九年级下册数学第一章单元测试题及参考答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！北师大版九年级下单元测试第1单元班级________姓名________一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知a Ð为锐角，且1sin 2a =，则a Ð=()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直(A ，D ，B 在同一条直线上)，设CAB a Ð=，则拉线BC 的长度为()A.sin h aB.cos h aC.tan h aD.cos h a×3.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt ACB △中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D Ð=°，所以tan152AC CD ==-°.类比这种方法，计算tan 22.5°的值为()1+1- C. D.124.如图，ABC △的顶点是正方形网格的格点，则cos ABC Ð的值为()A.23B.22C.43D.2235.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为a 时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为b ，已知3sin cos 5a b ==，则梯子顶端上升了()A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米6.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图（2）所示的四边形OABC .若1AB BC ==，AOB a Ð=，则2OC 的值为()A.211sin a+ B.2sin 1a + C.211cos a+ D.2cos 1a +7.如图，Rt ABC △中，90BAC Ð=°，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B Ð=Ð，连接CE ，则CEAD的值为()A.323 C.15 D.28.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND .甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度1:1.25i =.若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N2 1.41»3 1.73»）()A.9.0mB.12.8mC.13.1mD.22.7m9.如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ^交AC 于点F .若4BC =，AEF △的面积为5，则sin CEF Ð的值为()A.355 C.452510.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为1:0.75i =、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E ）均在同一平面内）.在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据sin240.41°»，cos240.91°»，tan240.45°=）()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，2AB =，8CD =，AC CD ^.若1sin 3ACB Ð=，则tan D =______________.12.如图，在ABC 中，6AB AC ==，2sin 3B =，则ABC 的面积=___________.13.如图，ABC △的顶点B ，C 的坐标分别是(1,0)，，且90ABC Ð=°，30A Ð=°，则顶点A 的坐标是____________________.14.如图，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40km ，仰角是30°，n 秒后，火箭到达B 点，此时在R 处测得仰角是45°，则火箭在这n 秒中上升的高度是____________km.15.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ^，垂足为E ，连接CE .若30ADB Ð=°，则tan DEC Ð的值为______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B ，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D ，并在点D 处安装了测倾器DC ，测得古树的顶端A 的仰角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G ，使5m DG =，并在点G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿BG 方向移动，当移动到点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时，测得2m FG =，小明眼睛与地面的距离 1.6m EF =，测倾器的高0.5m CD =.已知点F ，G ，D ，B 在同一水平直线上，且EF ，CD ，AB 均垂直于FB ，求这棵古树的高AB （小平面镜的大小忽略不计）.17.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB Ð=°，8AB =，5CD =，BC =.（1）求梯形ABCD 的面积；（2）连接BD ，求DBC Ð的正切值.参考答案1.A2.B3.B4.B5.C6.A7.D8.C9.A 10.A 11.3412.13.14.20)15.16.如图，过点C 作CH AB ^于点H ，则CH BD =，0.5m BH CD ==.在Rt ACH △中，45ACH Ð=°，AH CH BD \==.0.5AB AH BH BD \=+=+.EF FB ^ ，AB FB ^，90EFG ABG \Ð=Ð=°.由题意知EGF AGB Ð=Ð，EFG ABG \△△.EF FG AB BG \=，即 1.620.55BD BD=++，解得17.5m BD =.17.50.518(m)AB \=+=.答：这棵古树的高AB 为18m.17.（1）如图，过点C 作CE AB ^于点E .//AB DC ，90DAB Ð=°，90D \Ð=°.90A D AEC \Ð=Ð=Ð=°.\四边形ADCE 是矩形.AD CE \=，5AE CD ==.853BE AB AE \=-=-=.BC = ，6AD CE \==.\梯形ABCD 的面积为1(58)6392´+´=.（2）如图，过点C 作CH BD ^于点H .//CD AB ，CDB ABD \Ð=Ð，又90CHD A Ð=Ð=° ，CDH DBA \△△.CH CDAD BD\=.10BD === ，5610CH \=，解得3CH =.6BH \=.31tan 62CH DBC BH \Ð===.。

最新浙教版九年级数学下册单元同步测试题及答案全套九年级下册 第1章 解直角三角形 1．1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数的概念基础题知识点1 三角函数的定义1．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosA 的值是(D)A.34B.43C.35D.452．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长是(A)A ．2B ．8C ．2 5D ．4 53．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°.若AC ＝2BC ，则sinC 的值是(C)A.12 B ．2 C.32D. 3 4．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么∠A ，∠A ′的余弦值的关系为(A)A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定5．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为(A)A.13B.12C.32D ．36．(乐山中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C)A ．sinB ＝ADABB ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝ADACD ．sinB ＝CDAC7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为斜边AB 的中点，BC ＝4，CD ＝2.5，则sinA ＝45．8．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，另一边经过点P(2，23)，则sin α2cos α＝12，tan α知识点2 互余两角的三角函数之间的关系9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．求：(1)sinA ，cosB ； (2)tanA ，tanB ；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系吗？ (4)应用：①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，则cosB ＝23；②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝2，则tanB ＝12．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝BC AB ＝ac ，cosB ＝BC AB ＝a c.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴tanA ＝BC AC ＝ab ，tanB ＝AC BC ＝b a.(3)由(1)知sinA ＝cosB ；由(2)知tanA ·tanB ＝1.中档题10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝23，则tanB 等于(C)A.35B.53C.25 5D.5211．