两直线夹角和到角

两条空间直线夹角计算公式一、引言在三维空间中，直线是常见的几何形状之一。

当我们研究两条直线之间的关系时，一个重要的概念就是夹角。

本文将介绍两条空间直线夹角的计算公式，并讨论其应用。

二、夹角的定义在平面几何中，夹角是由两条直线在同一平面内的交点和两条直线上的一对相对的射线所围成的角度。

而在三维空间中，夹角的定义相似，但需要考虑两条直线所在的不同平面。

三、两条空间直线夹角的计算公式1. 同向直线的夹角当两条直线的方向向量平行时，它们被认为是同向直线。

此时，可以通过计算两个方向向量的夹角来求得两条直线之间的夹角。

假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。

则两条直线夹角θ的计算公式为：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)其中，·表示向量的点积，|a|表示向量a的模长。

2. 反向直线的夹角反向直线是指两条直线的方向向量相反，即平行但方向相反的直线。

在计算反向直线的夹角时，我们可以使用同向直线夹角的计算公式，然后取其补角。

假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。

则两条直线夹角θ的计算公式为：θ = π - arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，arccos表示反余弦函数，π表示圆周率。

3. 任意两条直线的夹角当两条直线既不是同向直线也不是反向直线时，我们需要进一步考虑两条直线所在的平面。

首先，我们可以通过计算两个方向向量的夹角来确定两条直线在其所在平面内的夹角。

然后，我们可以利用这个夹角和两个方向向量与其所在平面的夹角来计算最终的夹角。

具体计算步骤如下：1) 计算两个方向向量a和b的夹角α：cosα = |a·b| / (|a|·|b|)2) 计算两个方向向量a和b与其所在平面的夹角β和γ：cosβ = |a·n| / (|a|·|n|)cosγ = |b·n| / (|b|·|n|)其中，n为平面的法向量。

空间直线和平面的夹角和交角的计算在日常生活中，我们常常会遇到计算空间直线和平面的夹角和交角的问题。

这些角度计算是很重要的，因为它们涉及到我们日常生活中许多实际应用。

本文将介绍如何计算空间直线和平面之间的夹角和交角。

一、空间直线和平面的夹角夹角是指两条直线之间所夹的角度，它的大小通常用度数来表示。

在空间中，当一条直线与一个平面相交时，它们之间所夹的角度就是它们的夹角。

计算空间直线和平面的夹角的一般步骤如下：步骤1：确定所需计算的两条直线和一个平面。

步骤2：找到两条直线在平面上的投影，这可以通过将直线的垂线绘制到平面上来实现。

步骤3：从这两个投影开始，用一条直线连接它们。

这条连接线就是两个投影之间的夹角。

步骤4：使用三角函数（正弦、余弦或正切）来计算夹角的值。

夹角的值表示为度数。

二、空间直线和平面的交角交角是指两个平面之间的夹角，通常用度数表示。

当一条直线与一个平面相交时，它所在平面与被相交平面之间的夹角就是它们的交角。

计算空间直线和平面的交角的一般步骤如下：步骤1：确定所需计算的直线和两个平面。

步骤2：找到直线与两个平面的交点。

步骤3：从这两个交点开始，各自分别在两个平面内找到一条直线。

这些直线将两个平面分别分成两个部分。

步骤4：用这两条相交的直线连接这两个平面的分部。

这条连接线就是两个分部之间的夹角。

步骤5：使用三角函数（正弦、余弦或正切）来计算交角的值。

交角的值表示为度数。

三、总结空间直线和平面的夹角和交角的计算是日常生活中很重要的一部分。

通过掌握以上步骤，我们可以更好地解决类似问题。

同时需要注意的是，在进行角度计算时，要注意单位的转换，因为角度通常用度数表示。

直线与直线之间的夹角公式
直线与直线之间的夹角公式
在几何学中，直线与直线之间的夹角是一个重要的概念，它指的是两条直线相交时产生的夹角，它的大小可以用公式来表示。

