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课 时 授 课 计 划课次序号： 03一、课 题：§1.3 函数的极限二、课 型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；2.了解函数极限的性质．四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6八、授课记录：九、授课效果分析： 第三节 函数的极限复习1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞=⇔∀>∃>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．一、x →∞时函数的极限对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．定义1 若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞f （x ）?A ． 若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞f （x ）?A ． 例1 证明limx 0．证 0-，故∀ε＞00-＜εε，即x ＞21ε．因此，∀ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 limx ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞=． 证 ∀ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞10x ?0． 定义2 若∀ε＞0，∃X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限：f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）．注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线．由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理．定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1x x x →∞--?1．证 ∀ε＞0，要使211x x ---?31x +＜ε，只需｜x ?1｜＞3ε，而｜x ?1｜≥｜x ｜?1，故只需｜x ｜?1＞3ε，即｜x ｜＞1?3ε． 因此，∀ε＞0，可取X ?1?3ε，则当｜x ｜＞X 时，有211x x --+＜ε，故由定义2得2lim 1x x x →∞-+?1． 二、x →x 0时函数的极限现在我们来研究x 无限接近x 0时，函数值f （x ）无限接近A 的情形，它与x →∞时函数的极限类似，只是x 的趋向不同，因此只需对x 无限接近x 0作出确切的描述即可．以下我们总假定在点x 0的任何一个去心邻域内都存在f （x ）有定义的点．定义3 设有函数y ?f （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，使得x ∈U （x 0，δ）（即0＜｜x ?x 0｜＜δ）时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即｜f （x ）?A ｜＜ε），则称A 为函数y ?f （x ）当x →x 0时的极限，记为0lim x x →f （x ）? A ，或f （x ）→A （x →x 0）． 研究f （x ）当x →x 0的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时f （x ）的变化趋势，而不关心f （x ）在x ?x 0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域．函数f (x )当x →x 0时的极限为A 的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x 轴的两条直线y ?A ?ε和y ?A ?ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点x 0的一个δ邻域（x 0?δ,x 0?δ），当y ?f (x )的图形上点的横坐标x 在邻域 （x 0?δ,x 0?δ）内，但x ≠x 0时，这些点的纵坐标f (x )满足不等式 |f (x )?A |<ε,或 A ?ε<f (x )<A ?ε．亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1－34所示．图1－34例4 证明211lim 1x x x →--?2． 证 函数f （x ）?211x x --在x ?1处无定义．∀ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x ?1｜＜δ时，2121x x ---?｜x ?1｜＜ε成立．因此，∀ε＞0，据上可取δ?ε，则当0＜｜x ?1｜＜δ时，2121x x ---＜ε成立，由定义3得211lim 1x x x →--?2． 例5 证明0lim x x →sin x ?sin x 0． 证 由于｜sin x ｜≤｜x ｜，｜cos x ｜≤1，所以｜sin x ?sin x 0｜?200cos sin 22x x x x +-≤｜x ?x 0｜． 因此，∀ε＞0，取δ?ε，则当0＜｜x ?x 0｜＜δ时，｜sin x ?sin x 0｜＜ε成立，由定义3得0lim x x →sin x ?sin x 0．有些实际问题只需要考虑x 从x 0的一侧趋向x 0时，函数f （x ）的变化趋势，因此引入下面的函数左右极限的概念．定义4 设函数y ?f （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，当x ∈0(,)U x δ- (或x ∈0(,)U x δ+)时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε），则称A 为f （x ）当x →x 0时的左（右）极限，记为0lim x x -→f （x ）?A （0lim x x +→f （x ）?A ），或记为f （0x -）?A （f （0x +）?A ）． 由定义3和定义4可得下面的结论．定理2 0lim x x →f （x ）?A 的充要条件是0lim x x -→f （x ）?0lim x x +→f （x ）?A ． 例6 设cos ,0()10x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩，研究0lim x →f （x ）． 解 x ?0是此分段函数的分段点，0lim x -→f （x ）?0lim x -→cos x ?cos0?1，而 0lim x +→f （x ）?0lim x +→（1?x ）?1． 故由定理2可得，0lim x →f （x ）?1． 