(完整)北师大版九年级数学下册第一章单元检测含答案,推荐文档

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝( )A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )A.35B.45C.34D.433．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝22，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为( )A．3 B.163C.203D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝( )A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为( )A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是( )A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是( )A ．10 m B.1033 m C ．53 m D ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝( )A.45B.35C.43D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是( )A ．3B ．5C ．52 D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝____________．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝____________．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为____________．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝____________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分) 15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；(2)24sin45°＋cos230°－12tan60°＋2sin60°.16．(本小题满分8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝6，求AB的长．18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝2，AD＝4，求sin∠AMB的值．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA=_____．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝_____．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为_____米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为_____．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝_____．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)28．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．参考答案北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案A A B B B A B B C D1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝(A)A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35B.45C.34D.433．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是(B)A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为(B)A ．3 B.163 C.203 D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝(B)A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为(A)A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是(B)A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是(B)A ．10 mB.1033 mC ．53 mD ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝(C)A.45 B.35 C.43 D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是(D)A ．3B ．5C ．52D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝2∶5．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝60°．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为42．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝2．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；解：原式＝22＋22－33×32＝2－12.(2)24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32＝14＋34－36＋3＝1＋536.16．(本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sinA ，cosA ，tanA.解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴sinA ＝BC AB ＝513，cosA ＝AC AB＝1213，tanA ＝BC AC ＝512.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6，求AB 的长．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD.∵BC ＝6，∴CD ＝BD ＝3.