2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一(上)期末数学试卷

广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题数学试卷（共4页）第Ⅰ部分基础检测（共100分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合{}0,2,M x =，{}0,1N =，若N M ⊆，则x 的值为（ ）． A ．2B ．0C ．1D ．不能确定2．已知集合{}2|10A x x mx =++=，若A R =∅，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．2m >-C ．22m -≤≤D ．22m -<<3．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（ ）．A．B ．C．D．4．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）． A ．18 B ．2716-C ．89D ．15165．设0x 是方程2ln(1)x x+=的解，则0x 在下列哪个区间内（ ）． A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,e)D ．(3,4)6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）． A ．2y x =-B ．||2x y -=C ．1y x=D ．lg ||y x =7．函数12()2x f x -=的大致图象为（ ）．A ．B ．C．D ．8．已知a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）． A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>9．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ）． A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(1,2)C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞10．已知4log 28a =，5log 35b =，6log 42c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个12．设函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则使()()0f x f x x--<的x 的取值范围为（ ）．A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,0)(0,1)-二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）13．若函数()(1)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x m m =-+（其中0a >，1a ≠）的图象恒过定点A 的坐标为__________． 14．已知函数1()lg51xf x x x+=++-，且()6f a =，则()f a -=__________． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分10分）已知函数21()42a f x x ax =-+-+． （1）若2a =，求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值．（2）若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值．16．（本小题满分10分）化简计算．（1(0,0)a b >>．（2）522log 253log 648ln1+-．（3）916log 16log 2534+．（4）5lg242log 9log 1210--+．17．（本小题满分12分）为了检验某种溶剂的挥发性，在容器为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积，已知溶剂注入过程中，其容积y （升）与时间t （分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y 与t 的关系为3015t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图．（1）求容积y 与时间t 之间的函数关系式．（2）当容积中的溶液少于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？)第二部分 能力检测（共50分）四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．函数12()log (42)x xf x =-的单调递减区间为__________．19．定义(),()(()()(),()()g x f x g x f x g x f x f xg x ⎧⊗=⎨<⎩≥，若39101,109()10log (1),9x x f x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩≤，()|1|g x x =-，则函数()()(h x f x g x =⊗在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性是__________．（填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中之一即可）五、解答题：本大题3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分12分）已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域．（2）若()log ()a f x x t =+有且仅有一实根，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）定义在R 上的非负函数()f x ，对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x f y f xy =且(0)0f =，(1)1f -=，当1y >，都有()1f y >．（1）求(1)f 的值，并证明()f x 是偶函数． （2）求证：()f x 在(0,)+∞上递增．（3）求满足2312f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知函数1()(0,1)xxtf x a a a a -=+>≠是定义域为R 是奇函数． （1）求实数t 的值．