【苏教版】高中数学新学案选修2-1同步讲义：第1章 常用逻辑用语 §1.2 第1课时_含答案

1.2 简单的逻辑联结词[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．知识点一“p且q”“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q. 知识点二“p或q”“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q. 知识点三命题的否定一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作非p，读作“非p”或“p的否定”．知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有．(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论．题型一p∧q命题及p∨q命题例1 分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假．p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真．(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真．(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真．(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真．反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假．跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生．(2)方程2x2＋1＝0没有实数根．(3)12能被3或4整除．解(1)是“p且q”形式．其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．(2)是“非p ”形式．其中p ：方程2x 2＋1＝0有实根．(3)是“p 或q ”形式．其中p ：12能被3整除；q ：12能被4整除． 题型二 非p 命题例2 写出下列命题的否定形式． (1)面积相等的三角形都是全等三角形； (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形． (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零． (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 非p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写非p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p ∧q ”的否定是“非p ∨非q ”等．跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数．解 (1) 非p ：y ＝ sin x 不是周期函数．命题p 是真命题，非p 是假命题； (2) 非p ：3≥2.命题p 是假命题，非p 是真命题；(3) 非p ：空集不是集合A 的子集．命题p 是真命题，非p 是假命题； (4) 非p ：5是75的约数．命题p 是假命题，非p 是真命题． 题型三 p ∨q 、p ∧q 、非p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“非q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围．解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，x 1＋1x 2＋1>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“非q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、非p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，非p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况．一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围． 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6； ②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1． 命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则下列四个命题正确的是________．(填序号) ①p 真q 假 ②p ∧q 为真 ③p ∨q 为假④p 假q 真答案 ④解析 命题p 假，命题q 真． 2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为________． 答案 4解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．3．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题①p 1∨p 2，②p 1∧p 2，③(非p 1)∨p 2和④p 1∧(非p 2)中，为真命题的是________． 答案 ①④解析 p 1是真命题，则非p 1为假命题；p 2是假命题，则非p 2为真命题； ∴①p 1∨p 2是真命题，②p 1∧p 2是假命题，∴③(非p 1)∨p 2为假命题，④p 1∧(非p 2)为真命题． ∴为真命题的是①④.4．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是________． ①p 假q 真 ②“p ∨q ”为真 ③“p ∧q ”为真 ④“非p ”为真 答案 ②解析 由(x ＋2)(x －3)<0得－2<x <3， ∵1∈(－2,3)，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 为假， ∴“p ∨q ”为真．5．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．①p 为真 ②綈p 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个． 2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤： (1)逐一判断命题p ，q 的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p ∧q ”，“p ∨q ”的真假．p ∧q 为真⇔p 和q 同时为真， p ∨q 为真⇔p 和q 中至少一个为真．3．若命题p 为真，则“非p ”为假；若p 为假，则“非p ”为真，类比集合知识，“非p ”就相当于集合p 在全集U 中的补集∁U p .因此(非p )∧p 为假，(非p )∨p 为真． 4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．。

自主学习
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答案
思考 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？ 答案 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是 所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”. (2)对省略量词的命题怎样否定？ 答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命 题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对 任意”，它的否定是存在性命题.反之，亦然.
反思与感悟
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解析答案
跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； 证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1， ∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0， ∴对任意x∈R，都有f(x)≤0. (2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)≤4x恒成立， ∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
∴Δa<≤0，0， 即a4<＋01，2a≤0， 解得 a≤－13， 即实数 a 的取值范围是(－∞，－13].
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解析答案
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1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“非p” 形式的命题是___对__任_意__的__实__数__m__，__方__程__x_2＋__m__x_＋__1_＝__0_无__实__数__根______.
解 非p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. (4)对任意实数x，x2＋1≥0. 解 非p：存在实数x，使得x2＋1<0.
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解析答案
题型二 存在性命题的否定 例2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； 解 非p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假). (2)p：有些素数是奇数； 解 非p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 非p：所有的平行四边形都是矩形.(假).

