九年级数学下册第一章1(1)
第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题
基础题
知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题
1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)
A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m
2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A．y＝－(x－)2＋3
B．y＝－3(x＋)2＋3
C．y＝－12(x－)2＋3
D．y＝－12(x＋)2＋3
3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m.
(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；
(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．
解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C
的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．
将点C(0，4.4)代入得
a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，
∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4.
故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4.
(2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4，
∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．
将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8，
∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．
∴这辆汽车能够通过大门．
知识点2 利用二次函数解决面积问题
4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B)
A．600 m2 B．625 m2
C．650 m2 D．675 m2
6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.
7．在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩
形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm ，要求纸边的宽度不得少于1 cm ，同时不得超过2 cm.
(1)求出y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积． 解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm ，宽为(50＋2x)cm ， ∴y ＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x2＋260x ＋4 000(1≤x ≤2)．
(2)∵二次函数y ＝4x2＋260x ＋4 000的对称轴为直线x ＝－，∴在1≤x ≤2上，y 随x 的增大而增大．
∴当x ＝2时，y 取最大值，最大值为4 536.
答：金色纸边的宽为2 cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm2. 中档题
8．(2018·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，则水面宽度增加(4－4) m.
9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m2.
10．如图，小明的父亲在相距 2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是2.5 m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？
解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y ＝ax2＋c.
把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得?
????（－0.5）2a ＋c ＝1，a ＋c ＝2.5，
解得????
?a ＝2，c ＝12
.
∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x2＋. ∵当x ＝0时，y ＝，
∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.
11．(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m2.(如图)
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)若矩形空地的面积为160 m2，求x 的值；
(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．
解：(1)y ＝－2x2＋36x.(9≤x ＜18) (2)由题意，得－2x2＋36x ＝160.
解得x1＝8(舍去)，x2＝10.∴x 的值为10.
(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a 棵，b 棵，c 棵．则
?????a ＋b ＋c ＝400，14a ＋16b ＋28c ＝8 600，解得?
????a ＝－1 100＋6c ，
b ＝1 500－7c. ∵∴183＜
c ＜214.
∴c 最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵．
当c＝214时，a＝184，b＝2，
184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m2)．∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，
∴当x＝9时，空地的面积最大为162 m2.∵162＞161.2，
∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．
第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题
基础题
知识点1 商品销售问题
1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)
A．y＝－10x2－560x＋7 350
B．y＝－10x2＋560x－7 350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7 350
2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)
A．5元B．10元C．0元D．6元
3．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元/件)之间满足关系式y ＝－x2＋80x－1 000，则每天最多可获利600元．
4．(教材P32习题T3变式)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.
将(10，30)，(16，24)代入，得?
????10k ＋b ＝30，
16k ＋b ＝24.
解得???
??k ＝－1，b ＝40.
∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)． (2)根据题意知，W ＝(x －10)y ＝(x －10)(－x ＋40) ＝－x2＋50x －400 ＝－(x －25)2＋225.
∵a ＝－1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大． ∵10≤x ≤16，
∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144.
答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 5．(教材P31例变式)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
解：(1)设该型号自行车进价为x 元，则标价是1.5x 元，由题意，得 1．5x×0.9×8－8x ＝(1.5x －100)×7－7x ，
解得x＝1 000.
则1.5×1 000＝1 500(元)．
答：该型号自行车进价为1 000元，标价为1 500元．
(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得
w＝(51＋×3)(1 500－1 000－a)
＝－(a－80)2＋26 460.
∵－＜0，
∴当a＝80时，w最大＝26 460.
答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26 460元．
知识点2 其他最值问题
6．烟花厂为长沙橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
7．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．
中档题
8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9．(2017·天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)
的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．10．(2018·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2.(单位：元)
(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得
W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8 000，
W2＝19(50－x)＝－19x＋950.
(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8 000＋(－19x＋950)＝－2x2＋41x＋8 950.
