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两条直线之间的夹角与点到直线的距离知识精要一、关于两条直线夹角的计算1、设两条直线的方程分别是111111:0(l a x b y c a b ++=、不同时为零)，2222:0l a x b y c ++=22(a b 、不同时为零)，则121222221122cos a a b b a b a b α+=+⋅+。
2、设两条直线的方程分别是1111:()l y y k x x -=-，2222:()l y y k x x -=-，两直线的夹角为α，则tan α= 121212(10)1k k k k k k -+≠+。
二、点到直线的距离1、点到直线的距离，即点到直线上任一点间距的最小值。
反映在图形上即过该点作此直线的垂线，则该点与垂足之间的距离即为点到直线的距离。
在平面直角坐标系中，设00(,)P x y ，直线方程:0l ax by c ++=(a b 、不同时为零)，则P 到直线l 的距离为：0022ax by c d a b++=+。
2、两平行直线之间的距离设两条平行直线的方程分别是1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，则1222c cd a b-=+。
热身练习1. 直线1:2360l x y -+=与直线2:50l x -=的夹角大小是（ C ）A 、3arctan 22π- B 、-3arctan 2 C 、 2arctan 23π- D 、 2arctan 32. 平行于直线20x y --=，且与它的距离等于2的直线方程是（ A ）A 、 0x y -=或40x y --=B 、 0x y -=或40x y -+=C 、 1x y -=或40x y --=D 、 22x y -=-或22x y -=+3. 直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 112y x =-+4. 直线1:30l x y -+=与直线05:2=++y x l 的交角平分线的方程是41x ory =-=-5. 直线01=-+y x 与直线01c o s s in =-+θθy x )24(πθπ<<的夹角α的值是_________4πθ-6. 若直线062:1=++y ax l 与直线0)1()1(:22=-+-+a y a x l 平行，则实数a 的值为___________1-7. 已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角θ)20(πθ<<，所得直线方程是02=--y x ，若将它继续旋转θπ-2角，所得直线方程是012=-+y x ，则直线l 的方程是________032=--y x精解名题例1、已知ABC 三边所在的直线方程分别是:186170AB l x y +-=，:147150BC l x y -+=，:AC l 51090x y +-=，求ABC 的三个内角大小。
11.3（3）两直线位置关系及其夹角公式的运用教学目标设计能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法. 会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.教学重点及难点综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题. 教学用具准备多媒体设备教学过程设计例1．(1)求经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程;(2) 求过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程.解：(1)已知直线的斜率32-=k ，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为32-，所以，所求直线的方程为：)1(324--=+x y ，即01032=++y x ． 另解：设与直线0532=++y x 平行的直线l 的方程为：032=++m y x ，l 过点)4,1(-A ，∴213(4)0m ⨯+⨯-+=，解之得10m =， 所以，所求直线的方程为01032=++y x ．(2) 已知直线的斜率为2-，直线l 与已知直线垂直，∴l 的斜率为21=k ，所以，所求直线l 的方程为)2(211-=-x y ，即02=-y x ． 另解：设与直线0102=-+y x 垂直的直线方程为20x y m -+=， ∵直线l 经过点)1,2(A ，∴2210m -⨯+=，∴0m =，所以，所求直线l 的方程为02=-y x[说明] 一般地①与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ，其中m 待定；②与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定.例2. （如右图）等腰三角形的一个腰所在直线1l 的方程是022=--y x ，底边所在直线2l 的方程是01=-+y x ，点)0,2(-在另一腰上，求这条腰所在直线3l 的方程.