§1　命　题(一)学习目标　1.理解命题的概念.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一　命题的概念及分类思考　下列语句有什么共同特征？(1)空集是任何集合的子集．(2)单位向量的模为1.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．答案　共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假．梳理　(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题Error!知识点二　命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．知识点三　四种命题四种命题的定义如下表所示名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数，则f (0)＝0，为真命题．(×)4．命题：若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，其逆命题为真命题．(×)类型一　命题的概念及真假判断命题角度1　命题的概念例1　判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)是有理数；π3(2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．考点　命题的定义及分类题点　命题的定义解　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．π3(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．反思与感悟　判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1　下列语句是命题的是( )①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤考点　命题的定义及分类题点　命题的定义答案　A解析　依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2　命题真假的判断例2　给定下列命题：①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；③直线x ＝是函数y ＝sin x 的一条对称轴；π2④在△ABC 中，若·>0，则△ABC 是钝角三角形．AB → BC → 其中为真命题的是________．考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　①③④解析　结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为·＝||||cos(π－B )＝－||||cos B >0，π2AB → BC → AB → BC → AB → BC → 故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题；②中，若a ＝－，b ＝，则22a ＋b ＝0，是有理数，故②是假命题．引申探究1．本例中命题④变为：若·<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？AB → BC → 解　不是真命题，·<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都AB → BC → 是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2．本例中命题④改为：若·＝0，则△ABC 是________三角形．AB → BC → 答案　直角解析　由·＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．AB → BC → 反思与感悟　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2　(1)下列命题中假命题的个数为( )①多边形的外角和与边数有关；②如果数量积a ·b ＝0，那么向量a ＝0或b ＝0；③二次方程a 2x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实根；④函数f (x )在区间[a ，b ]内有零点，则f (a )·f (b )<0.A ．1B ．2C ．3D ．4考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　C解析　因为Δ＝4＋4a 2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．(2)下列命题中为真命题的是( )A ．若ln x ＜1，则x ＜eB ．若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足a cos B ＝b cos A ，则该三角形为等腰三角形考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　D解析　对于A，需满足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不成立；对于C，若a n＝0，则结论不成立．类型二　命题的结构形式例3　将下列命题写成“若p，则q”的形式．(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．考点　命题的结构形式题点　改写成标准的若p则q形式解　(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．反思与感悟　将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则跟踪训练3　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.考点　命题的结构形式题点　改写成标准的若p则q形式解　(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．类型三　四种命题的概念及真假判断命题角度1　四种命题的概念例4　(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题答案　A(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题．考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用解　逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下．否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅.逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上．反思与感悟　四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练4　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．命题角度2　四种命题的真假判断例5　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．考点　四种命题的概念题点　判断四种命题的真假解　(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟　若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练5　已知命题“若2m －1＜x ＜3m ＋2，则1＜x ＜3”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．考点　四种命题的概念题点　判断四种命题的真假答案　[13，1]解析　其逆命题为若1＜x ＜3，则2m －1＜x ＜3m ＋2.该命题为真命题，需满足Error!解得≤m ≤1，13故m 的取值范围为.[13，1]1．下列语句为命题的是( )A ．2x ＋5≥0B ．求证对顶角相等C ．0不是偶数D ．今天心情真好啊考点　命题的定义及分类题点　命题的定义答案　C解析　结合命题的定义知C 为命题．2．下列说法中错误的是( )A ．命题“a ，b ，c 中至少有一个等于0”的否命题是“a ，b ，c 中没有一个等于0”B ．命题“若x ＞1，则x 2－1＞0”的否命题是“若x ≤1，则x 2－1＜0”C ．命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”D ．命题“若x ＝－4，则x 是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“若x 1≠－4，则x 不是方程x 2＋3x －4＝0的根”考点　四种命题的概念题点　按要求写命题答案　B解析　由否命题的定义知B是错误的．3．命题“若a≥b，则a＋b＞2017且a＞－b”的逆否命题是( )A．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2017或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2017或a≤－b，则a≤b考点　四种命题的概念题点　按要求写命题答案　C解析　将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题．“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b”．故选C.4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．考点　命题的定义及分类题点　由命题的真假求参数的取值范围答案　(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析　由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.5．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．考点　命题的定义及分类题点　由命题的真假求参数的取值范围解　“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；当m>0，且Δ＝m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意．综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．一、选择题1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线考点　命题的结构形式题点　区分命题的条件和结论答案　D解析　所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.2．