集宁一中西校区2019-2020学年第一学期第二次月考高二年级理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟第I 卷（选择题 共60分)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}|12A x x =-<<，{}2|20B x x x =-<，则AB =( )A. ()0,2B. ()1,0-C. ()2,0-D. ()2,2-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，进而求得两个集合的交集. 【详解】由()2220x x x x -=-<解得02x <<，故()0,2AB =，故选A.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.命题“若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 A. 若α≠4π，则tanα≠1 B. 若α=4π，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠4πD. 若tanα≠1，则α=4π【答案】C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.若0a b <<,则下列不等式成立的是（ ）A. ab bc <B.11a b< C. 2ab b > D. 33a b >【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，因为0a b <<，则0ab >，若0c >，则0bc <，则ab bc >，故A 错； B 选项，因为0a b <<，则11a b>，故B 错； C 选项，因为0a b <<，所以20ab b >>，故C 正确； D 选项，因为0a b <<，所以33a b <，故D 错； 故选C【点睛】本题主要考查不等式的性质，结合特殊值法，熟记不等式的性质即可，属于基础题型. 4.若等差数列{}n a 中，33a =，则{}n a 的前5项和5S 等于（ ） A. 10 B. 15C. 20D. 30【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，得到535S a =，进而可求出结果. 【详解】因为等差数列{}n a 中，33a =， 则{}n a 的前5项和15535()5152a a S a +===. 故选B【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的性质即可，属于基础题型. 5.条件1:0a p a->；条件:x q y a =是R 上的增函数，则p 是q 成立的( ) A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先计算出命题p 、q 的取值范围,再判断即可. 【详解】解：不等式10a a->可得0a <或1a >,即命题:0p a <或1a >； 因为xy a =在R 上是增函数,所以1a >,即命题:1q a >. 所以p q ≠>,q p ⇒,命题p 是q 成立的必要不充分条件. 故选：A【点睛】本题主要考查解不等式、指数函数的性质和充分条件、必要条件的判定.6.已知数列{}n a 满足1111,1(1)4nn a a n a -=-=->，则2019a =（ ） A. 14-B. 5C.15D.45【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的递推公式写出数列的前4项,得出数列是周期为3的数列,可得2019a 的值.【详解】解：1111,1(1)4n n a a n a -=-=->,211111514a a ∴=-=-=-, 321141155a a =-=-=4211111445a a =-=-=-14a a ∴=.因此数列是周期为3的数列.2019345a a ==. 故选：D【点睛】本题考查数列递推公式的意义和根据周期求数列的值.7.若焦点在x 轴上的椭圆2212x ym+=的离心率为12，则实数m 等于（ ）A.B.32C.85D.23【答案】B 【解析】已知椭圆的焦点在x 轴上，故02m << ，根据椭圆的几何性质得到：离心率为12=c a=，解出方程得到：3.2m = 故答案选B ．8.设变量x ，y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义利用数形结合分析即可得到结论．【详解】由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分）， 因为43z x y =+，所以4+33zy x =-， 平移直线4+33z y x =-，由图象可知当直线4+33zy x =-经过点A 时， 目标函数43z x y =+取得最大值，由24236x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即341392z =⨯+⨯=， 故z 的最大值为9． 故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．9.不等式()()222240a x a x -+--<对于x ∈R 恒成立,那么a 的取值范围是( )A. ()2,2-B. (]2,2-C. (),2-∞D. (),2-∞-【答案】B 【解析】 【分析】分当a ＝2时，符合题意与a ≠2时，则a 需满足：()()221624(2)042a a a a ⎧⎪----⎨⎪-⎩＜＜，解得a 的范围即可.【详解】当a ＝2时，﹣4＜0，∴符合题意；a ≠2时，则a 需满足：()()221624(2)042a a a a ⎧⎪----⎨⎪-⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2； ∴﹣2＜a ≤2； 故选B.【点睛】考查二次函数的最大值的计算公式，注意讨论二次项的系数是否为0的情况，注意结合二次函数图象，属于中等题.10.设椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为F 1,F 2，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为() A. 22143x y +=B. 22163x y +=C. 22164x y +=D. 22142x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由12PF PF a -=，得到1231,22PF a PF a ==， 在△PF 1F 2中，由正弦定理得到2190PF F ∠︒＝，根据121sin 3PF F ∠=和2c =，可求出,,a b c ，得到答案.【详解】由1212,2PF PF a PF PF a -=+=， 解得1231,22PF a PF a ==，在△PF 1F 2中，由正弦定理:121221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，解得21sin 1PF F ∠＝，则2190PF F ∠︒＝，又121sin 3PF F ∠=，可知12tan PF F ∠ 2c =，得212aPF ==解得2a ＝， c ， b =C 方程22142x y +=【点睛】本题考查椭圆的定义，正弦定理解三角形，求椭圆的标准方程，属于中档题. 11.已知数列{}n a 的通项公式是221sin()2n n a n π+=，则1232020a a a a ++++=L ( ) A. 201920202⨯B. 202120202⨯C. 201920192⨯D. 202020202⨯【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,当n 为奇数时2221sin()2n n a n n π+==-,当n 为偶数时,2221sin()2n n a n n π+==,所以可以得到22222212320201234...20192020a a a a ++++=-+-++-+L ,再根据平方差公式得出1234...20192020++++++,最后求等差数列的前n 项和.