（2）若(1)0f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在R 上恒成立，求实数b 的取值范围． （3）若3(1)2f =，且221()2()xx h x a mf x a =+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案数学试卷（共4页）第Ⅰ部分基础检测（共100分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合{}0,2,M x =，{}0,1N =，若N M ⊆，则x 的值为（ ）． A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定【答案】C【解析】{}0,2,M x =，{}0,1N =， ∵N M ⊆， ∴0M ∈，1M ∈， ∴1x =． 故选C ．2．已知集合{}2|10A x x mx =++=，若A R =∅，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．2m >-C ．22m -≤≤D ．22m -<<【答案】D【解析】{}2|10A x x mx =++=为方程210x mx ++=的根的集合，∵A R =∅， ∴A =∅， ∴240m ∆=-<， 解得22m -<<． 故选D ．3．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（ ）．A．B ．C．D．【答案】C【解析】解：由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一数值与之对应， A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．根据函数的定义中“定义域内的每一个x 都有唯一的函数值与之对应”判断． 故选C ．4．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）． A ．18 B ．2716-C ．89D ．1516【答案】D【解析】解：函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩≤，2(2)2224f =+-=，则2111151(2)4416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选D ．5．设0x 是方程2ln(1)x x+=的解，则0x 在下列哪个区间内（ ）． A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,e)D ．(3,4)【答案】B【解析】构造函数2()ln(1)f x x x=+-， ∵(1)ln 210f =-<，(2)ln310f =->， ∴函数2()ln(1)f x x x=+-的零点属于区间(1,2)，即0x 属于区间(1,2)． 故选B ．6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）． A ．2y x =-B ．||2x y -=C ．1y x=D ．lg ||y x =【答案】D【解析】0x >时，2y x =-在(0,)+∞单调递减，||1222xx xy --⎛⎫=== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减， 11y x x==在(0,)+∞单调递减， lg ||lg y x x ==在(0,)+∞单调递增．故选D ．7．函数12()2x f x -=的大致图象为（ ）．A ．B．C．D．【答案】A 【解析】1112221()222x x x f x ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴12()2x f x -=的图象为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向右平移12个单位所得．故选A ．8．已知a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）． A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c b a >>【答案】A【解析】10.220.30.31a c ==<=<， 0.30221b =>=，∴b c a >>． 故选A ．9．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ）． A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(1,2)C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞【答案】A【解析】解：偶函数()f x 在[0,2]上是减函数，∴其在(2,0)-上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大， ∴不等式(1)()f m f m -<可以变为|1|||22212m m m m ->⎧⎪-⎨⎪--⎩≤≤≤≤，解得11,2m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．故选A ．10．已知4log 28a =，5log 35b =，6log 42c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】B【解析】解：444log 28log (47)1log 7a ==⨯=+，555log 35log (57)1log 7b ==⨯=+， 666log 42log (67)1log 7c ==⨯=+， 且654lg7lg7lg7log 7log 7log 7lg6lg5lg 4===<=， ∴c b a <<． 故选B ．11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【答案】B【解析】12111210394857661122634=+=+=+=+=+=+=⨯=⨯=⨯，其中26⨯舍去，66+只有一个，其余的都有2个，所以满足条件的(,)a b 有：27115⨯+=个． 故选B ．12．设函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则使()()0f x f x x--<的x 的取值范围为（ ）．A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,0)(0,1)-【答案】D【解析】∵奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数， ∴()f x 在(,0)-∞为增函数， ∵(1)0f =， ∴(1)(1)0f f -=-=，∴当(,1)(0,1)x ∈-∞-，()0f x <， 当(1,0)(1,)x ∈-+∞，()0f x >，又()()()()2()0f x f x f x f x f x x x x--+==<，∴()0xf x <，∴当0x >，()0f x <，(0,1)x ∈， 当0x <，()0f x >，(1,0)x ∈-， 综上，x 的取值范围为(1,0)(0,1)-．故选D ．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）13．