∵－2＜0，－＝10.25，x为整数，
∴当x＝10时，W最大，
W最大＝－2×102＋41×10＋8 950＝9 160(元)．
综合题
11．(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y＝每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：
(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；
(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；
(3)当x 为何值吋，月利润w 有最大值，最大值为多少？ 解：(1)根据表格可知：当1≤x ≤10(x 为整数)，z ＝－x ＋20； 当11≤x ≤12(x 为整数)，z ＝10. ∴z 与x 的关系式为：
z ＝?
????－x ＋20（1≤x≤10，x 为整数），10（11≤x≤12，x 为整数），
或
z ＝?
????－x ＋20（1≤x≤9，x 为整数），10（10≤x≤12，x 为整数）.
(2)当1≤x ≤8时，w ＝(－x ＋20)(x ＋4)＝－x2＋16x ＋80； 当9≤x ≤10时，w ＝(－x ＋20)(－x ＋20)＝x2－40x ＋400； 当11≤x ≤12时，w ＝10(－x ＋20)＝－10x ＋200. ∴w 与x 的关系式为：
w ＝????
?－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400（9≤x≤10，x 为整数），－10x ＋200（11≤x≤12，x 为整数）.
或w ＝????
?－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400＝121（x ＝9），－10x ＋200（10≤x≤12，x 为整数）.
(3)当1≤x ≤8时，w ＝－x2＋16x ＋80＝－(x －8)2＋144. ∴当x ＝8时，w 有最大值为144.
当9≤x ≤10时，w ＝x2－40x ＋400＝(x －20)2.
此时w 随x 增大而减小，∴当x ＝9时，w 有最大值为121.
当11≤x≤12时，w＝－10x＋200，
此时w随x增大而减小，∴当x＝11时，w有最大值为90.∵90＜121＜144，
∴当x＝8时，w有最大值为144.
或当1≤x≤8时，w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144，∴当x＝8时，w有最大值为144；
当x＝9时，w＝121；
当10≤x≤12时，w＝－10x＋200，
此时w随x增大而减小，
∴当x＝10时，w有最大值为100.
∵100＜121＜144，
∴当x＝8时，w有最大值144.
九年级下册数学第一章测试题 一选择题 1．在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cos A 等于( )． A ． 1 2 C D 2已知α为锐角，且tan (90°－α) α 的度数为( )． A ．30° B．60° C．45° D．75° 3．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC 等于( )． A C ． 2 3 4如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D.若 则sin ∠ACD 的值为( ) C. D. 2 3 5如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若 AB=4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（ ） A ． 43 B ．35 C ．34 D ．4 5 6如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A ．17 2 B ．52 C ．24 D ． 7 7如图，已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB ＝8，则CD 的长为( )． A ． C ．8身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假 设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 l 1 l 2 l 3 A C B
9如图，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南 偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里A ． ．50 D ．25 10如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90o，BC =3，AC =15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于点D ， 垂足为E ，则sin ∠CAD =( ) 11小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30度，同一时刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） )36.(+A 米 12.B 米 )324(.+C 米 D ．10米 12如图，在Rt △ABC 中，AB=CB ，BO ⊥AC ，把△ABC 折叠，使AB 落在AC 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连结DE 、EF.下列结论：①tan ∠ADB=2 ②图中有4对全等三角形 ③若将△DEF 沿EF 折叠，则点D 不一定落在AC 上 ④BD=BF ⑤S 四边形DFOE =S △AOF ，上述结论 中正确的个数是 （ ）（写序号） 二填空13．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B 满足2 sin 2A ? - ? ? ＋ tan B|＝0，则∠C ＝______. 14如图14，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o方向上，航行半小 时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东30o方向上，那么该船继续航行____________分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置． 15如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为 米。 16如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：， 则大楼AB 的高度约为 （精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45 ） A 第9题图 图 3
第一章直角三角形的边角关系 一、本章知识要点： 1、锐角三角函数的概念； 2、解直角三角形。 二、本章教材分析： （一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤： 1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。 2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数 变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。 3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。 4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。同时要强调三角函数的实质是比值。防止学生产生 sin X=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
