关于优化设计的数学基础课件

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1-1 优化设计实例
例 1-3 一种承受扭转的空心传动轴，已知传递的扭矩为T ，
试确定此传动轴的内、外径，以使其用料最少。
空心传动轴的截面积：
s (D2 d2)
4
扭转强度条件：
max


16DT (D4 d4)

[
]
扭转刚度条件：


32T
G(D4
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360 g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300 g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200 g4 (x1, x2 ) x1 0 g5 (x1, x2 ) x2 0
这就是该问题的数学模型。
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第一章 优化设计的数学模型
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第一章 优化设计的数学模型
对任何一位设计者来说，总愿意作出最优设计方案，使 所设计的产品或工程设施有最好的使用性能和最低的材料消 耗与制造成本，以便获得最佳的经济效益和社会效益。
为此，自古以来，慎重的工程设计人员常常提供几种候 选设计方案，再从中择其“最优”者。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自 重或体积，降低工程造价的一种有效设计方法。同时也可使设计 者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力 从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
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优化设计的发展
50年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的 微分法和变分法。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化， 并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二 次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线 性规划是其主要内容。此外，还有动态规划、几何规划和随机规 划等。在数学规划方法的基础上发展起来的最优化设计，是60年 代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计 方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著 提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优 化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬 勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领 域中得到应用。

其中的cosi为d方向和坐标轴xi方向之间夹角的余弦。
2、二元函数的梯度
f f
f
f
dx 0 x 1x 0co 1 s x 2x 0co 2 s x 1
fco 1s x 2 x 0 co 2 s
f
令
f
s.t. hk (x1，x2 ，，xn) = 0 (k = 1,2,l) 由l个约束方程将n个变量中的前l个变量用其余n-l个变量表示， 有
x1 = (xl+1,xl+2,,xn)
x2 = (xl+1,xl+2,,xn)

xn = (xl+1,xl+2,,xn)
将这些函数关系代入到目标函数中， 得到只含有xl+1,xl+2,,xn共n-l个变量的函
解：
所以得
F(x, )=4x12+5x22+ (2x1+3x2-6) Fx1=8x1+2=0 x1=-/4
Fx2=10x2+3=0 x2=-3/10
F =2x1+3x2-6=0=-30/7
此即为所求极值点x*.
x1=1.071， x2=1.286
2.6 不等式约束优化问题的极值条件
xn

x0
函数 f(x1,x2， , xn)在x0处沿d的方向导数可表示为
d fx 0in 1 x fix 0co i s fx 0T d fx 0co f,s d
d方向上的单位向量
cos 1
d

cos



2

f x 2 x0
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四、凸规划
对于约束优化问题
min f x
s.t. gj x 0
j 1, 2,..., m
若 f x g j x都为凸函数，则此问题为凸规划。
凸规划的性质：
x0
1.若给定一点
，则集合
R

x f x f x0
为凸集。
R x 2.可行域
g j x0 j1,2,...,m
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
1 0 2 0
根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件：
为凸集
3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解
第五节 等式约束优化问题的极值条件
等式约束 约束优化
不等式约束
min f x
s.t. hk x 0 k 1, 2,...,l
消元法
求解这一问题的方法
拉格朗日乘子法
1.消元法（降维法）
以二元函数为例讨论。 二、拉格朗日乘子法（升维法）
对于具有L个等式约束的n维优化问题
集R内任意不同两点x1 x2 ，不等式
f x2 f x1 x2 x1 T f x1
恒成立。
2.根据二阶导数（ Hesse矩阵)来判断函数的凸性
设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的 函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件
Hesse矩阵在R上处处半正定。
n f x* f x f x*
i1 xi
xi x*
1 n 2 f x* 2 i, j1 xix j

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低比速离心泵的优化设计方法
2 损失极值法优化设计 如何提高泵的效率，历来是水泵工作者们的重 要课题。而效率是与损失紧密联系的，最高效率 应该与最小损失相对应。因此，优化设计的一种 思路自然便是建立各种损失与泵的几何形状之间 的关系，即：总损失为：
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低比速离心泵的优化设计方法
这种方法在获得高效离心泵性能方面是较为成 熟的，也是应用最普遍的。但它也有不足之处。 因为从理论上讲，每一项具体损失的计算是难以 估计准确的；其次，在实际优化过程中除了优化 设计变量外，其它参数就需按经验赋值，这又加 大了优化设计的局限性。另外，上式只强调了损 失与有关几何参数之间的关系，而忽略了叶轮流 道形状、前后盖板形状和叶片形状等对离心泵性 能的影响，因而也有其局限性。
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低比速离心泵的优化设计方法
1 速度系数法优化设计 速度系数法是泵设计中常用的方法，通过对已 有模型进行归纳统计而得。目前已有一批经过优 化了的先进水力模型，如IB型、IS型、WB型和 BP型等泵模型。计算机技术的发展和应用给速度 系数法优化设计带来了方便，人们建立了优秀水 力模型库，可随时吸收先进模型入库，及时优化 各种速度系数，跟随当前水泵的先进水平，其不 足是所设计泵的性能难以超过现有水平。
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2）可行域 任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分， 任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分， 一个不等式约束都把设计空间分为两部分 一部分是满足约束条件的称为可行域， 一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是 可行域 不满足约束条件的称为非可行域， 不满足约束条件的称为非可行域，这两部分的分界 非可行域 是
约束条件：gu ( x1 , x2 , x3 , ⋅⋅⋅, xn ) ≤ 0(不等式约束)