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函数极限的求法

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序言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。

两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。

因此，本文只就函数极限进行讨论。

函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。

求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。

对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。

在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。

本文给出了十二种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。

下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。

一、函数极限的定义定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x limf(x)=a 或f(x )→a(x →+∞)。

定义二：若当x 无限接近0x 时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向0x 时，函数f （x ）趋向于a ，记作0x lim →x f(x)=a 或f(x) →a(x-0x )。

二、函数极限的求法下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：1、直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。

例1：求1352lim 22+-+→x x x x分析：由于2lim →x (22x +x-5)=22lim →x 2x +2lim →x x-2lim →x 5=2·22+2-5=5,2lim →x （3x+1）=32lim →x x+2lim →x 1=3·2+1=7所以采用直接代入法。

解：原式=)13(lim 5x x 2lim 222x +-+→→x x ）（=12352222+⋅-+⋅=752、利用极限的四则运算法则求极限这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。

定理 若0x lim →x f(x)=Ax lim →x g （x ）=B（1）0x lim →x [f(x )±g(x)]=x lim →x f(x) ±0x lim →x g(x)=A+B(2)x lim →x [ f(x )·g(x)]= 0x lim →x f(x) ·0x lim →x g(x)=A ·B(3)若B ≠0 则：0x lim →x )()(x g x f =)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→=BA(4)x lim →x C ·f(x )=C ·0x lim →x f(x)=CA （C 为常数）上述性质对于x →∞，x →+∞，x →-∞时也同样成立例2：求453lim 22+++→x x x x解：453lim 22+++→x x x x =4252322++⋅+=25 3、利用极限定义求解函数极限ε-δ定义：)(lim 0x x f x →=A: ,0,0>∃>∀δε当0<|x-0x |<δ时，|f （x ）- A |<ε)(lim -0x f x x →=A: ,0,0>∃>∀δε当-δ<x-0x <0时， |f （x ）- A |<ε)(lim 0x f x x +→=A: ,0,0>∃>∀δε当0< x-0x <δ时，|f （x ）- A |<ε:)(lim A x f x =∞→,0,0>∃>∀M ε当|x|>M 时，|f （x ）- A |<ε :)(lim A x f x =+∞→,0,0>∃>∀M ε当x>M 时，|f （x ）- A |<ε :)(lim ∞=-∞→x f x ,0,0>∃>∀X G 当x<-X 时，|f （x ）|>G例1：用极限定义证明：2lim →x 2-x 23x -2+x =1证：由12232--+-x x x =2442-+-x x x =2)2(2--x x =2-x0>∀ε 取δ=ε 则当0<|x-2|<δ时，就有12232--+-x x x <ε由函数极限ε-δ定义有：2lim →x 2-x 23x -2+x =14、利用无穷小量的性质求解性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，且f(x )≠0,则）（x f 1为无穷大量，反之亦然。

性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：这函数f 、g 、h 在)(x U 00内有定义，且有f(x)~g(x) (x →0x )(1) 若0x lim →x f(x)h(x)=A ，则0x lim →x g(x)h(x)=A;(2) 若0x lim→x )()(x g x h =B ； (3) 当x →0时，x ~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~1e x-~ln(x+1)并且1-cosx~2x 21。

例4：求0lim →x xsinx1解：因为|sin x 1|≤1，所以|sin x1|是有界变量，又0lim →x x=0，所以当x →0时，xsin x1是有界变量与无穷小量的乘积，根据无穷小量的性质可知，xsin x 1是无穷小量，所以0lim →x xsin x1=0注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。

例如，当x →∞，x1是无穷小量，2x 个这种无穷小之和的极限显然为2。

（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。

（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。

例如，当 x →0x 时，2x 是无穷大量，2x 1是有界量，显然2x ·2x 1→0。

（4）X →*下，f(x)>0，其极限*lim →x f(x)未必大于0，例如，f （x ）=⎩⎨⎧=≠0x 80x x 2，，显然f(x)=0.5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解例5：求2lim→x 4x x52- 解：因为2lim →x 2x -4=0，2lim →x 5x=10，所以我们可以求出2lim →x 5x4x 2-=100=0这就是说，当x →2时，5x4x 2-为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量，所以4x x 52-为x →2时的无穷大量，即2lim →x 4x x52-=∞ 6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限）利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果： （1） 若f(x)在0x 处连续，则0x lim →x f(x)= f(0x )；（2） 若)(x 0lim ∞→→x x ϕ（x ）=A ，y=f(u)在u=A 处连续则)(x 0lim ∞→→x x f[ϕ(x)]=f(A);（3） 若)(x 0lim∞→→x x f(x)=A>0,)(x 0lim∞→→x x g(x)=B,则)(x 0lim ∞→→x x )()]([x g x f =B A 例6：1lim →x 2ln （7x-6）解：因为y=2ln （7x-6）是初等函数，在定义域（76，+∞）内是连续的，所以在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以1lim →x 2ln （7x-6）=2ln （7-6）=07、利用约零因子法求解例7：求3lim→x 9x 3-x 2-分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.解： 原式= 3lim →x 3)3)(x -(x 3-x + (因式分解)= 3lim →x 3)(x 1+ (约分消去零因子)= (应用法则)=当分子和分母的极限同时为零时，可以考虑约去分子、分母的零因子（若不方便约分，可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解）。