解直角三角形单元达标检测 （时间： 90 分钟，分值： 100 分） 一、选择题（每题 3分，共 30 分） 1．在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ． sinA=sinB B ．cosA=sinB C ． sinA=cosB D ．∠ A+∠ B=90° 2．直角三角形 的两边长分别是 6， 8，则第三边的长为（ ） A ．10 B ．2 2 C ．10或 2 7 D ．无法确定 3．已知锐角 α，且 tan α =cot37 °，则 a 等于（ ） A ． 37° B ．63° C ． 53° D ．45° 4．在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，当已知∠ A 和 a 时，求 c ，应选择的关系式是（ ） aa A ．c= B ． c= C sin A cosA 中点 M 处，它到 BB 的中点 N 的最短路线是（ ） A ．8 B ． 2 6 C ．2 10 D ．2+2 5 A ． 30° B ．45° C ． 60° D ． 75 7．当锐角 α >30°时，则 cos α 的值是（ ） A ．大于 1 B ．小于 1 C ．大于 3 D ．小于 3 2 2 2 2 8．小明沿着坡角为 30°的坡面向下走了 2 米，那么他下降（ ） A ．1 米 B ． 3 米 C ． 2 3 D ． 23 3 9．已知 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， 4 tanA= ， 3 BC=8， 则 AC 等于（ ） A ． 6 B ． 32 C ． 3 10 D ．12 10．已知 sin α = 1 1 ，求 α ，若用计算器计算且结果为“” ，最后按键 2 A ． AC10N B ． SHIET C ．MODE D ． SHIFT “” 二、填空题（每题 3分，共 18 分） 11．如图， 3× 3?网格中一个四边形 ABCD ， ?若小方格正方形的 边长为 1， ?则四边形 ABCD 的周长是 ____ ． 12．计算 2sin30 °+2cos60°+3tan45 ° = _________ ． 13．若 sin28 ° =cos α ，则 α= _______ ． 14．已知△ ABC 中，∠ C=90°， AB=13，AC=5，则 tanA= __ 15．某坡面的坡度为 1： 3 ，则坡角是 _______ 度． c=a · tanA D c=a · cotA 5．如图是一个棱长为 4cm 的正方体盒子，一只蚂蚁在 D 1C 1的 6．已知∠ A 是锐角，且 sinA= 3 ，那么∠ A 等于（ 2
九年级数学下册第一章1(1) 第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题 基础题 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题 1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C) A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m 2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x＋)2＋3 C．y＝－12(x－)2＋3 D．y＝－12(x＋)2＋3 3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m. (1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门． 解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C
的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)． 将点C(0，4.4)代入得 a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1， ∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4. 故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4， ∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可． 将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8， ∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内． ∴这辆汽车能够通过大门． 知识点2 利用二次函数解决面积问题 4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B) A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2 6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2. 7．在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩
第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题 1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1 x ＝0 B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1 C ．x ＝x 2 D ．ax 2＋bx ＋c ＝0 2．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．任何实数 B ．m≠0 C ．m≠1 D．m≠－1 3．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)3x 2＝5x －3； (2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4. 5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( ) A ．x(x ＋2)＝323 B ．x(x －2)＝323 C ．x(x ＋1)＝323 D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝323 6．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________； (2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________. 7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ； (2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x. 8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )
一、填空题 1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），当b 2 -4ac≥0时，它的根是__ ___ 当b-4ac<0时，方程___ ______． 2．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________． 3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________． 4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________． 5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到 6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个 7．当x=_____ __时，代数式13 x +与2214x x +-的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________． 二、利用公式法解下列方程 （1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2 （4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0 三、填空题（每小题5分，计35分） 1、()()023112 =++++-m x m x m ，当m=________时，方程为关于x 的一元一次方程；当m__________时，方程为关于x 的一元二次方程 2、方程02=-x x 的一次项系数是___________，常数项是__________ 3、方程062=--x x 的解是_______________________________ 4、关于x 的方程0132 =+-x x _____实数根.（注：填写“有”或“没有”） 5、方程12=-px x 的根的判别式是______________________ 6、已知一元二次方程0132=-+-m x x .（提示：用根的判别式）