若函数()(1)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x m m =-+（其中0a >，1a ≠）的图象恒过定点A 的坐标为__________． 【答案】(3,2)【解析】∵()(1)a f x m x =-是幂函数， ∴11m -=解得2m =，∴()log ()log (2)2a a g x x m m x =-+=-+， 当3x =，(3)log (32)22a f =-+=， ∴()g x 的图象恒过定点(3,2)．14．已知函数1()lg 51xf x x x+=++-，且()6f a =，则()f a -=__________． 【答案】4【解析】∵1()lg 51xf x x x+=++-， ∴1()lg 51xf x x x--=-+++ 1lg51xx x+=--+-1lg 51x x x +⎛⎫=-++ ⎪-⎝⎭，又1()lg 561af a a a+=++=-， ∴1lg11aa a++=-， ∴1()lg 51541a f a a a +⎛⎫-=-++=-+= ⎪-⎝⎭．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分10分）已知函数21()42a f x x ax =-+-+． （1）若2a =，求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值．（2）若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值． 【答案】（1）0．（2）6-或103． 【解析】∵2a =，∴221()242a f x x ax x x =-+-+=-+， 对称轴为直线212(1)x =-=⨯-，∴()f x 在区间[0,1]上的最小值是(0)0f =，解：配方，得22211()242442a a a a f x x ax x ⎛⎫=-++-=--+-+ ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的图象开口向下的抛物线，关于直线2ax =对称． （1）当[0,1]2a∈，即02a ≤≤时，()f x 的最大值为2122442a aa f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解之得2a =-，或3，经检验不符合题意． （2）当12a>时，即2a >时，函数在区间中[0,1]上是增函数， ∴()f x 的最大值为1(1)1224a f a =++-=，解之得103a =． （3）当02a<时，即0a <时，函数在区间中[0,1]上是减函数， ∴()f x 的最大值为1(0)224af =-=，解之得6a =-，综上所述，得当()f x 区间[0,1]上的最大值为2时，a 的值为6-或103．16．（本小题满分10分）化简计算．（1(0,0)a b >>．（2）522log 253log 648ln1+-．（3）916log 16log 2534+．（4）5lg 242log 9log 1210--+．【答案】（1）a ．（2）22．（3）9．（4）85-．【解析】（1）原式2112331111444323a bab++⨯-⨯+⋅=⋅52773333ab--=a =．（2）原式26522log 53log 280=+-⨯2236=⨯+⨯22=．（3）原式916log 16112log 2521(16)9⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭log 2516911log 1622(9)(16)=+11221625=+45=+9=．（4）原式(lg5lg 2)lg9lg1210lg 4lg 2--=-+ 22lg 2lg52lg3lg(32)10lg 2lg 2-⨯=-+ 2lg3lg32lg 222lg 2lg 25+=-+ 225=-+85=-．17．（本小题满分12分）为了检验某种溶剂的挥发性，在容器为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积，已知溶剂注入过程中，其容积y （升）与时间t （分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y 与t 的关系为3015t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图．（1）求容积y 与时间t 之间的函数关系式．（2）当容积中的溶液少于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？)【答案】（1）2301,0221,25t t t y t -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤．（2）92． 【解析】解：（1）∵两分钟匀速注满容积为1升的容器， ∴注入速度为12（升/分），在注入过程中，02t ≤≤，容积y 与时间t 的关系是12y t =， 注入结束后，y 与t 的关系为3015ta y -=，且当2t =时，1y =，有230115a -=，解得115a =， ∴在注入结束后，2t >，容积y 与时间t 的关系是23015t y -=，综上所述，y 与x 的函数关系式为2301,0221,25t t t y t -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤． （2）试验结束的条件是：容器注满之后，容积减少为8毫升之后， 即23021851000t t ->⎧⎪⎨<⎪⎩，即233021155t t ->⎧⎪⎨<⎪⎩，即22330t t >⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得92t >．第二部分能力检测（共50分）四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．函数12()log (42)x xf x =-的单调递减区间为__________． 【答案】(0,)+∞【解析】12()log (42)x xf x =-，(0,)x ∈+∞，令2x t =，则(1,)t ∈+∞，22112211()log ()log 24f x t t t ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当(1,)t ∈+∞，212()log ()g t t t =-单调递减， ∴()f x 的单调减区间为(0,)+∞．19．定义(),()(()()(),()()g x f x g x f x g xf x f xg x ⎧⊗=⎨<⎩≥，若39101,109()10log (1),9x x f x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩≤，()|1|g x x =-，则函数()()(h x f x g x =⊗在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性是__________．