(攀枝花中考)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝(D)A.12B.34C.45D.3512．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是(B)A.23B.223C.423D.52313．(菏泽中考)如图，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A ′C ′＝3，若∠B ＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为(A)A ．25∶9B ．5∶3C.5∶ 3D ．55∶3 314．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则cosB ′1015．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sinB 的值．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中， ∵AD ＝5，CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝4. 在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝41. ∴sinB ＝AC AB ＝441＝44141.16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值．解：根据题意，得BE ＝AE.设CE ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x.在Rt △BCE 中，根据勾股定理得BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74，∴tan ∠CBE ＝CE CB ＝724.综合题17．(金华中考)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD ＝90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD 变形为四边形ABC ′D ′，最后折叠形成一条线段BD ″.(1)小床这样设计应用的数学原理是三角形的稳定性和四边形的不稳定性； (2)若AB ∶BC ＝1∶4，则tan ∠CAD 的值为815．第2课时 特殊角的三角函数值基础题知识点1 特殊角的三角函数值 1.12cos30°的值等于(B) A.12 B.34C ．1D ．3 2．点A(cos60°，－tan30°)关于原点对称的点A 1的坐标是(A)A ．(－12，33)B ．(－32，33) C ．(－12，－33)D ．(－12，32)3．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列结论最确切的是(C) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 4．若∠A ＋∠B ＝90°，且cosB ＝32，则tanA 的值为(D)A.33 B.22C ．1 D. 3 5．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝80°．6．(绍兴中考)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于60°． 7．计算：(1)2cos45°－tan60°；解：原式＝2－ 3.(2)2sin 260°＋cos30°－33tan30°·tan45°. 解：原式＝7＋336.8．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，测得∠CBD ＝60°，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．(结果精确到个位，3≈1.73)解：在Rt △CBD 中，CD ＝CB ·sin60°＝20×32≈17.3(米)， ∴CE ＝CD ＋DE ＝17.3＋1.5≈19(米)．知识点2 同角三角函数之间的关系9．先完成下列填空，再按要求回答下列问题：(1)①sin30°＝12，cos302sin 230°＋cos 230°＝1；②sin452cos452sin 245°＋cos 245°＝1；③sin602cos60°＝12，sin 260°＋cos 260°＝1； 观察上述等式，猜想：sin 2A ＋cos 2A ＝1．(2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．完成下列求sinA ，cosA 及sin 2A ＋cos 2A 的值的过程．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝（a ）c ，cosA ＝（b ）c.在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2＋b 2＝c 2． ∴sin 2A ＋cos 2A ＝（a 2）c 2＋（b 2）c 2＝（c 2）c2＝1； (3)请根据(2)的条件，表示出tanA 的值，分析出(2)中sinA ，cosA 与tanA 三者之间满足什么关系； (4)已知α为一个锐角，sin α＝45.求cos α，tan α.解：(3)tanA ＝a b ；tanA ＝sinAcosA.(4)∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝45，α为锐角，∴cos α＝35，tan α＝sin αcos α＝43.中档题10．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于(C)A.12B.22C.32D. 311．在△ABC 中，若|sinA －12|＋(33－tanB)2＝0，则∠C 的度数为(D)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．已知∠A 为锐角，且tanA ＝23，那么下列判断正确的是(B)A ．0＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°13．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A)A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米14．如图，将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是492cm 2.15．若规定sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15416．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值． 解：由sin(α＋15°)＝32，得α＝45°. ∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3. 17．(丽水中考)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtanA＝2 3.∴EF ＝AC ＝2 3.∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sinE ＝ 6. ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.18．如图，等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，求AGAF的值．解：在△CAD 与△ABE 中，AC ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°，AD ＝BE ， ∴△CAD ≌△ABE.∴∠ACD ＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°， ∴∠ACD ＋∠CAE ＝60°.∴∠AFG ＝∠ACD ＋∠CAE ＝60°. 在直角△AFG 中，sin ∠AFG ＝AGAF ，∴AG AF ＝sin60°＝32. 综合题19．如图，两张宽度都为3 cm 的纸条交叉重叠在一起，其中∠α＝60°，求重叠(阴影)部分的面积．解：过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD. ∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠ABC ＝∠ADF.∵纸条的宽度都是3， ∴AE ＝AF ＝3.在△ABE 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，AE ＝AF ，∴△ABE ≌△ADF.∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．在Rt △ADF 中，∠ADF ＝60°，sin ∠ADF ＝AF AD ，∴AD ＝2 3 cm.∴CD ＝AD ＝2 3 cm.∴重叠(阴影)部分的面积为CD ·AF ＝23×3＝63(cm 2).1.2 锐角三角函数的计算第1课时 利用计算器求锐角三角函数值基础题知识点1 用计算器求已知锐角的三角函数值1．(烟台中考)如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)A.2×cos 55＝B. 2cos 550＝C. 2cos 55＝D.255cos ＝2．cos55°和sin36°的大小关系是(C)A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＝sin36°C ．cos55°＜sin36°D ．不能确定 3．下面四个数中，最大的是(C)A.5－ 3 B ．sin88° C ．tan46°D.5－124．用科学计算器计算，下面结果不正确的是(D)A ．175＝1 419 857B.19＝4.358 898 944C ．sin35°＝0.573 576 436D ．2sin30°12′<sin60°24′ 5．计算(结果保留小数点后四位)．(1)sin23°5′＋cos66°45′；解：sin23°5′＋cos66°45′≈0.786 8.(2)sin 27.8°－tan15°8′.解：sin 27.8°－tan15°8′≈－0.252 0.6．