北师大版九年级数学 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 知识点： 1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c （勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 34
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 解直角三角形的定义 1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 222(注意：2(1)(2)1:m 3OC 、OD 的方向向角。 所以,OA 、北偏东30南偏西60 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c = ，tan b B a =和222a b c +=；由3s i n 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===， 所以选A ．
例2 ：104cos30sin 60(2)2008)-??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 104cos30sin 60(2)2008)-??+-- =13412222 ??? ?+--= ???， 故填3 2． 1. A ．8米 2. 一架5A ．5sin 40° 3. 线，∠ABC 是（ ） A C ． 4. 铅直高度BC A ． 米C ．15米 D ． 5．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5
第二章一元二次方程知识点 1.一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方 程。 2．一元二次方程的一般形式： )0(02≠=++a c bx ax ，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=， 当b<0时，方程没有实数根。 （2） 配方法 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并 用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （3） 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4） 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次 方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示， 即ac b 42 -=? 5. 一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是 21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。
新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳 ※平行四边形 ．．．．．， ．．．．．的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：对边相等,邻边之和等于周长的一半 对角相等,邻角互补 对角线互相平分，共有4对全等的三角形。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距 离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 ※平行四边形的面积公式： 第一章特殊平行四边形-菱形矩形正方形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等, 两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形，所以菱形的面积=对角线乘积的一半 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。 （矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是对边中点的连线所在的直线※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且平分的四边形是矩形） 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（利用对角线相等且平分） 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方形是轴对称图形，有四条对称轴。既是轴对称图形又是中心对称图形。※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 鹏翔教图3 ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
九年级下册知识点 第一章 直角三角形边的关系 1、正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ， 即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。 ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。（P1-6,11、P3-6、P4-12） 2、正弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA=∠A 的对边/斜边； 3、余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA=∠A 的邻边/斜边； 4、余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ， 即cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边； 5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的 余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、 余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数， 可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函 数）用等式表达： 若∠A 为锐角，则①sin A = cos(90°?∠A ）等等。 6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。 （P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3） 题6：计算：()3122101-+--??? ??- + ??? ?-?60tan 30cos 60cos 45cot 7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。同角的三角函数间的关系： t αn α·c ot α=1，tan α=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin 2α+cos 2α=1 8、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； （2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； （3)边与角之间的关系：sinα等； （4）面积公式； （5）直角三角形△ABC 内接圆⊙O 的半径为(a+b-c)/2； （6）直角三角形△ABC 外接圆⊙O 的半径为c/2。（P18-13、P16-例5、P19-15） 题7：小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞，其中两边分别为1 cm 和2 cm ，若用同色形布将此洞全部遮盖，那么这个圆的直径最小应等于( )。 A ．2 cm B ．3 cm C ．2 cm 或3 cm D ．2 cm 或5cm 题8：长为12 cm 的铁丝，围成边长为连续整数的直角三角形，则斜边上的中线为________cm 。