解：设3l 的方程为0)0()2(=-++y b x a （其中),(b a =为一法向量，b a ,不同时为零），1l 与2l 的夹角是1θ，2l 与3l 的夹角是2θ ，由夹角公式得101cos 1=θ, 又1l 、2l 、3l 所围成的三角形是等腰三角形，所以21θθ=, 101|2|cos 222=++=b a ba θ025222=++⇒b ab a 即b a b a ==22或舍去b a =2(否则与直线1l 重合), ∴3l 的方程是：042=+-y x .[说明]①本题是夹角公式与平几知识的综合,采用待定系数法求直线方程;②作为几何综合题,一般需要先从其几何特点入手,找出所求的量与已知量之间的联系,再把几何问题转化为方程来解决；③本题也可以设3l 的方程为2)2(-=+=x x k y 或，再分类求解.例3、是否存在实数k ，使直线06)2(3=++-y k x 与直线02)32(=+-+y k kx 分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合;(3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出k 的值；若不存在，说明理由.解：联立方程组⎩⎨⎧=+-+=++-02)32(06)2(3y k kx y k x ， 由0=D 1,921=-=⇒k k ;由10=⇒=k D x ;由10=⇒=k D y .(1) 9-=k 时,两直线平行;(2)1=k 时,重合;(3)19≠-≠k k 且时,相交;(4)由21310)32)(2(3±=⇒=-+-k k k k 时,垂直; (5)交点坐标为)96,914(+-+-k k ,显然不存在实数k ,使交点在第二象限.例4、已知直线l 满足性质:如果任意一点),(y x 在直线l 上，那么点)8,3(y x y x -+也在直线l 上，求直线l 的方程.解:由已知,点),(y x 和 )8,3(y x y x -+都在直线l 上,而当0==y x 时，083=-=+y x y x ，所以直线l 经过原点，且不能与坐标轴重合.因此可设直线l 的方程为：)0(0≠=+mn ny mx ①点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上，0)8()3(=-++∴y x n y x m即0)3()8(=-++y n m x n m ②由题意,方程①与②表示的是同一条直线l ,所以)8()3(n m n n m m +=-,即082322=--n mn m ,解得：n m n m 2,34-=-= 所以直线l 的方程为02034=+=-y x y x 或.[说明] ①本题也可以设直线方程的一般式:0=++c by ax ①, 点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上 0)8()3(=+-++∴c y x b y x a ②.再由直线①与②重合,求得系数c b a ,,；②例题4，有一定难度，可以根据学生实际情况选用. 课堂小结1．通过两直线的位置关系以及夹角有关知识的综合应用，深化对知识以及思想方法的理解，进一步巩固所学的知识．2．进一步体会分类讨论、数形结合等数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习.作业布置书面作业：习题11.3 B 组 ----1,2,3,4,5补充练习：1．过原点作直线l 的垂线，若垂足为(2,3)-，则直线l 的方程是 ；答：23130x y -+=2．已知直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直，垂足为),1(p ，则p n m +-的值为 ．答：10,12,2m n p ==-=-； 203．求与直线0532=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为65的直线l 的方程.答：0132=-+y x4．已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求直线'l 的方程，使'l 与l 垂直且'l 与坐标轴围成的三角形面积为6．解 设直线'l 的方程为034=+-m y x ，令0=x ，得3m y =，令0=y ，得4m x -=， 由题意：1||||6243m m ⨯-⋅=，即1442=m ，12±=m ， 所以，所求直线l 的方程为01234=±-y x ． 5.直线l 过点)2,0(-M 且与直线03:1=-+y x l 和042:2=+-y x l 分别交于点Q P ,，若M 恰为线段PQ 的中点，求直线l 的方程. 解 设点),(n m P ，由中点公式，得)24,2(n m Q ---，又点Q P ,分别在1l 、2l 上，列方程组⎩⎨⎧=-----=+-02)24()2(2022n m n m ，解3,6-==n m ，0126=++∴y x 为所求.6. 已知三角形ABC 的顶点)1,3(-A ,AB 边的中线所在的直线方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线所在直线的方程为0104=+-y x ，求BC 边所在直线的方程.