(1)用计算器求：sin20°≈0.342_0；sin40°≈0.642_8；sin60°≈0.866_0；sin80°≈0.984_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：sin20°<sin40°<sin60°<sin80°； (2)用计算器求：cos15°≈0.965_9；cos35°≈0.819_2；cos55°≈0.573_6；cos75°≈0.258_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：cos15°>cos35°>cos55°>cos75°； (3)用计算器求：tan10°≈0.176_3，tan30°≈0.577_4，tan50°≈1.191_8，tan80°≈5.671_3．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接tan10°<tan30°<tan50°<tan80°.观察你能得到：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．知识点2 用计算器解决与三角函数有关的实际问题 7．如图，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝8.035，∠A ＝27°5′3″，求a ，b(精确到0.000 1)．解：∵sinA ＝sin27°5′3″≈0.455 3， ∴sinA ＝ac≈0.455 3.∴a ≈8.035×0.455 3≈3.658 3. ∵cosA ＝cos27°5′3″≈0.890 3， ∴cosA ＝bc≈0.890 3，∴b ≈8.035×0.890 3≈7.153 6.8．(呼伦贝尔中考)如图，厂房屋顶人字架的跨度BC ＝10米，D 为BC 的中点，上弦AB ＝AC ，∠B ＝36°，求中柱AD 和上弦AB 的长．(结果保留小数点后一位)解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝10米， ∴DC ＝BD ＝5米，在Rt △ADC 中，∠B ＝36°，∴tan36°＝ADBD ，即AD ＝BD ·tan36°≈3.6(米)．cos36°＝BD AB ，即AB ＝5cos36°≈6.2(米)．答：中柱AD 的长为3.6米，上弦AB 的长为6.2米．中档题9．(威海中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D)A.5÷tan 26＝B.5÷sin 26＝C.5×cos 26＝D.5×tan 26＝10．如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上，定点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在刻度尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为2.7 cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)11．(1)用计算器计算并验证sin25°＋sin46°与sin71°之间的大小关系；(2)若α、β、α＋β都是锐角，猜想sin α＋sin β与sin(α＋β)的大小关系； (3)请借助如图的图形证明上述猜想．解：(1)sin25°＋sin46°>sin71°.sin25°＋sin46°＝0.423＋0.719＝1.142， sin71°＝0.946，∴sin25°＋sin46°>sin71°. (2)sin α＋sin β>sin(α＋β)． (3)证明：∵sin α＋sin β＝AB OA ＋BC OB ，sin(α＋β)＝AE OA， ∵OB<OA ，∴AB OA ＋BC OB >AB OA ＋BC OA ＝AB ＋BC OA. ∵AB ＋BC>AE ，∴AB OA ＋BC OB >AE OA.∴sin α＋sin β>sin(α＋β)．12．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)解：小敏乘此电梯不会有碰头危险，姚明乘此电梯会有碰头危险． 理由如下：由题意可知AC ∥BD ， ∴∠CAB ＝∠ABD ＝27°.过点C 作CE ⊥AC 交AB 于点E ， 在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAC，∴CE ＝AC ·tan ∠CAE ＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04＜2.26. ∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78， ∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．综合题13．身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处(点G 在FE 的延长线上)．经测量，兵兵与建筑物的距离BC ＝5米，建筑物底部宽FC ＝7米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度AB ＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°.(1)求风筝距地面的高度GF ；(2)在建筑物后面有长5米的梯子MN ，梯脚M 在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：(1)过A 作AP ⊥GF 于点P ，则AP ＝BF ＝12，AB ＝PF ＝1.4，∠GAP ＝37°， 在Rt △PAG 中，tan ∠PAG ＝GPAP ，∴GP ＝AP ·tan37°≈12×0.75＝9(米)． ∴GF ＝9＋1.4≈10.4(米)． (2)由题意可知MN ＝5，MF ＝3，∴在Rt △MNF 中，NF ＝MN 2－MF 2＝4(米)．∵10.4－5－1.65＝3.75＜4， ∴能触到挂在树上的风筝．第2课时 已知三角函数值求锐角的度数基础题知识点1 已知一个角的三角函数值求这个角的度数1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则∠A 的度数为(B)A ．53.48°B ．53.13°C ．53.13′D ．53.48′2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(D)A.tan 2÷＝B.tan 2÷DMS ＝C.2ndF tan （2÷3）＝D.2ndF tan （2÷3）DMS ＝3．已知sin α＝45，α为锐角，则下列选项正确的是(C)A ．α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．α＞60° 4．根据所给条件求锐角∠α.(精确到1″)(1)已知sin α＝0.477 1；解：已知sin α＝0.477 1，∠α≈28.50°＝28°30′0″.(2)已知cos α＝0.845 1；解：已知cos α＝0.845 1，∠α≈32.31°＝32°18′36″.(3)已知tan α＝1.410 6.解：已知tan α＝1.410 6，∠α≈54.66°＝54°39′36″.5．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝13，AD ⊥BC.求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝6.5，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC.在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝6.510＝0.65，∴∠BAD ≈40°32′，∴∠BAC ≈2∠BAD ≈81°4′，∠B ＝∠C ≈49°28′. 故△ABC 的三个内角分别为81°4′，49°28′，49°28′. 知识点2 已知锐角三角函数求角度在实际问题中的应用6．如图所示，在加工垫模时，需计算倾斜角α，根据图示数据，可得α≈22°9′12″．(结果精确到1″)7．如图，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8 cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度α(结果精确到1″)．解：由题意，得在Rt △ABC 中，tan α＝AC BC ＝6.39.8，∴∠α≈32°44′7″.中档题8．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为(C)A ．37°B ．41°C ．37°或41°D ．以上答案均不对9．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是(C)A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则∠A ≈18°26′．(结果精确到1′)11．(厦门中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 边上的中点，若AC ＝10，DC ＝25，则BO ＝5；∠EBD 的大小约为18°26′.(参考数据：tan26°34′≈12)12．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.如果关于x 的方程3x 2sin α－4xcos α＋2＝0有实数根，求锐角α的取值范围．解：由Δ＝16cos 2α－24sin α＝16(1－sin 2α)－24sin α≥0，得2sin 2α＋3sin α－2≤0. ∴(sin α＋2)(2sin α－1)≤0. ∵sin α＋2>0，∴2sin α－1≤0， sin α≤12，α≤30°.∴0<α≤30°.13．如图是某公园六一前新增设的一台滑梯．该滑梯的高度为AC ＝2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4 m.(1)求滑梯AB 的长(结果精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？解：(1)由题意，知AB ＝AC 2＋BC 2＝25≈4.5(m)． ∴滑梯AB 的长约为4.5 m. (2)在Rt △ABC 中， tan ∠ABC ＝AC BC ＝12，∴∠ABC ≈27°＜45°.∴这架滑梯的倾斜角符合要求．14．如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求：(1)AB 边上的高(结果精确到0.01)； (2)∠B 的度数(结果精确到1′)．