【全国市级联考】浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考数学(解析版)

浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷一、单选题 (共10题；共20分)1．（2分）已知集合A=[0,4]，B={x∈R||x|≤1}，则(∁R A)∩B=（）A．[−1,0)B．[−1,0]C．[0,1]D．(1,4]2．（2分）椭圆x22+y2=1的离心率是（）A．12B．13C．√23D．√223．（2分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．323B．4C．163D．84．（2分）明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（）A．21B．22C．23D．245．（2分）函数f(x)=(e x+e−x)ln|x|的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（2分）若实数x ，y 满足约束条件 {x −2y +3≥02x −y −3≤0x +y ≥0 ，则 2x +3y 的取值范围是（ ）A ．[−1,15]B ．[1,15]C ．[−1,16]D ．[1,16]7．（2分）若 a >,b >0 ，则“ ab ≤4 ”是“ ab a+b≤1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2分）已知任意 a ∈[−1，2] ，若存在实数b 使不等式 |x 2−ax|≤b 对任意的 x ∈[0，2] 恒成立，则（ ） A ．b 的最小值为4 B ．b 的最小值为6 C ．b 的最小值为8D ．b 的最小值为109．（2分）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值. B ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值.C ．|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 是定值.D ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2是定值. 10．（2分）对任意的实数 x >0 ，不等式 2ae 2x −lnx +lna ≥0 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．2√eB ．12√eC ．2eD ．12e二、填空题 (共3题；共3分)11．（1分）若复数 z =21+i（i 为虚数单位），则 |z|= . 12．（1分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点M 是双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若 k OM ⋅k l =13，则双曲线离心率 e 等于 .13．（1分）已知函数 f(x)=x 2+ax +a ， A ={x ∈R|f(x)≤x} ， B ={x ∈R|f[f(x)]≤f(x)} ， A ≠∅,A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .三、双空题 (共4题；共8分)14．（2分）在数列 {a n } 中， S n 为它的前 n 项和，已知 a 2=1 ， a 3=6 ，且数列 {a n +n} 是等比数列，则 a n = ， S n = .15．（2分）二项式 (1x −x 2)6 的展开式的各项系数之和为 ， x 4 的系数为 ．16．（2分）已知直线 l:mx −y =1, 若直线 l 与直线 x −my −1=0 平行，则m 的值为 ，动直线 l 被圆 x 2+y 2−2y −8=0 截得的弦长最短为 .17．（2分）已知随机变量X 的分布列如下表：其中 a >0，b >0 .且 E(X)=2 ，则b= ， D(2X −1) = .四、解答题 (共5题；共50分)18．（10分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a,b,c 已知 tan(π4+A)=3 .（1）（5分）求 sin2A +cos 2A 的值；（2）（5分）若 △ABC 的面积 S =1 ， c =2 ，求 a 的值.19．（10分）如图，已知四棱锥 A −BCDE ，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，BC// 平面 ADE ，且 BC =2 ， DE =1 .（1）（5分）求证： BC//DE ；（2）（5分）若 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 CF 与平面 ABE 所成角的正弦值. 20．（10分）已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =a n 2+2a n 4，且 a n >0(n ∈N ∗) .（1）（5分）写出 a 1，a 2，a 3 的值，并求出数列 {a n } 的通项公式；（2）（5分）设 b n =√S n ， T n 为数列 {b n } 的前n 项和；求证： n 2+n 2<T n <n 2+2n 2.21．（10分）如图，设抛物线方程为 x 2=2py (p ＞0)，M 为直线 y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B.（1）（5分）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）（5分）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点 C ， D ，记 λ=S△EAB S △MCD，问 λ 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22．（10分）已知 f(x)=(x 2−a)e −x ， g(x)=a(e −x +1)（1）（5分）当 a =1 时，判断函数 f(x) 的单调性；（2）（5分）当a>−1时，记f(x)的两个极值点为x1,x2(x1<x2)，若不等式x2f(x1)≤λ[f′(x2)−g(x1)]恒成立，求实数λ的值.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题意∁R A=(−∞,0)∪(4,+∞)，B={x∈R||x|≤1}={x∈R|−1≤x≤1}，则(∁RA)∩B=[−1,0).故答案为：A.【分析】先计算出集合∁RA与B，再利用集合交集的概念即可得解.2．【答案】D【解析】【解答】由题意该椭圆a2=2，b2=1，由椭圆性质可得c2=a2−b2=1，所以离心率e=√c2a2=√12=√22.故答案为：D.【分析】由椭圆的一般式求得a2=2、b2=1、c2=1，利用e=√c2a2即可得解.3．【答案】C【解析】【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以V＝13×2×4×2＝163.故答案为：C.【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．4．【答案】C【解析】【解答】由题意可得70×2+3×21+2×15=233，则233−105×2=23.故答案为：C.【分析】由题意先计算出70×2+3×21+2×15=233，再计算233−105×2=23即可得解.5．【答案】D【解析】【解答】根据题意，函数的定义域 {x|x ≠0} ，因为 f(x)=(e x +e −x )ln|x| ，所以 f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除B 项， 当 x >1 时， f(x)>0 ，当 0<x <1 时， f(x)<0 ，排除 A,C 选项， 当 x →0 时， f(x)→−∞ ，所以D 项是正确的， 故答案为：D.【分析】根据题意，求出函数的定义域 {x|x ≠0} ，分析可得 f(x) 为偶函数，进而分析可得当 x >1 时， f(x)>0 ，当 0<x <1 时， f(x)<0 ，当 x →0 时， f(x)→−∞ ，分析选项，从而选出正确的结果.6．【答案】A【解析】【解答】由题意画出可行域，如图所示，令 z =2x +3y ，转化可得 y =−23x +z 3，数形结合可得，当直线 y =−23x +z3分别过点 A 、点 B 时， z 取最小值和最大值，由 {2x −y −3=0x +y =0 可得点 A(1,−1) ，由 {2x −y −3=0x −2y +3=0 可得点 B(3,3) ， 所以 z min =2−3=−1 ， z max =2×3+3×3=15 . 所以 2x +3y 的取值范围是 [−1,15] . 故答案为：A.【分析】由题意画出可行域，设 z =2x +3y ，数形结合即可得解.7．【答案】A【解析】【解答】 ∵ a >0 ， b >0 ，若 ab ≤4 ，则ab a+b ≤ab2ab =√ab 2≤1 ，当且仅当 a =b =2 时取等号，所以 ab a+b≤1 ； 当 a =1 ， b =5 时， ab a+b =56≤1 ，但 ab =5>4 ； ∴ “ ab ≤4 ”是“aba+b≤1 ”充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由基本不等式可得：若 ab ≤4 ，则aba+b ≤1 成立；举出反例可得若 ab a+b≤1 ，则 ab ≤4 不一定成立，由充分条件和必要条件的概念即可得解.8．【答案】B【解析】【解答】由题意 |x 2−ax|≤b ⇔−b ≤x 2−ax ≤b ，设 f(x)=x 2−ax ， x ∈[0，2] ，其图象为开口向上，对称轴为 x =a2 的抛物线的一部分，当 a ∈[−1，0] 即 a 2∈[−12，0] 时， f(x)min =f(0)=0 ， f(x)max =f(2)=4−2a ≤6 ；当 a ∈(0,2] 即 a2∈(0,1] 时， f(x)min =f(a 2)=−a 24≥−1 ， f(x)max =f(2)=4−2a <4 ；若要 |x 2−ax|≤b 对于任意 a ∈[−1，2] ， x ∈[0，2] 均成立， 则 {b ≥6−b ≤−1 即b ≥6 ，所以b 的最小值为6.故答案为：B.【分析】转化条件得 −b ≤x 2−ax ≤b ，设 f(x)=x 2−ax ， x ∈[0，2] ，根据 a ∈[−1，0] 、 a ∈(0,2] 分类，分别求出函数 f(x) 的最值即可得解.9．