【新课标】2012年高考数学专题冲刺复习专题一第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质

第2讲 │ 要点热点探究
1 1 的值域是_______ . 已知函数 f(x)＝ x －2的定义域是 R，则 f(x)的值域是 ＝ ， 的值域是 方法一：∵2 >0，∴2 ＋1>1，∴0< x ， ， 2 ＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 <1，则－ < x ， －2<2.即函数 f(x)＝ x 即函数 ＝ －2的值域是－2，2. 2 2 ＋1 2 ＋1 1－2y － 1 1 x 方法二(反函数法 反函数法)： .∵2x>0， 方法二 反函数法 ：由 y＝ x ＝ － 2， 得 2 ＝ ∵ ， 2 ＋1 1＋2y ＋ 1－2y － 1 1 1 1 >0，解得－ <y< ，即函数 f(x)＝ x ，解得－2 ＝ －2的值域是 ∴ 2 2 ＋1 1＋2y ＋ 1 1 － ， . 2 2
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要点热点探究 ► 探究点一 函数的定义域和值域
1 ，则 f(x) 1 log (2x＋1) 2 ＋ )
江西卷] 例 1 [2011· 江西卷 若 f(x)＝ ＝ 的定义域为( ) 的定义域为 1 A.－2，0 1 － ，＋∞ C. 2，＋∞
第2 讲
函数的图象与性质
第2讲 函数的图象与性质
第2讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．函数及其性质 ． (1)函数的定义：函数是定义在两个非空数集 A、B 上的映 函数的定义： 函数的定义 、 它由定义域、值域和对应法则组成． 射，它由定义域、值域和对应法则组成． (2)函数的性质： 函数的性质： 函数的性质反映了函数的变化规律， 函数的性质 函数的性质反映了函数的变化规律， 高考 中常考的函数性质是单调性、奇偶性和周期性． 中常考的函数性质是单调性、奇偶性和周期性． (3)函数是增 减)函数，其几何意义是函数图象上任意两点 函数是增(减 函数 函数， 函数是增 的连线的斜率都大于(小于 小于)零 函数是偶函数的充要条件是函 的连线的斜率都大于 小于 零．函数是偶函数的充要条件是函 轴对称； 数的图象关于 y 轴对称； 函数是奇函数的充要条件是函数的图 象关于原点对称． 象关于原点对称．如果函数有周期 T，则 T 的正整数倍是函数 ， 的周期，其负整数倍也是函数的周期． 的周期，其负整数倍也是函数的周期．

上单调递减； ＋∞)上单调递减；
a>1 时，在 R 上 a>1 时，在(0，
单调递增 ＋∞)上单调递增
函数值 性质
0<a<1，
0<a<1，
当
x>0
时， 当 x>1 时，y<0；
0<y<1；
当 x<0 时，y>1 当 0<x<1 时，y>0
a>1，
a>1，
当 x>0 时，y>1；当 x>1 时，y>0；
(x≤0)， (x>0)， 若 f(－4)＝
f(0)，f(－2)＝－2，求关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数.
思维启迪 由两个已知条件求出 b，c，再利用函数图象
或解方程求解．
解 方法一 由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
可得146－－24bb＋＋c＝c＝－c，2， ∴b＝4，c＝2，
3．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整 体特性． 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问 题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种 途径．
4．函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分 运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、 用图三个基本问题．
5．函数图象的对称性 (1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a －x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于 直线 x＝a＋2 b对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图 象关于点(a，b)成中心对称．

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函数的奇偶性、单调性、周期性是必考点．周期 性问题往往根据特殊值探究．观察函数值的规律或由 图象的对称性特点归纳函数的周期性进行探讨．
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【变式训练】(2010g11月鲁迅中学柯桥校区月考） 设函数f (x) ax b 的图象如图所示，则a，b，
x2 c
c满足
A．a b c B．a c b C．b a c D．b c a
4
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在解方程或不等式等问题时，借助图象十 分快捷，但要注意求交点个数或解的个数等问 题时，作图要十分准确，否则容易出错．
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【变式训练】已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性； (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不等的实根}．
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f
x (6， 3)时，f x ( )
A．2 x 6
B． 2x6
C．2 x 6
D． 2x6
令x为x 3，则f x f 6 x．由y f x是奇函数， 则f x f x 6，所以f x 6 f x． 设x (6， 3)，则x 6 0,3，所以f x 6 2x6， 所以f x 2x6.故选B.
(
x)
(x - 2)2 -1
-( x
-
2)2
1
作出图象如图所示．
x (,1 U3， ），
x (1,3)
1函数f (x)的递增区间为1, 2，
称的单调区间内有相反的单调性．
4若f x a为奇函数 f x的图象关于点a,0成中心对称； 若f x a为偶函数 f x的图象关于直线x a对称．
5
5设f x，g x的定义域分别是D1，D2，那么在它们
的公共定义域D D1 I D2上，奇 奇 奇，偶 偶 偶， 奇 奇 偶，偶 偶 偶，奇 偶 奇．

值范围,即 等价于 0<a≤kOB, 而 kOB= 2k1+1.
∴0<a≤ 2k1+1, （其中kN+）
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§2.9.2 函数的图象(二)
y
例4.利用函数图象解不等式 4-x2 > -x-1.
2
A
解: 圆心,
令 y= 4-x2 , 它的图象是以原点为
2 为半径的半圆.
-2
xA
-1
过来, 满足 y=f(x) 的每一组对应值 x, y 为坐标的点 (x, y), 均在其图象上.
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§2.9.2 函数的图象(二)
2、函数作图基本思路
1）讨论函数的定义域及函数的基本性质； 2）若函数的图象与图象变换有关, 则应考虑用 图象变换作出图象； 3）作函数的图象必须准确描出关键的点线(如图象 与 x, y 轴的交点, 极值点, 对称轴, 渐近线等).
④y=f(x) 与 y=f(|x|)
⑤ y=f(x) 与 y=|f(x)|
关于 y 轴对称 关于 x 轴对称 关于原点对称
保留 y 轴右边图象, 去掉左边图象, 再作关于 y 轴的对称图象. 保留 x 轴上方图象, 将 x 轴下方图 象翻折上去.
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§2.9.2 函数的图象(二)
4、函数图象的对称性
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§2.9.2 函数的图象(二)
3、函数图象的画法
函数图象的画法有两种常见的方法: 一是描点法; 二是图象变换法.
1）描点法
描点法作函数图象是根据函数解析式, 列出函 数中 x, y 的一些对应值表, 在坐标系内描出点, 然后 用平滑的曲线将这些点连接起来. 利用这种方法作 图时, 要与研究函数的性质结合起来.