解：(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sinA ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sinA ＝9sin48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cosA ＝AH AC， ∴AH ＝AC ·cosA ＝9cos48°.在Rt △BCH 中，tanB ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.综合题15．数学教师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，求出α－β的度数，并说明理由．解：(1)①如图1中，在△AMC 和△CNB 中，AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝BN ， ∴△AMC ≌△CNB.∴AC ＝BC ，∠ACM ＝∠CBN. ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°， ∴∠ACM ＋∠BCN ＝90°.∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°. ∴α＋β＝45°.②如图2中，设正方形边长为1，则CE ＝1，AE ＝2，BE ＝2，∴EC BE ＝12＝22，BE AE ＝22.∴EC BE ＝BEAE. ∵∠CEB ＝∠AEB ，∴△CEB ∽△BEA. ∴∠CAB ＝∠CBE ＝β.∴∠BED ＝∠ECB ＋∠CBE ＝α＋β.∵DE ＝DB ，∠D ＝90°，∠BED ＝45°，∴α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β.在△MFN 和△NHO 中，MF ＝NH ，∠MFN ＝∠NHO ，FN ＝OH ，∴△MFN ≌△NHO.∴MN ＝NO ，∠MNF ＝∠NOH. ∵∠NOH ＋∠ONH ＝90°，∴∠ONH ＋∠MNF ＝90°.∴∠MNO ＝90°. ∴∠NOM ＝∠NMO ＝45°. ∴α－β＝45°.1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝27，AC ＝21，则∠A ＝(D)A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，CD ⊥AB 于点D ，则tan ∠BCD 的值为(B)A.513B.512C.125D.13123．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝12．4．已知：△ABC 中，∠C ＝90°.(1)a ＝6，b ＝23，求∠A 、∠B 、c ； (2)a ＝24，c ＝242，求∠A 、∠B 、b.解：(1)∵在Rt △ABC 中，tanA ＝ab ，∴tanA ＝623＝ 3.∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－60°＝30°.∴c ＝2b ＝2×23＝4 3.(2)∵在Rt △ABC 中，根据勾股定理有b 2＝c 2－a 2，∴b ＝24.∴∠A ＝∠B ＝45°.知识点2 已知一边一角解直角三角形5．如图是教用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为(C) A ．30 3 cm B ．20 3 cm C ．10 3 cm D ．5 3 cm6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，如果AD ＝m ，∠A ＝α，那么BC 的长为(C)A ．m ·tan α·cos α B.m ·cos αtan αC.m ·tan αcos αD.m ·tan αsin α7．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(D)A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50° 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝35°，b ＝103，求∠B ，a 和c.解：∠B ＝90°－35°＝55°， a ＝b ·tan35°≈12.13，c ＝b cos35°≈21.14. 中档题9．锐角△ABC 中，∠B ＝60°，AD ⊥BC ，AD ＝3，AC ＝5，则BC 的长为(A)A ．4＋ 3B ．7C ．5.5D ．4＋2 310．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连结BD ，则tan ∠DBC 的值为(A)A.13B.2－1 C ．2－ 3D.1411．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为(B)A ．2B.433C ．2 3D ．4 312．(衢州中考)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是(B)A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm13．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝33，那么CE 等于(D)习题解析A ．2 3B ．33－2C ．5 2D ．4314．(滨州中考)如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为24．15．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，cosC ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示为14a 2．16．(襄阳中考)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1. 在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22. 综合题17．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠ABF ＝90°.∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠EFD ＝90°.∴∠ABF ＝∠EFD.∴△ABF ∽△DFE. (2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝22a. ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，AB ＝CD ＝DE ＋CE ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF. 又∵△ABF ∽△DFE ， ∴EF BF ＝DF AB ＝22a 4a ＝22. ∴tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.第2课时 坡度与圆弧问题基础题知识点1 解决坡角、坡比问题1．(巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(B)A ．斜坡AB 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC ＝1.2tan10°米D ．AB ＝ 1.2cos10°米2．(丽水中考)如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是(B)A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m3．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为10m.4．(上海中考)已知传送带与水平面所成斜坡的坡比i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．5．如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角∠CBD ＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD ；(2)求斜坡新起点A 到原起点B 的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)解：(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·sin12°≈10×0.21＝2.1(米)． (2)在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos12°≈10×0.98＝9.8(米)． 在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan5°≈2.10.09≈23.33(米)， AB ＝AD －BD ≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)． 知识点2 在圆(扇形)中解直角三角形6．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为(D) A ．1B.203C ．3D.1637．如图，以AB 为直径的圆O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE ＝3，CE ＝1，则弧BD 的长是(B)A.3π9 B.23π9 C.3π3 D.23π38．(遵义中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m(计算结果精确到0.1 m)．(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝1.5m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？(参考数据：2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)解：过点C 作CM ⊥DF ，交DF 于点M ，过点C 作CE ⊥DO ， 在Rt △CEO 中，∠CEO ＝90°， ∴cos ∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC ·cos ∠COE.