【答案】C【解析】【解答】如图建立直角坐标系，设正方形边长为为 2a ，圆的半径为 r ，设点 P(x,y) ，则 A(a,a) ， B(−a,a) ， C(−a,−a) ， D(a,−a) ， x 2+y 2=r 2 ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,a −y) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −x,a −y) ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −x,−a −y) ， PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,−a −y) ，对于A ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(x 2+y 2)−4a 2=2r 2−4a 2 ，A 正确，不符合题意； 对于B ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4(x 2+y 2)=4r 2 ，B 正确，不符合题意； 对于C ，不妨令 a =1 ， r =2 ，当点 P(0,2) ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√(2−1)2+12+2√(2+1)2+12 =2√2+2√10 ；当点 P(√2,√2) ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2−√2+2+√2+2√2+22=4+2√6 ； C 错误，符合题意.对于D ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2(a −x)2+2(a +x)2+2(a −y)2+2(a +y)2 =8a 2+4(x 2+y 2)=8a 2+4r 2 ，D 正确，不符合题意. 故答案为：C.【分析】建立直角坐标系后，设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，表示出各点坐标，利用坐标运算即可判断A 、B 、D ，举出反例即可判断C ，即可得解.10．【答案】D【解析】【解答】设 f(x)=2ae 2x −lnx +lna ，则 f′(x)=4ae 2x −1x.当 a ≤0 时， f′(x)<0 ，故 f(x) 单调递减，当 x →+∞ 时， f(x)→−∞ ，不成立； 当 a >0 时，取 f′(x)=4ae 2x −1x=0 ，根据图像知，方程有唯一解设为 x 0 ，则函数在 (0,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，故 f(x)min =f(x 0)=2ae 2x 0−lnx 0+lna ≥0 ，且 4ae 2x 0−1x 0=0 ，代换得到： 12x 0−2lnx 0−2x 0−2ln2≥0 ，易知函数 g(x)=12x −2lnx −2x −2ln2 在 (0,+∞) 上单调递减，且 g(12)=0 ，故 x 0≤12 . a =14x 0⋅e2x 0≥12e ，故当 x 0=12 时，有最小值为 12e . 故答案为： D .【分析】排除 a ≤0 的情况，存在唯一解 x 0 ，使则函数在 (0,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，故 f(x)min =f(x 0) ， 4ae 2x 0−1x 0=0 ，代换得到 x 0≤12 ，代入计算得到答案.11．【答案】√2【解析】【解答】由题意 z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，所以 |z|=√12+12=√2 . 故答案为： √2 .【分析】由复数的运算法则得 z =1−i ，由复数模的概念即可得解.12．【答案】2√33【解析】【解答】当 y >0 时，由 x 2a 2−y 2b2=1 可得 y =√(x 2a 2−1)⋅b 2 ，求导得y ′=12⋅b2a2⋅2x ⋅1√(x 2a2−1)⋅b =b 2x a 2⋅1√(x 2a2−1)⋅b =b 2x a 2y ， 所以在双曲线上点 (x 0,y 0) 处的切线方程为 y −y 0=b 2x0a 2y 0⋅(x −x 0) ，化简得 x 0a 2x −y 0b2y =1 ，同理可得当 y ≤0 时依然成立；设点 M(m,n) ，则 k l =b 2m a 2n ， k OM =n m ， 由 k OM ⋅k l =13 得 b 2m a 2n ⋅n m =13 ，所以 b 2a 2=13 ， 所以双曲线离心率 e =√1+b 2a 2=√1+13=2√33 .故答案为： 2√33.【分析】利用导数证明在双曲线上点 (x 0,y 0) 处的切线方程为 x 0a 2x −y 0b 2y =1 ，转化条件得 b 2m a 2n ⋅n m =13，再利用 e =√1+b 2a 2即可得解. 13．【答案】0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6【解析】【解答】由 A ≠∅ ，可设 x 1 ， x 2(x 1≤x 2) 是方程 f(x)=x 即 x 2+(a −1)x +a =0的两个实根，则 A ={x ∈R|f(x)≤x}={x ∈R|x 1≤x ≤x 2} ， f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x 1 或 x 2 ， 则 f(x)−x =(x −x 1)(x −x 2) ，f[f(x)]−f(x)=[f(x)−x 1][f(x)−x 2] = [f(x)−x +x −x 1][f(x)−x +x −x 2]=[(x −x 1)(x −x 2)+(x −x 1)][(x −x 1)(x −x 2)+(x −x 2)]=(x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1) .由 A ⊆B 可得对任意 x 1≤x ≤x 2 ，均有 f[f(x)]−f(x)≤0 ，即 (x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1)≤0 对任意 x 1≤x ≤x 2 均成立，由 x −x 1≥0 ， x −x 2≤0 ， x −x 1+1>0 可得 x −x 2+1≥0 对任意 x 1≤x ≤x 2 均成立，所以 x 1−x 2+1≥0 ，所以 {Δ=(a −1)2−4a ≥0x 1−x 2+1=−√(x 1+x 2)2−4x 1x 2+1≥0 即 {(a −1)2−4a ≥0(a −1)2−4a ≤1 ， 解得 0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6 . 故答案为： 0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6 .【分析】设 x 1 ， x 2(x 1≤x 2) 是方程 f(x)=x 的两个实根，则可得 f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x 1 或 x 2 ，进而可得 f[f(x)]−f(x) =(x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1) ，由 A ⊆B 可得对任意 x 1≤x ≤x 2 ，均有 f[f(x)]−f(x)≤0 ，即可得 x 1−x 2+1≥0 ，由韦达定理和根的判别式列出不等式组即可得解.14．【答案】3n−1−n ；3n2−n 2+n+12【解析】【解答】设 b n =a n +n ，数列 {b n } 的公比为 q ，则由题意 b 2=a 2+2=3 ， b 3=a 3+3=9 ，∴ q =b 3b 2=3 ， b 1=b 2q =1 ， ∴ b n =b 1q n−1=3n−1 ，∴ a n =b n −n =3n−1−n ，∴ S n =1−1+3−2+32−3+⋅⋅⋅+3n−1−n =(1+3+32+⋅⋅⋅+3n−1)−(1+2+3+⋅⋅⋅+n)=1⋅(1−3n)1−3−(1+n)n 2=3n2−n 2+n+12. 故答案为： 3n−1−n ， 3n2−n 2+n+12.【分析】设 b n =a n +n ，由等比数列的性质先求得 b n =3n−1 ，进而求得 a n =3n−1−n ；再利用分组求和法即可求得 S n .15．【答案】164；−316【解析】【解答】令 x =1 ， (1x −x 2)6=(1−12)6=164，故该二项式的展开式的各项系数之和为 164；二项式 (1x −x 2)6的展开式的通项公式为 T r+1=C 6r ⋅(1x )6−r ⋅(−x 2)r =C 6r ⋅(−12)r ⋅x 2r−6 ， 令 2r −6=4 即 r =5 ， C 65⋅(−12)5=−316，故 x 4 的系数为 −316 . 故答案为：164 ， −316.【分析】令 x =1 即可求得该二项式的展开式的各项系数之和；写出该二项式展开式的通项公式 T r+1=C 6r ⋅(−12)r ⋅x2r−6 ，令 2r −6=4 即可求得 x 4 的系数. 16．【答案】−1；2√5【解析】【解答】 ∵ 直线 l:mx −y =1 与直线 x −my −1=0 平行，∴m 1=−1−m ≠−1−1，解得 m =−1 ； 由题意可知直线 l:mx −y =1 恒过点 P(0,−1) ，圆 x 2+y 2−2y −8=0 的圆心 C(0,1) ，半径 r =3 ， CP =2 ， 易知当 CP ⊥l 时，直线被圆截得的弦长最短， 此时弦长为 2√r 2−CP 2=2√9−5=2√5 . 故答案为： −1 ； 2√5 .【分析】由直线平行的性质可得 m 1=−1−m ≠−1−1 ，解方程即可得 m =−1 ；由题意知直线 l 恒过点 P(0,−1) ，圆的圆心 C(0,1) ，半径 r =3 ，由圆的性质即可得所求弦长最小值为 2√r 2−CP ；即可得解.17．【答案】14；24 【解析】【解答】由题意 {12+b +14=1E(X)=0×12+2b +14a =2 ，解得 b =14， a =6 ； 所以 D(X)=(0−2)2×12+(2−2)2×14+(6−2)2×14=6 ，所以 D(2X −1)=22⋅D(X)=24 . 故答案为： 14， 24 .【分析】由概率和为1即可的 b =14，由题意结合期望公式可得 a =6 ，根据方差公式求得 D(X)后利用 D(2X −1)=22⋅D(X) 即可得解.18．