在这里，我们将讨论计算两条直线之间夹角的公式。

通常，计算两条直线之间夹角所需要的信息是，这两条直线的斜率，也称为斜率。

斜率是指这条直线在平面上的倾斜程度。

一旦我们获得了两条直线的斜率，我们就可以使用下面的公式来计算两条直线之间的夹角：
夹角θ=tan^-1(|m1-m2|/1+m1m2)
在这个公式中，m1和m2是两条直线的斜率，|m1-m2|表示斜率差的绝对值，1+m1m2表示斜率的乘积加一。

在计算两条直线之间的夹角时，也要注意斜率的正负值。

如果斜率m1和m2的正负值相同，则夹角θ的值为0；如果斜率m1和m2的正负值不同，则夹角θ的值为π/2，也就是90°。

当我们要计算两条直线之间的夹角时，要先获得两条直线的斜率，然后根据上述公式计算出夹角的值。

如果斜率的正负值相同，则夹角的值为0，如果斜率的正负值不同，则夹角的值为π/2，也就是
90°。

两直线的夹角取值范围
两直线的夹角是一个重要的数学概念，它在几何、代数、三角几何、和内容其他数学领域都有重要的应用。

它反映了两条直线之间的关系，其取值范围也是个重要的概念。

首先，两直线的夹角取值范围是从0度到180度。

当两条直线平行时，它们之间的夹角为0度；当两条直线相交时，它们之间的夹角取值为180度。

如果两条直线之间存在其他夹角，则它们之间的夹角取值范围在0度和180度之间。

其次，两条直线之间的夹角取值受到许多因素的影响，如两条直线的方向、长度等。

如果两条直线的方向相同，则它们之间的夹角取值为0度；而如果两条直线的方向不同，则它们之间的夹角取值可能是0度到180度之间的任意值，取决于它们之间的长度关系。

如果两条直线的长度都相等，它们之间的夹角取值可以是90度，也可以是任意角度；而如果两条直线
的长度不同，它们之间的夹角取值可能是大于90度或小于90度。

最后，两条直线之间的夹角取值也可以是负值。

当两条直线的方向相反时，它们之间的夹角可以是负值，取值范围为-180度到0度之间的任意值，具体取值依赖于它们之间的长度
关系。

总而言之，两直线的夹角取值范围为-180度到180度之间的任意值，取值受到两条直线的方向和长度关系的影响。

因此，我们必须考虑到这些因素，才能准确地确定两条直线之间的夹角取值。

数学知识点：两直线的夹角与到角
（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角。

（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′=，l1到l2的角的取值范围是（0，π）,高考数学。

两直线的夹角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π-θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π-θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ。

（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ=（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是。

理解这两个公式：
(1)首先应注意到在tanθ′=中两个斜率的顺序是不能改变的，θ′是直线l1到直线l2的角，若写成，则θ′为直线l2到直线l1的角，这两者是有区别的，而在夹角公式ta nθ=中，两直线的斜率没有顺序要求．
(2)在两直线的夹角为900时，我们有，同理，若，则直线l1与直线l2垂直，用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题.
精心整理，仅供学习参考。

