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( n 1, 0! 1)
( n) 设 y sin x , 求 y . 例5 解：y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu )
( n 1)
( n)
Cu
( n)
(3) (u v)
(n)
u v nu
(n)
n(n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n(n 1) (n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k!
x0
2.
x ( n) 设 y a ( a 0 , a 1 ), 求 y . 例2
解： y a ln a,
x
y a ln a,
x 2
y a ln a,
x 3
（a ） a ln a
x ( n) x n
特殊地： （e ） e
x ( n)
x
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
方法2 利用求导公式.
f ( x) ( x)
x
f (0) 99!
x, 3.设 f ( x ) ln( 1 x ),
1 y d dx d dy dy dy
d2x 2 dy
1 d y dx dx dy
y 1 y 2 3 g( x ) y y y
y d 3 3 2 y dx d x d d x 3 2 dy dy dy dx dy
1 x
1 x
2 2x 2 ( 3 x 1 ) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3 2x f (0) 2 2 x 0 0; (1 x )
(1 x ) 2
2( 3 x 2 1) f (0) (1 x 2 ) 3
x ( n) x n
a ln a
x ( n)
e
x
(5) (ln x )
( n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 ( n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
1 (5) 例7 设 y 2 , 求y . x 1
1 1 1 1 ) 解： y 2 ( x 1 2 x 1 x 1
k ( nk ) ( k ) Cn u v k 0 n
莱布尼兹公式
(uv) uv uv 特别地 (uv) uv 2uv uv
2 2x ( 20 ) 设 y x e , 求 y . 例6
设u e , v x , 则由莱布尼兹公式知 解：
f ( x) f (a) ( x a ) ( x) f (a ) lim lim x a x a xa xa
lim ( x) (a)
x a
2. 设 f ( x) x ( x 1)( x 2)( x 99), 求 f (0). 解: 方法1 利用导数定义.
(a x ) a x ln a 1 (loga x ) x ln a
(e x ) e x (l n x )
2
(arcsin x )
1
1 x 1 (arctan x ) 1 x2
(arccos x )
1 x 1
1 x2 1 ( arccot x ) 1 x2
y
3
y y 3 y y 1 6 y y
2
3 y yy . 5 y
2
第四节 隐函数及其由参数所确定
的函数的导数 相关变化率
主要内容
1.隐函数的导数 2.由参数方程所确定的函数的导数 3.相关变化率
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) . 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
一般地 , 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数 , 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
二、 高阶导数求法举例
☻直接法:
由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 2x 1 1 解： y y ( ) 2 2 2
若 为自然数n, 则
y
( x ) n! , y
n ( n)
( n 1)
(n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法可证明)
例4 设 y ln(1 x ), 求y .
( n)
1 解： y 1 x
y
(n)
（sin x） sin( x n
(n)
同理可得 (cos x ) ( n )
( n)
2 cos( x n ) 2
)
（sinkx） k sin( kx n
n
2
)
☻高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)
( n)
7
函数与极限
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数 .
2 2 (1 x ) 3! (4) y (1 x ) 4
( n) n 1 ( n 1)! ln(1 x ) (1) n
ln x ( n)
(1 x ) n 1 ( n 1)! ( 1) ( n 1, 0! 1) n x
y
( 5)
1 5! 5! 5 5 [(1) (1) ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1)
1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
dx 1 d2x d3x 已知 ，求 2 , . 3 dy y dy dy
分 析：
本题应视x为y的函数 ,即x x( y), 在此观点下 , y y( x ) y[ x( y)]应视为 以y作自变量 , x为中间变量的复合函数 . 利用复合函数求导法即 可.
2x 2
y
( 20 )
(e ) x 20(e ) ( x ) 20(20 1) 2 x (18) 2 (e ) ( x ) 0 0 2!
2 x ( 20 ) 2 2 x (19 ) 2
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
v uv u u （3）( uv ) u v uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v 3.复合函数的求导法则 设y f ( u), 而u ( x )则复合函数 y f [ ( x )]的 dy dy du 导数为 或 y( x ) f ( u) ( x ). dx du dx
第二章
导数与微分
复习
1.常数和基本初等函数的导数公式
( x ) x 1 (cos x ) si n x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
(C ) 0 (si nx ) cos x
2 (tan x ) se c x (se cx ) se cx tan x
x0 x0
, 求f ( x ).
解 当x 0时, f ( x ) 1,
ln(1 x h) ln(1 x ) 当x 0时, f ( x ) lim h 0 h 1 1 h lim ln(1 ) h 0 h 1 x 1 x
(0 h) ln(1 0) 当x 0时, f (0) lim h 0 h
21
函数与极限
一、隐函数的导数
2 2 x y
隐函数
dy 问题： x y 1, xy e e 0, 如何求 ? dx
隐函数：F ( x, y) 0
显函数：y f ( x )
隐函数的显化
隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
dy 例1 x y 1, 求 . dx 2 2 解：方程两边对x求导, x ( y( x )) 1