（填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中之一即可） 【答案】先增后减【解析】由定义()()f x g x ⊗结果为()f x ，()g x 的较小者3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3()log (1)f x x =--单调递减，3()[0,log 2]f x ∈， ()1g x x =-单调递增，1(),12g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又31log 212<<，∴0x ∃，03,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()f x g x >，()()h x g x =，(]0,2x x ∈，()()f x g x <，()()h x f x =，∴()h x 在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦先增后减．五、解答题：本大题3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分12分）已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域．（2）若()log ()a f x x t =+有且仅有一实根，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）(2,2)-．（2）(2,)+∞．【解析】（1）∵()log (2)log (2)a a f x x x =+--， ∴2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，∴()f x 的定义域为(2,2)-． （2）()log (2)log (2)a a f x x x =+-- 2log 2ax x+=-， ∵()log ()a f x x t =+有且仅有一实根， ∴22x x t x+=+-在(2,2)-上有且仅有一实根， 整理得2(1)220x t x t +-+-=在(2,2)-上， 有且仅有一实根，令2()(1)22f x x t x t =+-+-， ∴(2)(2)0f f -<，即4(84)0t -<，解得2t >．21．（本小题满分14分）定义在R 上的非负函数()f x ，对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x f y f xy =且(0)0f =，(1)1f -=，当1y >，都有()1f y >．（1）求(1)f 的值，并证明()f x 是偶函数． （2）求证：()f x 在(0,)+∞上递增．（3）求满足2312f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围．【答案】（1）(1)1f =．（2）见解析．（3）1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵()()()f x f y f xy =，(1)1f -=， ∴令1x y ==-，则1xy =，即(1)(1)(1)(1)(1)1f f f --==+⨯+=， ∴(1)1f =，()[(1)](1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-=，∴()f x 是偶函数．（2）任取120x x <<，由于()f x 在R 上非负，211x x >， ∴222111221111()()1()()()x x f x f x f x x f x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===> ⎪⎝⎭， ∴21()()f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上递增．（3）∵()f x 为R 上偶函数且()f x 在(0,)+∞上递增， ∴由231(1)2f x x f ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭，得2312x x --<，解得：122x -<<，∴x 的取值范围为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．22．（本小题满分14分）已知函数1()(0,1)x xtf x a a a a -=+>≠是定义域为R 是奇函数． （1）求实数t 的值．（2）若(1)0f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在R 上恒成立，求实数b 的取值范围． （3）若3(1)2f =，且221()2()xx h x a mf x a =+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．【答案】（1）2t =．（2）(3,5)-．（3）2m =．【解析】解：（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 所以1(1)0t +-=，所以2t =．（2）由（1）知：1()(0,1)xxf x a a a a =->≠， 因为(1)0f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以1()xxf x a a =-是R 上的单调递增， 以()f x 是定义域为R 是奇函数，所以222()(4)0()(4)4f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-， 即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以2(1)160b ∆=--<，即35b -<<， 所以实数b 的取值范围为(3,5)-． （3）因为3(1)2f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去），所以2221111()22222222222xx x x x xx xh x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1()22x u f x x ==-，则2()22f u u mu =-+， 因为1()22x f x x =-在R上为增函数，且1x ≥，所以3(1)2u f =≥， 因为221()22()2xxh x mf x =--在[1,)+∞上的最小值为2-， 所以2()22g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为222()22()2g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m =，所以当32m ≥时，2min ()()22f u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去），当32m <时，min 317()3224f u f m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m =．。