例7 设,0()10x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，研究0lim x →f （x ）． 解 由于 0lim x -→f （x ）?0lim x -→x ?0，0lim x +→f （x ）?0lim x +→1?1，因为0lim x -→f （x ）≠0lim x +→f (x ),故0lim x →f （x ）不存在． 三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有相类似性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立．1．唯一性定理3 若lim f （x ）存在，则必唯一．2．局部有界性定义5 在x →x 0（或x →∞）过程中，若∃M ＞0，使x ∈U (x 0)(或｜x ｜＞X )时，｜f （x ）｜≤M ，则称f （x ）是x →x 0（或x →∞）时的有界变量．定理4 若lim f （x ）存在，则f （x ）是该极限过程中的有界变量．证 我们仅就x →x 0的情形证明，其他情形类似可证．若0lim x x →f （x ）?A ，由极限定义，对ε?1，∃δ＞0，当x ∈U （x 0，δ）时，｜f （x ）?A ｜＜1，则｜f （x ）｜＜1?｜A ｜，取M ?1?｜A ｜，由定义5可知，当x →x 0时，f （x ）有界．注意，该定理的逆命题不成立，如sin x 是有界变量，但lim x →∞sin x 不存在． 3．局部保号性定理5 若0lim x x →f （x ）?A ，A ＞0（A ＜0），则∃U （x 0），当x ∈U （x 0）时，f （x ）＞0 （f （x ）＜0）．若lim x →∞f （x ）?A ，A ＞0（A ＜0），则∃X ＞0，当｜x ｜＞X 时，有f （x ）＞0（f （x ）＜0）． 该定理通常称为保号性定理，在理论上有着较为重要的作用．推论 在某极限过程中，若f （x ）≥0（f （x ）≤0），且lim f （x ）?A ，则A ≥0（A ≤0）．4. 函数极限与数列极限的关系定理6 0lim x x →f (x )?A 的充要条件是对任意的数列{x n }，x n ∈D f （x n ≠x 0）,当x n →x 0（n →∞）时，都有lim n →∞f （x n ）?A ，这里A 可为有限数或为∞． 定理6 常被用于证明某些极限不存在． 例1 证明极限01limcos x x→不存在． 证 取{x n }?12n π，则lim n →∞x n ?lim n →∞12n π?0，而lim n →∞cos 1n x ?lim n →∞cos2nπ?1． 又取{x ′n }?()121n π⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，则lim n →∞x ′n ?lim n →∞()121n π+?0,而lim n →∞cos 1'n x ?lim n →∞cos(2n ?1)π??1， 由于 lim n →∞cos 1n x ≠lim n →∞cos 1'n x ，故0lim n →cos 1x不存在． 课堂总结1.两种变化趋势下函数极限的定义；2.左右极限（单侧极限）；3.函数极限的性质：惟一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系．。
广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：____ ___061041210______________总学时／周学时：51/3开课时间： 2015年9 月16 日第 3周至第18周授课年级、专业、班级：____制药本152班使用教材：__ 高等数学_同济大学第7版____教研室： _ _数学与应用数学教研室_________授课教师：____________ ___________________ 一、课程教学计划表二、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1．理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
7．了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
（二）重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射 1. 映射概念定义4.设X 、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f ,使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作f : X →Y .其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =,元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X =。
高等数学教材答案同济高等数学是大学理科专业中的一门重要学科，对于学生来说，掌握基本概念和解题技巧非常重要。
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1. 函数与极限部分1.1 极限的概念与性质1.2 无穷小量与无界量1.3 函数极限的定义与计算方法1.4 极限存在准则与函数极限的运算法则1.5 极限存在问题的应用2. 导数与微分部分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 导数运算法则2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 高阶导数与莱布尼茨公式2.6 微分与微分中值定理3. 积分与不定积分部分3.1 不定积分的定义与性质3.2 基本积分法3.3 分部积分法与换元积分法3.4 定积分与牛顿-莱布尼茨公式3.5 反常积分的概念与判定4. 微分方程部分4.1 张成光微分方程模型及其解法4.2 分离变量法与齐次方程4.3 一阶线性微分方程4.4 可降阶的高阶微分方程4.5 欧拉方程以上是《高等数学教材答案同济》的主要内容，每个部分都包含了相关的概念、性质以及解题方法。
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函数、极限、连续一、函数：五大类根本初等函数幂函数，指数函数，对数函数反函数，有界性，奇偶性三角函数：正割函数，余割反三角函数二、极限1、数列的极限夹逼准那么2、函数的极限〔1〕两个重要极限〔2〕无穷小：高阶，低阶，同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。
等价无穷小代换；三、连续间断点：第一类，第二类左右极限都存在；可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。
闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性第二章导数与微分、相关概念1、导数的两大定义式；2、左右导数；3、几何意义；4、可导与连续的关系。