下列命题为假命题的是( )A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．0是偶数D．5＞3考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　B解析　结合向量的有关知识知A为真命题，B为假命题．C，D显然是真命题．3．命题“若x2＞1，则x＜－1或x＞1”的逆否命题是( )A．若x2＞1，则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1，则x2≤1C．若－1＜x＜1，则x2＜1D．若x＜－1或x＞1，则x2＞1考点　四种命题的概念题点　按要求写命题答案　B解析　结合逆否命题的定义知B正确．4．下列命题是真命题的是( )A．若ab＝0，则a2＋b2＝0B．若a>b，则ac>bcC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　D解析　A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M 说明M⊆N.故A，B，C均错误．5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　D解析　D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　B解析　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．②③C．③④D．①③考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　D解析　结合线面、面面位置关系易知①③为真命题．8．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是( ) A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确考点　四种命题题点　四种命题的判断答案　B解析　否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，所以A错误；B正确；C不正确，故选B.二、填空题9．有下列命题：①22340能被5整除；②不存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0；③对任意的实数x，均有x＋1＞x；④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(填序号)考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　④解析　易知①②③为真命题，④中Δ＝4－12＜0，方程x2－2x＋3＝0无实根，因而④为假命题．10．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f(x)＝log a x在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是______________________________________________________________________________________________________________________________________________.考点　四种命题的概念题点　按要求写命题答案　当a＞0，a≠1时，若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x在其定义域内不是减函数．11．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a) x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．考点　命题的真假判断题点　由命题的真假求参数的取值范围答案　(－∞，－2]解析　p为真命题时，Δ＝4a2－16＜0，解得－2＜a＜2.q为真命题时，5－2a＞1，解得a＜2.当p真q假时，Error!a∈∅.当p假q真时，Error!即a≤－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2]．三、解答题12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac>bc时，a>b；(2)当m >时，mx 2－x ＋1＝0无实根；14(3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.考点　命题的结构形式题点　改写成标准的若p 则q 形式，并判断命题的真假解　(1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >，则mx 2－x ＋1＝0无实根．14∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，该命题是真命题．13．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．考点　四种命题的概念题点　判断四种命题的真假解　其逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集．∵a ＜1，∴Δ＝(2a ＋1)2－4×(a 2＋2)＝4a ＋1－8＝4a －7＜0，即不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，∴原命题的逆否命题是真命题．四、探究与拓展14．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0或a ≥3B ．a ≤0或a ≥3C ．a <0或a >3D ．0<a <3考点　命题的真假判断题点　由命题的真假求参数的取值范围答案　A解析　若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．15．写出命题“当2m ＋1＞0时，如果＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题m ＋32m －1和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．考点　四种命题的概念题点　判断四种命题的真假解　由2m ＋1＞0，得m ＞－.12由＞0，得m ＜－3或m ＞，m ＋32m －112又m ＞－，所以m ＞.1212由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3，又m ＞－，所以2＜m ＜3.12由此可知，原命题可变为“如果m ＞，那么2＜m ＜3”，12显然原命题是假命题．逆命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6＜0，那么＞0”，m ＋32m －1即“如果2＜m ＜3，那么m ＞”，它是真命题．12否命题为“当2m ＋1＞0时，如果≤0，m ＋32m －1那么m 2－5m ＋6≥0”，因为Error!所以Error!所以－＜m ＜，1212由Error!得Error!即－＜m ≤2或m ≥3，12所以否命题可表述为“如果－＜m ＜，1212那么－＜m ≤2或m ≥3”，它是真命题．12逆否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6≥0，那么≤0”，m ＋32m －1则逆否命题可表述为“如果－＜m ≤2或m ≥3，121 21 2那么－＜m＜”，它是假命题．。

§1.1 命题及其关系 1.1.1 四种命题学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一 命题的概念思考 在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假． (1)这幅画真漂亮！ (2)求证3是无理数； (3)菱形是平行四边形吗？ (4)等腰三角形的两底角相等； (5)x ＞2012；(6)若x 2＝20122，则x ＝2012.答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假． 梳理 (1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题． (2)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点二 命题的构成形式1．命题的一般形式为“若p 则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．知识点三四种命题及其关系思考初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．梳理(1)四种命题的概念(2)四种命题间的关系(3)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数，则f (0)＝0，为真命题．(×) 4．命题：若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，其逆命题为真命题．(×)类型一 命题的概念及真假判断 命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数． 考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是________．(填序号)①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义 答案 ①②③解析 依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2 命题真假的判断 例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 ①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题． 引申探究1．本例中命题④改为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？ 解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形． 答案 直角解析 由AB →·BC →＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x＝4时，2x＋1＞0.解(1)能判断真假，是命题，是假命题．(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能判断真假，是命题，是真命题．