最新科学计算与数学建模第五章

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5.2.2 环节并联连接的化简
环节并联是指多个环节的输入信号相同，所有环
节输出的代数和为其总输出。两环节相并联如图5-2
所示。
G1 ( s ) y1 (t )
+
u (t )
y (t )
G2 ( s)
图 5-2
y 2 (t )
+
并联连接结构
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parallel()函数命令可以将两个环节并联连接进行 等效化简。它既适用于连续时间系统也适用于离散时
feedback()函数命令格式为： G=feedback(G1,G2,sign)
[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)
[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)
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5.2.4 闭环系统的化简
通过将所有的输出反馈到输入，从而构成闭
num [c 0 , c1 , , c m ] den [a1 , a 2 , , a a ]
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在MATLAB中，用函数命令tf()来建立控制系 统的传递函数模型，tf()函数命令常用的调用格式
为：

sys= tf(num, den)
sys= tf(num, den, Ts)
5.2 环节方框图模型的化简
5.2.1 环节串联连接的化简
控制系统的环节串联及其化简就是模块方框图模 型的串联及其化简。可以用MATLAB的函数命令 series()将串联模块化简。
u1 (t )
G1 ( s ) y1 (t )
u 2 (t )
G 2 ( s)
y 2 (t )
图 5-1

• x=[1;2;3]; y=[4;5;6]; A=[1 1 2;3 4 0;1 2 5]; z=x’*y u=x*y’ v=y*x’
济南大学控制科学与工程学院
计算机仿真技术
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• 复数的幅值与相角(magnitude and phase angle of a complex number)
复数z=x+iy=reiθ 幅值为r，相角为θ，可以表示为 r=abs(z) theta=angle(z)
• 如果i和j已经作为变量使用，定义新的复数单位：
ii=sqrt(-1)
or
jj=sqrt(-1)
x=1+sqrt(3)*ii or x=1+sqrt(3)*jj
• 书写复数矩阵(complex matrices)
1 j X 5j 2
写成 X=[1 j;-5*j 2]
共轭转置为：Y=X.’ 或 Y=conj(X’) (写成Y=X’是错误的)
x=logspace(-1,1,10) %从0.1到10有10个点
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• 转置与共轭转置(transpose and conjugate transpose)
• 实矩阵情况： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
B=A’
• 复数情况：x=1+sqrt(3)*i or x=1+sqrt(3)*j 用i或j表示复数
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• 绝对值(absolute values)
复数的绝对值等于实部平方与虚部平方的和再开平方根
abs(A)=sqrt( real(A).^2 + imag(A).^2 )

按上列四种算法计算 x 值,其结果如下表1、3、1所示。
表1、3、1
序 号
算式
1 ( 2 1)6
2 9970 2
3 ( 1 )6 2 1
4
1
99 70 2
计算结果
2 7/5
( 2)6 0.004096 5 1
( 5 )6 0.005233 12
1 0.005076 197
2 17/12
( 5 )6 0.005233 12
算法,将多项式 改成P(x)
P(x) ((((an x an1)x an2 )x a2 )x a1)x a0
来计算时,只要做 n 次乘法和次加法即可。
关于小型问题,计算的速度和占用计算机内存的多少好像意义不大。 但关于复杂的大型问题而言,却是起着决定性作用。算法取得不恰当,不 仅影响到计算的速度和效率,还会由于计算机计算的近似性和误差的传 播、积累直截了当影响到计算结果的精度甚至直截了当影响到计算的成 败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步,而使计算最终 失败,这就是算法的数值稳定性问题。
❖ 衡量一个算法的好坏时,计算时间的多少是特别重要的一个标志。 由于实际的执行时间依赖于计算机的性能,因此所谓算法所花时间是 用它执行的所有基本运算,如算术运算、比较运算等的总次数来衡量 的。如此时间与运算的次数直截了当联系起来了。当然,即使用一个 算法计算同一类型的问题时,由于各问题的数据不同,计算快慢也会 不同,一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。
模型应用
实际问题
1、2、3 数学建模 意义
作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模自然有着 与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来,随着数学以空前的广 度和深度向一切领域的渗透,以及计算机的出现与飞速发展,数学 建模越来越受到人们的重视,数学建模在现实世界中有着重要意 义。

基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 0(x),1(x),…, n(x),使
pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +…+an n(x) 不同的基函数的选取导致不同的插值方法
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拉格朗日(Lagrange)插值
Ln ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
m yk m1 yk 1 m1 yk , m 1,2,
f [ x k , x k 1 ] y k x k 1 x k
2 yk yk 1 yk
fபைடு நூலகம்[ x k , x k 1 , x k 2 ]
…………
m阶差商
f [ x k , x k 1 , , x k m ]
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利用已知的结论 作散点图法 多项式近似 曲线改直技术
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曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 选定一组基函数 r1(x), r2(x), …rn(x), n<m, 选取拟合函数形式为 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+anrn(x) ，其中 a1,a2, …an 为待定系数。
三阶差商 ……
n 阶差商
x0 f [ x0 ] x1 f [ x1 ] x2 f [ x2 ]
f [ x0 , x 1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] , xn ]
f [ x0 , x1 , x 2 , x3 ] f [ xn 3 , xn 2 , xn 1 , xn ]
k
xi
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Lagrange插值与Newton插值的异同点

两者都是通过给定n+1个互异的插值节点，求一条n次多项式曲线近似地 表示待插值的函数曲线． Lagrange插值和Newton法插值的结果和余项都是一致的，因为都是利 用n次多项式插值． 区别： Lagrange插值法在求每个基函数的时候要用到所有结点，因此如果需要 再多加一个结点的话，需要重新求出函数才可，而这需要大工作量，于 是数学家们就发明了Newton法。 Lagrange插值法是通过构造n+1个n次基函数，作线性组合而得到． Newton法插值是通过求各阶差商，递推得到公式 f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]....+(x-x0)...(x-xn-1)f[x0,x1...xn]