两个直线夹角公式
直线夹角公式是初中数学中的重要知识点，它是计算两条直线之间夹角的公式。

在几何学中，直线夹角是指两条直线在它们的交点处所形成的角度。

直线夹角公式有两种，分别是余弦定理和正切定理。

我们来看余弦定理。

余弦定理是计算两条直线夹角的一种方法，它的公式为cosθ=(a²+b²-c²)/2ab，其中a、b、c分别为三角形的三条边，θ为夹角。

在计算直线夹角时，我们可以将两条直线看作是两条边，交点则是三角形的一个顶点。

通过测量两条直线的长度和它们之间的夹角，我们就可以使用余弦定理来计算出直线夹角的大小。

我们来看正切定理。

正切定理是计算两条直线夹角的另一种方法，它的公式为tanθ=(m₁-m₂)/(1+m₁m₂)，其中m₁、m₂分别为两条直线的斜率，θ为夹角。

在计算直线夹角时，我们需要先求出两条直线的斜率，然后代入公式中计算出夹角的大小。

需要注意的是，当两条直线平行时，它们的斜率相等，此时无法使用正切定理来计算夹角。

总的来说，直线夹角公式是初中数学中的重要知识点，它可以帮助我们计算两条直线之间的夹角。

在实际应用中，直线夹角公式可以用于计算建筑物之间的夹角、计算航空器的飞行角度等。

因此，我们需要认真学习和掌握这些公式，以便在实际应用中能够灵活运用。

第五讲:典型问题.夹角问题 65第五讲:典型问题.夹角问题两直线的夹角问题是解析几何中的一个重要的问题,首先掌握:①夹角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1与l 2的夹角θ满足tan θ=|21121k k k k +-|;②到角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1到l 2的角θ满足tan θ=21121k k k k +-;利用向量可有机的解决该问题,其一般方法是:首先求出直线m 、n 的方向向量m 、n ,注意夹角与向量的长度无关,所以,可以也应当化简向量.直线m 与n 的夹角θ满足cos θ=|cos<m ,n >|.应特别关注的是:<PA ,PB >为直角⇔P B P A ⋅=0;<PA ,PB >为锐角⇔P B P A ⋅>0;<PA ,PB >为钝角⇔P B P A ⋅<0.一.直角问题例1:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1. (Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.解析:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.类题:1.(2004年全国Ⅱ高考试题)给定抛物线C:y 2=4x,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. (Ⅰ)设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小;(Ⅱ)设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 2.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.二.求角大小例2:(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知双曲线12222=-b y a x (a>b>0)的离心率e=2+6-3-2,过其右焦点F 2,且与x 轴垂直的直线l 交双曲线于A,B 两点,求∠AF 1F 2的大小.解析:|AF 2|=a b 2,|F 1F 2|=2c ⇒tan ∠AF 1F 2=ac b 22=ac a c 222-=e e 212-=)2362(2)2363)(2361(--+--+--+=)]23()32(2[2)]23()23(3)][12(321[+-++-+-+-=2-3⇒∠AF 1F 2=150.类题:1.(2002年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),直线x=4是它的一条准线. (Ⅰ)求椭圆的方程;66 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅱ)设A 1,A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P 是椭圆上满足|PA 1|-|PA 1|=2的一点,求cos ∠A 1PA 2的值.2.(2011年湖北高考试题)平面内与两定点A 1(-a,0),A 2(a,0)(a>0)连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 1、 A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;(Ⅱ)当m=-1时,对应的曲线为C 1;对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C 2,设F 1、F 2是C 2的两个焦点.试问:在C 1上,是否存在点N,使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2？若存在,求tan ∠F 1NF 2的值;若不存在,请说明理由.三.