∵∠A ＝30°，tan30°＝CD AD，∴AD ＝CD tan30°＝333＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24 m ，小明在点E(B ，E ，D 在一条直线上)处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8 m 到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6 m ，求教学楼AB 的高度．(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6 m ，HF ＝GE ＝8 m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24 m.设AM ＝x m ，则CN ＝x m.在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7.∴AB＝11.7＋1.6＝13.3(m)．答：教学楼AB的高度约为13.3 m.19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝k x ，由题意，得k＝xy＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6 x .(2)设B点坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a.∴AD＝3－6a.∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6.∴b＝6a＝1，AD＝3－6a＝2.∴B(6，1)．∴AB＝（2－6）2＋（3－1）2＝25.∴sin∠ABC＝225＝55.(3)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，在Rt△BCE中，sin∠ABC＝CE BC＝55，BC＝6，∴CE ＝655.∴点C 到直线AB 的距离为655.20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝2，AD ＝4，求sin ∠AMB 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠MDO ＝∠NBO.∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，MN ⊥BD.在△DMO 和△BNO 中，{∠MDO ＝∠NBO ，DO ＝BO ，∠MOD ＝∠NOB ，∴△DMO ≌△BNO(ASA)．∴OM ＝ON.∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴四边形BMDN 是菱形．(2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD.设MD ＝x ，则AM ＝4－x ，MB ＝DM ＝x.在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2，即x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝52.∴sin ∠AMB ＝AB BM ＝45.B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA＝32或223．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝35．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为(6＋3)米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为3或5．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝23．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－23.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)解：(1)延长BA交EF于点H，则∠AHE＝90°，∠HAE＝60°.∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝180°－∠EAH－∠BAC＝75°.(2)过点A作AM⊥CD于点M，则∠CAM＝90°－45°＝45°，∠DAM＝75°－45°＝30°，∴AM＝AD·cos30°＝4×32＝23，MD＝12AD＝2，∵∠C ＝∠CAM ＝45°，∴CM ＝AM ＝23，AC ＝2AM ＝2×23＝26.∴AB ＝AC ＋CM ＋MD ＝26＋23＋2≈2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2≈10.∴这棵大树折断前的高度约为10米．28．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°.(1)当DF ∥AB 时，连接EF ，求tan ∠DEF 的值；(2)当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．解：(1)∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝62.∵DF ∥AB ，点D 为AC 中点，∴AD ＝CD ＝12AC ＝3，DF ＝12AB ＝32.∴DE ＝322.在Rt △DEF 中，tan ∠DEF ＝DF DE ＝32322＝2.(2)过点E 作EH ⊥AC 于点H ，设AE ＝x ，∵BC ⊥AC ，∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B.∵∠B ＝∠A ，∴∠AEH ＝∠A.∴HE ＝HA ＝22x.∴HD ＝3－22x.易证△HDE ∽△CFD ，∴HDCF ＝HEDC ，即3－22x6－y ＝22x 3.∴y ＝9－92x(2≤x ≤32)．(3)∵CE ≥12AB ＝32＞3，CD ＝3，∴CE ＞CD.∴若△DCE 为等腰三角形，只有DC ＝DE 或ED ＝EC 两种可能．当DC ＝DE 时，点F 在边BC 上，过点D 作DG ⊥AE 于点G(如图1)，可得AE＝2AG＝32，即点E在AB中点．∴此时F与C重合．∴BF＝6.当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M(如图2)，∵EM⊥CD，ED＝EC，∴DM＝CM＝12CD＝32.易证EM＝AM＝AD＋DM＝3＋32＝92.∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°.∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.∴△DFC∽△EDM.∴CFDM＝CDEM，即CF32＝392.∴CF＝1.∴BF＝7.综上所述，BF的长为6或7.。

21．(10分)一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m．已知木箱高BE＝m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB＝3，BE＝，∴AE＝＝2.又∵tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°.在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，∴EF＝AE·sin∠EAF＝2×sin60°＝2×＝3(m)
