这些概念，并介绍相关的公式和定理。

一、样本统计量样本统计量是从数据样本中计算得到的数值，用于描述总体的特征。

常用的样本统计量有平均值、方差、标准差、相关系数等。

下面我们将详细介绍这些统计量以及它们的计算公式。

1. 平均值平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于衡量数据的集中趋势。

样本平均值的计算公式如下：\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]其中，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，n 表示观测数量。

2. 方差方差衡量了一组数据的离散程度，它表示各观测值与平均值之差的平方和的平均值。

样本方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]其中，\( S^2 \) 表示样本方差，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，n 表示观测数量。

3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。

样本标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{S^2} \]其中，S 表示样本标准差，\( S^2 \) 表示样本方差。

4. 相关系数相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强弱和方向。

样本相关系数的计算公式如下：\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i -\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} \]其中，r 表示样本相关系数，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示第 i 个观测值的两个变量，\( \overline{x} \) 和 \( \overline{y} \) 分别表示两个变量的样本平均值，n 表示观测数量。

概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布

概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布

(2) X 1
~
2 (n1 ),
X2
~
2 (n2 ),
X1,
X
独
2
立
，
则
X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
(3) X ~ 2 (n), E( X ) n, D( X ) 2n,
.
2021/3/11
20
(4). 2分布的分位点
对于给定的正数，0 1,
称满足条件
P
2 2 (n)
k 1
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与X
k同分布,
E
(
X
k i
)
k
k 1,2,,n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1, A2 ,, Ak ) p g(1,2 ,,k ) 其中g为连续函数.
这就是矩估计法的理论根据.
2021/3/11
18
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现 数理统计
10
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/3/11
11
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2

统计量及其分布

统计量及其分布
2 最小，其中c为任意给定常数。 ( x x ) i
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差

总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n

k 1
n
2

2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n

统计学之抽样与抽样分布

统计学之抽样与抽样分布

的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。

统计学 第三章抽样与抽样分布

统计学 第三章抽样与抽样分布

=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取

统计学抽样与抽样分布

统计学抽样与抽样分布
查费用
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。

统计学第六章抽样和抽样分布

统计学第六章抽样和抽样分布

2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
4
一、总体与样本
▪ 把握两个问题： ▪ 1、总体和总体参数； ▪ 2、样本和样本统计量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
5
1、总体与总体参数
（1）总体：指根据研究目的确定的所 要研究的同类事物的全体，是所要说 明其数量特征的研究对象。按所研究 标志性质不同，分为变量总体和属性 总体，分别研究总体的数量特征和品 质特征。 构成总体的个别事物（基本单元 ）就是总体单位，也称个体。总体单 位的总数称为总体容量，记作N。
缺点：受主观影响易产生倾向性误差； 不能计算、控制误差，无法说明调查结果 的可靠程度。
抽样一般都是指概率抽样。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
15
2、重复抽样和非重复抽样
（1）重复抽样：又称重置抽样，是指从总体 中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将 其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。特 点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结 果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试 验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每 次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多 次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复 试验中，样本可能的个数是 N n ，N为总体单位 数，n为样本容量。
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统计学第六章抽样和抽样分布
16
2、重复抽样和非重复抽样
（2）非重复抽样：又称为不重置抽样，即每次从
总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下
一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取样本
。特点是：第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成
统计学第六章抽样和抽样分 布
第六章 抽样与抽样分布

自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分

自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分

高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。

2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。

3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。

得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。

4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。

2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。

根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。

抽样分布

抽样分布
第一章 统计量与抽样分布 第三节 抽样分布
1. 抽样分布 2. 样本均值的抽样分布 3、样本方差的抽样分布 4、样本均值与样本标准差之比的抽 样分布
1.3.1抽样分布
1、定义：统计量的概率分布称为抽样分布。 2、抽样分布的类型： （1）精确（抽样）分布：即当总体X的分布已知时， 如果对任一自然数n都能导出统计量T（ x1, x2 ,, xn ） 的分布显示表达式。（这是在小样本问题中使用， 大多是在正态总体下得到。） （2）渐近（抽样）分布：即在大多数场合，精确 抽样分布不容易导出，或者导出的精确分布过于复 杂而难以应用，这时人们借助于极限工具，寻求在 样本量n无限大时统计量T（ x1, x2 ,, xn ）的极限分 布。（这是在大样本问题中使用）