【详解】解：221sin()2n n a n π+= 1232020a a a a ++++L2222221234...20192020=-+-++-+()()()2222222143...20202019=-+-++-1234...20192020=++++++()1202020202021202022+⨯==故选：B【点睛】本题考查了数列的通项公式,分类讨论方法、三角形的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.若命题22:,421p x ax x a x ∀∈++≥-+R 是真命题，则实数a 的取值范围是 A. (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. (2,)-+∞ D. (2,2)-【答案】B 【解析】因为命题22:421p x R ax x a x ∀∈++≥-+，是真命题，即不等式22421ax x a x ++≥-+对x R ∀∈恒成立，即()()22410a x x a +++-≥恒成立，当a ＋2＝0时，不符合题意，故有200a +>⎧⎨∆≤⎩，即220164480a a a +>⎧⎨--+≤⎩，解得2a ≥，则实数a 的取值范围是[)2,+∞．故选：B ．第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知等比数列{}n a ，467,21a a ==，则10a 等于__________． 【答案】189 【解析】 【分析】直接利用等比数列的通项公式求公比的平方,再求10a 即可. 【详解】解：在等比数列{}n a 中由467,21a a ==,得2642137a q a === 所以42106213189a a q ==⨯=故答案为：189【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,是基础题.14.在平面直角坐标系中，不等式组03434y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域的面积是_______.【答案】43【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,然后求出交点坐标,根据交点求三角形的面积. 【详解】解：不等式组表示平面区域如图阴影部分所示,平面区域为一个三角形及其内部,三个顶点的坐标分别为：()4,0,4,03骣琪琪桫,()1,1 ,所以平面区域的面积为： 144(4)1233S =??.故答案为：43【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的可行域,以及求可行域的面积,属于基础题. 15.命题“2,40x R x x ∀∈-+>”的否定是________.【答案】2000,40x R x x ∃∈-+≤【解析】全程命题的否定为特称命题，则：命题“2,40x R x x ∀∈-+>”的否定是2000,40x R x x ∃∈-+≤.的16.给出以下四个命题：（1）命题0:p x R ∃∈，使得20010x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，都有210x x +-≥；（2）已知函数f (x )＝|log 2x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则ab ＝1； （3）若平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β；（4）已知定义在R 上函数()y f x = 满足函数34y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为奇函数，则函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称． 其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】【详解】对于（1），由含量词的命题的否定可得正确．对于（2），由()()f a f b ＝得22log a log b =，因为a b ¹，所以22log a log b =-，因此2220log a log b log ab +==，故1ab =，所以（2）正确．对于（3），由题意满足条件的平面α平和平面β的位置关系是平行或相交．故（3）不正确． 对于（4），因为函数()y f x =向右平移34各单位后得到函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称，即（4）正确． 综上（1），（2），（4）正确． 答案：（1），（2），（4）点睛：本题（4）中考查的是函数的性质的综合应用．对于()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭反应的时函数的周期性，由于函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 为奇函数，故函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于点（0,0）对称，将函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移34个单位可得函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象关于点3(,0)4对称，从而的的3()()2f x f x +=--，解题中要注意这些性质的应用．三、解答题17.()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值； ()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值． 【答案】()1当5x =时，y 的最小值为7．()2 2x =，3y =时，xy 的最大值为6．【解析】【分析】()1直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．()2直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．【详解】()1已知3x >，则：30x ->，故：44333733y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当：433x x -=-， 解得：5x =，即：当5x =时，y 的最小值为7．()2已知0x >，0y >，223x y +=，则：23x y +≥ 解得：6xy ≤，即：123x y ==， 解得：2x =，3y =时，xy 的最大值为6．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.已知命题:p 方程22113x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的方程22230x mx m +++=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.求实数m 的取值范围.【答案】[)13，【解析】试题分析：分别求出命题,p q 为真时m 的取值范围，并且由复合命题的真假可知，p 真q 假或p 假q 真，分两种情况求m 的取值范围. 