【精品】2019年高考数学复习分类专题讲座★★★★ §2.1 函数及其表示

[规律方法]
函数定义域问题的类型及求解策略
1已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解. 2实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解.
3抽象函数： ①若已知函数 fx 的定义域为 [a ， b] ，其复合函数 fgx 的定义域由不等式 a≤gx≤b 求出； ②若已知函数 fgx的定义域为[a，b]，则 fx的定义域为 gx在 x∈[a，b]时的 值域. ③已知 f[φx]定义域为[m， n]， 求 f[hx]定义域， 先求 φx值域[a， b]， 令 a≤hx≤b， 解出 x 即可.
)
B．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
C
2x－3≥0， [由题意知 x－3≠0，
3 解得 x≥2且 x≠3.]
3．如图 211 所示，所给图像是函数图像个
C．3 个 D．4 个 B [(1)中，当 x＞0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此(1)不是函
5．(2015· 全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图像过点(－1,4)，则 a＝________.
－2
[∵f(x)＝ax3－2x 的图像过点(－1,4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得 a＝－2.]
(对应学生用书第 9 页)
求函数的定义域
1 3 2－ ＋ 的定义域为________． 2 x＋1
x
(1)(2018· 济南一模)函数 f(x)＝
f2x (2)若函数 y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝ 的定义域是________． x－1
1 2x－ ≥0， 2 (1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得 解得 x＞－1，所以函数 x＋1≠0， f(x)的定义域为(－1，＋∞)． (2)由 0≤2x≤2，得 0≤x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1，所以 0≤x＜1，即 g(x) 的定义域为[0,1)．]

(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝2，得 c＝2. 又 f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1， 即 2ax＋a＋b＝x－1，∴2aa＋＝b1＝，－1， 即ab＝ ＝－12，32. ∴f(x)＝12x2－32x＋2.
则不等式 f(x)＋fx－12>1 恒成立．当 x≤0 时，f(x)＋fx－12＝x
＋1＋x＋12＝2x＋32>1，所以－14<x≤0.综上所述，x 的取值范围
是－14，＋∞.
答案：－14，＋∞
常见形式 (1)讨论新函数的性质；(2)利用新函数进行运算；(3)判断新函 数的图象；(4)利用新概念判断命题真假等．
思维升华
分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代 入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依 次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度二 分段函数的自变量求值问题 2．已知函数 f(x)＝2－x－log22，xx＋≤11，，x＞1， 且 f(a)＝－3，则 f(6 －a)＝___－__32___.
即 a2＋a－[－3(－a)]＞0，∴a2－2a＞0，解得 a＞2；当 a＜0
时，f(a)－f(－a)＜0，即－3a－[(－a)2＋(－a)]＜0，
0
∴a2＋2a＞0，解得 a＜－2.综上，实数 a 的取值范围为
(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选 D.
答案：D
思维升华
已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围，应根据每一段 的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否 符合相应段的自变量的取值范围.

解析
关闭
答案
-14知识梳理 双击自测
自测点评 1.函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是非 空集合,而函数定义中的两个集合必须是非空数集. 2.判断两个函数是否为相等函数,关键是看定义域和对应关系是 否相同.定义域和对应关系相同,值域必然相同,函数必然是相等函 数. 3.函数的定义域是研究函数的基础,对函数的性质的讨论必须在 定义域上进行,要坚持“定义域优先”原则. 4.分段函数的问题要依据自变量所属的区间选择对应关系求解. 当自变量不确定时,需分类讨论.
2������ + 1,������ ≥ 0, 5.已知函数 f(x)= 且 f(x0)=3,则实数 x0 的值为( 2 3������ ,������ < 0, 1 A.-1 B.1 C.-1 或 1 D.-1 或3
)
关闭
由条件可知,当 x0≥0 时,f(x0)=2x0+1=3,所以 x0=1;当 x0<0 2 时,f(x0)=3������0 =3,所以 x0=-1.所以实数 x0 的值为-1 或 1. C
3 3
1
)
B.(-∞,3)∪(3,+∞)
C. 2 ,3 ∪(3,+∞) D.(3,+∞)
关闭
2������-3 ≥ 0, 3 由题意知 解得 x≥ 2,且 x≠3. ������-3 ≠ 0,
关闭
C
解析 答案
-10知识梳理 双击自测
2.(2017浙江宁波质检)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则 f(x)=( ) A.x+1 B.2x-1 C.-x+1 D.x+1或-x-1
-7知识梳理 双击自测
3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 对应关系 不同而分别 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域等于 各段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表 示的是一个函数.

x，x＞0， 1，x＞0， [解析] ∵|x|＝0，x＝0， sgn x＝0，x＝0， －x，x＜0， －1，x＜0， ∴|x|＝xsgn x.
[答案] D
1 3．已知fx ＝x2＋5x，则f(x)＝
________
.
5x＋1 1 1 1 5 [解析] 令t＝x ，∴x＝ t ，∴f(t)＝t2＋ t .∴f(x)＝ x2 (x≠0)． 5x＋1 [答案] x2 (x≠0)
(2)偶次根式函数被开方式
大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π (5)y＝tan x的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ＋2，k∈Z}． (6)函数f(x)＝x0的定义域为 {x|x∈R，且x≠0} .
其中正确判断的序号是
________
.
|x| [解析] 对于①，由于函数f(x)＝ x 的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函
1x≥0， 数g(x)＝ 的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若 － 1 x ＜ 0
x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如 果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图 象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于 ③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一
{f(x)|x∈A}叫做函数的 (2)函数的三要素：
定义域
(3)相等函数：如果两个函数的
一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法 、 图象法 、 列表法 .