X n 1
i 1
i
X
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0 1, Pt n 则 称为n个自由度的t分布 水平上侧分位数。记为 t n
4、t分布的上侧分位数 设随机变量 t(n) 服从自由度为n的 t分布，
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0-1分布
二项分布 泊松分布
p np
pq npq
均匀分布 正态分布
ab 2

1

(b a ) 2 12
2
1 2
指数分布

1.3、1样本均值的抽样分布
结论：有了渐近分布就可作出一些统计推断。 例如：在总体为均匀分布 的场合，若 U 1,5 ，试问样本 要以0.99的概率保证 量n至少取多少？ x 3 0.5 同样 ，类似于上述的问题可对另外两个分布 提出。
例题：
设
x1 , x2 ,, x17

统计学原理随堂练习-华工

统计学原理随堂练习-华工

第一章绪论1.(判断题) 统计数据的分析是统计学的核心内容，它是通过统计描述和统计推断的方法探索数据内在规律的过程。

答案：√2.(判断题) 描述统计学是研究如何根据样本数据去推断通体数量特征的方法。

答案：×3.(判断题) 描述统计学是整个统计学的根底，推断统计学是现代统计学的主要内容。

答案：√4.(判断题) 推断统计学在现代统计学中的地位和作用越来越重要，已成为统计学的核心内容。

答案：√5.(判断题) 统计数据的计量尺度分为定类尺度、定序尺度、定距尺度和定比尺度。

答案：√6.(判断题) 定量数据说明的是现象的数量特征，是能够用数值来表现。

答案：√7.(判断题) 定性数据说明的是现象的品质特征，是不能用数值来表现。

答案：√8.(判断题) 统计指标表现为绝对数、相对数和平均数三种形式。

答案：√9.(判断题) 产品产量是时期数。

答案：√10.(判断题) 股票价格是时点数。

答案：√11.(判断题) 考试成绩分为优、良、中、及格、不及格，这是按定类尺度划分的。

答案：×12.(判断题) 考试成绩用"百分制〞度量，这是按定比尺度划分的。

答案：×13.(判断题) 将全部人口分为男女两局部，男性所占比重就是比率相对数。

答案：×14.(判断题) 动态数列就是将*同时期的各指标数值按照组别进展排序得到的数列。

答案：×15.(判断题) "企业数〞、"年龄〞都是离散变量。

答案：×16.(判断题) "性别〞、"产品等级〞属于数量变量。

答案：×17.(判断题) 数据的加工处理方法、数据分布特征的概括与分析方法等属于描述统计学的内容。

答案：√18.(判断题) 人的身高、体重、机器设备台数等都是连续变量。

答案：×19.(判断题) 离散变量的变量值只能按整数计算，不可能有小数。

答案：×20.(判断题) 价值单位是以货币形式对现象进展度量，如国民生产总值、商品销售额等。

概率统计课件§6 4.1—2 抽样分布

概率统计课件§6 4.1—2 抽样分布

未修正的样本方差
S02
1n
ni 1(Xi
X)2
3. 样本标准差
S
1n
n1i 1(Xi
X)2
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4. 样本的 k 阶原点矩
mk

1 n
n

i1
Xik
5. 样本的 k 阶中心矩
Mk n1i n1(Xi X)k
k1,2, k2,3,
M2 S02
n1S2 n
二. 2 分布
1. 定义
随机变量
~
1
f
(
x)

n 22
(
n)
n x
x2e 2
2
0
x0 x0
其中 ( r )是 函数，称 X 服从自由度为 n 的 2 分布
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返回
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返回
2. 分2 布的典型模式
定理4.3
X1,X2, ,Xn
相互独立
解： P (X 2) 0 .0 2 5 20 2 .0 2 5(1 1 )2 1 .9 2 0 P (X 1 ) 0 .0 2 5 P (X 1 ) 0 .9 7 5
10 2 .9 7 5(1 1 )3 .8 1 6
例2. 设X1,X2, ,X10为取自总体 X~N(0,0.09)的样
t0 .1 (1 5 ) 1 .7 5 3
（3）P (t)0.95 P (t)0.05
t0 .1 ( 1 5 ) 1 .7 5 3
上页
下页
返回
例4. X1,X2, ,X9来自总体X~N(,2)的样本，且
Y1