范围问题例3:(2010年湖北高考试题)已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线,都有FB FA ⋅<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)由C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1⇒C 上任一点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,由抛物线的定义知,曲线C 是以F 为焦点,直线x=-为准线的抛物线,其方程为y 2=4x;(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:x=ty+m,代入y 2=4x 得y 2-4ty-4m=0⇒y 1+y 2=4t,,y 1y 2=-4m;所以,FB FA ⋅<0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0⇔m 2-6m+1<4t 2,对任意的t,恒成立⇔m 2-6m+1<0⇔m ∈(3-22,3+22).类题:1.(2007年四川高考试题)设F 1、F 2分别是椭圆224x y +=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P 是椭圆上的一个动点,求21.PF PF 的最大值和最小值; (Ⅱ)过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.2.(2005年天津高考试题)抛物线C 的方程为y=ax 2(a<0),过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1、k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同),且满足k 2+λk 1=0(λ≠0,且λ≠-1). (Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线AB 上一点M,满足MA BM λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(Ⅲ)当λ=1时,若点P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.四.角的相等例4:(2005年江西高考试题)如图,设抛物线C:y=x 2的焦点为F,动点 yP 在直线l:x-y-2=0上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB,且与抛物 l 线C 分别相切于A 、B 两点. A F B(Ⅰ)求△APB 的重心G 的轨迹方程; O x (Ⅱ)证明:∠PFA=∠PFB. P解析:(Ⅰ)由P 在l:x-y-2=0上,设P(t,t-2),则直线AB:y=2tx-t+2,代入y=x 2得x 2-2tx+t-2=0;设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),则x 1+x 2=2t,x 1x 2=t-2⇒x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4t 2-2t+4⇒重心G(x,y)满足:x=321t x x ++=t,y=322221-++t x x =3242+-t t ⇒重心G 的轨迹方程:3y=4x 2-x+2;(Ⅱ)cos ∠AFP=||||FA FP FA FP ⋅⋅=22121211)41(||)41)(41221(21-+---+x x FP x k kx (x 1+x 2=k,x 1x 2=21k-2)=221212121121)41(||)41)(41()(21-+--++x x FP x x x x x x =)41(||)41)(41(212121+++x FP x x x = ||4121FP x x +,同理可得:cos ∠BFP=||||FB FP FB FP ⋅⋅=||4121FP x x +⇒∠AFP=∠BFP.类题:第五讲:典型问题.夹角问题 671.(2011年北大保送生考试数学试题)点P 为双曲线上任一点,PQ 为双曲线在点P 处的切线,F 1、F 2为双曲线焦点.求证:PQ 平分∠F 1PF2.2.(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.五.角平分线例5:(2010年安徽高考试题)如图,已知椭圆E 经过点A(2,3), y对称轴为坐标轴,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心率e=21. A (Ⅰ)求椭圆E 的方程; F 1 O F 2 x (Ⅱ)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程. l (Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在,请找出;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)E:1121622=+y x ,F 1(-2,0),F 2(2,0);(Ⅱ)分析1:设角平分线l 与x 轴交于点B,由三角形内角平分线性质定理得:||||||||2121AF A F BF B F ==35⇒点B 的坐标,写出角平分线AB 的方程;分析2:设角平分线为l,由角平线的性质知,点F 1关于直线l 的对称点B 必在直线AF 2上,且|AB|=|AF 1|=5,由|AB|=5⇒点B(2,-2),由B F l k k 1⋅=-1⇒k l =2⇒角平分线l 的方程; 分析3:角平分线l 的一个方向向量||||2211AF AF AF AF e +==(58,54--)⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程; 分析4:由椭圆的光学性质知,角平分线l 与椭圆在点A 处的切线123162yx +=1垂直⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程:2x-y-1=0;(Ⅲ)(法一)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=-+-+⋅⋯-=⋅--②y