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正弦函数图像和性质(单调性)

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正弦、余弦、正切函数图象及其性质

正弦、余弦、正切函数图象及其性质

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

正弦函数和余弦函数的图像与性质

正弦函数和余弦函数的图像与性质

例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]

正弦函数的图像和性质

正弦函数的图像和性质

2 1
y
2 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 1 2 1
x

2

3 2
0

3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
1. y=sinx-3 2. y=5-3sinx
二、正弦函数y sin x的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y sin x , x R
并写出最值，定义域和值域
• y=1-sinx
xsinx1-sinx
解： 当x

2 sin x取得最大值1
k 2 , k Z时
此时 y 1 sin x的最小值1 － 1 ＝0
当x

2 sin x取得最小值 1
2 k , k Z时
此时y 1 sin x的最大值1 1 ＝2
练习： 求正弦形函数的周期， 最值。
1、y 5sin (3x 2、y 2s，1（1），2，3 P43，1 下节课再见啦*^_^*
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妻情分都别讲！”那壹次，李淑清没什么像以往壹贯の那样大哭大闹、胡搅蛮缠，而是掷地有声、句句在理地将他那些替水清开脱の话驳斥咯壹各体无完肤，将王爷说得哑口无言。 特别是那最后壹句，更是将淑清の彻骨寒心淋漓尽致地发泄咯出来，将他责问得羞愧难当、无地自容。他确实曾经深深地爱过淑清，但是现在，他确实也是壹各无情の负心人。在爱 上婉然，继而爱上水清之后，就将她忘在咯脑后，忘记咯他们曾经の恩爱时光，忘记咯他们曾经の夫妻情分，所以，他即使别是始乱终弃，也是移情别恋，是各别折别扣、当之无愧 の无情の负心人！此刻，左手边站立の是壹脸悲愤、情绪激动の淑清，右手边站立の是满脸惭愧、壹心求罚の水清，壹各旧爱，壹各新宠，清官难断家务案，更何况两各都是他付出 咯真心真爱の诸人！此刻他所受の内心煎熬以及痛苦折磨，壹点儿也别比下午时候の水清少。水清别过是在坚持自己の理想还是襄助王爷の大业之间进行痛苦而艰难の抉择，那是追 求理想与向现实妥协の选择。而王爷此时则是完完全全地陷入咯感情の漩涡之中，苦苦挣扎，情关难逃。第壹卷 第700章 旧爱淑清是他人生中第壹各付出真情、真心、真爱の诸人， 是他情窦初开の爱之初体验，是真正の同甘共苦、荣辱与共。他们相濡以沫地走过咯二十年の时光，二十年，他怎么能够说忘就忘？更何况，他们相亲相爱の时候，他无官无爵，别 过就是壹各皇子小格，连自己の府邸都没什么，而是寄居在皇宫中の小格所里，而她更别可能妻凭夫贵，在名份上别过就是他の壹各低阶侍妾而已。古训所言，大丈夫理当“贫贱别 能移、富贵别能淫、威武别能屈”。他们以前贫贱の时候能够共苦，现在富贵の时候却别能同甘吗？确实，现在の她随着年龄の增长，容貌、才情、智慧统统都别及豆蔻年华の水清， 从自然规律来讲，她现在是该给新人让位の时候咯。可是，对于壹各诸人来讲，那种被迫让位又是壹件多么残忍无情の事情。人老珠黄，色衰爱驰，难道他别过就是壹各贪恋美色の 无耻之徒吗？而反观水清呢？别管从前他们の关系如何，她嫁给他の时候，他早就加官进爵成为亲王，水清别但坐享其成，直接享受着王府の荣华富贵，而且还被皇上钦点册封咯亲 王侧福晋の身份，完全就是无功受禄，壹切荣华富贵の得来都是那么の轻而易举，仿佛就是天经地义の事情。可以说，除咯他の爱，水清没什么费吹灰之力，就将壹各诸人穷其壹生 所梦寐以求の壹切全都轻轻松松地得到咯。而淑清却是熬咯将近二十年，为他生育咯四各儿女，才通过他の请封而获得咯侧福晋の名份，却还要排在水清の后面。假设单从那各角度 来讲，确实是非常别公平，淑清确实有理由发泄她の强烈别满。可是从另外壹各角度来讲，水清确实又是受之无愧。别管他们是否相爱，即使是他误会她、厌恶她、羞辱她の时候， 她却从来都是以壹颗善良之心，尽职尽责地当好他の侧福晋。他永远也忘别咯，在塞外草原の时候，当他斥责水清向八小格通风报信の时候，她还会别计前嫌地与那木泰巧妙周旋， 处处维护他和婉然。如此那般以德报怨の行为，他の心灵怎么可能别被深深地触动？他也曾经炽烈地深爱过淑清。即使现在爱情越来越少，但是亲情却是永远也别可能湮灭，他别能， 也别愿做出任何令她伤心难过の壹举壹动。他现在更是深深地爱恋着水清。虽然今天の他终于看到咯她对他爱の回应，可是那仅仅只是壹各开端而已，他们未来の爱情之路仍是前途 未卜、扑朔迷离，他别想，也别敢做出任何令她伤心难过の壹举壹动。现在借琴の事情还没什么理出头绪，他又陷入咯感情纠葛の泥潭，再询问下去，别但问别出任何结果，更是要 闹得王府后院纷争四起の恶果。但是别咯咯之也别是他の处事原则，他别是糊涂昏庸之人，用逃避の方式の处理问题，只能是问题越积攒越多，矛盾越积攒越深，正所谓千里之堤毁 于蚁穴。第壹卷 第701章 下策水清和淑清，两各都是他付出过真心真情の诸人，哪壹各他都别想伤害，被逼到绝境の王爷，最终只得拿出咯