1 6

统计学之抽样与抽样分布

统计学之抽样与抽样分布
a. n/N > 30 b. N/n < 0.05 c. n/N < 0.05 d. n/N > 0.05
正确答案: d. n/N > 0.05
8. 从一个均匀分布的总体中抽取一个样本容量为45的样本， 从什么分布？
a. 指数分布 b. 正态分布 c. 均匀分布 d. 无法判断
正确答案: b. 正态分布
考察所有900个申请者
• 考试成绩
• 总体平均成绩
xi 990
900
• 总体标准差
(xi )2 80 900
考察所有900个申请者
• 无相同工作经验的申请者比例
• 总体比例
p 648 .72 900
使用随机数表随机选择30个申请者作为样本进行研 究,从书上随机数表第三列开始
统计学之抽样与抽样分 布
2021年7月19日星期一
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布
样本平均值x 的抽样分布 样本比例 p 的抽样分布
抽样方法
n = 100
n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参 数进行很好的估计
点估计
• x 作为 的点估计值 x xi 29,910 997
30 30
• s 作为 的点估计值
s
(xi x )2 163,996 75.2
29
29
• p 作为p 的点估计值
p 20 30 .68
值得注意的是，不同的随机数会导致不同的抽样，也就会 数的不同的点估计值

统计学中的抽样分布理论

统计学中的抽样分布理论

统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。

本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。

一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。

但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。

这就是抽样的概念。

抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。

常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。

在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。

比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。

二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。

这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。

参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。

统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。

样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。

抽样分布不同于总体分布。

总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。

抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。

这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。

在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。

具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。

然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。

若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。

这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。

三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。

统计基础知识

统计基础知识
5-3
经济、管理类 基础课程
随机事件的几个基本概念 统计学
设是从总体中获得的容量为ν的样本， 设是从总体中获得的容量为ν的样本，则 1．样本均值： X = 1 ∑X 样本均值：
n
2．样本中位数： 样本中位数：
n i=1
i
3．样本极差： R = X + X 样本极差： (n) (1) 4．样本(无偏)方差: 样本(无偏)方差: 5．样本标准差： s = s 2 样本标准差：
2 P{X = 2} = C3 (0.05)2 (0.95)3−2 = 0.007125
5 - 11
经济、管理类 基础课程
泊松分布
统计学
1. 用于描述在一指定时间范围内或在一定的 长度、面积、 长度、面积、体积之内每一事件出现次数 的分布 2. 泊松分布的例子
一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次 数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数
5-7
经济、管理类 基础课程
二项分布
统计学
1. 进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数 次重复试验，出现“成功” 的概率分布称为二项分布 2. 设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数， 次重复试验中事件A出现的次数， X 取 x 的概率为
P{X = x} = Cnx p x qn−x
x 式中：Cn =
5 - 15
经济、管理类 基础课程
泊松分布
（作为二项分布的近似） 作为二项分布的近似）
统计学
1. 当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时 很大， ，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概 率，即
C pq
x n
x
n−x
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抽样分布的概念及重要性

抽样分布的概念及重要性

抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。

在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。

抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。

本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。

一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。

在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量的取值也会有所不同。

抽样分布描述了样本统计量的所有可能取值及其对应的概率分布。

常见的样本统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。

以样本均值为例，假设总体均值为μ，样本均值为x̄，抽样分布描述了在相同样本容量的情况下，样本均值的所有可能取值及其对应的概率分布。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

二、抽样分布的重要性抽样分布在统计学中具有重要的意义，它对统计推断和假设检验提供了理论基础，具体体现在以下几个方面：1. 参数估计：抽样分布可以用于估计总体参数。