【答案】（1）解：由题意 tanA =tan[(π4+A)−π4]=tan(π4+A)−tan π41+tan(π4+A)⋅tan π4=12 ， 所以 sin2A +cos 2A =2sinAcosA+cos 2A sin 2A+cos 2A=2tanA+1tan 2A+1=85（2）解：由（1） tanA =12 可得： tanA =sinA cosA =12即 cosA =2sinA ，又 sin 2A +cos 2A =1 ， A ∈(0,π) ，所以 sinA =√55 ， cosA =2√55；又 S =12bcsinA =1 ， c =2 可得 b =√5 ；a 2=b 2+c 2−2bccosA =5+4−8=1所以 a =1 .【解析】【分析】（1）由两角差的正切公式可得 tanA =12 ，转化条件 sin2A +cos 2A =2tanA+1tan 2A+1即可得解；（2）由同角三角函数的关系结合题意可得 sinA =√55 ， cosA =2√55，由三角形面积公式S =12bcsinA 可得 b =√5 ，再由余弦定理即可得解.19．【答案】（1）证明：因为 BC// 平面 ADE ， BC ⊂BCED ，且平面 BCED ∩ 平面 ADE =DE ， 所以 BC//DE（2）解：取 AB 中点O ，连接EO ，CO ，由题意可得OC 、OB 、OE 两两垂直， 如图所示建立空间直角坐标系，各点的坐标分别为 A(−1,0,0) ， B(1,0,0) ， C(0,√3,0) ， E(0,0,√3) ，..所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,0) ，所以 D(−12,√32,√3) ， AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,√3) . 所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,√33,2√33) ，所以 F(−23,√33,2√33). 所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,−2√33,2√33) ， 因为平面 ABE 的一个法向量是 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√3,0) 设CF 与平面ABE 所成的角为 θ ，则 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−23⋅2√73=√217 ， 所以CF 与平面ABE 所成角的正弦值为 √217.【解析】【分析】（1）由线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而可得平面 ABE 的一个法向量是 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和直线 CF 的方向向量 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF⃗⃗⃗⃗⃗ 〉| 即可得解.20．【答案】（1）解：因为 a n >0 ，当 n =1 时， a 1=S 1=a 12+2a 14 ，所以 a 1=2 ，当 n =2 时， S 2=a 1+a 2=a 22+2a 24 ，所以 a 2=4 ，当 n =3 时， S 3=a 1+a 2+a 3=a 32+2a 34 ，所以 a 3=6 ，当 n ≥2 时， a n =S n −S n−1=a n 2+2a n 4−a n−12+2a n−14 ，化简得 (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0 ， 因为 a n >0 ，所以 a n −a n−1−2=0 ； 所以数列 {a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，a n =2+2(n −1)=2n（2）证明：由（1）可得 S n =2+2n2⋅n =n(n +1) ， b n =√n(n +1) ；所以 b n >n ，所以 T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n >1+2+⋅⋅⋅+n =n 2+n 2；又 b n =√n(n +1)<n+(n+1)2=n +12；所以 T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n <(1+12)+(2+12)+⋅⋅⋅+(n +12)=n(n+1)2+n 2=n 2+2n 2 ；综上可得 n 2+n 2<T n <n 2+2n 2【解析】【分析】（1）分别令 n =1 、 n =2 、 n =3 即可得 a 1 、 a 2 、 a 3 的值；当 n ≥2时，利用 a n =S n −S n−1 可得 (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0 ，则数列 {a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，即可得解；（2）由等差数列前n 项和公式结合题意可得 b n =√n(n +1) ，根据b n >n 即可得 T n >n 2+n 2 ，根据 b n <n+(n+1)2 即可得 T n <n 2+2n 2，即可得证.21．【答案】（1）解：设 A(x 1,x 122p ) ， B(x 2,x 222p) ，抛物线方程 x 2=2py(p >0) 可变为 y =x 22p ，所以 y ′=xp ，所以 k AM =x 1p， k BM =x 2p ，直线 AM 的方程为 y −x 122p =x 1p (x −x 1) ，直线 BM 方程为 y −x 222p =x2p (x −x 2) ，则 {y −x 122p =x 1p (x −x 1)y −x 222p =x 2p (x −x 2) 解得 x M =x 2+x 12 ， y M =x 1x 22p ， 又k AB=x 222p −x 122px 2−x 1=x 2+x 12p ，所以直线 AB 的方程为 y −x 122p =x 2+x 12p(x −x 1) ，化简得 (x 1+x 2)x −2py −x 1x 2=0 ， 令 x =0 ， y =−x 1x 22p ， 又 y M =x 1x 22p=−2p ， 所以 y =2p ， 所以直线AB 与 y 轴的交点坐标为 (0,2p)（2）解：记 x M =x 1+x 22 ，设点 E(x 3,x 322p ) ， 可得直线 CD 的方程为 y −x 322p =x3p(x −x 3) ，由 {y −x 122p =x 1p (x −x 1)y −x 322p =x 3p (x −x 3) 可得 x C =x 1+x 32 ，同理 x D =x 2+x 32 ， 所以 |ACCM |=|x C −x 1x M −x C |=|x 1+x32−x 1||x 1+x 22−x 1+x 32|=|x 3−x 1x 2−x 3||CEED |=|x 3−x C x D −x 3|=|x 3−x 1+x32x 2+x 32−x3|=|x 3−x 1x 2−x 3| ， 所以 |AC CM |=|CEED | ，同理 |MD DB |=|x 3−x 1x 2−x 3| ， 所以 |AC CM |=|CE ED |=|MDDB| ， 设 |AC CM |=|CE ED |=|MD DB |=t ，记 S △MCE =S ，则 S △ACE =tS ， S △MDE =S t ， S △BDE =S t2 ， S △MAB S △MCD =|MA||MB||MC||MD|=t+11⋅t+1t =(t+1)2t， S △MCD =t+1t ⋅S ， 于是 S △MAB=(t+1)2t S △MCD =(t+1)2t ⋅t+1t ⋅S =(t+1)3t2S ，所以 S △EAB =S △MAB −S △MCD −S △ACE −S △BDE=(t+1)3t 2S −t+1t ⋅S −tS −S t 2=2(t+1)t ⋅S ，所以 λ=S△EAB S △MCD=2【解析】【分析】（1）设 A(x 1,x 122p ) ， B(x 2,x 222p) ，求导后可得直线AM 的方程与直线BM 方程，联立方程组可得yM =x1x22p，写出直线AB的方程为y−x122p=x2+x12p(x−x1)，令x=0即可得解；（2）设点E(x3,y3)，联立方程组可得x C=x1+x32，x D=x2+x32，进而可得|ACCM|=|CEED|=|MDDB|，设|ACCM|=|CEED|=|MDDB|=t，记S△MCE=S，表示出各三角形面积后，即可得解.22．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=(x2−1)e−x，所以f′(x)=(−x2+2x+1)e−x，令f′(x)=(−x2+2x+1)e−x=0，得−x2+2x+1=0，所以x1=1−√2，x2=1+√2，所以f(x)单调递减区间为(−∞,1−√2)，(1+√2，+∞)，单调递增区间为(1−√2,1+√2)（2）解：因为f′(x)=(−x2+2x+a)e−x，a>−1，所以−x2+2x+a=0有两个不等实根，由题意x1，x2为方程(−x2+2x+a)e−x=0即x2−2x−a=0的两相异根，则{x1+x2=2 x1x2=−a−x i2+2x i+a=0，所以f′(x2)−g(x1)=0−a(e−x1+1)=−a(e−x1+1)，x2f(x1)=x2(x12−a)e−x1=x2⋅2x1e−x1=2x1x2e−x1=−2ae−x1所以x2f(x1)≤λ[f′(x2)−g(x1)]可以转化为−2ae−x1≤−aλ(e−x1+1)，所以上式可化为(x12−2x1)[λ(e−x1+1)−2e−x1]≤0，则(x12−2x1)(λ−21+e x1)(e−x1+1)≤0即(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0，①当a∈(−1,0)时，由0<x1x2<1、x1+x2=2、x1<x2可得x1∈(0,1)，所以x12−2x1<0，所以λ−21+e x1≥0恒成立，因为此时21+e x1∈(21+e,1)所以λ≥1；②当a=0时x1=0，x12−2x1=0，显然(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0恒成立，即λ∈R；③当a∈(0,+∞)时，由x1x2<0可得x1∈(−∞,0)，x12−2x1>0，所以λ−21+e x1≤0恒成立，因为此时21+e x1∈(1,2)，所以λ≤1；综上可知：λ=1【解析】【分析】（1）求出导函数后，找到f′(x)>0、f′(x)<0的解集即可得解；（2）由题意结合韦达定理可知{x1+x2=2 x1x2=−a−x i2+2x i+a=0，原条件可化为(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0，根据a∈(−1,0)、a=0、a∈(0,+∞)分类讨论，即可得解.。

