沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.7 (1)列方程(组)解应用题 教案

1．理解题意列出方程，用恰当的方法解方程，正确的检查结果的合理性；2．根据具体实际问题中的数量关系列出方程组，运用二元二次方程组解决实际问题．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾下上次课的预习思考内容问题：列方程（组）解应用题的步骤和注意事项：步骤：（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；（2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；（3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；（4）解方程并检验；（5）写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．案例：《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时．以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断．张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点．”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的0010，可没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？参考答案：解：设李师傅的平均速度为x 千米/时，则张师傅的平均速度为(20)x -千米/时，根据题意，得400400120x x-=-， 去分母，整理，得22080000x x --= 12100,80x x ==-，经检验，12100,80x x ==-都是所列方程的根，但280x =-不符合题意，舍去.所以100x = x =100； 李师傅的最大时速是：100（1+10％）=110所以李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法.（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：某中学在庆祝“六一”儿童节期间举办“2015，我读过的图书”展示活动．已知下列信息：（1）甲班提供图书320本，（2）乙班提供图书310本，（3）乙班有30名学生，（4）这两个班人均提供图书比甲班人均提供图书多1本．依据上述信息，你可以确定甲班的学生人数吗？若可以，请给出解答过程；若不可以，请简述理由．参考答案：解：可以确定甲班的学生人数，具体解答过程如下：设甲班学生有x 人，根据题意，可列出方程320310320130x x+-=+ 两边同时乘以(30)x x +，再整理，得228096000x x -+=解得 1240x =，240x =经检验，1240x =，240x = 都是原方程的根，但某中学一个班级的人数不可能为240，所以取40x = 答：甲班学生有40人试一试：某校学生在获悉青海玉树地震后，纷纷拿出自己的零花钱，参加赈灾募捐活动．（1）班学生共募捐840元，（2）班学生共募捐1000元，（2）班学生的人均捐款数比（1）班学生的人均捐款数多5元，且人数比（1）班少2名，求（1）班和（2）班学生的人数．参考答案：由题意，得8042740707x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩ 解得：173x y =⎧⎨=⎩ 经检验：173x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，也符合题意． 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时．试一试：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度。

我会鼓励学生在讨论中积极表达自己的观点，并倾听他人的意见。同时，我会巡回指导，帮助解决学生在讨论中遇到的问题，确保每个学生都能参与到解题过程中。
（四）课堂练习
在小组讨论之后，我会安排一些课堂练习，让学生独立完成。这些练习将包括不同难度的题目，旨在巩固学生对二元二次方程的理解和应用能力。我会提供及时反馈，指出学生的错误，并指导他们如何改正。
1.通过实例引入二元二次方程，让学生在实际问题中感受其应用，培养学生的问题意识。
2.通过小组合作、讨论的方式，引导学生探索代入法、消元法的解题方法，培养学生的合作精神和创新意识。
3.引导学生运用所学的二元二次方程知识解决实际问题，提高学生将数学知识应用于实际生活的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，使学生乐于探究二元二次方程的解法，并主动将其应用于实际问题。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出二元二次方程模型，以及如何在实际问题中灵活运用解法求解。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，通过实际问题的引入，让学生感受二元二次方程的广泛应用，激发学生的学习兴趣。
（2）运用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现二元二次方程的解法。
首先，我会让学生思考如何表示这个问题的数学模型。通过引导学生讨论，我们会得到两个变量：圆形花坛的半径和矩形花园的长宽。接着，我会指导学生如何建立方程来表示花园的边界条件，以及如何利用这些条件来求解最大的圆形花坛面积。
（二）讲授新知
在这一环节，我会正式引入二元二次方程的概念，并解释其一般形式。我会通过公式和图形的结合，让学生直观地理解二元二次方程的几何意义。接着，我会详细讲解代入法和消元法的步骤，并通过具体的例子来展示这两种方法的应用。

一元二次方程学情分析：本班有学生25人，数学课还比较喜欢，学习热情也较高，课堂气氛比较活跃。

学生在学过一元一次方程的基础上学习，还是对方程有一定的认识。

一、教学目标、1、情感态度与价值观⑴.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

⑵感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2、过程与方法⑴通过观察，归纳一元二次方程概念的教学⑵使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。

3、知识与技能⑴通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义。

⑵. 一元二次方程的一般形式及其有关概念二、教学重点、难点⑴．一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。