通过抽取样本并计算样本统计量，我们可以对总体参数进行估计。

例如，通过计算样本均值来估计总体均值，通过计算样本比例来估计总体比例等。

抽样分布提供了样本统计量的分布情况，帮助我们确定估计值的可信度和置信区间。

2. 假设检验：抽样分布可以用于假设检验。

在假设检验中，我们通常需要比较样本统计量与假设值之间的差异，以判断差异是否显著。

抽样分布提供了样本统计量的分布情况，可以帮助我们计算出观察到的差异在抽样误差范围内的概率，从而判断差异是否显著。

3. 抽样方法选择：抽样分布可以帮助我们选择合适的抽样方法。

不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生不同的影响。

通过了解抽样分布的特点，我们可以选择合适的抽样方法，以提高样本统计量的准确性和可靠性。

4. 统计推断：抽样分布是统计推断的基础。

统计推断是指通过样本数据对总体特征进行推断。

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第四章、抽样分布
从本章起转入课程的第二部分 数理统计
数理统计的特点是应用面广，分支较 多. 社会的发展不断向统计提出新的问题.
引言 从本章节开始，我们将讲述数理统计的基本内容. 数 理统计作为一门学科诞生于19世纪末20世纪初， 是具 有广泛应用的一个数学分支， 它以概率论为基础，根 据试验划观察得到的数据， 来研究随机现象，以便对 研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断. 由于 大量随机现象必然呈现出它们的规律性， 故理论上只 要对随机现象进行足够多次观察， 则研究对象的规律 必就一定能清楚地呈现出来， 但实际上人们常常无法 对所研究的对象的全体(或总体) 进行观察，而只能抽
x(1) x( 2 ) x( n ) .
若 x( k ) x x( k 1) , 则不大于 x 的样本值的频率为
k / n.
因而函数
x x(1) 0, Fn ( x ) k / n, x( k ) x x( k 1) , 1, x x(n )
X 1 , X 2 , X n 为简单的随机样本，简称样本。
简单随机样本是应用中最常见的情形， 今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样 本”时，若不特别说明，就指简单随机样本. 3. 总体、样本、样本值的关系 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、 确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测 量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而 不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而 见不到随机变量.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总 体有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 定义1 设总体X具有分布函数 F ( x ), X 1 , X 2 , X n 是来自总体X的样本，若 X 1 , X 2 , X n 相互 独立,且每一个 X k与X有相同的分布,则称
2. 样本的数学描述 为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量. 但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的 数 x1 , x2 ,, xn ,称为样本的一次观察值，简称样 本观测值 . 样本的双重含义：泛指一次抽样结果 X 1 , X 2 ,, X n n维随机向量；指某次具体抽样结果 x1 , x 2 ,, x n 是一个n维向量,称为样本的一个观测值。
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去 推断总体的情况---总体分布F(x)的性质. 样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
分组数据统计表和频率直方图 通过观察或试验得到的样本值，一般是杂乱无章的， 需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性，分 组数据统计表或频率直方图是两种常用的整理方法. 1. 分组数据表：若样本值较多时， 可将其分成若干 则 组， 分组的组数应与样本容量相适应. 分组太少， 难以反映出分布的特征， 分组太多，则由于样本取
其面积恰为 f i , 所有小矩形合在一起就构成了频率 直方图.
例1 从某厂生产的某种零件中随机抽取120个, 测得 其质量(单位:g)如下表所示, 列出分组表, 并作频率 直方图. 200 202 203 208 216 206 222 213 209 219 216 203 197 208 206 209 206 208 202 203 解 先从这120个样 206 213 218 207 208 202 194 203 213 211 本值中找出最小值 193 213 208 208 204 206 204 206 208 209 213 203 206 207 196 201 208 207 213 208 190, 最大值 222, 210 208 211 211 214 220 211 203 216 221 211 209 218 214 219 211 208 221 211 218 取 a 189.5, 218 190 219 211 208 199 214 207 207 214