2021-2022学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A.3B.4C.7D.82.（单选题，5分）函数f(x)=lnx+12x−2的零点所在的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）3.（单选题，5分）若命题“2x2-3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.a≥1B. a≥12C. a≤12D.a≤14.（单选题，5分）函数y= x2cosx−1，x∈（- π3，π3）的图象大致是（）A. B.C. D.5.（单选题，5分）设a=log213，b=(12)0.4，c=(13)0.5，则（）A.c＜b＜aB.a＜c＜bC.a＜b＜cD.b＜a＜c6.（单选题，5分）已知定义在[a-1，2a]上的偶函数f（x），且当x∈[0，2a]时，f（x）单调递减，则关于x的不等式f（x-1）＞f（2x-3a）的解集是（）A.（0，23）B.[ 16，56]C.（13，23）D.（23，56]7.（单选题，5分）已知tanα，tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根，且α，β∈(−π2，π2)，则α+β=（）A. π3B. π3或- 2π3C.- π3或2π3D. −2π38.（单选题，5分）对于定义域为I的函数，如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足下列两个条件：① f（x）在区间[m，n]上是单调的；② 当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y=f（x）的一个“黄金区间”．如果[m，n]可是函数y=(a 2+a)x−1a2x(a≠0)的一个“黄金区间”，则n-m的最大值为（）A. √33B.1C. 2√33D.29.（多选题，5分）下列函数是奇函数且在区间（0，1）上单调递增的是（）A.f（x）=-x3B.f（x）=2|x|C.f（x）=x+sinxD. f(x)=x−1x10.（多选题，5分）下列说法中正确的是（）A.命题“∃x∈R，x2-2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2-2x≥0”B.函数f（x）=a x-3+x（a＞0且a≠1）的图象经过定点A（3，4）C.幂函数f(x)=(m2−6m+9)x m2−3m+1在（0，+∞）上单调递增，则m的值为4D.函数f（x）=log5（x2-2x-3）的单调递增区间是[1，+∞）11.（多选题，5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.f（x）的最小正周期为2πB.（π6，0）是y=f（x）图象的一个对称中心C.f（x）在区间[ π2，11π12]上单调递减D.把y=f（x）图象上所有点向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=2cos2x的图象12.（多选题，5分）设a＞0，b＞0，称a+b2为a，b的算术平均数，√ab为a，b的几何平均数，2aba+b 为a，b的调和平均数，称√a2+b22为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且|AC|=a，|CB|=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．取弧AB̂的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有（）A. a+b 2≥√abB. √a 2+b 22≥a+b 2C. 2aba+b ≥√abD. √a 2+b 22≥2ab a+b 13.（填空题，5分）若弧度是2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是 ___ ．14.（填空题，5分）已知sin （ π6 -α）= 35 ，则sin （ π6 +2α）=___ ．15.（填空题，5分）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O 距离水面BC 的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P 的初始位置为点D （水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t 分钟时，该盛水筒距水面距离为H=f （t ）=Asin （ωt+φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜ π2 ，t≥0），则H=f （t ）=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f （x ）={log 2(1−x )+1，−1≤x ＜kx |x −1|，k ≤x ≤a ，若存在实数k 使得函数f （x ）的值域为[0，2]，则实数a 的取值范围是___ ．17.（问答题，0分）已知角α的终边过点P （x ，-1）（x ＜0），且 cosα=√55x ． （1）求sin (π−α)+2sin(3π2+α)3sin(π2−α)−2sin (π+α) 的值； （2）求 1−cos2α√2cos(α−π4)+sin (π+α)的值．18.（问答题，0分）现有三个条件： ① 对任意的x∈R 都有f （x+1）-f （x ）=2x-2； ② 不等式f （x ）＜0的解集为{x|1＜x ＜2}； ③ 函数y=f （x ）的图象过点（3，2）．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置） 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，且满足_____（填所选条件的序号）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）-mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．19.（问答题，0分）2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0•ln Mm计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s．（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln200≈5.3，2.718＜e＜2.719．20.（问答题，0分）已知函数y=x+ tx有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，√t ]上是减函数，在[ √t，+∞）上是增函数．（1）已知f（x）= 4x 2−12x−32x+1，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．21.（问答题，0分）设函数f（x）=sin（ωx- π3）+2cos（ωx- π6）（0＜ω＜3），将该函数的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g（x）的图象，函数g（x）的图象关于y轴对称．（1）求ω的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数f（x）在一个周期内的图象；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）设关于x的方程mf（x2）+g（x+ π6）+ √3（m+1）=0在区间[- 7π6，0]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．22.（问答题，0分）已知函数f（x）=x+ 1x-2．（1）存在x∈[-1，1]，使得不等式f（2x）-k•2x≥0成立，求实数k的取值范围；（2）方程f(|2x−1|)+k(2|2x−1|−3)=0有负实数解，求实数k的取值范围．。