最新北师大版九年级数学下册单元测试题全套及答案
本文档含本书3章的单元测试题,同时含期中,期末试题,共5套试题
第一章检测题
(时间：100分钟满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(A)
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
14．如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小角是∠A，那么tanA的值为__或__．
15．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则cos∠BCD的值是____
,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)
16．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝9，BC＝12，则cosC＝____．
A．(2，2)B．(，2－)
C．(2，4－2)D．(，4－2)
二、细心填一填(每小题3分，共24分)
11．计算：－4sin30°＋(2016－π)0－22＝__－2__．
12．在△ABC中，∠A，∠B的度数满足：＋(－cosB)2＝0，则∠C＝__105°__．
13．若＜cosα＜1，则锐角α的范围是__0°＜α＜45°__．

一、选择题1．下列不等式成立的是（ ） A ．sin60°<sin45°<sin30° B ．cos30°<cos45°<cos60° C ．tan60°<tan45°<tan30° D ．sin30°<cos45°<tan60°2．sin45cos45︒+︒的值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．223．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，//DE AC 交AB 于点E ，//DF AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，若8AF EF ==，则sin DAC ∠的值为（ ）A ．13B ．32C ．12D ．224．关于直角三角形，下列说法正确的是（ ） A ．所有的直角三角形一定相似B ．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5C ．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解D ．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定 5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) ( )A ．415B ．280C ．335D ．2506．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ） A 5B ．2 C ．32D ．127．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC △是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB △∽△；③:1:2DQ BQ =；④314BDPS-=．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②③④D ．①②④8．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（ ）A ．:2:3ABDABCSS=B ．:1:2ABD ABC S S =△△ C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠=D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠=9．如图，等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线ky x=过OA 的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）A ．3y =B ．3y =-C ．23y =D ．23y =-10．在ΔABC 中，∠C ＝90º，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ） A ．34B ．43C ．35D ．4511．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ） A ．(4，23)B ．(23，4)C ．（3，3）D ．（23＋2，2）12．在ABC 中，AB 122=，AC 13=，2cos B 2∠=，则BC 边长为（ ） A ．7B ．8C ．8或17D ．7或17二、填空题13．已知α，β均为锐角，且满足cos 0.5tan 30αβ-+-=，则αβ+的度数为_______．14．一运动员乘雪橇以10米/秒的速度沿坡比1:3的斜坡匀速滑下，若下滑的垂直高度为1000米，则该运动员滑到坡底所需的时间是______秒．15．在AOB 中，90AOB ∠=︒，30ABO ∠=︒，将AOB 绕顶点O 顺时针旋转，旋转角为()0180θθ︒<<︒，得到11AOB ．（1）如图1，连接1AA 、1BB ，设1AOA 和1BOB 的面积分别为1S 、2S ．则12:S S =__________．（2）如图2，设OB 中点为Q ，11A B 中点为P ，连接QP ，若1AO =，当θ=_______︒时，线段QP 长度最小，最小值为_____________．16．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图（1）所示；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为'B ，得Rt 'AB E △，如图（2）所示；第三步：沿'EB 折叠折痕为EF ，且AF 交B N '的延长线于点G ，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，'AB G S △为____．17．如图是一个海绵施把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC 表示拉手柄，线段DE 表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC 时线段OA 能绕点O 旋转（设定转角AOQ∠大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ 拉着DE 向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O 、A 、Q 三点共线，P 、Q 重合），此时45cm OQ =，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE 可提升的最大距离10cm PQ =．