浙江省衢州湖州丽水三地市高三4月教学质量检测试题数学第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()RA B =A ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,4 2.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323B ． 163 C ．4 D ．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。

《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。

”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. A. 21 B. 22 C. 23 D. 245.函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为6. 若实数满足约束条件，则的取值范围是A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D.[1, 16]7. 若0,0a b >> ,则“”是“1aba b≤+”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 已知，若存在实数b 使不等式对任意的恒成立，则A. b 的最小值为4B. b 的最小值为6C. b 的最小值为8D. b 的最小值为109.如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述 不正确．．．的是A. PD PB PC PA ⋅+⋅是定值.B. PA PD PD PC PC PB PB PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C. PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意>0,不等式恒成立，则实数a 的最小值为A ．B ． C. D ．第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.若复数，则|.12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知，，且数列{}n a n +是等比数列,则n a =n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ．14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆截得的弦长最短为 _.15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 aPb其中.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 .17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤, B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.19.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1.（Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）aa 已知数列{}n a 的前n 项和，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. （本小题满分15分） 如图，设抛物线方程为 (p ＞0),M 为直线 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. （本小题满分15分）已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBCDAABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 12. ， 13.136416-， 14. -1,15. , 2416.17. 2230-≤≤a 或6223≤≤+a解析：方法一：设[]x x f x f f x f n n ==-)(,)()(01，由题意方程x x f =)(的存在实根，且都在函数)(x f y =的对称轴右侧（含对称轴）.因此有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥--02).1(204)1(22a a a a a a ； 解得2230-≤≤a 或6223≤≤+a方法二：设21,x x （21x x ≤）是方程x x f =)(的两个实根，则))(()(21x x x x x x f --=-))()()(()())((21x x f x x f x f x f f --=-=[][]11)()(x x x x f x x x x f -+--+-=)1)(1)()((2121+-+---x x x x x x x x .由题意，对任意21x x x ≤≤时，0)())((≤-x f x f f 即0121≥+-x x ，即可解得. 三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）解：（Ⅰ） 214tan ).4tan(14tan)4tan()4(tan tan =++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=πππππA A A A A ..........3分 581tan 1tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222=++=++=+A A A A A A A A A .......7分 （Ⅱ）由（1）21tan =A 可得：552cos ,55sin ==A A ；............9分又1sin 21==A bc S ,2=c 可得5=b ；......................11分 1cos 2222=-+=A bc c b a ;所以1=a ...................................................14分19.（本题满分15分）解：（Ι）因为//BC 平面ADE ，BC BCED ⊂，且BCED ADE DE =平面平面，..........3分所以//BC DE ...................5分a（Π）解法1如图所示建立空间直角坐标系，设2AB =各点的坐标分别为()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,3,0C ，()0,0,3E ，..........7分所以()1,3,0BC =-，113,,0222ED BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以13,,322D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， 13,,322AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.........9分所以21323,,3333AF AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2323,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭F .........11分 所以22323,,333⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭CF ，因为面ABE 的一个法向量是()03,0OC =，.....13分 设CF 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,OC CF OC CF OC CFθ⋅==⋅ a所以21sin 7=θ.........15分 解法2如图所示，延长,CD BE 交于P ，连接PA ,延长CF 交AP 于G ，显然G 为PA 的中点，OC ABE ⊥面,,.......7分所以CGO ∠即为设CF 与平面ABE 所成的角.......11分 因为32OC OG ==，,所以7=CG ,.........13分所以21sin 7∠=CGO .........15分20.（本题满分15分） 解：（I ）当1=n 时，，又因为0>n a ，所以，，6------------------------------------------------------------------------3分当2≥n 时，因为0>n a ，所以；-------------------------------------5分 所以数列{}n a 是等差数列，.----------------------7分（Ⅱ）由（1）题可得)1(+=n n b n ； -----10分所以 n b n >，22nn T n +>；--------------------------------12分又 212)1()1(+=++<+=n n n n n b n ； 所以2222)1(2nn n n n T n +=++<； ---------------------14分 综上可得22222nn T n n n +<<+. ---------------------15分 21.（本题满分15分）过A 点的切线方程为，过B 点的切线方程为，联立这两个方程可得,化简得(=0, 令x=0,y2, ∴y ∴直线AB 过(0,2p)点.（Ⅱ）记,,,,=设=t ,记,则,同理，,,,于是, ----------12分∴=---S,S,∴λ== 2 -------------------------------15分22.（本题满分15分）解：（Ι）当1a =时,()()21x f x x e -=-, ----------1分 所以()()2'21x f x x x e -=-++ ----------3分 令()()2'21=0x f x x x e -=-++，得221=0x x -++所以1212,12x x ==----------4分x(),12-∞-12-()12,12-+12+()12++∞， ()'f x -0 +0 -()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以()f x 单调递减区间为(,12-∞，()12+∞，单调递增区间为(12,12+ ----------7分 （Π）因为()()2'2x f x x x a e -=-++，1a >- ----------8分 所以12,x x 为方程()22=0x x x a e --++化简后即22=0x x a --的两相异根，此时，12122+=2=20i i x x x x a x x a ⎧⎪-⎨⎪-++=⎩， ----------9分所以()()()121'0+1x f x g x a e --=-()11x a e -=-+ ()()()1111221212112=2=22x x x x x f x x x a e x x e x x e ae ----=-=- ----------10分 所以()()()()2111'x f x f x g x λ≤-可以转化为 ()1121x x ae a e λ---≤-+，因为()2120,1i i x x a x -++=∈-∞，所以上式可化为()()()112112120x x x x e e λ---+-≤ 化简得：()12112201x x x e λ⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-11分 ①当()1,0a ∈-时()10,1x ∈，21120x x -<， 所以1201x e λ-≥+恒成立，因为此时12211x e e ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭,1 所以1λ≥；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-12分②当=0a 时10x =，21120x x -=，所以※显然恒成立，即R λ∈；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-13分③当()0,a ∈+∞时()1,0x ∈-∞，21120x x -> 所以1201x e λ-≤+恒成立，因为此时()1211x e∈+,2,所以1λ≤；┄┄┄┄┄┄14分 综上①②③可知：1λ= ----------15分。