y x x ①x x y y 012221221212121,又由点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)在椭圆121622y x +=1上⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112161121622222121y x y x ⇒162221x x -+122221y y -=0⇒2121x x y y --⋅2121x x y y ++=-43,由①得:2121x x y y ++=23⇒y 1+y 2= 23(x 1+x 2),代入②得:2⋅221x x +-23⋅221xx +-1=0⇒x 1+x 2=4⇒y 1+y 2=6⇒P,Q 的中点为(221x x +,221y y +)=(2,3),即P,Q 的中点为点A,矛盾;(法二)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则直线PQ 的斜率=-21,设直线PQ 的方程为y=-21x+m,代入121622y x +=1得:x 2-mx+m 2-12=0,则△=(-m)2-4(m 2-12)>0⇒m ∈(-4,4),且x 1+x 2=m ⇒y 1+y 2=23m ⇒P,Q 的中点为(21m,43m),根据P,Q 的中点在直线l:2x-y-1=0上⇒m-43m-1=0⇒m=4,矛盾. 类题:1.(2013年陕西高考试题)己知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8.68 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q.若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线l 过定点.2.(2011年全国高中数学联赛试题A)作斜率为31的直线l 与椭圆C:43622y x +=1交于A,B 两点,且P(32,2)在直线l 的左上方.(Ⅰ)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (Ⅱ)若∠APB=600,求△PAB 的面积.六.夹角应用例6:(2011年全国大纲卷高考试题)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x 2+22y =1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足OA +OB +OP =0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.解析:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由F(0,1)⇒直线l:y=-2x+1,代入x 2+22y =1得4x 2-22x-1=0⇒x 1+x 2=22⇒y 1+y 2=- 2(x 1+x 2)+2=1;由OA +OB +OP =0⇒OP =(-(x 1+x 2),-(y 1+y 2))=(-22,-1)⇒点P(-22,-1)⇒点P 在C 上;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:x 1x 2=-41,Q(22,1);由到角公式:tan ∠APB=PBPA PB PA k k kk +-1=3)(412x x -;同理可得:tan ∠AQB=-3)(412x x -⇒∠APB 与∠AQB 互补⇒A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.类题:1.(2013年山东高考试题)椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为23,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明11kk +21kk 为定值,并求出这个定值. 2.①(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论. ②(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理.九.夹角问题例9:(2007年北京西城区质检试题)设a>0,定点F(a,0),直线l:x=-a 交x 轴于点H,点B 是l 上的动点,过点B 垂直于l的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M. y(I)求点M 的轨迹C 的方程; B M (II)设直线BF 与曲线C 交于P 、Q 两点,证明:向量 PHP、HQ 与HF 的夹角相等. H O F x[分析解答]:(I)由过点B 垂直于l 的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ⇒|MF|=|MB|,即动点M 到点F Q的距离与到直线l 的距离相等,所以,点M 的轨迹是以点F 为焦点直线l 为准线的抛物线,其方程为:y 2=4ax;(II)因HF =(2a,0)∥(1,0),设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线BF 的方程为:y=k(x-a)⇒HP =(x 1+a,y 1),HQ =(x 2+a,y 2),由⎩⎨⎧=-=ax y a x k y 4)(2⇒k 2x 2-2a(k 2+2)x+a 2k 2=0⇒x 1x 2=a 2⇒cos<HP ,HF >=||||HF HP HF HP ⋅⋅=21211212116)(aax x ax y a x a x +++=+++,cos<HQ ,HF >=||||HF HQ HF HQ ⋅⋅=22222222226)(aax x a x y a x a x +++=+++==+++213214126a x a x a a x a 212116aax x a x +++⇒cos<HP ,HF >=cos<HQ ,HF>,又因<HP ,HF >,<HQ ,HF >∈(0,π),故<HP ,HF >=<HQ ,HF >.