点线面的投影

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2-2 点、线、面的投影特性

2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。

如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。

图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。

分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。

图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。

分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。

2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。

两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。

X坐标确定两点的左右位置关系。

X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。

Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。

Z坐标值大的点在上。

图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。

3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。

此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。

点线面平行投影知识点

点线面平行投影知识点平行投影是一种常见的投影方法，常用于工程、建筑、制图等领域。

它通过将三维物体投影到一个平面上，呈现出二维的效果，方便我们观察和分析物体的形状和结构。

在平行投影中，点、线和面的投影方式有所不同，下面将逐步介绍这些知识点。

一、点的平行投影点在平行投影中没有大小和形状，只有位置。

点的投影方式非常简单，就是将点投影到平面上的对应位置。

无论点在三维空间中的位置如何，它在平行投影中都只能呈现为一个点。

二、线的平行投影线在平行投影中可以有长度和方向，但厚度为零。

线的投影方式是将线的两个端点分别投影到平面上的对应位置，并在这两个点之间绘制一条直线连接。

线的投影结果在平行投影中仍然是一条直线。

三、面的平行投影面在平行投影中不仅有形状和大小，还有方向和位置。

面的投影方式是将面的各个顶点分别投影到平面上的对应位置，并用直线将这些点连接起来，形成一个多边形。

这个多边形就是面的投影结果。

需要注意的是，面的平行投影只能保留面的外形，无法显示面的内部结构。

四、投影线与平行线在平行投影中，投影线是指从三维物体上的点、线或面上的点，通过垂直投影到平面上的直线。

平行线是指在平面上与投影线平行的直线。

五、平行投影的应用平行投影在工程、建筑、制图等领域广泛应用。

在建筑设计中，平行投影可以用于绘制建筑图纸，展示建筑物的外形和结构。

在制图中，平行投影可以用于绘制机械零件图、电路图等，方便观察和分析物体的形状和结构。

六、平行投影的优点和缺点平行投影的优点是投影结果简洁明了，具有较强的可读性和易于绘制的特点。

它能够保持物体的形状和比例关系，在展示物体外形和结构时非常直观。

然而，平行投影也有一些缺点。

由于投影线是垂直投影到平面上的，因此在观察物体时会出现形变，影响了物体的真实感。

此外，平行投影无法显示物体的阴影和透视效果，有时可能会给人一种单调和平面感较强的视觉效果。

总结：通过以上的介绍，我们了解了点线面在平行投影中的投影方式和特点。

点、线、面的投影

a
投影特性：
H
c
1、abc、abc分别积聚为一条直线，且平行相应的投影轴； 2、水平投影abc反映 ABC实形。
正平面
V
b a B A C c a b W a c H b c b a c b
b a a
c
c
投影特性：
1、abc、abc分别积聚为一条直线，且平行相应的投影轴；
（2）两直线相交的判断 ①各同面投影都相交 ②若为一般位置线，有两组同面投影相交 ③有某一投影面的平行线时且交点符合点的投影规律相交
例1.12
c
须验证两直线在该投影面上的投影是否相交，或用定比性作图判断交点是否符合交点规律。如图所示，直线AB和CD相交，求作cd 。
b
a
b′
c′ a′
O X
b′
a′
X
O
a b
a
1 2 3
c
4
b
5
已知
作图
4.两直线相交
V c
a
k C A K
b
d D d B
O X H
交点是两直线的共有点
c a a c
k
b d
O
X
a c
k
b
d k b
（1）投影特性若两直线在空间相交，则各同面投影除了积聚和重影外必相交，且交点符合点的投影规律。
V
a′
c′
b′
C
A c
B
若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。 b′ Z ″
a
X
′
b″ c ″W
a″
c′
b
c″
O
a″

点线面正投影

影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
47
⑵ 直线为特殊位置
m
空间及投影分析
b
直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c ●1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
b
作图
a
mk(●●n2) ● 1
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
13
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
a
a b
三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。
14
二、直线与点的相对位置
是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
34
⒉ 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线使aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量取aaz=aax