∵OB ＝OC ＝3 m ，∠COE ＝55°， ∴OE ＝3·cos55°≈1.71 (m)． ∴ED ＝3＋0.6－1.71≈1.9(m)． ∴CM ＝ED ≈1.9 m.∵成人的“安全高度”为2 m ， ∴成人是安全的．中档题9．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(A)A ．(6＋3)米B ．12米C ．(4＋23)米D ．10米10．如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE的长是(D)A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3D ．3＋4 311．如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD 的坡度为1∶1.2，斜坡BC 的坡度为1∶0.8，现测得放水前的水面宽EF 为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为6米．则放水后水面上升的高度是1.1米．12．(贵阳中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE ∥BC ，BD ＝1 700 m ，∠DBC ＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m)解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M.由题意可得EM ⊥AC ，DF ＝MC ，∠AEM ＝29°.在Rt △DFB 中，sin80°＝DFDB ，则DF ＝BD ·sin80°，AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700·sin80°，在Rt △AME 中，sin29°＝AMAE ，故AE ＝AMsin29°≈238.9.答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.13．(泰州中考)如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上．(1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方形货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ．将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(5≈2.236，结果精确到0.1 m)解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8(m)．(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H. ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴△DGH ∽△BSH.∴GH GD ＝12.∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m.∴DH ＝12＋22＝5(m)，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5(m)．设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ，∴x 2＋(2x)2＝52， ∴x ＝5，∴DS ＝5＋5＝25(m)≈4.5 m.综合题14．如图，点A 、B 、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB 、BC 表示连结缆车站的钢缆，已知A 、B 、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA ′、BB ′、CC ′分别为110米、310米、710米，钢缆AB 的坡度i 1＝1∶2，钢缆BC 的坡度i 2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A 到C 直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D，则△AFB、△BDC、△AEC 都是直角三角形，四边形AA′B′F、BB′C′D和BFED都是矩形，∴BF＝BB′－B′F＝BB′－AA′＝310－110＝200，CD＝CC′－C′D＝CC′－BB′＝710－310＝400.∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400，BD＝CD＝400.又∵EF＝BD＝400，DE＝BF＝200.∴AE＝AF＋EF＝800，CE＝CD＋DE＝600.∴在Rt△AEC中，AC＝1 000米．答：钢缆AC的长度是1 000米．第3课时 方位角与仰角、俯角问题基础题知识点1 与方位角有关的实际问题1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM ＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置(A)A ．50 3B ．40C ．30D ．202．如图，一艘船从某港口A 出发，以10海里/小时的速度向正北航行，从港口A 处测得一礁石C 在北偏西30°的方向上，如果这艘船上午8点从港口A 出发10点到达小岛B ，此时在小岛B 处测得礁石C 在北偏西60°方向上，则小岛B 与礁石C 的距离是(C)A ．40海里B ．30海里C ．20海里D ．10海里3．下面是张悦、王强的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了．”王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”则医院与电影院相距500米．4．(泸州中考)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x 海里． ∵在Rt △APC 中，∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP.∴CP ＝AP ·tan ∠PAC ＝33x. ∵在Rt △APB 中，∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近． 知识点2 与仰角、俯角有关的实际问题5．湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50米的C 处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD 的高度为1米，则桥塔AB 的高度约为(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)(C)A ．34米B ．38米C ．45米D ．50米6．我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险．理由如下：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. ∵在△AEC 中，∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60，∴AE ＝203≈34.64.又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64.∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险．中档题7．(重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(D)(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45) A ．30.6 B ．32.1 C ．37.9 D ．39.48．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时，轮船离灯塔最近？(A)A ．1小时 B.3小时 C ．2小时D ．23小时9．(乐山中考)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时． 由题意得∠ABC ＝45°＋75°＝120°， AB ＝12，BC ＝10x ，AC ＝14x ，过点A 作AD ⊥CB 交CB 的延长线于点D ， 在Rt △ABD 中，AB ＝12，∠ABD ＝60°，∴BD ＝AB ·cos60°＝6，AD ＝AB ·sin60°＝6 3. ∴CD ＝10x ＋6.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得 (14x)2＝(10x ＋6)2＋(63)2，解得x 1＝2，x 2＝－34(不合题意，舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．10．(绍兴中考)如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度(结果精确到1 m ，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)．解：(1)延长PQ 交直线AB 于点C ， ∵∠PBC ＝60°，∴∠BPQ ＝90°－∠PBC ＝90°－60°＝30°.(2)设PQ ＝x ，则QB ＝QP ＝x ， 在△BCQ 中，BC ＝x ·cos30°＝32x ，QC ＝12x. 在△ACP 中，CA ＝CP ，∴6＋32x ＝12x ＋x ， 解得x ＝23＋6.∴PQ ＝23＋6≈9，即该电线杆PQ 的高度约为9 m.综合题11．(湘西中考)如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向(北偏东45°)以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离602千米的地方有一城市A.(1)A 市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O 的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B ，问：B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．