最优捕鱼策略原稿

1 最优捕鱼策略 摘 要 为了保护人类赖以生存的的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度，本文主要研究在可持续的发展前提下，并对问题进行合理的假设，建立非线性规划模型来寻求最优捕鱼策略，以达到最大总获量。 对于问题1，首先，我们根据死亡率的定义以及它的量纲，运用微积分知识推导得到各年龄组鱼的数目与时间和死亡率的关系，得到1、2年龄组鱼的数目)(txi与时间t（年）和死亡率a的关系：

atiiextx)0()( )2,1,010(ita

及3、4龄鱼的数目)(txi与时间t、死亡率a和捕捞强度系数ia的关系：







,321 )32(,032 )0()()32()(textex

txtati

taai

i

i

)4,3,0(ia

然后，我们假设以年作为捕鱼的单位时间，孵化时间在9月，并且在每年末进行捕鱼，以年收获总量为目标函数，以初始各年龄组鱼的数目，捕捞强度系数为决策变量，以可持续性发展为约束条件，建立非线性规划模型。最后，用lingo软件编程得结果如下表： 对于问题2，首先假设仍然以年作为捕鱼的单位时间，孵化时间在9月，在每年末进行捕鱼，并且每年的捕捞强度系数不变。然后结合问题1，提出各年龄鱼的数目的时间递推算法，以5年的总收获量为目标函数，捕捞系数为决策变量，并规定第6年的产卵量不少于第1年产卵量的90%作为约束条件来反映该鱼群的生产能力不受太大破坏，，建立非线性规划模型。用lingo软件编程得到结果：最优解为每年3，4龄鱼的捕捞系数分别为12.654,30.12857，可获得最优值最大收获量为13101599797.0克。本文最后还对模型进行检验、合理的评价和推广。

关键词：非线性优化；捕捞系数与死亡率；最大收获量 2

一、问题的提出 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鱼题T 鱼）的最优捕捞策略： 假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(克)，各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为5101.109 个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵

和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为)1022.1/(101.221111n 。 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数，通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 建立和求解合理的数学模型，回答下列问题： 1、建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。 2、某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29(×910条)，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

二、问题的分析 问题一要求建立数学模型分析如何实现可持续捕获，在此前提下得到最大的年收获量。这是一个优化问题，需要建立优化模型来解决，首先我们确定我们的目标函数是使年收获量达到最大；而决策的变量有捕捞度系数3a、4a，初始时各年龄组鱼的数目0ix（i=1,2,3,4）。题目中提到自然死亡率，根据相关资料

查询和推导出原题中死亡率]1[的定义)()(taxdttdx由此积分可得 atextx)0()( ，

再进一步结合死亡率和捕捞强度系数可得：

)()()()(lim0txkatttxtxt 3

由此积分求解得： tkaextx)()0()(，

得到单位时间内的捕获量为 tkaexktxk)()0()(

其中k为3、4龄鱼捕捞系数。 但是结合考虑第二问的问题和在较合理条件下，我们假设以年作为捕鱼的单位时间，并且在每年末进行捕鱼，根据题意列出目标函数和约束条件，用相应的工具解决该非线性规划问题，得出优化结果。 问题二要求在5年后鱼群的生产能力不能收到太大破坏的前提下，仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采用怎样的策略才能使得总收获量最大。问题2是在问题1的基础上再进一步的扩展，仍然是一个优化问题，初始各年龄组的数目已知，目标函数是使得5年的总收益达到最大，决策变量为3,4龄鱼每年的捕捞强度系数，约束条件是要求五年后鱼群的生产能力不受到太大的破坏，即3、4龄鱼的数目不发生太大改变，我们假定一个合理的界限为约束条件，假设第6年的产卵量不少于第1年产卵量的90%，该鱼群的生产能力不受到太大的破坏。