（1）请计算：OA =______cm ；AQ =_____cm ．（2）当1sin 10OQA ∠=时，则PQ =______cm ． 18．2cos302sin303tan45︒-+︒=______．19．已知等腰ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，3tan ABH ∠=，则CH 的长为______．20．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1cot 3B =，2BC =，那么AC =_____________. 三、解答题21．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，E 为BC 上一点，∠BDE=∠BAD=90°， （1）求证：BD 2=BA·BE ； （2）若AB=6，BE=8，求CD 的长．22．如图，已知甲、乙两栋楼的楼间距AB 30=米，小明在甲楼的楼下A 点处测得乙楼的楼顶点C 的仰角为63.5°（1）求乙楼的高BC ．（参考数据：sin63.50.89︒≈，cos63.50.45︒≈，tan63.52︒≈）（2）小明发现在甲楼的中间外墙有一巨幅广告DE ，为了测量巨幅广告的宽度DE ，小明先在乙楼的楼底B 点测得点E 的仰角为45°，然后小明到楼顶点C 处，测得点D 的俯角为30°，根据小明测量的数据，请你帮助小明计算巨幅广告的宽度DE （结果保留根号）23．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值． （2）求线段AH 的长．24．在ABC 中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，点P 是边AB 的中点，连接CP ．（1）如图①，B 的大小＝______（度），AB 的长＝______；CP 的长＝______； （2）延长BC 至点O ，使2OC BC =，将ABC 绕点O 逆时针旋转()0180αα︒<︒<︒得到A B C '''，点A ，B ，C ，P 的对应点分别为A '，B '，C '，P '． ①如图②，当30α=︒时，求点C '到直线OB 的距离及点C '到直线AB 的距离；②当C P ''与ABC 的一条边平行时，求点P '到直线AC 的距离（直接写出结果即可）．25．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶8m BC =，坝高30m ，斜坡CD 的坡度1:3,30i A =∠=︒，求坝底DA 的长．（3 1.732≈，结果精确到0.01m ）26．（1）计算：022sin 30(2021)tan 60π︒+--︒． （2）已知线段4a =，9b =，求线段a ，b 的比例中项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】 解：A 、sin60°=32，sin45°=22，sin30°=12 ，故A 不成立；B 、cos30°3cos45°=22，cos60°=12，故B 不成立；C 、tan60°3，tan45°=1，tan30°=33，故C 不成立； D 、sin30°=12，cos45°=22，tan60°3D 成立； 故选：D ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．2．C解析：C 【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可； 【详解】∵ sin45°=2 ，cos45°=2，∴sin45°+ cos45°=2+2， 故选：C ． 【点睛】本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键 ．3．C解析：C 【分析】先证明四边形AEDF 是平行四边形，在根据题意得到四边形AEDF 是菱形，即可得到结果； 【详解】由题意：//DE AC ，//DF AB ， 即//DE AF ，//DF EA ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， 又∵AD 平分BAC ∠， ∴BAD CAD ∠=∠， ∵//AE DF ， ∴BAD ADF ∠=∠， ∴DAF FDA ∠=∠，∴FA FD =， ∴四边形AEDF 是菱形，∴EF AD ⊥，且O 为EF 的中点，8EF =， ∴4OF =，∴在Rt △OAF 中，41sin 82OF DAF AF ∠===； ∴1sin 2DAC ∠=； 故答案选C ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，结合三角函数计算是解题的关键．4．D解析：D 【分析】根据题目条件，利用举反例的方法判断即可. 【详解】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的， ∴选项A 错误；若斜边长为4， ∴选项B 错误；已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的， 缺少解直角三角形需要的边元素， ∴选项C 错误；∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值， ∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比， 根据勾股定理可以确定第三边的量比， ∴直角三角形的三边之比一定确定， 故选D. 【点睛】本题考查了命题的真伪，以数学基本概念，基本性质，基本法则为基础，通过举反例的方法判断是解题的关键.5．B解析：B 【分析】根据正弦的定义求解即可； 【详解】由题可知sin 340.56500280AC AB =︒=⨯=（米）； 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．6．A解析：A 【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值． 【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =， ∴AB ==sinBC A AB ===， 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．7．D解析：D【分析】由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，从而判断①；证∠DBH＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝2x，CQ＝2QE＝2x，CE＝3x，由CE＋DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP＝DQ＝6-22，根据BDPS＝12BD•PDsin∠BDP求解可判断④．