广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，则A∩∁U B=（）A．{3，6} B．{5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）若直线经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）且倾斜角为45°，则m的值为（）A．B．1 C．2 D．3．（5分）函数f（）=3+ln﹣2零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．45．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．（5分）过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．﹣y﹣1=0 B．+y﹣5=0或2﹣3y=0C．+y﹣5=0 D．﹣y﹣1=0或2﹣3y=07．（5分）已知函数f（）=，若对于任意的两个不相等实数1，2都有＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，6）B．（1，+∞）C．（3，6） D．[3，6）8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列说法中正确的个数为（）①C1M∥AC；②BD1⊥AC；③BC1与AC的所成角为60°；④B1A1、C1M、BN三条直线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（）的图象如图所示，则方程f（f（））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．710．（5分）直线l过点A（﹣1，﹣2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为（）A．（0，]B．[2，+∞）C．（0，2]D．（﹣∞，2]11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．8 B．C．D．12．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（+λ）+λf（）=0对任意实数都成立，则称f（）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（）=a为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（）=2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（）=+的定义域为．14．（5分）已知幂函数y=f （）的图象经过点（，），则lg[f（2）]+lg[f（5）]=．15．（5分）若某圆锥的母线长为2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为．16．（5分）若直线l1：+y+1=0（∈R）与l2：（m+1）﹣y+1=0（m∈R）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知集合A={|log2＞m}，B={|﹣4＜﹣4＜4}．（1）当m=2时，求A∪B，A∩B；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知f（）为定义在R上的奇函数，且当≥0时，f（）=2﹣（a+4）+a．（1）求实数a的值及f（）的解析式；（2）求使得f（）=+6成立的的值．19．（12分）已知两条直线l1：2+y﹣2=0与l2：2﹣my+4=0．（1）若直线l1⊥l2，求直线l1与l2交点P的坐标；（2）若l1，l2以及轴围成三角形的面积为1，求实数m的值．20．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：DE⊥平面ABE；（3）求点A到平面BDE的距离．21．（12分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第天（∈N+）的部分数据如表：（1）根据表中数据，结合函数图象的性质，从下列函数模型中选取一个最恰当的函数模型描述Q与的变化关系，只需说明理由，不用证明．①Q=a+b，②Q=﹣2+a+b，③Q=a+b，④Q=b+log a．（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值．22．（12分）已知函数f（）=+﹣1（≠0），∈R．（1）当=3时，试判断f（）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意∈R，不等式f（2）＞0恒成立，求实数的取值范围；（3）当∈R时，试讨论f（）的零点个数．广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，则A∩∁U B=（）A．{3，6} B．{5}C．{2，4}D．{2，5}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，∴∁U B={5}，则A∩∁U B={5}，故选：B2．（5分）若直线经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）且倾斜角为45°，则m的值为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）的直线的斜率为=．又直线的倾斜角为45°，∴=tan45°=1，即m=．故选：A．3．（5分）函数f（）=3+ln﹣2零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵函数f（）=3+ln﹣2，定义域为：＞0；函数是连续函数，∴f（1）=1﹣2＜0，f（2）=6+ln2＞0，∴f（2）•f（1）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：B．4．（5分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．4【解答】解：把该梯形的直观图还原为原的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，则直观图中等腰梯形的高为h′=hsin45°；∵等腰梯形的体积为（a+b）h′=（a+b）•hsin45°=2，∴（a+b）•h==4∴该梯形的面积为4．