类型二四种命题的关系及真假判断命题角度1四种命题的写法例3把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练3写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．命题角度2四种命题的真假判断例4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟 1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练4下列命题中为真命题的是________．(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．答案②③解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．②原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－14<0.故为真命题．③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．故为真命题．所以真命题是②③.类型三等价命题的应用例5证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．反思与感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练5证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的为________．(填序号)答案①②③解析依据命题的定义知只有①②③为命题．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．考点四种命题的概念题点按要求写出命题答案若|a|＝|b|，则a＝－b3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．答案若x>0，则x>1若x≤0，则x≤14．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假．解 (1)命题p 的否命题为“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题． 判断如下： 因为ac <0，所以－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c >0有解， 所以该命题是真命题．1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p 则q ”的形式．含有大前提的命题写成“若p 则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中．3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p 经逻辑推理得出q ，则命题“若p 则q ”为真；确定“若p 则q ”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、填空题 1．给出下列命题 ①若a >b ，则a 3>b 3； ②若a >1，则1a<1；③一元二次方程x 2－x ＋1＝0无实数解； ④若a ≥b ，则ac 2≥bc 2.其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①②③④解析 显然①成立，②成立；而对于③：判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，故该方程无实数解；对于④：结合不等式性质，可知该命题为真命题． 2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．答案 若tan α≠1，则α≠π43．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2；④矩形的对角线互相垂直． 其中假命题的个数是________． 答案 4解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x ，y 中一个为零，另一个不为零时，|x |＋|y |≠0；③当c ＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直． 4．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题； ③“若m ＞1，则不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ”的逆否命题． 其中所有真命题的序号是________． 答案 ①③解析 ①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0…；对于③，当m ＞1时，Δ＝4－4m ＜0恒成立，x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1，2]解析 由已知得若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 6．命题“函数y ＝log 2(x 2－mx ＋4)的值域为R ”为真命题，则实数m 的取值范围为________________． 考点 命题的定义及分类题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 由题意可知，满足条件时，需方程x 2－mx ＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m )2－4×4≥0，解得m ≤－4或m ≥4.7．命题“当a ＞0，a ≠1时，若函数f (x )＝log a x 在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 考点 四种命题的概念题点 按要求写命题答案 当a ＞0，a ≠1时，若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数．8．已知命题“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”为真命题，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0,2)．9．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－2]解析 p 为真命题时，Δ＝4a 2－16＜0，解得－2＜a ＜2.q 为真命题时，5－2a ＞1，解得a ＜2.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2. 故实数a 的取值范围为(－∞，－2]．10．命题“对于正数a ，若a ＞1，则lg a ＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．答案 4解析 逆命题：对于正数a ，若lg a ＞0，则a ＞1，否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0.逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1.根据对数的性质可知都是真命题．二、解答题11．把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵当ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，∴该命题是真命题．12．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：1－x ＋x 24<1，若命题p ，q 至少有一个是真命题，求实数x 的取值范围．解 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4. 若命题p ，q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形：①p 真q 假；②p 假q 真；③p 真q 真．当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4.解得x ≤－1或x ≥4.当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <3，0<x <4，解得0<x <3. 当p 真q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，0<x <4，解得3≤x <4. 综上，满足条件的实数x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞)．13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．三、探究与拓展14．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，0)∪[3，＋∞)解析 若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．15．写出命题“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 由2m ＋1＞0，得m ＞－12. 由m ＋32m －1＞0，得m ＜－3或m ＞12， 又m ＞－12，所以m ＞12. 由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3，又m ＞－12，所以2＜m ＜3. 由此可知，原命题可变为“如果m ＞12，那么2＜m ＜3”， 显然原命题是假命题．逆命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6＜0， 那么m ＋32m －1＞0”， 即“如果2＜m ＜3，那么m ＞12”，它是真命题． 否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1≤0， 那么m 2－5m ＋6≥0”，因为⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m ＋32m －1≤0，所以⎩⎨⎧ m ＞－12，－3≤m ＜12， 所以－12＜m ＜12， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m 2－5m ＋6≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－12，m ≤2或m ≥3， 即－12＜m ≤2或m ≥3， 所以否命题可表述为“如果－12＜m ＜12， 那么－12＜m ≤2或m ≥3”，它是真命题．逆否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6≥0，那么m ＋32m －1≤0”， 则逆否命题可表述为“如果－12＜m ≤2或m ≥3， 那么－12＜m ＜12”，它是假命题．。