2017年4月湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷高三数学 第Ⅰ卷（共40分)一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}2{<∈=x R x P ，}31{≤≤-∈=x R x Q 则=Q P ( )A ．［—1,2）B 。

（—2，2）C ．（-2,3]D ． ［—1,3]2. 已知复数)2(i i z -=，其中i 是虚数单位，则z 的模=z ( ) A ．3B ．5C ．3D ． 53. 已知平面α与两条不重合的直线a ，b ，则“α⊥a ，且α⊥b ”是“b a //”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C 。

充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4。

已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤-+≥-,02,0y x y x 则x y -2的最大值是（）A ．-2B ．—1C 。

1 D. 2 5. 二项式7)2(+x 的展开式中含5x 项的系数是( ）A ．21B ．35C 。

84D ．280 6。

下列命题正确的是( )A ．若b a b a 3ln ln -=-,则0<<b aB ．若b a b a 3ln ln -=-，则b a <<0 C. 若a b b a -=-3ln ln ，则0>>b a D ．若a b b a -=-3ln ln ，则b a >>0 7。

已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(*∈N a ）,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球）,记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3=ξE ,则=ξD （ ） A ．21 B ．1 C. 23 D ． 28. 已知)(x f 是定义在R 上的函数,若方程x x f f =))((有且仅有一个实数根，则)(x f的解析式可能是（ ）A ．12)(-=x x fB ．xe xf =)( C 。

绝密★启用前2017-2018学年浙江省湖州、衢州、丽水三地市高二上学期期末联考数学试题考试范围：常用逻辑用语、立体几何、解析几何.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学的常用逻辑用语、立体几何、解析几何等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.第I 卷（选择题）评卷人 得分一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ）A. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2．原命题：若双曲线方程是221x y -=，则其渐近线方程是y x =±.那么该原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3．设,αβ是两个不同的平面，直线m α⊂．则“//m β”是“//αβ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过点D 的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()3,4,5，则1AC 的坐标是（ ）A. ()3,4,5--B. ()3,5,4-C. ()3,4,5-D. ()3,4,5-5．若圆221:1O x y +=与圆()()222:24O x a y a -+-=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ][355535,,5555⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦ B. 3535,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. ][35355,,,555⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦D. 5,5⎡⎤-⎣⎦ 6．已知,,l m n 是三条不同的直线， ,αβ是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（ ） A. 若l m ⊥， l n ⊥， m α⊂且n α⊂，则l α⊥ B. 若αβ⊥， l αβ⋂=， m l ⊥，则m α⊥ C. 若//m β， //n β， m α⊂且n α⊂，则//αβ D. 若//αβ， l α⊥， //m l 且n β⊂，则m n ⊥7．如图，正四棱锥P ABCD -，记异面直线PA 与CD 所成角为α，直线PA 与面ABCD 所成角为β，二面角P BC A --的平面角为γ，则（ ）A. βαγ<<B. γαβ<<C. βγα<<D. αβγ<<8．动圆C 满足圆心在直线y x =上，且半径为1， O 是坐标原点， ()2,0A .若圆C 上存在点P 满足PO PA =，则动圆圆心C 的轨迹长度是（ ） A. 22 B. 2 C. 4 D. 29．抛物线24y x =的焦点为F ，其准线为直线l .过点()4,4M 作直线l 的垂线，垂足为H ，则FMH ∠的角平分线所在的直线的斜率是（ ） A. 1 B.12 C. 13 D. 1410．已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为23，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为( ) A ．3 B.10 C.11 D ．23第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题11．双曲线22:12x C y -=的左右焦点分别为12,F F ， P 是双曲线右支上一点，则12PF PF -=_________，双曲线C 的离心率e =__________.12．某几何体的三视图如图（单位： cm ），则该几何体的体积为__________ 3cm ，表面积为__________ 2cm ．13．正方体1111ABCD A B C D -中， ,M N 分别为AB 和1CC 的中点.记AB a =， AD b =， 1AA c =，用,,a b c 表示MN ，则MN =__________，异面直线MN 和1BB 所成角的余弦值是__________．14．已知直线l 与圆22:4M x y +=交于,A B 两点，若线段AB 的中点为()1,1P ，则直线l 的方程是__________，直线l 被圆M 所截得的弦长等于__________．15．抛物线2x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为P .若该抛物线上的点M 满足2MP MF =，则点M的纵坐标为__________．16．如图，在四面体D ABC -中， 5AD BD AC BC ====， 6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．17．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过点F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，点M 是点A 关于原点的对称点.若AB FM ⊥， AB FM =，则椭圆C 的离心率为__________． 评卷人 得分三、解答题18．已知直线1:210l x y -+=和直线2:40l x y +-=相交于点A ， O 是坐标原点，直线3l 经过点A 且与OA 垂直.（1）求直线3l 的方程；（2）若点B 在直线3l 上，且10OB =，求点B 的坐标.19．已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，且12AA =， 1O 是11A C 与11B D 的交点.（1）若E 是1AB 的中点，求证： 1//O E 平面11ADD A ；（2）设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β，求tan tan βα的值. 20．已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ， ,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形， PA ⊥平面ABCD ，且1AB =， 2BC =，60ABC ∠=， 1PA =.（1）求证： AB PC ⊥；（2）若Q 为PD 上一点，且二面角Q AB D --的余弦值为217，求DQ 的长. 22．已知直线30x y +-=过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点且与椭圆E 交于,A B 两点， P 为AB 中点， OP 的斜率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）设CD 是椭圆E 的动弦，且其斜率为1，问椭圆E 上是否存在定点Q ，使得直线,QC QD 的斜率12,k k 满足120k k +=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.1．B 【解析】 由抛物线的方程2y x =，可知12p =，所以抛物线的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.2．C 【解析】 由原命题：若双曲线方程是221x y -=，则其渐近线方程是y x =±是真命题，所以原命题的逆否命题也是真命题，而渐近线方程是y x =±的双曲线的方程可以是221x y -=或221y x -=，所以原命题的逆命题是假命题，所以原命题的否命题也是假命题，所以在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中只有两个是真命题，故选C. 3．B 【解析】充分性：若m β，则存在过直线m 的平面α与β不平行，所以充分性不成立；必要性：若αβ，则平面α内的任意直线m 都与β平行，则必要性成立，所以是必要不充分条件。