点线面的投影答案.解析

2-1-2-7
过点C作AB的平行线CD，实长为20（先作出AB的水平投影，后作CD的三面投影）。
2-1-2-8
作水平线与两已知直线 AB 和 CD 相交并与Ｈ面相距 25。
2-1-2-9
作一直线MN与已知直线CD、EF相交，同时与AB平行（点M在CD上，点N在EF上）。
2-1-2-10
过点C作一直线MN与直线 AB 和 OX 轴都相交。
在线段AB上取一点Ｃ，使Ａ、Ｃ两点之间的距离为20。
2-1-2-4
在线段AB上取一点Ｃ，使Ａ、Ｃ两点之间的距离为20。
*2-1-2-5
在线段AB上取一点Ｃ，使它与Ｈ面和Ｖ面的距离相等；再取一点Ｄ，使 Zd:Yd = 2:1 。
2-1-2-6
已知直线 CD = DE ，试求直线 DE 的水平投影。
点的投影
2-1-1-1
已知A、B、C、D四点的投影图，画出它们的直观图，并说明其空间位置。
此处错误，应为虚线。
2-1-1-2
已知A、B、C各点对投影面的距离，画出它们的三面投影图和直观图。
2-1-1-3 已知点Ａ的坐标（40，15，0），画出其三面投影并作出点Ｂ和点Ｃ的三面投影。 ⑴ 点B ——在点Ａ右面20，前面15，上面20； ⑵ 点C ——在点Ａ左面10，后面15，上面15
已知平面上一点Ｋ的一个投影，作出此平面的第三投影及点Ｋ的其他两个投影。
2-1-3-7
在已知平面内作一点D,使其距H面30，距W面20。
2-1-3-8
已知平面 ABCDE 的一个投影，求作另一个投影。
2-1-3-9
完成平面图形 ABCDEFGH 的另一个投影。
2-1-3-10
三角形 EFG 位于平面 ABCD 内，求作 ABCD 及 EFG 水平投影。

点、线、面与体的投影

应用：在工程和设计中，投影是重要的几何概念，用于描述物体表面的形状和轮廓。
平面方程的一般形式：Ax + By + Cz + D = 0
平面方程的参数形式：通过点P(x0, y0, z0)且与向量v=(A, B, C)垂直的平面方程为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
展览展示：利用投影技术，将展品或艺术品投影到屏幕上，让观众更全面地欣赏和了解
广告宣传：通过投影技术，将广告内容投影到建筑物、街道、车辆等物体上，吸引路人的注意力
舞台演出：利用投影技术，将虚拟场景、人物、道具等投影到舞台上，增强演出的视觉效指点在垂直于平面的方向上向平面内投射形成的影子。
建筑图纸的规范与标准：介绍建筑图纸的规范和标准，如制图比例、线型、符号等，以及它们在实际应用中的作用。
表达方式：点、线、面与体的投影在工程图样中的表示方法
解读技巧：如何准确理解工程图样的投影关系和尺寸标注
应用案例：介绍实际工程中点、线、面与体的投影在工程图样中的应用实例
重要性：强调工程图样的表达与解读在工程建设中的重要地位和作用
建筑图纸的绘制：点、线、面与体的投影在实际建筑图纸中的应用，如平面图、立面图和剖面图的绘制。
建筑图纸的投影原理：介绍投影的基本原理，如正投影、斜投影等，以及它们在建筑图纸中的应用。
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建筑图纸的解读：如何通过点、线、面与体的投影来理解建筑图纸，如从平面图解读房间功能、从立面图了解建筑外观等。
直线投影的应用：在工程设计中，常常需要利用直线的投影变换来绘制三维物体的二维图形，或者根据二维图形想象出三维物体的形状。

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。

主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。

2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。

二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。

2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。

形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。

(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。

1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。

投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。

光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。

2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。

平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。

(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。

(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。

用正投影法得到的投影叫正投影。

三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。

透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。

图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。

工程制图投影法及点线面投影详解

Z
V
PV
Pz
PV
PW W
P
X
O
H
Y
Pz PW
第四十六页，共60页。
2. 平面在三投影面体系中的投影特性
平面相对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂直于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面投影面平行面
正垂面侧垂面铅垂面
正平面侧平面水平面
与三个投影面都倾斜
向下翻
Z
az
O
向右翻
● a
W
ay Y
a● X ax
Z az
a
●
O
Y
ay
V
a ●
X ax
Z
az
A
●
O
● a
W
a●
Y ay
5. 点的投影规律:
a●
H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz = y aay= aaz =x aax= aay =z
第二十三页，共60页。
=Aa（A到V面的距离） =Aa（A到W面的距离）
第三十五页，共60页。
b k● a
3. 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
1）两直线平行
V d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反
之亦然。
第三十六页，共60页。
例：判断图中两条直线是否平行。

投影法及点线面的投影

b"
●
a"
●
O
YW
a
b
●
●
YH
a’b’=AB β =0° α+γ=90°

V
a' A
X a
H
Z b'
B b" W
a" o
b
Y
二、投影面的平行线——侧平线
b'●
a'● X
a●
Z b"
●
o
V ● a"
YW X
b●
YH
a”b”=AB γ=0° α+β=90°
Z
a' A
b' B
a
b
H
a" W
o b"
Y
二、投影面的平行线——投影特点
Vc
a A a
b k
d
C
B
KD
d
k c
b H
投影特性：
交点是两直线的共有点
ck a
b d
a
d
ck
b
若两条直线相交，则它们的各个同名投影必相交，且交点的投影必须符合点的投影规律。
六、两条直线的相对位置——两直线相交例5：过C点作水平线CD与AB相交。
c
k
●
●
a ●
●b d
●
a●
●
d
●
k c●
●b
AB//CD
六、两条直线的相对位置——两直线平行
例4：判断图中两条直线是否平行。
c
●
a●
d ● b●
c● b●
●c a
●