第一章 二次函数 1.1 二次函数 定义：一般地，形如2(a b c a 0)y ax bx c =++≠、、是常数，的函数，叫二次函数，其中x 是自变量； 注意点： （1） 二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠中，x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量。b 和c 可 以是任意实数，a 不等于0； （2） 二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠的特殊形式有：①2(a 0)y ax =≠；② 2bx(a 0)y ax =+≠；③2(a 0)y ax c =+≠； （区别与表达式，见1.2） （3） 二次函数的结构特征是等号左边是函数y ，等号右边是关于自变量x 的二次多 项式，而不是分式或根式； 判定二次函数的方法与步骤： （1） 先将函数进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边是因变量； （2） 判断右边含自变量的代数式是否为整式； （3） 判断含自变量的项的最高次数是否为2； （4） 判断二次项系数是否为0； 用待定系数法求二次函数解析式：根据二次函数的特殊形式，分别只需知道一组、两组、三组x 、y 的值，求出a 、b 、c ； 例题： 1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．241y x =- B ．21y x x =+ C ．()223y x x =-- D ．3231y x x =-+ 2. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项； （1）232y x x =-++；（2）2y x =；（3）245y x =+ （4）()21542 y x = --
3． 当m 为何值时，函数()2211m m y m x ++=+是二次函数？ 4．已知一个二次函数，当x=0时，y=0；当x=2时，12y = ；当x=-1时，18 y =，求这个二次函数的解析式； 5．已知二次函数2y x px q =++，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为-5，求这个二次函数的解析式； 6．用长为20cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数解析式为？ 基础巩固： 1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是 A ．21y x =- B ．()()()2212121y x x x =--+- C ．211 y x =- D ．2220x y --= 2．下列函数中，（x 是自变量），是二次函数的是 A ．2y ax bx c =++ B ．2241y x x =-+ C ．2y x = D ．2y =3. 下列函数中,不是二次函数的是( ) A ．221x y -= B ．4)1(22+-=x y C ．)1)(1(2 1+-= x x y D ．22)2(x x y --= 4．函数()2y m n x mx n =-++是二次函数的条件是 A ．m ，n 是常数，且0m ≠ B ．m ，n 是常数，且0n ≠ C ．m ，n 是常数，且m n ≠ D ．m ，n 为任何常数 5．圆的面积公式2 S =πr 中，S 是关于r 的 A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数 D ．以上都不对
九年级数学（下） 第一章 直角三形的边角关系（一） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB 的值是（ ） A.4/5 B.3/5 C.3/4 D.4/3 2、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 3、等腰三角形的底角为30°，底边长为 ） A ．4 B ． C ．2 D ．4、如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（ ） A ． B ． C ． D ．8 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A ．sin a c B = B ．cos a b B = C ．tan c a B = D ．tan a b A = 6、△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 2sin 0B A +=（，则△ABC 是（ ） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形 7、已知tan 1α=，那么 2sin cos 2sin cos αααα-+的值等于（ ） A ．13 B ．12 C ．1 D ．16 8、如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ， E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米 9、如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=35，AB =4， 则AD 的长为（ ） A ．3 B ．163 C ．203 D ．165
九年级下册数学第一章测试题 1 一选择题 2 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cos A等于( )．3 A． 3 2 B． 1 2 C．3 D． 3 3 4 2已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )． 5 A．30° B．60° C．45° D．75° 6 3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )．7 8 A．5 B．25 C． 5 D． 2 3 9 4如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=5,BC=2,则10 sin∠ACD的值为( ) 11 12 52552 3 13 5如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B 14 落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（） 15 A．4 3 B． 3 5 C． 3 4 D． 4 5 16
6如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三17 条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 18 的长是（ ） 19 A ．172 B ．52 C ．24 D ．7 20 21 7如图，已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB ＝8，则22 CD 的长为( )． 23 24 A ． C ．25 8身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的26 线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风27 筝中最高的是（ ） 28
北师大版数学九上册 第二章 一元二次方程 单元试题及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），此方程可变形为（ ） A.（x+b 2a ）2= b 2?4a c 4a 2 B. （x+b 2a ）2=4ac?b 24a 2 C. （x- b 2a ）2=b 2?4ac 4a 2 D. （x- b 2a ）2=b 2?4ac 4a 2 2. 对于任意实数k ，关于x 的方程x 2-2（k+1）x-k 2+2k-1=0的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 3. 已知a ，b 是方程x 2+x-3=0的两个实数根，则a 2-b+2019的值是 A ．2023 B ．2021 C ．2020 D ．2019 4. 关于x 的一元二次方程x 2+2mx+m 2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ） A ．m=－2 B ．m=3 C ．m=3或m=－2 D ．m=－3或m=2 5. 已知一元二次方程x 2-x-3=0的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是（ ） A ．-2＜x1＜-1 B ．-3＜x1＜-2 C ．2＜x1＜3 D ．-1＜x1＜0 6. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x ）2＝3990 B. 1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2＝3990 C. 1000（1+2x ）＝3990 D. 1000+1000（1+x ）+1000（1+2x ）＝3990 7. 对于实数a ，b ，定义运算“﹡”：a ﹡b=22()() a a b a b ab a a b ?-≥??-
