(完整word版)正弦函数和余弦函数图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x、y，若对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是x的函数，记作xfy，Dx。

（2）三角函数线 设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)Pxy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，设它与角的

终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于T.

规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值； 当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值； 当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；

根据上面规定，则,OMxMPy, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin1yyyMPr；

cos1xxxOMr；

tanyMPATATxOMOA；

这几条与单位圆有关的有向线段,,MPOMAT叫做角的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：Rxxy,sin； （2）余弦函数：Rxxy,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数Rxxy,sin、余弦函数Rxxy,cos的函数图象？ 2、正弦函数Rxxy,sin的图像

（1）2,0,sinxxy的图像

【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值； 步骤2：描点——平移定点，即描点xxsin,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标； 步骤2：描点——定出五个关键点； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点 小结：2,0,sinxxy的五个关键点是0,0、1,2、0,、0,23、0,2。 （2）Rxxy,sin的图像 由Zkxxk,sin2sin，所以函数xysin在区间22,2kk 0,kZk上的图像与在区间2,0上的图像形状一样,只是位置不同.

于是我们只要将函数2,0,sinxxy的图像向左、右平行移动(每次平行移动2

个单位长度)，就可以得到正弦函数Rxxy,sin的图像。

3、余弦函数Rxxy,cos的图像 （1）2,0,cosxxy的图像

（2）Rxxy,cos的图像 图像平移法

由xxcos2sin，可知只须将Rxxy,sin的图像向左平移2即可。

三、例题举隅 例、作出函数2,0,sin1xxy的大致图像； 【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像 【解】 ①列表

x 0 2  23 2

xsin 0 1 0 1 0 xysin1 1 2 1 0 1

②描点 在直角坐标系中，描出五个关键点：

1,0、 2,2、1,、0,23、1,2

③连线 练习、作出函数2,0,sin21xxy的大致图像 二、性质

1．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R

2．值域 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1， ｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y=sinx，x∈R

①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时， 取得最大值1

②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1 ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

3．周期性 由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知： 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 4．奇偶性 由sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx 可知：y＝sinx为奇函数， y＝cosx为偶函数 ∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

5．单调性 结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－

1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1 y=sinx y= cosx

图 象

定义域 R R 值 域 [1,1] [1,1]

最 值 当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1 当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1 当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在闭区间［－2＋2k

π，2＋2kπ］(k∈Z)上单调递增，；在闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上单调递减

在闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上单调递增；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上单调递减

典型例题（3个，基础的或中等难度） 例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。 （1）y＝cosx＋1，x∈R； （2）y＝sin2x，x∈R 解：（1）使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝。 ∴函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2。 （2）令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大

值的Z的集合是｛Z｜Z＝2＋2kπ，k∈Z｝

由2x＝Z＝2＋2kπ，得x＝4＋kπ 即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝4＋kπ，k∈Z｝ ∴函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1。

例2：求下列函数的单调区间 （1）y＝－cosx （2）y=41sin(4x-3) （3）y=3sin(3-2x) 解：（1）由y＝－cosx的图象可知： 单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z) 单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)

（2）当2kπ-2≤4x-3≤2kπ+2，

∴函数的递增区间是[2k-24，2k+245](k∈Z) 当2kπ+2≤4x-3≤2kπ+23 ∴函数的递减区间是[2k+245,2k+2411](k∈Z) （3）当2kπ-2≤3-2x≤2kπ+2时，函数单调递减， ∴ 函数单调递减区间是[kπ-12，kπ+125](k∈Z) 当2kπ+2≤3-2x≤2kπ+23时，函数单调递增， ∴ 函数单调递减区间是[kπ+125，kπ+1211](k∈Z) 例3：求下列三角函数的周期： (1) y=sin(x+3) (2) y=cos2x (3) y=3sin(2x+5)

解：(1)令z= x+3而 sin(2+z)=sinz 即：f(2+z)=f (z) f[(x+2)+3]=f(x+3)∴周期T=2. (2)令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)] 即：f (x+)=f (x)∴周期T=。