【新结构】（湖丽衢二模）2024年浙江省丽水、湖州、衢州三地市4月高三教学质量检测试卷数学试题卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则A 与B的关系是()A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等2.双曲线的渐近线方程为，则()A. B. C. D.23.复数z满足为虚数单位，则的最小值是()A.3B.4C.5D.64.已知平面向量，满足，若，则与的夹角是()A. B. C. D.5.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则()A.3B.9C.10D.136.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则()A. B. C. D.7.已知椭圆，，为左、右焦点，P为椭圆上一点，，直线经过点若点关于l的对称点在线段的延长线上，则C的离心率是()A. B. C. D.8.已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据，，，，，的平均数是，方差是，极差为R，则下列判断正确的是()A.若，，，，，的平均数是，则B.若，，，，，的极差是，则C.若方差，则D.若，则第75百分位数是10.已知直三棱柱中，且，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则()A.线段上存在点D，使得B.线段上存在点D，使得平面平面C.直三棱柱的体积为D.点到平面的距离为11.已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则()A. B.为奇函数 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，BC边上的高等于，则的面积是__________，__________.13.已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则__________.14.已知正四面体的棱长为1，若棱长为a的正方体能整体放入正四面体中，则实数a 的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2016-2017学年普通高中高三教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}03722<+-=x x x A ，{}1lg <∈=x Z x B ，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B2.已知复数z 的共轭复数为z ，若i i zz 25)221)(223(-=-+（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】依题意，设错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

，则在复平面内，复数错误！未找到引用源。

所对应的点为错误！未找到引用源。

，位于第一象限.选A.3.已知命题x x x p 816),,1(3>++∞∈∀：，则命题p 的否定为（ ）A ．x x x p 816),,1(3≤++∞∈∀⌝： B ．x x x p 816),,1(3<++∞∈∀⌝： C ．0300816),,1(x x x p ≤++∞∈∃⌝： D ． 0300816),,1(x x x p <++∞∈∃⌝： 【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为错误！未找到引用源。

.选C. 点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.4.62)12)23(---x x x （的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．600 B ．360 C.600- D ．360- 【答案】C5.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且a OM =，若直线 MF 的斜率为ab，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．x y ±=B ．x y 2±= C.x y 3±= D ．x y 4±=【答案】A【解析】设错误！未找到引用源。

湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测数学1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2B x x A=∈∣，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,4 D.{}1,2,3,4,5,6【答案】B 【解析】【分析】根据集合定义求得B ，再由交集定义计算．【详解】因为{}1,2,3,4,5,6A =，{}2B xx A =∈∣，所以{1,1,2,2,B =--，所以{1,2}A B = ，故选：B ．2.已知复数1i z =-（其中i 是虚数单位），则2z z +=（）A.2B.1C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数2z z +，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为1i z =-，则()221i 1i 2i 1i 1i z z +=-++=-++=-，因此，2z z +==.3.双曲线的另一种定义：动点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它与定直线l ：2a x c=的距离的比是常数()0ca c a<<，则点M 的轨迹是一个双曲线.动点M与定点)F 的距离和它与定直线l ：33x =的M 的轨迹方程为（）A.2212y x -= B.2212y x -=C.2212x y -= D.2212x y -=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案.【详解】设(,)M x y33=，化简整理得2212y x -=，所以点M 的轨迹方程为2212y x -=.故选：B4.为研究光照时长x （小时）和种子发芽数量y （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x ，y 进行线性回归分析.若在此图中加上点P 后，再次对x ，y 进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.x ，y 不具有线性相关性B.决定系数2R 变大C.相关系数r 变小D.残差平方和变小【答案】C【分析】从图中分析得到加入P 点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可.【详解】对于A ，加入P 点后，变量x 与预报变量y 相关性变弱，但不能说x ，y 不具有线性相关性，所以A 不正确对于B ，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点P 后，决定系数2R 变小，故B 不正确；对于C ，从图中可以看出P 点较其他点，偏离直线远，所以加上点P 后，回归效果变差.所以相关系数r 的绝对值越趋于0，故C 正确；对于D ，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点P 后，残差平方和变大，故D 不正确；故选：C.5.已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，AO AB = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.14BCB.34BC C.14BC-D.34BC-【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点为D ，确定AO AD =，ABO 为正三角形，再计算向量的投影得到答案.【详解】设AB 中点为D ，则22AO AB AC AD =+= ，即AO AD =，故BC 边为圆O 的直径，则AO OB =，又AO AB = ，则ABO 为正三角形，则有12BA BC = ，向量BA 在向量BC上的投影向量1cos604BC BA BC BC ︒⨯=，6.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为r 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点()2A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 点的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()πsin 0,0,2y r t t ωϕωϕ⎛⎫=+≥><⎪⎝⎭，当45t =秒时，PA =（）A.B.C. D.4【答案】A 【解析】【分析】由A 点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了34个周期，由计算出图中POA ∠（小于平角的那个），然后由勾股定理计算．【详解】由已知4r ==，60T =，经过45秒后，即旋转了34个周期，因此3π(1)2π42POA ∠=-⨯=，如图，所以PA =，故选：A ．7.已知长方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）A.715B.12C.724D.717【答案】D 【解析】【分析】依题意可知平面1AB E 将长方体分割成的体积较小部分为三棱台，利用台体体积公式计算即可得出答.【详解】取1DD 的中点为F ，连接,EF AF ，如下图所示：由长方体性质可得1//EF AB ，因此平面1AB E 即为平面1AB EF ，根据长方体性质，由相似比可知111,,AF A D B E 交于同一点，所以长方体被平面1AB EF 割成的体积较小部分为三棱台111D EF A B A -，设长方体的各棱长为1,,AB a AD b AA c ===，因此长方体的体积为V abc =；再由棱台体积公式可得()11111111117332824D EF A B A D EF A B A V S S b ac ac b abc -⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭ ，可得较大部分的体积为1111724D EF A B A V V V abc -'=-=；因此体积较小部分与体积较大部分的体积之比为111717D EF A B AV V -='.故选：D8.已知函数()cos3cos2f x x x =-，(0,π)x ∈，若()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则（）A.12}π{,5x x ∈ B.213x x =C.121cos cos 2x x += D.121cos cos 4x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出12,x x ，再逐项计算判断即得.【详解】由()0f x =，得cos3cos2x x =，而(0,π)x ∈，则2(0,2π)x ∈，3(0,3π)x ∈，)3,2(0πx x x ∈-=，因此N 322π,x x k k =∈+，解得2π,N 5k x k =∈，由(0,π)x ∈，得1k =或2k =，于是122π4π,55x x ==，对于A ，12}π{,5x x ∉，A 错误；对于B ，212x x =，B 错误；对于C ，2π4π2ππcoscos cos cos 05555+=-<，C 错误；对于D ，122π4πsinsin2π4ππ2π155cos cos coscos cos cos π2π555542sin 2sin 55x x ==-=-⋅=-，D 正确.故选：D【点睛】关键点点睛：利用余弦函数的性质，结合零点的意义求出两个零点是解题之关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，0b >，则下列说法正确的是（）A.若1a b +=，则22log log 2a b +≤-B.若1a b +=1<C.若1a b -=，则1212ab ->D.若1a b -=，则221a b +>【答案】ACD 【解析】【分析】由基本不等式判断AB 选项，由不等式的基本性质判断CD 选项.【详解】22222221log log log log log 222a b a b ab +⎛⎫⎛⎫+=≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12a b +=时取等号，A 选项正确；≤=12a b ==时取等号，B 选项错误；∵1a b -=，∴1a b =+，∴1112222b b ab +-=-，∵0b >，∴1222a b +=>，21b >，∴112b<，∴112122ab b -=>，C 选项正确；∵0b >，1a b -=∴11a b =+>，∴221a b +>，D 选项正确.故选：ACD.10.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记()1,2,3i A i =表示第i 号箱子有奖品，()2,3j B j =表示主持人打开第j 号箱子.则下列说法正确的是（）A.()3212P B A =∣B.()1313P A B =∣C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可.【详解】对于A ，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即32()1|P B A =，A 错误；对于B ，1231()()()3P A P A P A ===，131(2|)P B A =，32()1|P B A =，33()0|P B A =，则1332331233111()()|()|()|(10)322()()()P B A P B A P P B B P A P A P A A =++=++=，因此11331331311()()132()1()()3()||2P A B P B A P A B P B P B P A ⨯====，B 正确；对于CD ，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为13，主持人打开了无奖品的箱子，若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为12，甲换号后中奖概率增大，C 正确，D 错误.故选：BC11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥，Q 是线段AB 的中点，P 是线段1BC 上的动点（含端点），则下列命题正确的是（）A.三棱锥1P A QC -的体积为定值B.在直三棱柱111ABC A B C -内部能够放入一个表面积为4π的球C.直线PQ 与AC 所成角的正切值的最小值是22D.1A P PQ +【答案】ACD 【解析】【分析】证明出1//BC 平面1AC Q ，结合锥体体积公式可判断A 选项；计算出ABC V 的外接圆半径，并与球的半径比较大小，可判断B 选项；利用空间向量法可判断C 选项；作点Q 关于平面11BB C C 的对称点F ，可知PQ PF =，然后将平面11A BC 和平面1BFC 延展为一个平面，结合余弦定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，如下图所示，连接1AC 交1AC 于点E ，连接EQ ，因为四边形11AA C C 为平行四边形，则E 为1AC 的中点，又因为Q 为AB 的中点，则1//EQ BC ，因为EQ ⊂平面1ACQ ，1BC ⊄平面1AC Q ，则1//BC 平面1AC Q ，因为1P BC ∈，则点P 到平面1ACQ 的距离等于点B 到平面1ACQ 的距离，为定值，又因为1A CQ △的面积为定值，故三棱锥1P A QC -的体积为定值，A 对；对于B 选项，因为12AC BC CC ===，AC BC ⊥，则AC ==且表面积为4π的球的半径为1，ABC V的内切圆半径为221ABC S r AB AC BC ==-++△，所以，直三棱柱111ABC A B C -内部不能放入一个表面积为4π的球，B 错；对于C 选项，因为1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则2,0,0、()0,0,0C 、()1,1,0Q 、()0,2,0B 、()10,0,2C ，设()()10,2,20,2,2BP BC λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，则()()()1,1,00,2,21,12,2QP QB BP λλλλ=+=-+-=--，设直线PQ 与AC 所成角为θ，所以，cos ,CA QP CA QP CA QP ⋅==⋅ 当14λ=时，cos ,CA QP取最大值3，此时，cos θ取最小值，θ取最大值，此时，3sin 3θ==，sin tan cos 2θθθ==，所以，直线PQ 与AC 所成角的正切值的最小值是22，C 对；对于D 选项，点()1,1,0Q 关于yOz 平面的对称点为()1,1,0F -，则PQ PF =，()10,2,2C B =- ，()11,1,2C F =--，所以，1111163cos 2226C B C F BC F C B C F ⋅∠===⨯⋅ ，则130BC F ∠= ，因为AC ⊥平面11BB C C ，11//A C AC ，则11A C ⊥平面11BB C C ，因为1BC ⊂平面11BB C C ，则111A C BC ⊥，将平面11A BC 和平面1BFC延展为一个平面，如下图所示：在11AC F 中，112A C =，16C F =119030120AC F ∠=+=，由余弦定理可得222111111112cos120462262A F A C C F A C C F ⎛⎫=+-⋅=+-⨯-⎪⎝⎭1026=+，当且仅当1A 、P 、F 三点共线时，1PA PF +1026+故1PQ PA +1026+D 对.故选：ACD.【点睛】（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在()(12)N nx n *-∈的展开式中，x 的系数为10-，则n =______.【答案】5【解析】【分析】由二项式的展开式，令x 的次数为1，此时的系数等于10建立等式，解出n 的值.【详解】()()(12)C 12C 2nnrrn r n r r r nnr r x x x -==-=-=-∑∑，令1r =，则()()1C 2C 210rr n n -=⨯-=-，∴5n =.故答案为：5.13.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，过左焦点F 作直线l 与圆M ：2224c x y +=相切于点E ，与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且3PE EF =，则椭圆离心率为______.【答案】312-【解析】【分析】由题意利用直线与圆相切可得,22EF c PE c ==，再由余弦定理计算得出12PF c =，利用椭圆定义即可得出离心率.