[t i , t i t ), t b a ( i 1,, m ); m
ni (3) 求组频数 ni , 组频率 f i , 及 n fi hi , ( i 1,2,, n); t (4) 在 [t i , t i t ]上以 hi 为高， t 为宽作小矩形，
b 222.5,
将区间
206 217 214 201 212 213 211 212 216 206 210 216 204 221 208 209 214 214 199 204 211 201 216 211 209 208 209 202 211 207 220 205 206 216 213 206 206 207 200 198
例如，设总体 X 服从正态分布， ( X ) 5, E
D( X ) , 未知. X 1 , X ,, X n 为总体的一个样
2 2
Sn Sn X 1 X 2 X n , X , n n( X 5) 则 Sn 与 X 均为该样本的统计量， U 但
本， 令
确定 值的随机性而使分布显得杂乱. 因此， 分组时， 分组数(或组距)应以突出分布的特征并冲淡样本的 随机波动性为原则. 区间所含的样本值个数称为该
区间的组频数. 组频数与总的样本容量之比称为组
频率. 2. 频率直方图：频率直方图能直观地表示出组频 率的分布. 其步骤如下： 设 x1 , x2 ,, xn 是样本 的 n 个观察值. (1) 求出 x1 , x2 ,, xn 中 的最小者 x(1) 和最 大者 x(n ) ; 和 （略大于 x( n )), 并 （略小于 x(1) ） b (2) 选取常数 a 将区间 [a , b] 等分成 m 个小区间 (一般取 m 使 m / n 在 1 / 10左右， 且小区间不包含右端点)：
n
1 体的实数值， 用小写字母，如： x
x n
i 1
n
i
等.
2. 几个常见统计量
它反映了总体均值 的信息
1 n 样本均值 X X i n i 1 n 2 样本方差 S 2 1 ( Xi X ) n 1 i 1
样本标准差：
1 n 2 S (Xk X ) n 1 k 1 1 n 2 修正样本方差： S 2 (Xk X ) 0 n k 1
i i i i
fi t
201.5 ~ 204.5 204.5 ~ 207.5 207.5 ~ 210.5 210.5 ~ 213.5 213.5 ~ 216.5 216.5 ~ 219.5 219.5 ~ 222.5
14 20 23 22 14 8 6 120
14 / 120 20 / 120 23 / 120 22 / 120 14 / 120 8 / 120 6 / 120 1
[189.5, 222.5]
等分成11个小区间, 组距 t 3.
例1 从某厂生产的某种零件中随机抽取120个, 测得 其质量(单位:g)如下表所示, 列出分组表, 并作频率 区间 组频数n 组频率f 高h f / t 直方图. 189.5 ~ 192.5 1 1 / 120 1 / 360 解 得到分组表及频 192.5 ~ 195.5 2 2 / 120 2 / 360 195.5 ~ 198.5 3 3 / 120 3 / 360 率直方图. 198.5 ~ 201.5 7 7 / 120 7 / 360
与事件 { X x } 在 n 独立重复试验中的频率相同的， 称 Fn ( x ) 为经验分布函数.
注：样本的频率直方图可以形象地描述总体的概率 分布的大致形态，而经验分布函数则可以用来描述 总体分布函数的大致形状. 对于上述经验分布函数 有下列结论(格里汶科, 1933):
P{lim sup Fn ( x ) F ( x ) 0} 1. n
§4.1 统计量
一、总体与样本 1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅 是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时， 每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
取其中的部分(或样本) 进行观察或试验以获得有限的 整理有 怎样有效地收集、 数据. 数理统计的任务包括： 研 限的数据资料； 怎样对所得的数据资料进行分析、
作出合理的推断, 究， 从而对研究对象的性质、特点，
此即所谓的统计推断问题， 本课程主要讲述统计推断 的基本内容.
由于学时有限，课程的的这部分内容我 们只介绍理论部分，即抽样分布。至于具体 的方法,学生可以自己推导并学会处理问题。
例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数 量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随 机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.
F(x)
总体
寿命X可用一概 率分布来刻划
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .
类似地，在研究某地区中学生的营养状 况时，若关心的数量指标是身高和体重，我 们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体 就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示. 统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.