故选：D．5．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，c=0.40.2 ∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4 在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选A．6．（5分）过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．﹣y﹣1=0 B．+y﹣5=0或2﹣3y=0C．+y﹣5=0 D．﹣y﹣1=0或2﹣3y=0【解答】解：当横截距a=0时，纵截距b=a=0，此时直线方程过点P（3，2）和原点（0，0），直线方程为：，整理，得2﹣3y=0；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程为，把P（3，2）代入，得：，解得a=5，∴直线方程为，即+y﹣5=0．∴过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是+y﹣5=0或2﹣3y=0．故选：B．7．（5分）已知函数f（）=，若对于任意的两个不相等实数1，2都有＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，6）B．（1，+∞）C．（3，6） D．[3，6）【解答】解：对于任意的两个不相等实数1，2都有＞0，可知函数是增函数，可得：，解得a∈[3，6）．故选：D．8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列说法中正确的个数为（）①C1M∥AC；②BD1⊥AC；③BC1与AC的所成角为60°；④B1A1、C1M、BN三条直线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，∴A1C1∥AC，C1M与A1C1相交，故①错误；BD⊥AC，DD1⊥AC，故AC⊥平面BDD1，故BD1⊥AC，故②正确；、连接BA1，则△A1BC1为等边三角形，即BC1与A1C1的所成角为60°；由①中A1C1∥AC，可得BC1与AC的所成角为60°，故③正确；④由MN∥AD1∥BC1，可得C1M、BN共面，则C1M、BN必交于一点，且该交点，必在B1A1上，故B1A1、C1M、BN三条直线交于一点，故④正确；故选：C9．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（）的图象如图所示，则方程f（f（））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（）∈[﹣2，1]，函数的零点为：1，0，2，∈（﹣2，﹣1），2∈（1，2），1令t=f（），则f（f（））=0，即f（t）=0可得，t=1，0，2，f（）=1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（1）]=0，此时方程的根有2个．∈（1，2）时，不存在f[f（2）]=0，方根程没有根．2f[f（0）]=f（0）=f（1）=f（2）=0，有3个．所以方程f（f（））=0的实根个数为：5个．故选：C．10．（5分）直线l过点A（﹣1，﹣2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为（）A．（0，]B．[2，+∞）C．（0，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：∵直线l过点A（﹣1，﹣2），∴OA=2，又直线l不经过第四象限，∴直线l的斜率的取值范围为[2，+∞），故选：B．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．8 B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，底面面积S=2×2=4，高h=2，故体积V==，故选：C12．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（+λ）+λf（）=0对任意实数都成立，则称f（）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（）=a为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（）=2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①、若f（）为“1一半随函数”，则f（+1）+f（）=0，可得f（+1）=﹣f（），可得f（+2）=﹣f（+1）=f（），因此=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（）=a是一个“λ一半随函数”，则a+λ+λa=0对任意实数成立，则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（）=a是“λ一半随函数”，故②正确．③、令=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f（0））2＜0，又因为f（）的函数图象是连续不断，所以f（）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．④、假设f（）=2是一个“λ一半随函数”，则（+λ）2+λ2=0，即（1+λ）2+2λ+λ2=0对任意实数成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（）=2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误正确判断：①②③．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（）=+的定义域为（0，1）．【解答】解：函数f（）=+有意义，只需2﹣2≥0，ln≠0，＞0，解得≤1，且≠1，＞0，则函数的定义域为（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（5分）已知幂函数y=f（）的图象经过点（，），则lg[f（2）]+lg[f（5）]=．【解答】解：设幂函数f（）=α，把点（，）代入可得=，解得α=；∴f（）=；∴lg[f（2）]+lg[f（5）]=lg+lg=lg=lg10=．故答案为：．15．（5分）若某圆锥的母线长为2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为3π．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积为：π•1•2+π•12=3π，故答案为：3π．16．（5分）若直线l1：+y+1=0（∈R）与l2：（m+1）﹣y+1=0（m∈R）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为．