5、16 个根本导数公式，4 个求导法那么二、六大类函数求导1、复合函数求导；2、隐函数求导；3、参数方程所确定的函数求导；4、幂指函数求导；对数求导法5、分段函数求导；6、抽象函数求导。
三、微分1、概念；可微2、计算第三章微分中值定理与导数的应用一、中值定理罗尔定理：驻点拉格朗日中值定理二、洛必达法那么三、单调性和凹凸性单调性：求单调区间；求极值；证明不等式；证明方程根的唯一性。
极值的第一充分条件有且仅有；凹凸性：凹凸区间；拐点四、渐近线1、水平渐近线2、垂直渐近线3、斜渐近线第四章不定积分一、不定积分的概念；〔13+2〕原函数；被积函数；积分变量二、计算1、凑微分法〔第一类换元法〕2、第二类换元法3、分部积分法〔一〕4 小题〔二〕2 小题〔三〕1 小题简单根式的积分第五章定积分一、相关概念和性质积分下限，积分上限几何意义：面积的代数和[a,b] 积分区间比拟性质定积分的中值定理二、关于计算方面的内容1、定积分的计算；2、广义积分〔反常积分〕；〔1〕无穷限的广义积分；收敛；发散〔2〕无界函数的广义积分〔瑕积分〕无界间断点，瑕点3、积分上限的函数；〔1〕变上限定积分；〔2〕求导运算；4、用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。
两个简便公式第六章微分方程一、相关概念定义：未知函数，未知函数的导数，自变量；阶，解，通解，特解初始条件二、四类方程1、可别离变量的微分方程；2、一阶线性微分方程；一阶齐次线性。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
高等数学同济第七版第一篇：极限与连续高等数学的第一章主要介绍极限与连续。
极限是数学中非常重要的概念，在多个数学领域中都有应用，因此我们有必要学好它。
在极限的概念中，最为重要的是函数极限。
我们可以将函数极限理解为当自变量接近某个值时，函数取值的趋势。
例如，如果一个函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时$f(x)$趋近于$b$，那么我们可以表示为$\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$。
在求函数极限时有很多方法，例如夹逼准则、单调有界原理和利用连续函数等等。
其中夹逼准则比较常用，即如果三个函数满足一个条件，那么中间的函数也满足这个条件。
具体可以参考书中相关内容。
除了函数极限，还有数列极限。
数列极限是当$n$趋近于无穷大时的极限。
如果一个数列$\{a_n\}$在$n$趋近于无穷大时趋近于一个数$b$，我们可以表示为$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=b$。
同样，还有一些方法求解数列极限，例如单调有界原理和夹逼准则等等。
除了极限的概念，章节中还介绍了连续的概念。
连续可以理解为一个函数在某个点处的取值与该点的极限相同。
具体而言，如果函数$f(x)$在$x_0$处连续，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
如果函数在某一段区间内连续，我们就可以将它与极限联系起来，简化我们的求解过程。
章节中还介绍了一些基本的极限运算法则，例如函数极限的四则运算和常用不等式的运用等等。
这些都非常基础，相信大家都非常熟悉。
此外，本章还介绍了导数的概念。
导数是函数在某个点处的切线斜率，也是应用最广泛的数学概念之一。
通过导数，我们可以理解函数的增减性和极值等性质。
因此，请大家认真学习本章内容，可以多做一些练习题加深自己的理解。
第二篇：一元函数微积分学一元函数微积分学是高等数学中内容相对较多、概念相对较复杂的一章。
本章内容主要涉及到导数和积分两大部分，包括高阶导数、微分、微分中值定理、泰勒公式、不定积分和定积分等知识。
习题1-31. 根据函数极限的定义证明:(1)8)13(lim 3=-→x x ; 分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x . 证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有 |(3x -1)-8|<ε ,所以8)13(lim 3=-→x x . (2)12)25(lim 2=+→x x ; 分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|,所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε ,所以12)25(lim 2=+→x x . (3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有 ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x . 分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx , 所以0sin lim =+∞→xx x . 3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3.要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x . 取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x xy , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01? 解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|,所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有|f (x )-0|=||x |-0|<ε,所以0||lim 0=→x x . 6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 00x f x f x x +→→=-, 所以极限)(lim 0x f x →存在. 因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在. 7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim . 8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有|f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0,∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ;∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.。
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