试题解析：∵方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆. ∴013m m <+<-，解得：11m -<<，∴若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围是()1,1-；若关于x 的方程22230x mx m +++=无实根，则判别式()244230m m ∆=-+<， 即2230m m --<，得13m -<<，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 为一个真命题，一个假命题，若p 真q 假，则11{31m m m -<<≥≤-或，此时无解，若p 假q 真，则13{11m m m 或-<<≥≤-，得13m ≤< 综上，实数m 的取值范围是[)13，. 19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且.1133521,12,8a b a b a b ==+=+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式.（2）求数列{}n n a b 的前n 项和 .【答案】（1）1,3n n n a n b -==;(2)13113244n n S n -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据1133521,12,8a b a b a b ==+=+=列出关于公比q 、公差d 方程组，解方程组可得q 与d 的值，从而可得数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)123111233343...3n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅,利用错位相减法，结合等比数列求和公式可得结果.【详解】（1）设等差数列公差为,d 等比数列公比为q ,则由题意得方程组:21211347d d q q d q ⎧=+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩， .1,3n n n a n b -∴==.(2)123111233343...3n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅234313233343...3n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减得:1212111313...133n n n S n --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅113313n n n --=-⋅- 1113322n n -⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭ 13113244n n S n -⎛⎫∴=-⋅+ ⎪⎝⎭ 【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -且过点()2,3-，椭圆上一点P 到两焦点1F ,2F 的距离之差为2，的（1）求椭圆的标准方程；（2）求12PF F ∆的面积.【答案】（1）2211612x y =＋（2）6 【解析】【分析】(1)由题意可得c=2,同时代入点()2,3-的坐标，结合椭圆的简单性质222c a b =+，联立可得答案.(2)由12128,2PF PF PF PF =-=＋，解得125,3PF PF ==,满足2222121PF F F PF =＋，可知12PF F ∆为直角三角形，可求三角形的面积.【详解】解：（1）由222222491c c a b a b =⎧⎪=+⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得221612a b ⎧=⎨=⎩, 所以椭圆的标准方程为2211612x y =＋. （2）由12128,2PF PF PF PF +=-=，解得125,3PF PF ==. 又124F F =，故满足2222121PF F F PF =＋. ∴12PF F ∆为直角三角形. ∴1214362PF F S =⨯⨯=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法和椭圆的几何性质的应用,相对不难.21.解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 【答案】当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a -≤≤.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得2x a≥或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭. 当21a >-，即2a <-时，解得21x a-≤≤； 当21a=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述. 22.已知数列{}n a 满足()*1122n n n a a n N a +=∈+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若记n b 为满足不等式()*11122k n n a n N -<≤∈的正整数k 的个数，设()()111n n n n n n b T b b -=----，求数列{}n T 的最大项与最小项的值.【答案】(1)见解析;(2)最大项为156T =，最小项为2712T =-. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）对1122n n n a a a +=+两边取倒数，移项即可得出11112n n a a +-=，故而数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列的通项公式求出1n a ，从而可得出n a ；（Ⅱ）根据不等式11122n n k a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，得12121n n k +-≤<-，又*k N ∈，从而()()121212n n n n b +=---=，当n 为奇数时，n T 单调递减，1506n T T <≤=；当n 为偶数时n T 单调递增，27012n T T -=≤<综上{}n T 的最大项为156T =，最小项为2712T =-. 试题解析：（Ⅰ）由于11a =，122n n n a a a +=+，则0n a ≠ ∴1212n n n a a a ++=，则121111111222n n n n n n n a a a a a a a ++-=-=+-=，即11112n n a a +-=为常数 又111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列 从而()1111122n n n a +=+-⨯=，即21n a n =+. （Ⅱ）由11122n n k a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1121212n n k -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得12121n n k +-≤<-， 又*k N ∈，从而()()121212n n n n b +=---=故()1211112212112n n n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 当n 为奇数时，1112112n n n T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，n T 单调递减，1506n T T <≤=； 当n 为偶数时，1112112n n n T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，n T 单调递增，27012n T T -=≤< 综上{}n T 的最大项为156T =，最小项为2712T =-.。