正弦函数图像和性质

正弦函数图像和性质

正弦函数图像和性质正弦函数是一种常见的函数，在数学研究中，它被广泛用于表达定义在实数集的函数的图像。

正弦函数可以通过其一般形式 y=sin x，其中x表示自变量，y表示函数值，也可以表示为极坐标形式 r=sin，其中θ表示极坐标参数，r表示正弦函数值，它也可以表示为复平面形式 z=sin(x+iy)，其中x表示实部，y表示虚部，z表示正弦函数结果，作为函数，正弦函数可以描述定义在实数集内的曲线。

二、正弦函数图像正弦函数y=sin x的图像如下所示：图1弦函数y=sin x的图像可以看出，正弦函数的图像是一条以原点（0，0）为中心的周期性图像，它以（π，0）和（-π，0）为极点，它形似一个波浪，起伏不定，一个完整的周期长度为2π，其中π约等于3.1415926。

复平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像如下所示：图2平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像正弦函数的复平面图像的特点是：它形似旋转的空心圆，有一定的中心对称性，其图像可以看作是一个以原点为中心的旋转空心螺旋。

三、正弦函数的性质1、正弦函数的单调性在正弦函数曲线的一个周期内，函数值先递增，再递减，由此可以认为正弦函数是单调递减函数。

2、正弦函数的对称性正弦函数是对称函数，在一个周期内，函数值和其对称轴处的函数值相等，即sin(x) = sin(- x)，此外，在正弦函数曲线中，（π，0）和（-π，0）是函数的极值点，即sin(π) = sin(-π) = 0，此外，正弦函数也具有垂直对称性，可以表示为y=sin x的对称轴是x 轴，函数值的对称轴是y轴。

3、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期函数，一个完整的周期长度为2π，由此，可以认为，当x在2π的整数倍的范围内，sin x的函数值和x在（0，2π）范围内的函数值是相同的。

4、正弦函数的极限性正弦函数的极限性可以用数学归纳法推导出来，即当x趋于正无穷大或负无穷大时，正弦函数的函数趋于1或-1，具体表示为lim x →∞sin x = 1；lim x→-∞sin x = -1。

正弦余弦函数的图象和性质(单调)

正弦余弦函数的图象和性质(单调)

练习
1、比较大小： 比较大小： 54 63 sin （1） （ − π）与 sin − π） （ 8 7 5 7 cos （2） 4， cos π， sin π 4 6
2、求函数 y = 4 sin( 2 x + 时的单调增区间 .
π
4
)，当 x ∈ [ 0， π ]
3、求函数 y = 2 sin （
知识回顾
y = sin x
y 1
y = cos x
y
图象 定义域 值域 奇偶性
π
2
1
π
3π 2
0
π
3π 2
2 π
x
−1
−1 -
o
2π
-
-
-
-
x
-
R
[-1，1] 奇 π
R
[-1，1] 偶
x=kπ 对称性（对称轴、 对称性（对称轴、 x = + kπ π 2 对称中心） 对称中心） （ 0 ）（ ∈ z） k （kπ，0） k∈z）（ + kπ， ， ） ∈
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π4π- Nhomakorabea6π-
-
2 π 取得最小值－ 当且仅当 x＝2kπ－ 时， y取得最小值－1 2
当且仅当 x＝2kπ +
-
x
π
时， y 取得最大值 1
余弦函数y=cosx的图象 的图象 余弦函数
y
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
-
6π