解 设点),(b a B ，则AB 的中点)21,23(-+b a P ，由B 点在其角平分线上，中点P 在AB 边的中线上，列出关于b a ,的方程组，解得：)5,10(,5,10B b a ∴==，从而得直线02576:=--y x AB ， 由题意，BC 边所在直线的斜率存在，设)10(5:-=-x k y BC ，根据夹角公式，得,7692=-=k k 或其中76=k 舍去（否则BC 与AB 重合），所以BC 边所在直线的方程为06592=-+y x .[说明]补充练习仅供课外巩固练习选用.教学设计说明直线是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对直线的位置关系作了比较系统的研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究两直线的位置关系以及夹角的求法.为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：一、新课引入——以旧带新，提出课题帮助学生再现原有的认知结构，在“最近发展区”创设问题情景，使学生对本节课的主题有一个直观的印象，寻找新知生长点，激发学生的探究心理，顺利引入课题.二、概念形成——实例分析，探究，概括形成一般规律 通过对实例的解答，图像的观察，抽象、概括出一般规律，这种运用数形结合的思想，由特殊到一般的探索过程，符合学生认知习惯，有利于培养学生抽象、概括的能力.要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向.因此，在上述探究的基础上，提出问题：两条直线的位置关系与方程组的解之间有怎样的对应关系呢？这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”.三、巩固和应用阶段数学概念是要在运用中不断领悟，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，通过设计不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.1、初步应用、突出内涵这里安排例1、例2都是公式的“初步应用”，目的也在于帮助学生正确运用所学的基本知识，强调运用公式的前提条件，规范解题过程.2、变式应用，提升能力设计例题时，注意学习过程的循序渐进，按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着.例3，例4，目的是在解决问题的方法上进行适当的延展，使得学生对概念的认识不断深入.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．在本节的设计中，力图使学生初步理解并能应用所学的知识，引领学生掌握研究这类问题的一般思路和方法，从而达到培养学生学习能力的目的.根据自己对“问题驱动”教学模式的认识，在教学的每一个环节均设计了问题.以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，使难点的突破水到渠成.。
直线夹角余弦值公式嘿，咱今天就来好好聊聊直线夹角余弦值公式。
先来说说啥是直线夹角。
想象一下，在一个大大的空间里，有两条直线，它们就像两个调皮的孩子，有的时候靠得近，有的时候离得远。
而它们之间形成的那个角，就是我们要研究的直线夹角。
直线夹角余弦值公式呢，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开了解这个夹角的秘密之门。
比如说，有这么两条直线，它们的方向向量分别是（a1，b1）和（a2，b2）。
那这两条直线夹角的余弦值就可以通过这个公式来计算：cosθ = （a1×a2 + b1×b2）/ （√（a1² + b1²）×√（a2² + b2²））。
这个公式看起来有点复杂，是吧？但其实，只要我们多做做题目，多琢磨琢磨，就会发现它也没那么难。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生怎么都理解不了。
我就给他打了个比方，我说这两条直线就像是两个人在拔河，方向向量就是他们用力的方向和大小。
而这个余弦值呢，就是衡量他们用力的配合程度。
然后我带着他一步一步地推导这个公式，从最基本的向量点乘开始，慢慢地，他的眼睛亮了起来，终于明白了。
那一刻，我心里别提多有成就感了。
在实际解题中，这个公式可是大有用处。
比如求两条直线是否垂直，我们只需要看看夹角的余弦值是不是 0 就知道啦。
再比如，要判断两条直线是平行还是相交，这个公式也能帮上大忙。
总之，直线夹角余弦值公式虽然看起来有点难，但只要我们用心去学，多练习，多思考，就一定能掌握它，让它成为我们解决数学问题的得力助手。
好啦，关于直线夹角余弦值公式就先说到这儿，希望大家都能把这个知识点拿下！。
直线与直线夹角的取值范围1. 直线与直线的相遇大家好，今天咱们聊聊直线之间的那些事儿，特别是它们夹角的那些花里胡哨的内容。
说到直线，不知道你有没有这样的感觉，直线就像生活中的朋友，有的直来直去，有的却弯弯绕绕。
其实，直线之间的相遇就好比朋友之间的见面，有些人一见如故，有些人却可能“火花四溅”。
你想啊，两个直线在平面上相交时，它们的夹角可大可小，简直是五光十色，让人眼花缭乱。
1.1 夹角的基础知识首先，我们来个简单的概念普及。
直线之间的夹角，指的就是那两条直线在交汇时形成的角度。