铁工、城轨正投影及点线面的投影

54
YH
平行线的三面投影图
（a）水平线）
（b）正平线）
（c）侧平线）
判断方法：一斜两平线或一斜一平线，判断方法：一斜两平线或一斜一平线，属于斜线所在投影面的平行线
55
（三）垂直线— 垂直于一个投影面垂直线
a′ A b′ a″ a′ b′ X b″ B a(b) a(b) YH O Z a″ b″ YW
43
空间一点的三面投影作图规律同样遵守“长对正、空间一点的三面投影作图规律同样遵守“长对正、高平齐、宽相等” 三面投影展开图也同样符合“ 高平齐、宽相等”，三面投影展开图也同样符合“三等关系” 关系”
44
[例题例题1] 例题
已知点A的正面与侧面投影，求点的水平投影的水平投影。已知点的正面与侧面投影，求点A的水平投影。的正面与侧面投影
水平投影
24
3.三投影面的展开图 3.三投影面的展开图
展开规定正面投影侧面投影
V面固定不动 H面向下旋转 W面向右旋转
水平投影
25
（三）三面投影图的投影作图规律
三面投影图画法规定：三面投影图画法规定：
1.在投影图中， 1.在投影图中，形体的可在投影图中粗实线，见轮廓线画成粗实线见轮廓线画成粗实线，不可见轮廓线画成中虚线中虚线。可见轮廓线画成中虚线。 2.三面投影图中不画投影 2.三面投影图中不画投影面的边框线，面的边框线，投影图之间的距离可根据尺寸标注可根据尺寸标注、的距离可根据尺寸标注、图幅大小确定。图幅大小确定。 3.投影面、投影轴、投影投影面、投影轴、投影面名称不标注。图名称不标注。
第二章投影的基本知识
(一)投影的概念和投影法的分类（二）正投影特性（三）形体的三面投影图体表面的点、直线、（四）体表面的点、直线、平面的投影

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点线面的投影
投影是几何学中一个重要的概念，用来描述物体在不同维度中的影
子或映像。

在三维空间中，投影通常分为点投影、线投影和面投影三
种形式。

本文将对点线面的投影进行讨论，并探索其在现实生活中的
应用。

一、点的投影
点的投影是指当一个点在一个平面上投影时，与该点连线垂直于平
面的投影点。

这个投影点可以将原始点的位置在平面上进行准确表示，而不会改变该点的其他性质，如颜色、大小等。

在现实生活中，点的投影有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，
建筑师需要通过对建筑物顶部的点进行投影来确定其在平面图上的位置。

同样，在地图制作中，将地球上各个城市的经纬度进行投影来绘
制平面地图也是常见的应用。

二、线的投影
线的投影是指当一条线在三维空间中投影到一个平面上时，将线段
两个端点对应连接起来的线段。

线的投影可以更直观地展示出线在平
面上的位置和方向。

线的投影在工程和制图中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，
工程师可以通过将建筑物的立面进行投影，来更好地展示建筑物的外
观和形状。

此外，在工程测量中，通过线的投影可以准确地测量出建
筑物内部的各种线段长度和角度，为工程施工提供了重要的参考。

三、面的投影
面的投影是指当一个平面在三维空间中投影到另一个平面上时，将
原始平面的各个顶点在投影平面上对应连接起来的多边形。

面的投影
能够完整地展示出原始平面的形状和大小。

面的投影在几何学和地理学中都有着广泛的应用。

例如，在地图投
影中，通过将地球表面的多个面投影到一个平面上，可以制作出我们
常见的地图样式。

此外，在几何学研究中，通过面的投影可以确定不
同形状的二维图形，为解决问题提供了重要的思路。

总结起来，点线面的投影是几何学中重要的概念，用来描述物体在
不同维度下的影子或映像。

它们在建筑设计、地图制作、工程测量等
领域都有着重要的应用。

通过理解和应用投影，我们可以更好地理解
和展示物体的形状、位置和方向，为解决实际问题提供了有力的工具。

以上是对点线面的投影的简要介绍，希望能够帮助您更好地理解和
应用投影的概念。

通过深入学习和实践，相信您能够在相关领域取得
更进一步的成就。

祝您学习进步，工作顺利！。