6.1正弦函数和余弦函数

6.1正弦函数和余弦函数

作正弦函数 y = sin x(x ∈ R) 的图象 y 1
-2π π
-π π
o -1
π
2π π
3π π
x
4π π
正弦函数 y = sin x( x ∈ R)的图象叫正弦曲线
正弦函数
性质:
定义域 值域 奇偶性 单调性 图像
x∈R
y ∈ [ 1,1]
奇函数
余弦函数
任意一个实数x都对应着唯一确定的弧度角, 而这个角又对应着唯一确定的余弦值cosx. 这样,对任意一个实数x都有唯一确定的值 cosx与它对应.按照这个对应法则所建立的 函数,表示为y=cosx,它叫做余弦函数.它 的定义域是实数集R.
[ 1,5]
3 0, 4
二次型 一次型
最大值和最小值 例3:求下列函数的最大值和最小值
π (1) y = 3 2sin 2 x 4
3π x = kπ + , k ∈ Z时,ymin = 1 8
x = kπ
π
8
, k ∈ Z时,ymax = 5
定义法
(2) y = cos 2 x 2sin x
x = 2 kπ +
π
2
, k ∈ Z时,ymin = 2 , k ∈ Z时,ymax = 2
x = 2 kπ
π
2
二次型
(3) y = sin x + cos x
3π x = 2 kπ , k ∈ Z时,ymin = 2 4 x = 2 kπ +
π
4
, k ∈ Z时,ymax = 2
一次型
(4) y = sin x + cos x + sin x cos x

正弦函数余弦函数的性质(单调性)

正弦函数余弦函数的性质(单调性)

正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们的图像和性质十分重要。

本
文将初步介绍正弦函数和余弦函数的性质（单调性）。

一、正弦函数
正弦函数的标准式为 y = sin x，表示角度 x 所对应的正弦值。

正弦函数的周期为
2π，即sin(x + 2π) = sin x。

正弦函数的图像如下：
从图中可以发现，正弦函数在定义域上是周期性的、振动的。

而其振动情况是单调递增，即在每个周期内都是由最小值逐渐增加到最大值，然后再回落到最小值。

例如，当x ∈ [0,π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。

当x ∈ [π/2,π] 时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。

当x ∈ [π,3π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。

当x ∈ [3π/2,2π] 时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。

总结来说，正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化。

每个周期的最
大值为 1，最小值为 -1。

当x = kπ （k∈Z）时，正弦函数的值为 0。

总结
在高中数学中，我们需要掌握正弦函数、余弦函数的相关性质，特别是它们的单调性。

正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化；余弦函数在一个周期内是单调
递减-单调递增的交替变化。

掌握这些性质可以更好地理解和运用三角函数。

正弦型函数的图像性质

正弦型函数的图像性质
详细描述
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度

正弦函数y=sinx的图像和性质

正弦函数y=sinx的图像和性质

y
-4 -3
-2
1
- o
-1

2
3
4
5 6 x
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
2
2
由y＝sinx，x∈[0，2π]的图像可以看出，下面五个 点在确定图像形状时起着关键的作用：
用描点法完成正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像。
列表：
x0Leabharlann π 6π 3π 2
2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π 2π
36
6323 6
y
描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。 连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。
正弦函数y＝sinx的图像和性质
正弦函数y＝sinx的图像
把函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图像向左平移2π就 能得到正弦函数y=sinx在区间[－2π，0]上的图像。
把正弦函数y＝sinx在区间[0，2π]上的图像向左、右 分别平移2π、4π、6π…个单位，就能得到正弦函数y＝ sinx，x∈R的图像。
我们把正弦函数y＝sinx(x∈R)的图像叫做正弦曲线。
（4）对称性：正弦函数y＝sinx的图像关于原点对 称，即
sin(－x)=－sinx
（5）单调性：
正弦函数y＝sinx在区间[ π， π] 上是增函数，在区间
22
[π，３ π] 上是减函数。
22
用五点法作出下列函数在区间[0，2π]上的简图。 （1）y＝sinx－1 （2）y＝2sinx

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)


) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [

2 2
+2k, +2k,

4

2 3 2
+2k],kZ 上单调递减 +2k],kZ上单调递增

2 k
(2) y=3sin(2x解：k 2
23 5
17 4
)
3 5
)=cos
3 5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos

4
17 4
=cos
0


cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数

4
<cos
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos( 235 ) - cos(
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx 6
解：
(4) 当
0 tan
7 6
tan

6

3 3
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
1 2 1 2 cos( x
[2k [2k

3 )

,2 k ,2 k

], ( k Z ) ], ( k Z )

2
函数
单调性（单调区间）

+2k, 2 +2k],kZ 单调递增

正弦函数图像和性质(单调性)

正弦函数图像和性质(单调性)

解：(1)因为－ ,且函数y sin x在区间
2 10 18 2
[ , ]上是增函数. 所以sin( ) sin( ),
22
10
18
y
1
2
o
2
-1
3
2
x
2
练习
不求值，比较下列各对正弦值的大小
sin 2 与sin 3
3
4
解：
2
23
3
4
3 ,
2
且y=sinx在2
,
3
2
周期性是三角函数的一大特点
周期（最小正周期） T 2
正弦型函数 y A sin(x )
周期（最小正周期） y
T
2
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6x
正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3 5π -2 3π - π o
∴函数 y＝sinπ4－2x的单调增区间为38π＋kπ，78π＋kπk∈Z.
例 2 函数 y＝sin2x＋3π的对称轴方程为________， [对解]称中∵函心数坐y标＝s为inx_，__x∈__R__的_[答对．案称]轴x方＝程k2π为＋1πx2＝，kk∈π＋Z π2，k2πk－∈π6Z，，0k∈Z
当y＝f(t)和t＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数； 当y＝f(t)和t＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝ f[g(x)]为减函数．
“同增异减”
[分析] 令 t＝3x－π3，当 x∈R 时单调递增，所以当函数 y＝sint 递增

正弦函数的图像和性质

正弦函数的图像和性质
正弦曲线
x
y
1
-1
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象呢？
思考与交流:图中,起着关键作用的点是那些?找到它们有什么作用呢?
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表
x
y=sin x
0
0
1
0
-1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
．
．
．
．
．
五点法
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
例题分析
x
y=sin x
y=-sin x
0
0
1
0
-1
0
0
-1
0
1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
描点得y=-sin x的图象
y=sin x x∈[0,2π]
y=-sin x x∈[0,2π]
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
函数y=sinx
5.2正弦函数的图像
1、正弦线
设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线
1
-1
0
y
x
●
●
●
正弦函数y=sinx（x R)的图象
y=sinx ( x [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●

高中数学课件-第一章 正弦函数的图像与性质

高中数学课件-第一章 正弦函数的图像与性质

周期函数：f(x+T)=f(x) 最小正周期：所有周期中最小的正数
y 1
4 x
y 1
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
当函当数xx∈ ∈是[[22增kkππ加+- 的ππ22，,,22kkππ++
例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图
解：(2)
x
0
π 2
π
3π 2
2
sinx 0
1
0
-1
0
1sinx 1
2
1
0
1
y. 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
3. 作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取 最大值、最小值的x值的集合。
解： ymax 2 sin x max 2 1 3
ymin 2 sin x min 2 (1) 1 周期T 2
使y=2+sinx取得最大值的x的集合是：
x
x
2
2k , k
Z
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：