【详解】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，则∠BPD＝∠BPC＋∠CPD＝135°，故①正确；∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DBH＝∠DPB＝135°，又∵∠PDB＝∠BDH，∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设QE＝DE＝x，则QD2x，CQ＝2QE＝2x，∴CE3，由CE＋DE＝CD知x3x＝1，解得x＝3-12，∴QD2＝6-22，∵BD2∴BQ＝BD−DQ26-232-6，则DQ∶6-2∶32-6∶2，故③错误；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，∴∠PDQ＝30°，又∵∠CPD ＝75°， ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝75°， ∴DP ＝DQ ＝6-22， ∴BDP S＝12BD•PDsin ∠BDP ＝12×2×6-22×12=314- ，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．8．D解析：D 【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin hDBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断． 【详解】解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==， 在Rt BCF ∆中，2sin h CFDBC BC BC∠==， 而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．9．B解析：B【分析】如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．根据等边三角形的性质、中点的定义可以求得点C 的坐标，然后把点C 的坐标代入双曲线方程，列出关于系数k 的方程，通过解该方程即可求得k 的值．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．∵△OAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是4，∴OA=4，∠COD=60°，又∵点C 是边OA 的中点，∴OC=2，∴OD=OC•cos60°=2×12=1，33． ∴C （-13 31k -， 解得，3，∴该双曲线的表达式为3y =． 故选：B ．【解答】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质．解题的关键是求得点C 的坐标． 10．D解析：D【分析】利用勾股定理可求出AC 的长，根据余弦函数的定义即可得答案．【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴22AB BC -=4，∴cosA=AC AB =45． 故选：D ．【点睛】 考查勾股定理及锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键.11．B解析：B【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．【详解】令y ＝0，则−x ＋2＝0，解得x ＝，令x ＝0，则y ＝2，所以，点A （0），B （0，2），所以，OA ＝OB ＝2，∵tan ∠OAB ＝3OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，由勾股定理得，AB 4==，∵旋转角是60°，∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键． 12．D解析：D【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得B ∠的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD 和CD 的长后即可求得线段BC 的长．【详解】解：∵2 cos B2∠=，∴B45∠=，当ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB122=，B45∠=，∴AD BD12==，∵AC13=，∴由勾股定理得CD5=，∴BC BD CD1257=-=-=；当ABC为锐角三角形时，如图2，BC BD CD12517=+=+=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答．二、填空题13．【分析】根据非负数的性质列出算式根据特殊角的三角函数值计算即可【详解】解：由题意得cosα-05=0tanβ-=0∴cosα=05tanβ=解得α=60°β=60°则α+β的度数为120°故答案为：解析：120︒【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：由题意得，cosα-0.5=0，tanβ3，∴cosα=0.5，3解得，α=60°，β=60°，则α+β的度数为120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查的是非负数的性质和特殊角的三角函数值，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．14．200【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间【详解】解：由已知得：垂直高度1000米与水平解析：200【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值，因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度，再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间．【详解】解：由已知得：垂直高度1000米与水平宽度之比为1∴水平宽度为2000m =； ∴200020010s t s v ===． 故答案为：200．【点睛】 此题考查了解直角三角形−坡度坡角问题，正确理解坡比的定义是解题的关键． 15．1∶330【分析】（1）由旋转的性质解得继而证明结合30°的正切值再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接根据三角形三边关系得到当在同一直线上时线段长度最小由直角三角形斜边中线的解析：1∶3 30 12-． 【分析】（1）由旋转的性质，解得1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ==∠=∠=，继而证明11()AOA BOB SAS ，结合30°的正切值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接OP ，根据三角形三边关系得到当O Q P 、、在同一直线上时，线段QP 长度最小，由直角三角形斜边中线的性质结合含30°角的直角三角形性质，可证1OA P 是等边三角形，继而解得OP 、OQ 的长，最后由=PQ OP OQ -解题即可．