【解答】解：由题意，直线l1：+y+1=0（∈R）过定点（﹣1，0）l2：（m+1）﹣y+1=0（m∈R）过定点（0，1），∴这两直线之间距离的最大值为=，故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知集合A={|log2＞m}，B={|﹣4＜﹣4＜4}．（1）当m=2时，求A∪B，A∩B；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，A={|log2＞m}={|＞4}，B={|﹣4＜﹣4＜4}={|0＜＜8}．∴A∪B={|＞0}，A∩B={|4＜＜8}；（2）A={|log2＞m}={|＞2m}，∁R B={|≤0或≥8}若A⊆∁R B，则2m＞8，∴m≥3．18．（12分）已知f（）为定义在R上的奇函数，且当≥0时，f（）=2﹣（a+4）+a．（1）求实数a的值及f（）的解析式；（2）求使得f（）=+6成立的的值．【解答】解：（1）∵f（）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=a=0，由题意≥0时：f（）=2﹣4，设＜0，则﹣＞0，则f（﹣）=2+4=﹣f（），故＜0时，f（）=﹣2﹣4，故f（）=．（2）当≥0时，2﹣4=+6，可得=6；＜0时，f（）=﹣2﹣4=+6，可得=﹣2或﹣3．综上所述，方程的解为6，﹣2或﹣3．19．（12分）已知两条直线l1：2+y﹣2=0与l2：2﹣my+4=0．（1）若直线l1⊥l2，求直线l1与l2交点P的坐标；（2）若l1，l2以及轴围成三角形的面积为1，求实数m的值．【解答】解：（1）∵直线l1⊥l2，∴4﹣m=0，∴m=4，联立两条直线l1：2+y﹣2=0与l2：2﹣4y+4=0可得P（0.4，1.2）；（2）直线l1：2+y﹣2=0与轴的交点坐标为（1，0），l2：2﹣my+4=0与轴的交点坐标为（﹣2，0），∵l1，l2以及轴围成三角形的面积为1，∴三角形的高为，代入直线l1：2+y﹣2=0可得=，（，）代入l2：2﹣my+4=0可得m=8．20．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：DE⊥平面ABE；（3）求点A到平面BDE的距离．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE．（2）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥CD，DE⊥AE，在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵DE⊂平面ADE，∴CD⊥DE，∵AB∥CD，∴DE⊥AB，∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE．解：（3）∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，∴AB⊥平面ADE，∴三棱锥B﹣ADE的体积V B===，﹣ADE==，设点A到平面BDE的距离为d，∵V A=V B﹣ADE，∴=，解得d=，﹣BDE∴点A到平面BDE的距离为．21．（12分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第天（∈N+）的部分数据如表：描述Q与的变化关系，只需说明理由，不用证明．①Q=a+b，②Q=﹣2+a+b，③Q=a+b，④Q=b+log a．（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a+b，Q=b+log a三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当；将（3，154）、（5，180）代入Q=﹣2+a+b，可得，解得a=21，b=100．∴Q=﹣2+21+100，（1≤≤20，∈N*）；（2）Q=﹣2+21+100=﹣（t﹣）2+，∵1≤≤20，∈N*，∴t=10或11时，Q取得最大值210万元．22．（12分）已知函数f（）=+﹣1（≠0），∈R．（1）当=3时，试判断f（）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意∈R，不等式f（2）＞0恒成立，求实数的取值范围；（3）当∈R时，试讨论f（）的零点个数．【解答】解：（1）当=3，∈（﹣∞，0）时，f（）=﹣，＞0，∴f（）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取1，2，令1＜2，f（1）﹣f（2）=（）﹣（）=（1﹣2）（1+），∵1，2∈（﹣∞，0），1＜2，∴，∴f（1）﹣f（2）＜0，∴f（）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2=t，则t＞0，f（t）=t+，①当＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当时，f（）=2﹣1＞0，当0＜≤时，f（）=2﹣1≤0，∴＞时，f（2）＞0成立；0＜≤时，f（2）＞0不成立．②当=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当＜0时，f恒大于0，∵，且f（）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，的取值范围是（，+∞）．（3）由f（）=+﹣1=0，（≠0），∈R．得+﹣1=0，∴=||•（1﹣），≠0，当＞0时，=（1﹣），当＜0时，=﹣（1﹣），∴结合图象得：当＞或≤0时，f（）有1个零点；当=时，f（）有2个零点；当0＜＜时，f（）有3个零点．。

A．“至少有 1 个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有 1 个黑球”与“至少有 1 个红球”
C．“至少有 1 个黑球”与“都是红球”
D．“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”
5．已知空间直角坐标系中两点 A（6，0，1）、B（3，5，7），则|AB|＝（ ）
A．6
B．7
C．
D．5
6．已知 a、b 是两条直线，α 是一个平面，则下列选项正确的是（ ）
级有 900 名学生，则高一年级抽取的学生人数为（ ）
A．15
B．17
C．18
D．21
3．已知△ABC 中，M，N 为 AB，AC 的中点，在△ABC 内随机取点 P，则点 P 落在△AMN
内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．﹣2
【分析】两直线 x+2y+m＝0（m＞0）与 x﹣ny﹣3＝0 平行，可得﹣n﹣2＝0，解得 n，再
利用平行线之间的距离公式即可得出．
解：∵两直线 x+2y+m＝0（m＞0）与 x﹣ny﹣3＝0 平行，
∴﹣n﹣2＝0，解得 n＝﹣2．
又两平行直线 x+2y+m＝0（m＞0）与 x﹣ny﹣3＝0 之间的距离是 ，
A．相交
B．外切
C．内切
D．外离
9．△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b+c＝2a，3sinA＝5sinB，则角 C 等于
（）
1
A．
B．
C．
D．