这角度可是有个很严格的范围呢！从0度到180度之间，完全没有别的选择。
你看，这就好比咱们的心情，有时候开心得不得了（接近0度），有时候又觉得不痛快（接近180度），但永远不可能超出这个范围，对吧？1.2 夹角的分类接下来，我们再深入一点。
直线夹角可以分为锐角、直角和钝角。
哎，锐角就是小于90度的角，像个小孩子，活泼可爱；直角呢，恰好是90度，就像你站在一个完美的地方，什么都不差；钝角则是大于90度小于180度，仿佛是个爱发呆的朋友，略显慵懒。
不过，不管是什么角度，它们都有各自的魅力，就像生活中的各种人，有趣又充满惊喜。
2. 夹角的计算方式好了，听到这里，大家可能会想，夹角怎么计算呢？别急，咱们慢慢来。
首先，咱们可以通过直线的斜率来计算夹角。
知道什么是斜率吗？简单来说，就是一条直线的“陡峭程度”。
就像山路，如果坡度大，走起来就费劲；如果坡度小，轻松多了。
这时候，咱们用两个直线的斜率来做个简单的公式，结果就是它们的夹角。
2.1 斜率的定义斜率的计算公式可简单得让你惊掉下巴。
假设有两条直线，它们的斜率分别是m1和m2，夹角θ就可以用下面的公式来表示：tan(θ) = frac{m1 m2{1 + m1 cdot m2。
这公式看上去挺复杂，其实用的时候就像做一道题，慢慢推算出来，感觉特别有成就感。
2.2 实际应用你会发现，夹角的计算不光是数学课堂上的功课，生活中到处都能见到。
两条直线方程的夹角摘要：一、直线方程夹角的概念1.直线方程的一般形式2.两条直线方程的夹角定义二、求解直线方程夹角的方法1.利用斜率公式求夹角2.利用向量法求夹角三、直线方程夹角的实际应用1.在几何问题中的应用2.在物理问题中的应用四、总结与展望1.直线方程夹角的重要性2.未来研究方向正文：一、直线方程夹角的概念在解析几何中，直线方程通常采用一般形式y = kx + b表示，其中k为斜率，b为截距。
两条直线方程的夹角是指这两条直线在空间中的旋转角度，用以描述它们之间的相对位置关系。
根据两条直线的斜率k1和k2，可以求得它们的夹角θ，其中θ = arctan(|k1 - k2|)。
二、求解直线方程夹角的方法1.利用斜率公式求夹角已知两条直线的斜率k1和k2，可以直接利用公式θ = arctan(|k1 - k2|)求得它们的夹角θ。
其中arctan表示反正切函数，|k1 - k2|表示斜率差的绝对值。
2.利用向量法求夹角已知两条直线的截距b1和b2，以及它们的斜率k1和k2，可以通过向量法求得它们的夹角。
首先计算两个法向量n1和n2，其中n1 = (1, k1)和n2 = (1, k2)。
然后计算两个法向量之间的夹角θ，其中θ = arccos(n1 · n2 / (||n1|| ||n2||))。
其中arccos表示反余弦函数，||n1||和||n2||分别表示法向量的模长。
三、直线方程夹角的实际应用1.在几何问题中的应用直线方程夹角在几何问题中有着广泛的应用，例如求解两条直线所夹角的正弦、余弦等三角函数值，判断两条直线是否平行、垂直等。
此外，在解析几何中，直线方程夹角还可以用于求解直线与坐标轴的交点、求解直线的截距等。
2.在物理问题中的应用在物理问题中，直线方程夹角也有广泛的应用，例如在力学问题中，利用直线方程夹角可以求解物体的运动轨迹；在电磁学问题中，利用直线方程夹角可以求解电场、磁场线的分布等。
两条直线的夹角（1）教学目标 1、理解两条直线l1与l2的夹角，l1到l2的角的概念2、掌握两条直线的夹角公式和到角公式，理解两公式之间的关系3、能正确使用夹角公式和到角公式教学重点 两直线夹角公式和到角公式 教学难点 夹角公式和到角公式的应用 教学过程一、复习引入1、平面几何中两直线夹角的定义2、在平面直角坐标系中，我们怎样来阐述两条直线所成的角呢？ 二、新课讲解1、l 1到l 2的角两条直线l 1和l 2相交构成四个角，它们是两对对顶角，为了区分这些角，我们把直线l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转过的角，叫做l 1到l 2的角。
如图：l 1到l 2的角是1θ，l 2到l 1的角2θ且πθθθθ=+>>2121,0,0 l 2问题：已知l 1：y=k 1x+b 1 l 2：y=k 2x+b 2怎样确定l 1到l 2的角θ？ l 1 （师生共同讨论） 2、l 1与l 2的夹角（1） 当 l 1与l 2相交但不垂直时，若l 1到l 2的角为θ，则l 2到l 1的角为θπ-，其中锐角那一个为l 1与l 2的夹角α，则|1|tan 2112k k k k +-=α（2） 当l 1⊥l 2时，夹角为2π 练习：已知直线l 1：y=-2x+3 l 2：y=x-23 求：（1）l 1到l 2的角（2）l 2到l 1的角（3）l 1与l 2的夹角 3、已知直线l 1： A 1x+B 1y+C 1=0 l 2：A 2x+B 2y+C 2=0（0,0,0212121≠+≠≠B B A A B B ），直线l 1到l 2的角是θ，求证：21211221tan B B A A B A B A +-=θ思考：若直线l 1与l 2中，有斜率不存在时，怎样确定它们的夹角？ 三、例题1、已知直线l 1与l 2的斜率是方程03432=+-x x 的两根，求这两直线的夹角。
2三角形三边所在直线方程是AB ：x-y+3=0,BC:y=1,CA: x+(2-3)y-3=0,求三角形ABC的三个锐角。