Ⅶ.角的问题[题1]: [题2]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.[解析]:(Ⅰ)如果直线l 的斜率存在,设它的方程为y=kx+b,因为点P 在直线l 上,所以-31=32k+b,故b=-31(2k+1).联立直线l 和椭圆C 的方程,消去y,得(2k 2+1)x 2+4kbx+2b 2-4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-1242+k kb ,x 1x 2=124222+-k b ⇒Y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2b=1222+k b ,y 1y 2=124222+-k k b ⇒QB QA ⋅=0⇒∠AQB ＝900.如果直线l 的斜率不存在容易验证∠AQB ＝900也成立.因此,∠AQB ＝900.(Ⅱ)由(Ⅰ)知△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在,易求得△QAB 的面积为S=22<3;如果直线QA 和QB 的斜率都存在,不妨设直线QA 的方程为y=m(x-2)+1,代入椭圆C 的方程,消去y,得(2m 2+1)x 2-4m(2m-1)x+2(2m-1)2-4=0⇒|QA|=12+m 12|12|82++m m ;又QB ⊥QA,所以,同理可求得|QB|=12+m 2|2|82+-m m ,于是,△QAB的面积为S=21|QA||QB|=4(m 2+1))2)(12(|2||12|22++-+m m m m .①当m ∈[-22,2]时,f(m)=S=4(m 2+1))2)(12(22222++++-m m m m ⇒f '(m)=4②[题3]:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1.(Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.[解析]:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.[题4]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)设A(2x 1,x 12),B(2x 2,x 22),由AP =λPB (λ>0)⇒-x 1=λx 2,8-x 12=λ(x 22-8)⇒x 1x 2=-8;抛物线过A 、B 两点的切线分别为x 1x=y+x 12,x 2x=y+x 22⇒y M =x 1x 2=-8;(Ⅱ)假设存在定点Q(a,b),使∠AQP=∠BQP ⇒cos ∠AQP=cos ∠BQP ⇒||||QA QP QA QP ⋅=||||QB QP QB QP ⋅⇒|QB |QA QP ⋅=|QA |QB QP ⋅⇒22222)()2(b x a x -+-[a(a-2x 1)+(8-b)(x 12-b)]=22121)()2(b x a x -+-[a(a-2x 2)+(8-b)(x 22-b)],令a=0: 22222)(4b x x -+(8-b)(x 12-b)=22121)(4b x x -+(8-b)(x 22-b)(b ≠8)⇒22222)(4b x x -+(x 12-b)=22121)(4b x x -+(x 22-b)⇒[4x 22+(x 22-b)2](x 12-b)2=[4x 12+(x 12-b)2](x 22-b)2⇒(2x 12x 2-2bx 2)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2=(2x 1x 22-2bx 1)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2⇒(-16x 1-2bx 2)2=(-16x 2-2bx 1)2⇒b=-8.[题5]:(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)|a |-|b |=2⇔22)2(y x ++=22)2(y x +-+2⇔22)2(y x +-=2x-1⇔x 2-32y =1(x ≥1); (Ⅱ)令PF ⊥AF ⇒|PF|=|AF|=3⇒λ=2;设P(x 0,y 0),∠PAF=α,则tan α=100+x y ⇒tan2α=202000)1()1(2y x y x -++=)1(3)1()1(2202000--++x x y x =002x y -,k PF =200-x y⇒∠PFA=2∠PAF ⇒λ=2. [题6]:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=2x+m,由e=2⇒b=3a ⇒双曲线C:3x 2-y 2=3a 2,由⎩⎨⎧=-+=22233ay x m x y ⇒2x 2-2mx-(m 2+3a 2)=0⇒x 1+x 2=m,x 1x 2=-21(m 2+3a 2);AP =3PB ⇒-x 1=3x 2⇒-2x 2=m,-3x 22=-21(m 2+3a 2)⇒3(-21m)2=21(m 2+3a 2)⇒ m 2=6a 2;OB OA ⋅=3⇒x 1x 2+y 1y 2=3⇒2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=3⇒m 2-3a 2=3⇒a=1,m=6,双曲线方程:3x 2-y 2=3;(Ⅱ)。