九年级数学下册第一章1 第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题 基础题 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题 1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C) A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m 2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x＋)2＋3 C．y＝－12(x－)2＋3 D．y＝－12(x＋)2＋3 3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m. (1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为
2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门． 解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)． 将点C(0，4.4)代入得 a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1， ∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4. 故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4， ∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可． 将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8， ∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内． ∴这辆汽车能够通过大门． 知识点2 利用二次函数解决面积问题 4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B) A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2 6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁
第二章一元二次方程 1.一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方 程。 2．一元二次方程的一般形式： )0(02≠=++a c bx ax ，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做 一次项系数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方 程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=， 当b<0时，方程没有实数根。 （2） 配方法 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并 用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （3） 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：
)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4） 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次 方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示， 即ac b 42 -=? 5. 一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。
九年级数学上册第一章 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章小结与思考——特殊四边形 一．学习目标 1.通过对特殊四边形知识的小结与梳理，进一步掌握特殊四边形的定义、性质和判定，进一步感受公理化思想． 2.通过证明进一步掌握综合法的证明格式，学会分析和综合的思考方法。 3.进一步感受探索活动中体现的归纳、转化的数学思想方法。 二．学习重难点:性质定理和判定定理的应用 三．学习过程 （一）热身训练 1.平行四边形ABCD中，如果∠A=55°，那么∠C的度数是（） A.45° B.55° C.125° D.145° 2.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不．正确 ．．的是（） A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形 3.若等腰梯形的一个底角等于600，它的两底分别为3cm和5cm,则它的周长为___________cm. 4.菱形边长为13，对角线AC长为10，则它的面积是。 （二）知识回顾 1.特殊四边形的关系 下图表示了一些特殊的四边形在某种条件 ．．．．下它们之间的关系。如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。请你说说其他6个数字序号所相对应的条件. 2
2.特殊四边形的性质 （1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，在相应的空格内打“√”. 平行四边形矩形菱形正方形对边平行 对边相等 四边相等 对角相等 4个角是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 两条对角线平分两组对角 （2）等腰梯形的性质有:____________________________________________ ____________________________________________________________. 3.特殊四边形的判定 四边形判定方法 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 （三）典例分析 例1.已知：四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添 加一个条件：，并说明你的理由。 3
第5题图 C' 九年级上单元测试卷(一) 姓名_______得分______ 一、选择题(每题3分,共30分) 1.顺次连接对角线相等的平行四边形四边中点,所得的四边形必是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 2.到三角形三边距离相等的点是三角形( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线交点 D.不确定 3.正方形的对角线长为a,则它的对角线的交点到它的边的距离为( ) A. 2 2 a B. 2 4 a C. a 2 D.22a 4.梯形上底长是4,下底长是6,则中位线夹在两条对角线之间的线段长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,若,则在不添加任何辅助线的情况下,图中的45°角有( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 O F E D C B A 第6题 6.如图,□ABCD中,过对角线交点O引EF交BC于点E,交AD于点F,若AB=5cm,AD=7cm,OE=2cm,则四边形ABEF的周长是( ) A.14 B.16cm, C.19cm D.24cm 7.如果等腰梯形的两底之差等于它一腰的长,则这个等腰梯形的锐角是( ) A.60° B.30° C.45° D.15° 8.顺次连接四边形四边的中点,所得的四边形是菱形,则原四边形一定是( ) A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.矩形 D.对角线互相垂直的四边形 9.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,则它的最小内角等于( ) A.10° B.20° C.30° D.60°