想例题这种含根式型（或差式∞-∞型）求极限时，一下看不出零因子，常常需要分子、分母有理化（或通分），然后再因式分解约去零因子进行求解。

8、利用等价无穷小量代换求解当x →0时，有（1）sinx~x ，（2）tanx~x ，(3) arcsinx~x ，(4) arctanx~x ，(5) 1e x-~x ， (6) ln(x+1) ~x ， 例8：求0lim→x 2xcos2x-1解：因为当x →0时，1-cos2x ~212x 2）（，所以0lim →x 2x cos2x -1=0lim →x 22xx 221）（⨯=0lim →x 22x 2x =2 （注意：在利用等价无穷小做代换时，一般只是在以乘积形式出现时才进行互换，而以和、差出现时，不要轻易代换，否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。

）9、利用两个重要极限公式及其推导公式来解（1）第一个重要极限：0lim→x x sinx =1：其变形为：0lim →）（x μ）（）（x x sin μμ=1（2）第二个重要极限：0lim →x x1x 1）（+=e ：其变形为：0lim →）（x μ）（））（（x1x 1μμ+=e或∞→x lim xx11）（+=e ：其变形为：∞→）（x μlim (x)x 11μμ））（（+=e 例9：求0lim→x 2x cosx-1 解：先判断类型，是“00”型，含三角函数（sin 2x→0），且不能消零因子，现在我们利用第一个重要极限求解。

解：原式=0lim→x 22x 2x2sin =0lim →x 222x 22x sin ）（=210lim →x 22x 2x sin）（=21×1=2110、运用洛比达法则求解（适用于未定式极限）洛比达法则是求“00”型和“∞∞”未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能求。

（0-∞，∞-∞，00，∞1，0∞型未定式可以转化为“00”型和“∞∞”未定式）定理：若（i ）0x lim →x f(x)=0，0x lim →x g （x ）=0（ii ）f 与g 在0x 的某空心领域)(x U 00内可导，且g （x ）≠0（iii ）0x lim →x )()(x g x f =A （A 可为实数，也可为±∞或∞），则0x lim →x )()(x g x f =0x lim →x )()(''x g x f =A此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。

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求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。

通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

极限的求解方法总结

极限的求解方法总结

千里之行，始于足下。

极限的求解方法总结极限是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点或某一趋势中的趋于无穷的行为。

在求解极限问题时，我们可以使用多种方法来获得精确的结果。

下面将对常见的求解极限问题的方法进行总结。

1. 代入法：代入法是求解极限问题中最简洁和直接的方法。

它适用于大多数简洁的极限问题，只需要将极限中的变量代入函数中，计算得到的函数值就是极限的结果。

但是需要留意的是，代入法只适用于那些在给定点四周有定义的函数。

2. 夹逼准则：夹逼准则常用于求解函数极限时。

该方法的基本思想是通过构造两个函数，一个渐渐趋近于极限，并且一个渐渐远离于极限。

若两个函数的极限都存在且相等，则可以得到原函数的极限。

3. 分式分解与有理化：对于一些简单的极限问题，我们可以通过将分式进行分解，或利用有理化的方法简化问题。

分式分解的方法适用于含有多项式的极限问题，将分式拆解成更简洁的形式，然后进行计算。

有理化的方法则适用于含有根式的极限问题，通过去除分母中的根式，将问题转化为含有多项式的形式。

4. 泰勒级数开放：泰勒级数开放是一种将函数用无穷级数形式进行表示的方法。

通过该方法，我们可以将一个简单的函数开放成一个无穷级数，然后利用级数的性质来求解极限问题。

泰勒级数开放的方法适用于对于某一点四周的函数近似求极限的问题。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

5. 极限性质和公式：在求解简单的极限问题时，我们可以利用极限的性质和公式来简化计算。

例如，极限的和差性、积性、倒数性、幂等性等公式都可以用来简化极限问题的计算。

6. L'Hospital法则：L'Hospital法则是一种通过对函数的导数进行操作来求解极限问题的方法。

该方法适用于极限的形式为0/0或无穷/无穷的问题。

依据L'Hospital法则，假如函数f(x)和g(x)在给定点四周连续可导，并且f(x)/g(x)的极限存在，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)的极限。

求函数极限的八种方法

求函数极限的八种方法

求函数极限的八种方法
常见的求函数极限的方法有八种：
1.定义域内求函数极限：在函数的定义域内直接计算函数值，即可得到函数的极限值。

2.不存在极限：若函数在某一点的极限不存在，则在该点处函数没有极限。

3.左右极限存在且相等：若函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则在该点处函数的
极限等于左右极限的值。

4.不等式法求极限：通过不等式将函数的上下界确定，从而确定函数的极限值。

5.函数的单调性求极限：通过函数的单调性可以确定函数在某一点处的极限值。

6.函数连续性求极限：通过函数的连续性可以确定函数在某一点处的极限值。

7.函数导数存在求极限：通过函数的导数存在性可以确定函数在某一点处的极限值。

8.无穷小量法求极限：通过考虑无穷小量对函数值的影响，可以确定函数在某一点处的极
限值。

这八种方法都可以用来求解函数的极限，但是在实际应用中，不同的方法适用于不同的情况。

例如，当函数的定义域内有足够的数据时，定义域内求函数极限是最直接的方法；如果函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则可以直接使用左右极限的值作为函数在该点处的极限值；如果函数有明显的单调性或连续性，则可以利用这些性质来求解函数的极限；如果函数的导数存在，则可以利用导数的性质来求解函数的极限。

总之，求函数极限有许多方法，选择哪种方法取决于函数的性质和特点。

在实际应用中，应该根据函数的具体情况选择适当的方法，以得到最准确的结果。

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。

时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1求lim( x 2 − 3x + 5).x→ 2解：lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5= (lim x) 2 − 3 lim x + lim 5= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)' = 1 / (cosx)^2(x)' = 1原式= lim 1/(cosx)^2当x --> 0 时,cosx ---> 1原式= 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0 ；②分子上取正弦的角必须与分母一样。