直线之间的夹角公式在咱们学习数学的这个大旅程中，直线之间的夹角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。

咱们先来说说啥是直线之间的夹角。

想象一下，在一个大大的平面上，有两条直直的线，它们就像两个倔强的小伙伴，谁也不愿意完全顺着对方的方向走。

那它们之间形成的那个“小角落”，就是夹角啦。

直线之间夹角的公式呢，其实就是用来衡量这个“小角落”到底有多大的工具。

就好像咱们拿尺子量东西的长度一样，这个公式就是量夹角大小的“尺子”。

那这个神奇的公式到底长啥样呢？假设咱们有两条直线，直线 L1 的斜率是 k1 ，直线 L2 的斜率是 k2 ，那它们之间夹角θ 的正切值tanθ 就等于 |(k2 - k1) / (1 + k1 * k2)| 。

可别被这个公式吓住喽！咱们来举个例子好好瞅瞅。

比如说有一条直线，它的方程是 y = 2x + 3 ，另一条直线是 y = -0.5x + 1 。

那咱们先分别求出它们的斜率，第一条直线的斜率 k1 就是 2 ，第二条直线的斜率 k2 就是 -0.5 。

然后把它们带进夹角公式里，tanθ = |((-0.5) - 2) / (1 + 2 * (-0.5))| ，经过计算就能得出夹角的正切值，再根据反正切函数就能求出夹角的大小啦。

我还记得有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，问我：“老师，这公式有啥用啊，感觉好复杂。

”我笑着跟他说：“你想想啊，假如咱们是建筑师，要设计一个有两条斜着的道路交汇的地方，那咱们得知道这两条路交汇形成的夹角多大，才能保证车辆行驶安全又顺畅，这时候不就得靠咱们的夹角公式啦！”小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了这个公式的重要性。

在实际生活中，直线之间的夹角公式也有很多用处呢。

比如说，工程师在设计桥梁的时候，得考虑不同方向的钢梁之间的夹角，才能让桥梁更稳固；画家在构图的时候，可能也会用到夹角的知识，让画面看起来更和谐。

数学知识点：两直线的夹角与到角_知识点总结
（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角。

（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′=，l1到l2的角的取值范围是（0，π）,高考数学。

两直线的夹角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π-θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π-θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ。

（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ=（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是。

理解这两个公式：
(1)首先应注意到在tanθ′=中两个斜率的顺序是不能改变的，θ′是直线l1到直线l2的角，若写成，则θ′为直线l2到直线l1的角，这两者是有区别的，而在夹角公式tanθ=中，两直线的斜率没有顺序要求．
(2)在两直线的夹角为900时，我们有，同理，若，则直线l1与直线l2垂直，用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题.。