解：(1)作AD ⊥OC ，易知台风中心与A 市的最近距离为AD 的长度． ∵由题意得∠COA ＝45°，OA ＝60 2 km ， ∴AD ＝DO ＝602×22＝60(km)． ∵60>50，∴A 市不会受到此台风的影响． (2)作BG ⊥OC 于点G.∵由题意得∠BOC ＝30°，OB ＝80 km ， ∴BG ＝12OB ＝40 km.∵40<50，∴B 市会受到台风影响．假设BE ＝BF ＝50 km ，E 、F 两点在OC 上，且E 点离点O 较近，由题意知，台风从E 点开始影响B 城市到F 点影响结束，∴EG ＝BE 2－BG 2＝30(km)．∴EF ＝2EG ＝60 km. ∵风速为40 km/h.∴60÷40＝1.5(小时)． ∴影响时间约为1.5小时．章末复习(五) 解直角三角形基础题知识点1 锐角三角函数的定义1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，则下列三角函数表示正确的是(A)A ．sinA ＝23B ．cosA ＝23C ．tanA ＝32D ．tanB ＝322．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于(C)A. 5B.255C.55D.233．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为点M ，点P 为圆上一点，坐标为(3，1)，则cos ∠POM 2知识点2 特殊角的三角函数值的计算 4．计算（tan30°－1）2的值是(A)A ．1－33B.3－1C.33－1 D ．1－ 35．在△ABC 中，(2cosA －2)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC 一定是(D)A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 知识点3 解直角三角形6．(牡丹江中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于(A)A ．2B ．3C ．3 2D ．2 37．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2，b ＝1，则a B ＝30°．8．(呼伦贝尔中考)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sinC 的值．解：∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5. ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝13.∴sinC ＝AD AC ＝1213.知识点4 解直角三角形的实际应用9．(金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(D)A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C.4tan θ平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米10．(资阳中考)北京时间2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A 、B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)解：作CD ⊥AB 交AB 延长线于点D ，设CD ＝x 米． Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，所以tan25°＝CDAD ≈0.5，所以AD ＝CD0.5＝2x.在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，由tan60°＝x2x －4＝3，解得x ≈3. ∴生命迹象所在位置C 的深度约为3米．中档题11．(绵阳中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠C ＝72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为(C)A.5－12B.5－14C.5＋14D.5＋12。

一、选择题1．下列函数中，y随x的增大而减少的是( )A．1yx=-B．2yx=-C．()3y xx=->D．4yx=()0x<2．在反比例函数13myx-=图象上有两点()11,A x y，()22,B x y，12x x<<，12y y<，则m的取值范围是（）A．13m>B．13m<C．13m≥D．13m≤3．如图，直线1122y x=+与双曲线26yx=交于()2A m，、()6B n-，两点，则当12y y<时，x的取值范围是()A．6x<-或2x>B．60x-<<或2x>C．6x<-或02x<<D．62x-<<4．若反比例函数()2221my m x-=-的图象在第二、四象限，则m的值是（）A．-1或1 B．小于12的任意实数C．-1 D．不能确定5．已知（5，-1）是双曲线(0)ky kx=≠上的一点，则下列各点中不在该图象上的是（）A．1(,15)3-B．(5,1)C．(1,5)-D．1(10,)2-6．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=1kx和y=2kx的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①12||AMCN||kk=；②阴影部分面积是12（k1+k2）；③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①④C ．③④D ．①②③ 7．如图，函数k y x =与2(0)y kx k =-+≠在同一平面直角坐标系中的图像大致( ) A ． B ．C ．D ．8．若函数2m y x +=的图象在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．2m ≥B ．2m ＜C ．2m ≤-D ．2m -＜ 9．在函数()0k y k x=<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y << 10．已知点()1,3M -在双曲线k y x =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．()3,1- B ．()1,3-- C ．()1,3 D ．()3,111．如图，点A 是反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣412．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k y x x=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变大后变小二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ，y ＝1a x 与反比例函数y ＝6x （x ＞0）分别交于点A ，B 两点，由线段OA ，OB 和函数y ＝6x（x ＞0）在A ，B 之间的部分围成的区域（不含边界）为W ．（1）当A 点的坐标为（2，3）时，区域W 内的整点为_____个；（2）若区域W 内恰有8个整点，则a 的取值范围为_____．14．如图，在平面直角坐标系中，点(6,0)A 、(3,4)B ，点C 是OB 上一点，D 为AC 的中点，若反比例函数(0)k y x x=>过C 、D 两点，则k 的值为______．15．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与2y x =-的图像交于A 、B 两点，过点A 作y 轴的垂线，交函数1y x=的图像于点C ，连接BC ，则ABC ∆的面积为 _________．16．将x=23代入反比例函数y=－1x 中，所得的函数值记为1y ，又将x=1y +1代入反比例函数y=－1x 中，所得的函数值记为2y ，又将x=2y +1代入反比例函数y=－1x中，所得的函数值记为3y ，…，如此继续下去，则y 2020=______________17．已知点(1,),(3,)A a B b 都在反比例函数4y x=的图像上，则,a b 的大小关系为____．（用“<”连接） 18．如图所示，正比例函数y 1＝k 1x （k 1≠0）的图像与反比例函数y 2＝2k x（k 2≠0）的图像相交于A 、B 两点，其中A 的横坐标为2，当y 1<y 2<0时，则x 的取值范围是______．19．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为20，点B 在y 轴上，点C 在反比函数k y x=的图像上，则k 的值为________．20．如图，点A 在反比例函数k y x=的图象上，AB 垂直x 轴于B ，若AOB S ∆=2，则这个反比例函数的解析式为_______________．三、解答题21．如图，一次函数y kx b =+的图象交反比例函数()0a y x x=>的图象于()()2,4,,1A B m --两点，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数与一次函数的关系式．（2）求ABO ∆的面积．（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？22．如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣4，2）、B （2，n ）两点，且与x 轴交于点C ．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x 的取值范围．23．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝m x 的图象相交于A （1，a ），B （﹣3，c ），直线y ＝kx +b 交x 轴、y 轴于C 、D ．（1）求m a c+的值； （2）求证：AD ＝BC ； （3）直接写出不等式0m kx b x -->的解集． 24．如图，直线y=2x-6与反比例函数k y x=的图象交于点A （4，2），与x 轴交于点B ． （1）求k 的值及点B 的坐标；（2）求△OAB 的面积．25．如图在平面直角坐标系xOy 中，函数14(0)y x x=>的图象与一次函数2y kx k =-的图象的交点为(,2)A m ．（1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足PAB ∆的面积是6，求点P 的坐标．26．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y（℃）与时间x min（）成一次函数关系：锻造时，温度y（℃）与时间x min（）成反比例函数关系。