【详解】解：（1）旋转1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ∴==∠=∠=11AOA BOB ∴、均是等腰三角形11tan 30OA OA OB OB ==︒=11AOA BOB ∴相似比3k =22133k ∴== 12:13S S ∴=：故答案为：1∶3；（2）连接OP ，在OQP 中，OQ QP OP +>当O Q P 、、在同一直线上时，OP 有最小值，即=PQ OP OQ -有最小值，当O Q P 、、在同一直线上时， P 是11A B 的中点，1111=2=O B P P A A ∴ 1130A B O ABO ∠=∠=︒ 1112OA A B ∴=11==P OP A OA ∴1OA P ∴是等边三角形，160OP A ∴∠=︒1906030AOA ∴∠=︒-︒=︒30θ∴=︒1OA =∴1OP =，tan 30OA OB ==︒Q 为OB 中点，122OQ OB ∴==12PQ ∴=-．【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、正切、三角形三边关系、等边三角形的判定与性质等知识，在重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．16．【分析】根据折叠得到△AEF是等边三角形再根据Rt△ABE中求得AE=根据相似三角形的性质可得到的长即可求解【详解】如图所示将图3展开可得下图由折叠可得Rt△AMB中AM=AB==3∴∠ABM=30解析：33【分析】根据折叠得到△AEF是等边三角形，再根据Rt△ABE中，求得AE=43，根据相似三角形的性质可得到B G 的长，即可求解．【详解】如图所示，将图3展开，可得下图，由折叠可得，Rt △AMB'中，AM=12AB=12AB '=3， ∴∠AB'M=30°，∴∠AA'B=30°，∴∠A'AB=60°，∴∠BAE=∠B'AE=30°， ∴∠EAF=60°，∠AEB=60°=∠AEB'，∴△AEF 是等边三角形，又∵Rt △ABE 中，AB=6，∠BAE=30°，∴EF=AE=cos30AB ︒= ∵∠B'AE=∠AA'B=30°， ∴AE= A'E=∵B'G ∥A'E ，∴~FB G FEA ''， ∴1EF 2B G FB EA ''=='， ∴B G '=，∵△A B G ''的高为BM=3，∴'1'2AB G S B G BM =⨯⨯=△．故答案为：【点睛】 本题属于折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．得到△AEF 是等边三角形是解决问题的关键． 17．40或【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半AQ ＝OQ-OA 即可解决问题（2）分两种情形分别画出图形解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）由题意故答案为540（2）当是钝角时如图解析：40 42-48-【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半，AQ ＝OQ -OA 即可解决问题． （2）分两种情形分别画出图形，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）由题意11052OA cm =⨯=，45540AQ cm =-=， 故答案为5，40．（2）当OAQ ∠是钝角时，如图1中，作AH PQ ⊥于H ．在Rt AHQ ∆中，1sin 10AH AQH AQ ∠==，40AQ =， 4AH ∴=，22224041211QH AQ AH ∴=-=-=，在Rt QOH ∆中，223OHOA AH ，31211OQ ∴=+，45(31211)(421211)PQ cm ∴=-+=-， 当OAQ ∠是锐角时，如图2中，作AH OP ⊥交PO 的延长线于H ．同法可得：12113OQ =-，45(12113)(481211)PQ cm ∴=--=-．故答案为：421211-或481211-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算熟记特殊角的三角函数值是解题关键32【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】 解：312cos302sin 303tan 4522313133222︒-+︒=⨯-⨯+⨯=-+=+， 故答案为：32+． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 19．或【分析】如图所示分两种情况利用特殊角的三角函数值求出的度数利用勾股定理求出所求即可【详解】当为钝角时如图所示在中根据勾股定理得：即；当为锐角时如图所示在中设则有根据勾股定理得：解得：则故答案为或【 解析：33或3【分析】如图所示，分两种情况，利用特殊角的三角函数值求出ABH ∠的度数，利用勾股定理求出所求即可．【详解】当BAC ∠为钝角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan 3AH ABH BH ∠==，3BH =， 3AH ∴=，根据勾股定理得：22(3)323AB =+=，即23AC =，23333CH CA AH ∴=+=+=；当BAC ∠为锐角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan ABH ∠=， 30ABH ∴∠=，1122AH AB AC ∴==， 设AH x =，则有2AB AC x ==， 根据勾股定理得：222(2)3x x =+，解得：x =则HC AC AH =-=故答案为【点睛】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质及分类的求解的数学思想是解本题的关键． 20．6【分析】根据三角函数的定义即可求解【详解】∵cotB=∴AC==3BC=6故答案是：6【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用解题关键在于掌握在直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边余弦为邻边比斜边正解析：6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=BC AC， ∴AC=13BC BC cotB= =3BC=6． 故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．三、解答题21．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据角平分线定义可证得∠ABD=∠EBD ，再根据相似三角形的判定证明△BAD ∽△BDE ，然后根据相似三角形的性质即可证得结论；（2）根据（1）中结论求得BD 长，再根据勾股定理求得AD 长，进而可求得∠ABD=30°，即∠ABC=60°，利用锐角三角函数求得AC 长，即可求得CD 长．【详解】解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠EBD ，又∵∠BDE=∠BAD=90°，∴△BAD ∽△BDE ，∴BD ：BE=BA ：BD ，即BD 2=BA·BE ； （2）∵由（1）可知，BD 2=BE·BA ，且AB=6，BE=8 ，∴BD=43，∴AD2=BD2-AB2=12 即AD=23，∵sin∠ABD=ADBD=12，∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，∴∠ABC=60°，∴CA=BA×tan60°=63，∴CD=43．