直线与角度的关系与相关定理解析直线与角度的关系是几何学中重要的概念之一。

在几何学中，角度可以描述两条直线之间的夹角或者是两个平面的夹角。

在本文中，我们将探讨直线与角度之间的关系，并介绍几个与之相关的定理。

一、直线与角度的定义在几何学中，直线是由一系列无限延伸的点组成的。

直线通常用字母L或者AB来表示。

而角度是由两条射线（也可以称为直线）共享一个起点组成的图形。

我们可以用字母∠A来表示一个角度，其中A是角度的顶点。

二、直线与角度的关系直线与角度之间存在着密切的关系。

在几何学中，直线可以分为两种情况与角度有关：1. 直线上的角度：当两条直线相交于一点时，形成了四个相邻的角。

这四个相邻角可以分成两对相对角。

相对角互为补角，即它们的和为180度。

此外，相邻角的和也为180度。

2. 平行线与角度：当两条直线平行时，与这两条平行线相交的第三条直线形成了一对对顶角。

对顶角互为相等角，即它们的度数相等。

三、相关定理的解析与直线与角度相关的定理有很多，下面我们将介绍几个常见的定理：1. 垂径定理：如果两条直线彼此垂直，那么它们所形成的角度为90度。

2. 夹角定理：如果两条直线彼此平行，那么与这两条平行线相交的第三条直线所形成的对顶角是相等的。

3. 垂直角定理：如果两条直线相交于一点，并且两条直线的角度互为90度的倍数，那么这两条直线是互相垂直的。

4. 同位角定理：当两条直线被一条截断时，同位角互为相等角。

五、应用举例直线与角度的关系与定理在几何学中有着广泛应用。

我们来看一个具体的例子：例题：如图所示，直线AB与直线CD都与直线EF相交于点P和点Q，求∠APD的度数。

（插入一张示意图）解析：根据同位角定理，我们知道∠APQ与∠DPQ互为相等角。

同样，根据对顶角定理，∠APQ与∠DPQ也是相等角。

因此，∠APQ 与∠DPQ的度数相等。

又由于∠APQ + ∠DPQ = 180度（相邻角的和为180度），所以∠APD = 180度 - ∠APQ。

两条直线间的夹角公式
两条直线间的夹角公式是数学中的重要概念，它可以帮助我们计算两条直线之间的角度大小。

在几何学中，夹角是两条直线在同一平面上相交时形成的角度。

夹角公式可以用来计算两条直线的夹角，它可以应用于各种实际问题中。

例如，在建筑设计中，夹角公式可以用来计算两面墙壁之间的夹角，从而决定室内空间的布局和设计。

在航空导航中，夹角公式可以用来计算飞机的航向角度，以确保飞行路径的准确性和安全性。

夹角公式的计算方法相对简单，只需知道两条直线的斜率就可以了。

斜率是直线上任意两点连线的斜率，可以通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值得到。

然后，使用夹角公式可以计算出两条直线之间的夹角。

夹角公式可以表示为：夹角的正切等于两条直线的斜率之差的绝对值除以1加上两条直线的斜率乘积的绝对值。

这个公式可以用来计算两条直线之间的夹角，而无需求解方程组或进行复杂的计算。

夹角公式的应用范围广泛，不仅限于数学领域。

它可以在物理学、工程学、地理学等领域中找到应用。

无论是计算机辅助设计还是导航系统，夹角公式都是必不可少的工具。

夹角公式是数学中一个重要的概念，它可以用来计算两条直线之间
的夹角。

它的应用范围广泛，可以在各个领域中找到应用。

掌握夹角公式可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。

立体几何两直线夹角公式在咱们学习立体几何的时候，有一个特别重要的公式，那就是两直线夹角公式。

这玩意儿可有意思啦，就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。

先来说说啥是两直线夹角。

想象一下，在一个三维的空间里，有两条线，它们不平行，就会形成一个夹角。

这个夹角可不是随便量量就行的，得用专门的公式来算。

两直线夹角公式就像是一个精准的测量工具。

假设咱们有直线 L1和直线 L2，它们的方向向量分别是 v1 和 v2 。

那这两条直线的夹角的余弦值就等于这两个方向向量的点积除以它们的模长的乘积。

用数学式子表示就是cosθ = (v1·v2) / (|v1| × |v2|) 。

记得我之前教过一个学生小明，这孩子特别聪明，就是有时候有点马虎。

有一次做作业，碰到一道要用两直线夹角公式的题。

题目是这样的：在一个空间直角坐标系里，直线 L1 的方向向量是 (1, 2, 3) ，直线 L2 的方向向量是 (4, -5, 6) ，让求这两条直线的夹角。

小明拿到题，刷刷刷就开始算，结果算出来夹角的余弦值是个负数。

他就有点懵了，跑来问我：“老师，这咋算出个负数呢？”我一看，原来他在计算向量点积的时候，符号弄错了。

我就给他仔细地又讲了一遍点积的计算方法，还让他重新做了一遍。

这孩子呀，经过这次小挫折，以后再碰到这种题就特别小心，再也没出过错。

咱们再来说说这个公式的用处。

比如说在建筑设计里，工程师们要确定不同钢梁之间的角度，是不是就得靠这个公式呀？还有在机器人的运动规划中，为了让机器人的手臂能够准确地到达指定的位置，也得用这个公式来计算关节之间的角度。

在学习这个公式的时候，大家可别死记硬背。

要多做几道题，通过实际的运用来加深理解。

比如说，给你一个正方体，让你求其中两条棱之间的夹角，这时候你就得先找到这两条棱的方向向量，然后再代入公式计算。

还有啊，有些同学可能会觉得这个公式有点复杂，其实只要你一步一步来，别着急，肯定能掌握的。