同济高等数学第六版-D10_5对坐标曲面积分-PPT精选文档

§5. 对坐标的(第二类)曲面积分 一、有向曲面 如果对 内的每一点 P0 , 从 P0出发的点
P 在 内沿任意一条不与 的边界相交的曲线 C 连续 移动而回到 P0时，正法向量 n P 连续转动回到 n P0 ，就 称 为一个双侧曲面。双侧 曲面连同其上确定的正 n 指向的 法向量 n 指向的一侧称为曲面的 正侧， 一侧称为 的负侧，记为 .
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k
Σ 是速度场中的 一片有向曲面,
z
实例:
流向曲面一侧的流量.
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场为：
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
n
0
i 1
i
i
i
i
yz
Q( x , y, z )dzdx

lim Q ( i , i , i )( S i ) zx
0
i 1
n
上述三个曲面积分 也称为第二类曲面积分
R( i , i , i )( Si ) xy R( x, y, z )dxdy lim 0 i 1
0 向量为 ni , v i v ( i , i , i ) P ( i , i , i )i Q( i , i , i ) j R( i , i , i )k , 0 ni cos i i cos i j cos i k
vi P ( , , )i Q( , , ) j R( , , )k , [ P ( , , )(S ) Q( i ,i , i )( Si ) xz

取典型小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 看作均匀薄片， 所有小块质量之和
(ξi ,ηi )
•
∆σi
λ→0
o x n 近似等于薄片总质量 M = lim∑ρ(ξi ,ηi )∆σi .
i =1
2、二重积分的定义 、
上的有界函数， 定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 ∆σ1 ， 个小闭区域， ∆σ 2 , L ∆σ n，其中 ∆σ i 表示第 i 个小闭区域， ， 也表示它的面积， 也表示它的面积， 的面积 在每个 ∆σ i 上任取一点(ξi ,ηi )， 作乘积 并作和
2 2
解 当r ≤ x + y ≤ 1时，< x2 + y2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1, 0
故 ln( x + y ) ≤ 0
2 2
ln( 又当 x + y < 1时， x2 + y2 ) < 0,
于是
r ≤ x + y ≤1
∫∫
ln( x + y )dxdy < 0
2 2
三、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
o
D
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质） 二重积分与定积分有类似的性质）
α 数 性质１ 性质１ 当 ，β为常 ，则
∫∫ [α f ( x, y) + β g( x, y)]dσ
= α∫∫ f ( x, y)dσ + β ∫∫ g( x, y)dσ .

n (cos , cos , cos ) dS n dS (d ydz, dzdx, dxd y)
高等数学
第二十五讲
1
第十一章 第五节 对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
2
一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧


y
x
的顶部 1 : z a ( x a , y a ) 取上侧 2 2 2 的底部 2 : z a ( x a , y a ) 取下侧 2 2 2
3 a
( z x) d x d y 2 a ( x) d x d y Dx y 2
1 2
xy xy
2 2

2 0
Dx y Dx y
xy 1 x y d x d y
2 2
z
o Dx y x
r sin cos 1 r rd rd
2 2
2
sin d sin

1
0
r
2
1 r d r
2
2
2 15
1 y 1
33
例2：计算
: z 1 x y 2 z 0 的上侧。 z zd xd y 1 x 2 y 2 d xd y 解：
26
3. 性质 (1) 若
P d y d z Q d z d x R d x d y A n d S A d S

xy ( 1 x2 y2 )d x d y Dx y
xy 1 x2 y2 d x d y
Dx y
2 xy 1 x2 y2 d x d y Dx y
z
2 r 2 sin cos 1 r 2 rd rd
2
Dxy
2 sin 2 d
1r3
1r2 dr
0
0
x
o
Dx y 1 1
y
2 15
分析: 若 是面积为S 的平面,
n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量
S
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对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
ni vi
进行分析可得
lim 0 i1
vi
பைடு நூலகம்
ni
Si
设 ni (cosi , cos i , cos i ), 则
第五节
第11章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
双侧曲面 • 曲面分类 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
R(x, y, z) d x d y Dxy R(x, y, z(x, y))d x d y
•若
则有
P(x,
y, z)d
ydz
Dyz
P(x(y, z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)