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．22．（1）乙楼的高为BC为60米；（2）巨幅广告的宽度DE为（30-103）米．【分析】（1）在Rt△ABC中，由tan∠BAC=BCAB，得到BC的值．（2）在图中的两个直角三角形，Rt△ABE，Rt△DFC，利用45°，30°角的正切值，分别求出AE，DF的长，再得到DE的长度．【详解】（1）在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=BCAB，∴BC=AB·tan∠BAC=30×2 =60（米），答：乙楼的高为BC为60米．（2）如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，在Rt △ABE 中，∵∠AEB=90°-∠ABE=90°-45°=45°，∴∠AEB=∠ABE ，∴AE=AB=30 （米），在Rt △DFC 中，∵tan ∠FCD=DF CF ， ∴DF=CF·tan ∠FCD=30×33=103， ∴DE=AF-AE-DF=60-30-103=30-103（米），答：巨幅广告的宽度DE 为（30-103）米．【点睛】本题考查解直角三角形，以及仰角，俯角的定义，解题的关键是利用仰角，俯角构造直角三角形并解直角三角形．23．（1）17；（2）203417【分析】 （1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题． （2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题． 【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =，2234AE AD DE ∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆，GCD EAD ∴∠=∠，GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，∴118522AH ⨯⨯=，AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．24．（1）45°，；（2）①∴点C '到直线OB 的距离为2；点C '到直线AB 的距离为②4-4+5【分析】（1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可（2）①过点C '作C D OB '⊥，垂足为点D ，过点C '作C E AB '⊥，交BA 的延长线于点E ，连接AC '，解直角三角形求出C D '、C E '即可；②分三种情况：当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H ；当//P C AB ''时，过点P '作P H OB '⊥交BO 的延长线于点H ，交A C ''于T ；当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H 分别画出图形求解即可【详解】解：（1）在ABC 中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==45B A ∴∠=∠=︒sin 2CA B AB == 点P 是AB 的中点12CP AB ∴==故答案为：45°，．（2）①过点C '作C D OB '⊥，垂足为点D ，过点C '作C E AB '⊥，交BA 的延长线于点E ，连接AC '，将ABC 绕点O 逆时针旋转α得到A B C '''，2224OC OC BC '∴===⨯=．在Rt OC D '△中，30O ∠=︒，114222C D OC ''∴==⨯=． ∴点C '到直线OB 的距离为2.2222421223OD OC C D ''=-=-==C D OB '⊥，90ACB ∠=︒，90C DB ACB '∴∠=∠=︒．//AC C D '∴．2C D '=，2AC =，C D AC '∴=．∴四边形C DCA '是平行四边形．423C A DC OC OD '∴==-=-，//C A DC '，45EAC B '∴∠=∠=︒．90904545EC A EAC ''∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．EAC EC A ''∴∠=∠．C E AE '∴=．在Rt AC E '△中，222C E AE C A ''+=，222C A C E ''∴=．()2242322622C E C A ''==-=-． ∴点C '到直线AB 的距离为226-．②如图：当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H//AC P H '90OHC AOC '∴∠=∠=︒45OC H B C P ''''=∠=︒cos 4522OH OC '∴=⋅︒=422CH OC OH ∴=-=-∴点P '到直线AC 的距离为422-如图，当//P C AB ''时，过点P '作P H OB '⊥交BO 的延长线于点H ，交A C ''于T ，由题意可得四边形OHTC '是矩形，1OH C T '==145CH OC OH ∴=+=+=∴点P '到直线AC 的距离为5如图，当//P C BC ''时，延长B A ''交BO 于点H ，可得cos 4532OH OB '=⋅︒=324CH ∴=∴点P '到直线AC 的距离为432+综上所述，点P '到直线AC 的距离为422-432+5．【点睛】本题考查了作图—旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．25．96m【分析】在Rt △DCF 中利用DC 的坡度和CF 的长求得线段DF 的长，根据30A ∠=︒，求AE ，然后与AE 、EF 相加即可求得AD 的长．【详解】解：∵坝高BE ＝CF ＝30米，斜坡AB 的坡角∠A ＝30°，∴tan30°＝BE AE ，即303AE =， ∴AE ＝m ），∵斜坡CD 的坡度i ＝1：3，∴DF ＝3×30＝90（m ），∴AD ＝AE +EF +DF ＝＝（m ），答：坝底宽AD 的长约为149.96m ．【点睛】本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是理解掌握坡度、坡角的定义，能正确解直角三角形．26．（1）1-；（2）6．【分析】（1）先计算特殊角的正弦与正切值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得； （2）根据比例中项的定义列出式子计算即可得．【详解】（1）原式21212⨯+-= 113=+-1=-；（2）设线段a ，b 的比例中项为x ，则::a x x b =，4a =，9b =，4::9x x ∴=，解得6x =或6x =-（不符题意，舍去），即线段a ，b 的比例中项为6．【点睛】本题考查了特殊角的正弦与正切值、零指数幂、比例中项，熟记各定义和运算法则是解题关键．