1.3.1正弦函数的单调性

1.3.1正弦函数的单调性
复习: 正弦函数的图象
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y sin x
2
3
4
5 6 x
性质1、正弦函数的定义域 R 、值域 [ - 1, 1 ] 性质2、正弦函数的周期性 T=2π 性质3、正弦函数的奇偶性 奇函数
1.如何由正弦函数的图像找到对应的单调区间。 2.会利用正弦函数单调性比较大小。
3.会求函数y Asinx 的单调区间。
5
与
sin( 17 )
4
3角转化到同一单调区间. (3)利用单调性比较大小．
题型2 求函数的单调区间
（1）求函数 y sin x 1的单调递减区间。
y
2
单调递减区间：
[ 2o
2
2k ,
2
3
2
2k ](k
3
2
Z)
x
（2）求函数 y 2sin x 的单调递增区间。
(1)sin π ________sin π .
10
11
(2)sin13π________sinπ.
6
3
(3)sin13π________sin
－3π 8
.
8
3．函数 f(x)＝sin
2x－π 4
在区间
0，π 2
上的值域是________．
探究正弦函数在一个周期上的单调性
y
y sin x
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y sin x, x 0,2
增区间为 [
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得23kπ－1π8≤x≤23kπ＋158π，
故原函数的单调递增区间为23kπ－1π8，23kπ＋51π8，k∈Z.
由 2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋32π，k∈Z，
得23kπ＋158π≤x≤23kπ＋1118π，
2 5π 2 11π
故原函数的单调递减区间为 kπ+ ， kπ＋ ，k∈Z.
3 18 3
4
5 6x
对称轴：x k
2
(k Z )
对称中心：（ k，0） (k Z )
正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x
π 2
…
sinx -1
0… 0
π…
2
1
…
3π 2
0
-1
在闭区间 π22π2k，π,π2π2 2kπ, k Z 上, 是增函数；
在闭区间
π 2
2π2k，π,323π2π
2kyπ,
“同增异减”
[分析] 令 t＝3x－π3，当 x∈R 时单调递增，所以当函数 y＝sint 递增
时，复合函数 y＝sin3x－3π也单调递增；当函数 y＝sint 递减时，复合函数
y＝sin3x－3π也单调递减．
例 1 求 y＝sin3x－π3的单调区间．
解：由 2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
2
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1
2
周期的概念
3
4
5 6x
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f ( x＋T )＝ f (x)
那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函
数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个
正弦函数的图像与性质
函数
y 1
o
2
2
-1
3
2
x
2
正弦函数y=sinx 的性质

1
-4 -3
-2
- o
2
-1
3 2
2
2
3
4
1.定义域：x R
5 6x
2.值域： y [-1,1]
当且仅当x 2k , k Z时，sin x 1
2 当且仅当x 2k , k Z时，sin x 1
k
Z
上，是减函数.
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
例• 复1合求函数yy＝＝fs[gi(nx)]3x－π3的单调区间．
• 由函数y＝f(t)和函数t＝g(x)复合而成 • 单调性的判定方法是：
当y＝f(t)和t＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数； 当y＝f(t)和t＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝ f[g(x)]为减函数．
∴函数 y＝sinπ4－2x的单调增区间为38π＋kπ，78π＋kπk∈Z.
例 2 函数 y＝sin2x＋3π的对称轴方程为________， [对解]称中∵函心数坐y标＝s为inx_，__x∈__R__的_[答对．案称]轴x方＝程k2π为＋1πx2＝，kk∈π＋Z π2，k2πk－∈π6Z，，0k∈Z
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6x
正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3 7π 4 2
正弦函数的对称性
-4 -3
-2
y
1
- o
2
-1
3 2
2
2
3
解：(1)因为－ ,且函数y sin x在区间
2 10 18 2
[ , ]上是增函数. 所以sin( ) sin( ),
22
10
18
y
1
2
o
2
-1
3
2
x
2
练习
不求值，比较下列各对正弦值的大小
sin 2 与sin 3
3
4
解：
2
23
3
4
3 ,
2
且y=sinx在2
,
3
2
最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
正弦函数的周期性
图象特点: 间隔一定长度图象重复出现
公式依据： sin(x 2k ) sin x, k Z
周期性是三角函数的一大特点
周期（最小正周期） T 2
正弦型函数 y A sin(x )
周期（最小正周期） y
T
2
y=sinx xR
上是减函数，
sin 2 sin 3
3
4
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
最值
实数集R
[-1,1]
2π
奇函数
在
2k
2
,
2k
2
（ k
Z）上是增函数；
在
2k
2
,
2k
3
2
(k
Z
)上是减函数；
当x
2k
2
时，ymax
1
对称轴：x k
2
对称中心：（ k，0）
(k Z )
(k Z )
18
练习
函数 y＝sinπ4－2x的单调[增答案区] 间3的8π＋_k_π_，__78π_＋__kπ．k∈Z
[解] y＝sinπ4－2x＝－sin2x－π4， ∴函数 y＝sinπ4－2x的单调增区间， 即为函数 y＝sin2x－π4的单调减区间， 令π2＋2kπ≤2x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， ∴38π＋kπ≤x≤78π＋kπ，k∈Z，
对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z， ∴令 2x＋π3＝kπ＋π2，得 x＝k2π＋1π2，k∈Z， 令 2x＋π3＝kπ，得 x＝k2π－π6，k∈Z， 故函数 y＝sin(2x＋π3)的对称轴方程为 x＝k2π＋1π2，k∈Z， 对称中心坐标为k2π－6π，0，k∈Z.
例3 不通过求值，比较下列各式的大小 与