北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套第一章测试卷（1）一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．如图，已知Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 5(第2题) (第3题)3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin∠ACD 等于( ) A.53B.23C.253D.524．若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD＝b ，则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( ) A ．CD ＝b sin 33°＋a B ．CD ＝b cos33°＋a C ．CD ＝b tan33°＋aD ．CD ＝btan33°＋a(第6题) (第7题)7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A ．2B.255C.55D.128．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝2(1＋3)，则BC 等于( )A ．2B. 6C ．2 2D ．1＋ 39．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( ) A ．82 mB ．163 mC ．52 mD ．30 m(第9题) (第10题)10．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( ) A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点(tan30°，cos60°)，则k ＝________．13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB ＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m 的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m 的牌子，当他沿山坡前进50 m 时，他又看见一个标注海拔70 m 的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__________．(第16题) (第17题) (第18题) (第19题) (第20题)17．如图，一棵树的枝叶部分AB 在太阳光下的投影CD 的长是5.5 m ，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB 的长约为__________ (结果精确到0.1 m ．参考数据：sin 52°≈0.79，tan52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3m ，秋千向两边摆动，当踏板处于A ′位置时，摆角最大，此时∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．19．如图，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上，轮船从A 处以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h 后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________. 三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 020)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos60°·sin 45°－（tan60°－2）2.22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，BCCD＝32，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．(第23题)24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．(第24题)25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第25题)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)(第26题) 答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7．D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°.∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°. 二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15．3∶4 16.(8，23)17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E .∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的， ∴tan 52°＝ABBE ，BE ＝CD ＝5.5 m.∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直地面于点C ，延长OA 交地面于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形， ∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)． 又AB ＝0.3 m ， ∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m. ∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m. 19．2420.23 点拨：延长CA 到F 使AF ＝AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12；(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2. 22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k . ∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23. 23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵点E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2. ∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD ＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)根据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)．答：该河段的宽度为(300－1003)m. 25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x n mile.(第25题)在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°， ∠PAC ＝90°－60°＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CP AP ＝33. ∴CP ＝33x n mile.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°， ∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x n mile.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mile)，∴33x ＋x ＝15. 解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝15（3－3）2 n mile. ∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处开始航行3－34 h ，离观测点A 的距离最近．26．解：(1)如图，连接PA .(第26题)由已知得AP ＝39 m ，在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(m)． 答：此时汽车与点H 的距离为36 m. (2)由题意，隔音板位置应从P 到Q ，在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan 30°＝1533＝153(m)；在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)． 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m 长．第一章测试卷(2)一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知cos A ＝32，则锐角A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝32，BC ＝23，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．4 3D ．63．在锐角三角形ABC 中，若⎝⎛⎭⎪⎫sin A －322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－cos B ＝0，则∠C 等于( )A ．60°B ．45°C ．75°D ．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为( )A ．35B ．34C ．