第二类曲面积分的新计算方法

第二类曲面积分例题曲面积分是对曲面上某个量进行积分的数学工具，用于计算曲面上的各种物理量或几何特性。

下面我会给出一个例题，并从多个角度进行解答。

例题，计算曲面积分 $\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS$，其中曲面$S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，且法向量与 $z$ 轴的夹角小于$\frac{\pi}{2}$。

解答：1. 参数化法：我们可以使用球坐标系来参数化球面 $S$，令$x=a\sin\phi\cos\theta$，$y=a\sin\phi\sin\theta$，$z=a\cos\phi$，其中 $0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq\theta\leq2\pi$。

计算曲面积分可转化为计算参数化后的积分：$$\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi}(a^2\sin^2\phi\cos^2\theta + a^2\sin^2\phi\sin^2\theta +a^2\cos^2\phi)a^2\sin\phi d\theta d\phi$$。

化简后可得结果。

2. 法向量法，由于曲面 $S$ 是球面，其法向量可以表示为$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}}{a}$，其中 $\mathbf{r} =x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 是曲面上的任意一点。

计算曲面积分可转化为计算 $\iint_S(\mathbf{r}\cdot\mathbf{N})dS$。

代入球面方程和法向量表达式后，进行积分即可得结果。

3. 散度定理法，根据散度定理，曲面积分可以转化为对曲面所围立体的体积分。

因为球面 $S$ 是闭合曲面，所以可以使用散度定理。

计算散度 $\nabla\cdot(\mathbf{F})$，其中 $\mathbf{F} = (x^2+y^2+z^2)\mathbf{i} + (x^2+y^2+z^2)\mathbf{j} +(x^2+y^2+z^2)\mathbf{k}$。

2019考研数学：第二类曲线积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。

下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲线积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。

（一）直接法（1）设有光滑曲线L:):(,)()(βα→⎩⎨⎧==t t y y t x x ，其起点和终点分别对应参数βα==t t ,，),(),,(y x Q y x P 在L 上连续，则dtt y t y t x Q t x t y t x P Qdy Pdx L⎰⎰+=+βα)]('))(),(()('))(),(([这里的βα,谁大谁小无关紧要，关键是要和起点和终点分别对应。

（二）格林公式法设闭区域D 是分段光滑的曲线L 围成，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx D L ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+，D 其中L 为D 取正向的边界曲线（所谓正向就是当沿曲线正向行走时，区域在左手边）。

但是考研数学中涉及到格林公式时，一般不能直接使用，是因为命题人会故意破坏格林公式的使用条件：L 不是封闭曲线，也就没有有界闭区域；虽然有有界闭区域，但),(),,(y x Q y x P 在D 上没有一阶连续偏导数。

这就要求同学们要学会使用“补线法”，补上一条或多条曲线，使得封闭出满足格林公式使用条件的有界闭区域。

（三）利用线积分与路径无关 1. 理论依据：定理：设函数),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 上有一阶连续偏导数，则以下四条等价：（1） ⎰+L Qdy Pdx 与路径无关；（2）0=+⎰L Qdy Pdx ，其中L 为D 中任一分段光滑闭曲线； （3）yPx Q ∂∂=∂∂ （4）),(),(),(y x dF dy y x Q dx y x P =+ 2. 计算（1）改变积分路径：一般是沿平行于坐标轴的直线积分，⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P 或⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dx y x P dy y x Q dy y x Q dx y x P 。

设 是有向曲面 . S 为 上一小块曲面 , 在 xoy 面上的 投影为 ( S ) xy , 其面积为 ( ) xy , 曲面上各点处法向 量与 z 轴夹角为
, 且 cos 不变号 , 则
cos 0 cos 0 ; cos 0
( S ) xy

vi
.
( i , i , i )

o
y
x
那么 S i内的流量近似值为

i
( M i ) n( M i ) Si
( P cos i Q cos i R cos i ) S i

P ( S i ) yz Q ( S i ) zx R ( S i ) xy
( 2 ) 当 R ( x , y , z ) R ( x , y , z )时 , R ( x , y , z ) dxdy 0

,
( yoz , zox ) 面上的投影为
( S i ) xy [( S i ) yz , ( S i ) zx ];
( 2 ) M i ( i , i , i ) S i , 有 n ( M i ) {cos i , cos i , cos i }, ( M i ) { P ( i , i , i ), Q ( i , i , i ), R ( i , i , i )};
cos 0 cos 0 . cos 0
二. 实例(流量问题)
设某流体以一定的速度 P ( x , y, z )i Q ( x , y, z ) j R ( x , y, z )k 从给定曲面的负侧流向 求单位时间内流经曲面 正侧 , P , Q , R 为连续函数 的总流量 . ,

n
存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
组合形式:
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy

1
2.
P ( x , y, z )dydz P ( x , y, z )dydz

Q( x , y, z )dzdx Q( x , y, z )dzdx

R( x , y, z )dxdy R( x , y, z )dxdy

o
Dxy
y
x
(s) xy
R( x, y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0 i 1

n
取上侧, cos 0, 又 i z ( i , i )
n
( Si ) xy ( ) xy ,
lim R( i , i , i )( Si ) xy
解
x
1

把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x 2 y 2 ; 2 : z2 1 x 2 y 2 ,
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x y dxdy xy( 1 x y )dxdy
第六节 第二类曲面积分
• • • • • • 一、曲面的侧 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分的联系 六、小结 思考题
一、曲面的侧
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)