⑵．通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

三、教学资源⑴每人一份印刷练习题⑵教师自制的多媒体课件⑶上课环境为多媒体大屏幕环境四、教学过程㈠、情境导入•什么是方程？•含有未知数的等式叫方程你学过的方程是什么样子的？如：x+3=51\2x+4=85x-2=6 ……它们都有什么特点？一个未知数，未知数的最高次数是1它们都是一元一次方程问题展示1、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试求出截去的小正方形的边长．分析：由题意可知截取后的底面积．故应根据面积找相等关系解题．解：设小正方形边长为x cm，则盒子底面的长、宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm，则有（80-2x）（60-2x）＝1500．即x2-70x+825＝02、剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．解：设这块铁片宽x cm，则长是（x+5）cm．根据题意，可得x（x+5）＝150．即x2+5x-150＝0二、活动观察这两个方程有什么共同点？x2-70x+825＝0x2+5x-150＝0方程中未知数的个数、次数各是多少？三、梳理等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程．1、定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程2、．观察下面两个方程1\2x(x-1)=28 x2-x-56=06x(x-1)+2=16 6x2-6x-14=0梳理：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2+bx +c =0 （a ≠0）为什么？这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．四、合作探究1、下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有： 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．解：方程(1)整理为5x 2-4x -1=0；其中二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1．方程(2)整理为4x 2-81=0；其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81．分析：剪铁片的题目中，列得的方程为x 2+5x-150＝0． x 1 2 3 … 9 10 11 x 2+5x -150 -144-136 -126 … -24 16是方程x 2+5x -150的解．一元二次方程的解也叫一元二次方程的根．通过计算可知，当x =-15时，方程左边为0，与方程右边相等，所以x =-15也是方程x 2+5x -150=0的根．探究：虽然方程x 2+5x -150=0有两个根（x =10和x =-15），但剪铁片问题的答案21250x x -+=（）224310x y --=（）230ax bx c ++=（）4120x x +-=（）（）2150a a +=（）2621m -=（）（）)(1)(4)(622151424810x x x -=-=（）（）只有一个，宽应为10cm ．由实际问题列出方程并得出方程的解后，必须考虑这些解是否是该实际问题的解，即是否符合生活实际．思考1、下列哪些是方程的x 2+6x -16=0根？0，2，4，6，8，-2，-4，-6，-8．2、试写出下列方程的根．（1）3x 2-27=0（2）4x 2=1（3）x 2-x =03、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根． 列方程解决实际问题时，解不仅要满足所列方程，还需满足适合实际.五、巩固练习1、一元二次方程3y （y ＋1）=7（y ＋2）－5化为一般形式为 ；其中二次项系数为 ；一次项系数为 ；常数项为 ．2、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2+kx -1=0为一元二次方程，则k六、应用拓宽关于x 的方程是一元二次方程，求m 的值。

2024春八年级数学下册21.7列方程组解应用题2教学设计沪教版五四制一. 教材分析本节课是沪教版五四制八年级数学下册第21.7节“列方程组解应用题2”，主要内容是利用二元一次方程组解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握方程组解的应用，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二元一次方程组的基本知识，能够熟练地列出方程组并求解。

但部分学生对于如何将实际问题转化为方程组问题仍存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过具体例题和练习，提高他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解方程组解的应用，能够将实际问题转化为方程组问题。

2.掌握利用方程组解决实际问题的方法，提高解决问题的能力。

3.培养学生的数学思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.教学重点：如何将实际问题转化为方程组问题，并利用方程组解决问题。

2.教学难点：对于复杂实际问题，如何找到合适的解决方法，将问题简化。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动思考，积极参与。

2.通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

3.利用多媒体教学手段，生动展示实际问题，提高学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.准备相关实际问题的素材，用于引导学生思考和讨论。

2.设计好课堂练习题，巩固学生所学知识。

3.准备黑板，用于板书解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个简单的实际问题，引导学生思考如何将问题转化为方程组问题。

例如：小华买了3本书和2支笔花了27元，买5本书和3支笔花了41元，问每本书的价格和每支笔的价格分别是多少？2.呈现（10分钟）教师引导学生分析问题，找出未知数，列出方程组。

在这个过程中，教师要注意引导学生思考，如何将问题转化为方程组问题，并强调解题的关键步骤。

3.操练（10分钟）教师让学生独立解决一个类似的实际问题，例如：小明买了4个书包和5支笔花了58元，买6个书包和3支笔花了77元，问每个书包的价格和每支笔的价格分别是多少？学生完成后，教师进行点评和讲解。