105 D ．1(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值为( )A ．45B ．35C ．34D ．436．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 两点之间距离的有( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组7．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( )A ．34B ．43C ．35D ．458．如图所示，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD 为100 m ，点A ，D ，B 在同一直线上，则A ，B 两点之间的距离是( ) A ．200 m B ．200 3 m C ．220 3 m D ．100(3＋1)m(第8题) (第9题) (第10题) 9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋16二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan 30°sin 60°＝________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为5033，则∠A＝_________度．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.14．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3 m，cos∠BAC＝34，则墙高BC＝________.17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.18．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以10 n mile/h 的速度航行，甲沿南偏西75°方向以10 2 n mile/h的速度航行，当航行1 h后，甲在A 处发现自己的渔具掉在了乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B 处追上．则甲船追赶乙船的速度为________n mile/h. 三、解答题(19题12分，20题10分，21，22每题14分，23题16分，共66分) 19．计算：(1)3sin 60°－2cos 45°＋38；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.20．a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足等式b 2＝c 2－a 2，5a －3c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．21．如图，已知▱ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF 是平行四边形．(2)若AB ＝13，DF ＝14，tan A ＝125，求CF 的长．22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．23．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为22 m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离(精确到0.1 m)．(2)为了确保安全，学校计划改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(精确到0.1 m)(参考数据：sin 68°≈0.927 2，cos 68°≈0.374 6，tan 68°≈2.475 1，sin 50°≈0.766 0，cos 50°≈0.642 8，tan 50°≈1.191 8)答案一、1．A2．A 点拨：由tan B ＝AC BC 知AC ＝BC tan B ＝23×32＝3.3．C 点拨：由题意，得sin A －32＝0，22－cos B ＝0.所以sin A ＝32，cos B ＝22.所以∠A ＝60°，∠B ＝45°，所以∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－45°＝75°. 4．B 5．C6．C 点拨：对于①，可由AB ＝BC ·tan ∠ACB 求出AB 的长；对于②，由BC ＝ABtan ∠ACB，BD ＝AB tan ∠ADB ，BD －BC ＝CD ，可求出AB 的长；对于③，易知△DEF ∽△DBA ，则DEEF ＝BDAB ，可求出AB 的长；对于④，无法求得AB 的长，故有①②③共3组，故选C . 7．A8．D 点拨：由题意可知，∠A ＝30°，∠B ＝45°，tan A ＝CD AD ，tan B ＝CDDB ，又CD ＝100 m ，因此AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝100tan 30°＋100tan 45°＝1003＋100＝100(3＋1)(m)． 9．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥EF ，交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中，∵sin B ＝AMAB ，∴AM ＝3×sin 50°，∴S 1＝12BC ·AM ＝12×7×3×sin 50°＝212sin 50°.在Rt △DEN 中，∠DEN ＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN ＝DN DE ，∴DN ＝7×sin 50°，∴S 2＝12EF ·DN ＝12×3×7×sin 50°＝212sin 50°，∴S 1＝S 2.故选D .10．D 点拨：依题意知：D 1E 1＝12，B 2C 2＝33，B 3E 4＝36，B 3C 3＝13，A 3C 3＝23，sin ∠A 3C 3x＝sin(30°＋45°)＝sin 75°＝2＋64，∴A 3到x 轴的距离3＋16. 二、11．1 点拨：cos 245°＋tan 30°sin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋33×32＝1.12．60 点拨：∵BC ＝10，∴S △ABC ＝BC ·AC 2＝10·AC 2＝5033，则AC ＝1033，∴tan A ＝BC AC ＝101033＝3，∴∠A ＝60°.13．43 14．1215．13 点拨：如图，过A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，则B ′D ＝x ，BC ＝2x ，BD ＝3x .∴tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.16．7 m 点拨：由cos ∠BAC ＝AC AB ＝34，知3AB ＝34，∴AB ＝4 m.在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7(m)． 17．2 点拨：由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝222＝ 2.18．(10＋103) 点拨：如图，由题意可知，∠DOB ＝30°，∠AOD ＝75°，∠2＝90°－60°＝30°.∵∠3＝∠AOD ＝75°，∴∠1＝90°－75°＝15°，故 ∠1＋∠2＝15°＋30°＝45°.如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则∠AOC ＝90°－∠1－∠2＝90°－45°＝45°.易知OA ＝102n mile ，∠OAB ＝∠AOC ＝45°，∴OC ＝AC ＝OA ·sin 45°＝102×22＝10(n mile)．在Rt △OBC 中， ∠BOC ＝∠AOD ＋∠BOD －∠AOC ＝75°＋30°－45°＝60°，∴BC ＝ OC ·tan 60°＝10 3 n mile ，∴AB ＝AC ＋BC ＝(10＋103)n mile.∵OC ＝10 n mile ，∠B ＝30°，∴OB ＝2OC ＝2×10＝20(n mile)，乙船从O 到B 所用时间为20÷10＝2(h )．∵甲船从O 到A 所用时间为1 h ，∴甲船从A 到B 所用时间为2－1＝1(h)，故甲船追赶乙船的速度为(10＋103)n mile/h.三、19．解：(1)原式＝3×32－2×22＋2＝32－1＋2 ＝52.(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－（3－2）2 ＝－2－3＋2－(2－3) ＝－2.20．解：由b 2＝c 2－a 2，得a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°. ∵5a －3c ＝0， ∴a c ＝35，即sin A ＝35. 设a ＝3k ，c ＝5k ，则b ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k . ∴sin B ＝b c ＝45， ∴sin A ＋sin B ＝35＋45＝75.21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC . 又∵∠AFC ＝∠DEC ， ∴∠AFC ＝∠ADE . ∴DE ∥FC .∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DHCH ， ∴DH ＝12，CH ＝5. ∵DF ＝14， ∴CE ＝14. ∴EH ＝9.∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.22．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝(300－1003)(m)．故该河段的宽度为(300－1003)m.23．解：(1)如图，作BE⊥AD，E为垂足，则BE＝AB·sin 68°＝22 sin 68°≈20.4(m)．即改造前坡顶与地面的距离约为20.4 m.(2)如图，作FG⊥AD，G为垂足，连接FA.则∠FAG＝50°，FG＝BE.∵AG＝FGtan 50°≈20.41.191 8≈17.12(m)，AE＝AB·cos 68°＝22cos 68°≈8.24(m)，∴BF＝GE＝AG－AE≈8.9 m，即BF至少是8.9 m.。