三、模型的假设 1、 假设该种鱼分为四种年龄组，1，2，3，4龄鱼，且各年龄组每天鱼的重量分别为：5.07,11,55，17.86,22.99（克），不考虑4龄鱼以上年龄组的鱼； 2、不考虑鱼群的迁入和迁出等因素对鱼群数量的影响； 3、假设各年龄组的死亡率为0.8（1/年）； 4、假设以年为捕鱼时间单位； 5、假设平均每条4龄鱼的产卵量为510109.1个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，孵化期在9月，孵化后成活为1龄鱼，成活率为

n11111022.11022.1；

6、假设生产能力不受太破坏的标准为第6年的产卵量不少于第1年产卵量的90%。 四、符号说明

)(txi

: t时刻第i龄鱼的数量（4,3,2,1i)

3a ：3龄鱼的捕捞度系数

4a ：4龄鱼的捕捞度系数

m ：平均每条4龄鱼的产卵量，m为510109.1；

n ：总产卵量 a ： 年死亡率 4

W ：年收获量（捕获总重量）  ：孵化的成活率

五、模型的建立与求解 5.1 问题1模型的建立与求解 5.1.1 模型的准备 已知各龄鱼的自然死亡率为0.8（1/年），根据死亡率的定义，得到)(tt时刻鱼群数量的减少量，占t时刻鱼群数量的比例，即

btxttxtx)()()(

但b表示死亡数目占总数的多少，与各龄的自然死亡率的单位（1/年），即前者无量纲，后者有量纲，而且鱼的死亡是一个瞬时连续的过程，无时无刻都在发生，t取一个极小的时间间隔，当0t时，得到瞬时死亡率a，即

atxtttxtxt)()()(lim0

根据微分定义可得:

)()(taxdttdx 两边同时积分: atextx)0()(

当0t时，有)0()(xtx，即该年龄组鱼群的鱼年初的初始数量。 而对3、4龄鱼在前8个月被捕捞的情况下，综合考虑捕捞和死亡率可得到:

)()()()(lim0txkatttxtxt



 即：

)()()(txkadttdx 两边同时积分: tkaextx)()0()(

得到3、4龄鱼前8个月的数量与时间t、捕捞系数ia之间的关系为： taaiiextx)()0()(

综上， 1、2龄鱼的数量与时间、死亡率的关系为： atiiextx)0()( )2,1,010(ita，

3、4龄鱼的数量与时间、死亡率、捕捞率的关系为： 5







,321 )32(,032 )0()()32()(iexiex

txtati

taai

i

i

)4,3,0(ia

5.1.2模型一的建立与求解 问题1要求在实现可持续捕获的前提下，获得最高的年收获量。因此对于问题1我们建立优化模型来解决，以年收获量W为目标，可持续发展和实际条件为约束条件（即各年龄组的数量条数在第2年初不改变）。根据实际捕鱼情况，我们假设以年为单位时间进行捕捞，由此来计算年收获总重量。设初始的各龄鱼的数目为)0(1x、)0(2x、)0(3x、)0(4x，3，4龄鱼的捕获强度系数分别为3a 、4a且42.0/43aa；m为平均每条4龄鱼的产卵量，根据假设知510109.1m；n为产

卵总量。

由于捕捞过程只能在1到8月(320t)进行，而且只能捕获 3、4龄鱼，所以可以得到任意时刻捕获量为)(txai ，由积分可得捕获总重量为：

3204432033)(99.22)(86.17dttxadttxaW

运用数学积分方法可得捕鱼总重量：

]1[)0(99.22]1[)0(86.17)(32-444)(32-3334)3aaaaeaaxaeaaxaW

根据假设只有3、4龄鱼可以产卵，且平均每条3、4龄鱼产卵数目分别为m21、m，且产卵时间为九月初，由此可得产卵数目： )(324)(32343)0()0(21aaaaemxemxn

孵化成活率：

nn11111022.11022.1

综上，建立非线性规划模型： ]1[)0(99.22]1[)0(86.17max)(32-444(32-33343aaaaeaaxaeaaxaW（）