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！北师大版九年级下单元测试第1单元班级________姓名________一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知a Ð为锐角，且1sin 2a =，则a Ð=()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直(A ，D ，B 在同一条直线上)，设CAB a Ð=，则拉线BC 的长度为()A.sin h aB.cos h aC.tan h aD.cos h a×3.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt ACB △中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D Ð=°，所以tan152AC CD ==-°.类比这种方法，计算tan 22.5°的值为()1+1- C. D.124.如图，ABC △的顶点是正方形网格的格点，则cos ABC Ð的值为()A.23B.22C.43D.2235.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为a 时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为b ，已知3sin cos 5a b ==，则梯子顶端上升了()A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米6.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图（2）所示的四边形OABC .若1AB BC ==，AOB a Ð=，则2OC 的值为()A.211sin a+ B.2sin 1a + C.211cos a+ D.2cos 1a +7.如图，Rt ABC △中，90BAC Ð=°，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B Ð=Ð，连接CE ，则CEAD的值为()A.323 C.15 D.28.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND .甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度1:1.25i =.若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N2 1.41»3 1.73»）()A.9.0mB.12.8mC.13.1mD.22.7m9.如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ^交AC 于点F .若4BC =，AEF △的面积为5，则sin CEF Ð的值为()A.355 C.452510.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为1:0.75i =、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E ）均在同一平面内）.在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据sin240.41°»，cos240.91°»，tan240.45°=）()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，2AB =，8CD =，AC CD ^.若1sin 3ACB Ð=，则tan D =______________.12.如图，在ABC 中，6AB AC ==，2sin 3B =，则ABC 的面积=___________.13.如图，ABC △的顶点B ，C 的坐标分别是(1,0)，，且90ABC Ð=°，30A Ð=°，则顶点A 的坐标是____________________.14.如图，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40km ，仰角是30°，n 秒后，火箭到达B 点，此时在R 处测得仰角是45°，则火箭在这n 秒中上升的高度是____________km.15.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ^，垂足为E ，连接CE .若30ADB Ð=°，则tan DEC Ð的值为______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B ，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D ，并在点D 处安装了测倾器DC ，测得古树的顶端A 的仰角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G ，使5m DG =，并在点G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿BG 方向移动，当移动到点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时，测得2m FG =，小明眼睛与地面的距离 1.6m EF =，测倾器的高0.5m CD =.已知点F ，G ，D ，B 在同一水平直线上，且EF ，CD ，AB 均垂直于FB ，求这棵古树的高AB （小平面镜的大小忽略不计）.17.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB Ð=°，8AB =，5CD =，BC =.（1）求梯形ABCD 的面积；（2）连接BD ，求DBC Ð的正切值.参考答案1.A2.B3.B4.B5.C6.A7.D8.C9.A 10.A 11.3412.13.14.20)15.16.如图，过点C 作CH AB ^于点H ，则CH BD =，0.5m BH CD ==.在Rt ACH △中，45ACH Ð=°，AH CH BD \==.0.5AB AH BH BD \=+=+.EF FB ^ ，AB FB ^，90EFG ABG \Ð=Ð=°.由题意知EGF AGB Ð=Ð，EFG ABG \△△.EF FG AB BG \=，即 1.620.55BD BD=++，解得17.5m BD =.17.50.518(m)AB \=+=.答：这棵古树的高AB 为18m.17.（1）如图，过点C 作CE AB ^于点E .//AB DC ，90DAB Ð=°，90D \Ð=°.90A D AEC \Ð=Ð=Ð=°.\四边形ADCE 是矩形.AD CE \=，5AE CD ==.853BE AB AE \=-=-=.BC = ，6AD CE \==.\梯形ABCD 的面积为1(58)6392´+´=.（2）如图，过点C 作CH BD ^于点H .//CD AB ，CDB ABD \Ð=Ð，又90CHD A Ð=Ð=° ，CDH DBA \△△.CH CDAD BD\=.10BD === ，5610CH \=，解得3CH =.6BH \=.31tan 62CH DBC BH \Ð===.。