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1,PF ME ，如下图所示：由圆M ：2224c x y +=可知圆心()0,0M ，半径2c r =；显然,2cEM MF c ==，且EM EF ⊥，因此可得1sin 2EFM ∠=，所以30EFM ∠= ，可得333,322EF c PE EF c ===；即可得PF =，又易知12FF c =；由余弦定理可得22222211132cos301242242PF PF FF PF FF c c c c =+-=+-⨯⨯⨯= ，解得12PF c =，再由椭圆定义可得122PF PF c a +=+=，即)1a c =+，因此离心率12c e a -===.故答案为：312-14.若()()()32222f x x x =-+-+，已知数列{}n a 中，首项1120a =，32123n n a a a a a n=++++ ，*n N ∈，则()791i i f a ==∑______.【答案】158【解析】【分析】利用已知确定数列{}n a 的通项公式，得出804n n a a -+=，{1,2,3,,79}n ∈ ，由函数解析式得出()(4)4f x f x +-=，结合倒序相加法求和()791i i f a =∑．【详解】32123n n a a a a a n=++++ ，则31211231n n n aa a a a a n n ++=++++++ ，所以111n n n a a a n ++=++，整理得11n n a an n +=+，即{}n a n是常数数列，又1120a =，所以11120n a a n ==，120n a n =，3()(2)2(2)2f x x x =-+-+，则33(4)(42)2(42)2(2)2(2)2f x x x x x -=--+--+=----+，所以()(4)4f x f x +-=，又120n a n =，所以804n n a a -+=，{1,2,3,,79}n ∈ ，所以()7917927879112[()()][()()][()()]479ii f a f a f af a f a f a f a ==++++++=⨯∑ ，所以()791ii f a ==∑279158⨯=．故答案为：158．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PC ⊥平面ABC ，点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，G 为三角形ABC 的重心.（1）求证：//GF 平面PAB ；（2）当PC 的长为何值时，二面角E AC B --的大小为60o .【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）根据重心性质以及线段比可知F 是PBC △的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论；（2）建立空间直角坐标系利用二面角的向量求法，由二面角E AC B --的大小为60o 解方程即可得3PC =满足题意.【小问1详解】连接AG 交BC 于点D ，由重心性质可得D 是BC 的中点，又点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，可知F 是PBC △的重心；连接PD ，可知点F 在PD 上，如下图所示：由重心性质可得:1:2DF PF =，:1:2DG AG =，所以GF //PA ；又GF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//GF 平面PAB ；【小问2详解】因为底面ABC 是边长为2的等边三角形，所以AD BD ⊥；又PC ⊥平面ABC ，且,D E 分别为,BP BC 的中点，所以可得ED ⊥平面ABC ；即,,AD BD DE 两两垂直；以D 为坐标原点，,,AD BD DE 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设PC 的长为()0a a >，则可得)()()()3,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,AB C P a --，所以0,0,2a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；所以()3,1,0,0,1,2a AC CE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，设平面EAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则3002AC n x y a CE n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令6z =，可得3,3y a x a =-=，即可取)3,3,6n a a =-，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =；所以1cos ,2n mn m n m ⋅===，解得3a =或3a =-（舍）；即当PC 的长为3时，二面角E AC B --的大小为60o .16.在ABC V 中，角,,A B C 对应的的三边分别是a ，b ，c，且2bB c-=.（1）求角C 的值；（2）若1c =，2tan 3tan A B =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4C =（2）35【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得cos 2C =，可得π4C =；（2）根据2tan 3tan A B =可求得tan 2B =，tan 3A =，再利用切弦互化以及正弦定理可得310sin 10A =，sin 5B =，再利用正弦定理可求得边长即求出面积.【小问1详解】根据题意由正弦定理可得s i sin n s A BB C -=，整理可得si s si n n C A B B -=，()sin si os n C B C B B +-=n cos si s sin in C C B C B B B +-=；cos sin B C B =，又sin 0B ≠，所以cos 2C =，又()0,πC ∈，因此π4C =.【小问2详解】由三角形内角关系可得()()tan tan tan tan πtan 11tan tan A BC B A B A A B+=--=-+=-=-，由2tan 3tan A B =可得23tan tan 2131tan 2B BB +-=-，解得tan 2B =或1tan 3B =-；当1tan 3B =-时，1tan 2A =-，又()0,πA ∈，所以两角均为钝角，不合题意；因此tan 2B =，tan 3A =；又sin tan 2cos B B B ==，可得25sin 5B =，同理310sin 10A =；由正弦定理可得sin sin a c A C =，可得10a A ==，同理5b B ==因此ABC V 的面积为13sin 25S ab C ==.17.已知数列{}n a 的首项是1，其前n 项和是n S ，且121n n a a n +=++，*N n ∈.（1）求2a ，3a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若存在实数λ，使得关于n 的不等式25n S n λ+≤，*N n ∈有解，求实数λ取到最大值时n 的值.【答案】（1）24a =，39a =，2n a n=（2）4或5【解析】【分析】（1）用累加法得到数列通项公式；（2）求出数列前n 项和n S ，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点.【小问1详解】∵121n n a a n +=++，∴121n n a a n +-=+当2n ≥时，112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ，即()()22112212111n a n n n =-++-+++⨯++= ，当1n =时，2111a ==也满足2n a n =，∴2n a n =，∴24a =，39a =.【小问2详解】由（1）可知()()1216n n n n S ++=，∴()()121256n n n n λ+++≤，∴()()()()1211501212566n n n n n n n n λ++-++≤-=令()()()32321501212314914966326n n n n n n n n n f n n -++--+===--+，()21496f n n n '=--+，当4n ≤时，()0f n '>，当5n =时，()0f n '<∵()()4705f f ==∴()f n 的最大值为70，即当4n =或5n =时，λ取得最大值70，∴λ取得最大值时，n 取4或5.18.已知函数()()21lnR 1x f x ax a x -=+∈-.（1）当1a =时，求曲线=在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若103a <≤，3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明：()2f x <；（3）若1x >，恒有()32ln22f x ≥+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）22ln 3033x y -++=；（2）证明见解析；（3）[1,)+∞．【解析】【分析】（1）直接求出导函数()f x '，计算(2)f '和(2)f ，由点斜式得直线方程并整理为一般式；（2）在题设条件下证明()0f x '<，()f x 是减函数，31()()2ln 222f x f ≤≤+，再证明32ln 22<即得证；（3）0a ≤时，由()0f x '<说明()f x 递减，不等式不可能恒成立，0a >时，由（2）得出1a =时，33(2ln 222f =+，()0f x '=的大于1的根记为0x （1a =是地，032a =），证明1a >时，0312x <<，01a <<时，032x >，由()f x '确定()f x 的单调性，21()ln1x h x x x -=+-，1a >时，由0000000021213()lnln ()(112x x f x ax x h x h x x --=+>+=>--完成证明，1a >时，由033()()2ln 222f x f <<+确定．综合后得出结论．【小问1详解】1a =时，211()lnln(2)11x f x x x x x -=+=++--，2211123()[1121(1)(1)(21)(1)(21)x x xf x x x x x x x --'=⋅-+=-+=------，2(2)3f '=，又(2)ln 32f =+，所以切线方程为2(ln 32)(2)3y x -+=-，即22ln 3033x y -++=；【小问2详解】1()(21)(1)f x a x x '=---，3[,2]2x ∈时，2231(21)(1)2312(48y x x x x x =--=-+=--是递增函数，因此[1,3]y ∈，113y ≥，又103a <≤，所以()0f x '≤，()f x 在3[,2]2上递减，33311()(2ln 22ln 22ln 222232f x f a ≤=+≤+⨯=+，因为323e e 2.7 4.0542=>⨯=>，所以32ln 2ln 42=<，从而131()2ln 22222f x ≤+<+=；【小问3详解】1()(21)(1)f x a x x '=---，1x >，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上是减函数，当x →+∞时，211lnln(2)ln 211x x x -=+→--，因此213()ln 2ln 212x f x ax x -=+>+-不可能恒成立，0a >时，由()0f x '=得212310x x a-+-=，记21()231g x x x a =-+-，1(1)0g a=-<，则()0g x =有两个实根，一根小于1，一根大于1，大于1的根为0x =，易知它是关于a 的减函数，注意到2(21)(1)231y x x x x =--=-+在(1,)+∞上是增函数，且0y >，即01x x <<时，10(21)(1)x x a <--<，0x x >时，1(21)(1)x x a-->，所以01x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，0x x >时，()0f x '>，()f x 递增，所以min 0()()f x f x =，1a =时，032x =，此时21()ln1x f x x x -=+-，记21()ln1x h x x x -=+-，()h x 在3(1,)2上递减，在3(,)2+∞上递增，且33()2ln 222h =+，因此当1a >时，032x <，00000000212133()ln ln ()2ln 21122x x f x ax x h x h x x --=+>+=>=+--（，当01a <<时，032x >，0333()(2ln 22ln 2222f x f a <=+<+，综上，1a ≥时，3()2ln 22f x ≥+恒成立所以a 的取值范围是[1,)+∞．【点睛】难点点睛：本题考查用导数求切线方程，研究不等式恒成立问题，难度较大．第（3）小题的求解，一般由max 3()2ln 22f x ≥+完成，但本题中，难点一是确定函数值32ln 22+是何时取得的，结合（2）的求解，得出1a =时，33(2ln 222f =+，难点二是在分类讨论01a <<和1a >的结论时需要用两种不同的思路，1a >时，最小值000021()ln1x f x ax x -=+-作为a 的函数是递增的，得出00()()f x h x >，然后由()h x 的单调性得证，01a <<时，先由()f x 的单调性得出0333()(2ln 22ln 2222f x f a <=+<+．19.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()1R y kx k =+∈表示过点0,1的直线族（不包括直线y 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）圆M ：()2234x y +-=是直线族()1,R mx ny m n +=∈的包络曲线，求m ，n 满足的关系式；（2）若点()00,N x y 不在直线族()2Ω:R y tx t t =-∈的任意一条直线上，求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程；（3）在（1）（2）的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ，PB ，交曲线E 于点A ，B ，求PAB 面积S 的最小值.【答案】（1）2254610n m n --+=（2）00y >，曲线E 的方程为24x y =.（3）【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切得到方程，化简即可；（2）转化为方程2000t x t y -+=无实数解，则判别式小于0，则得到0y 范围，再根据直线族Ω：()2R y tx t t =-∈为抛物线24x y =的切线即可；（3）设1,1，2,2，()22,P u u，根据直线与圆相切得到()22:1250AB uy ux u -++-=，再将直线AB 与2:4C x y =联立得得到22228204011ux u x u u -++=--，再根据弦长公式得到面积表达式，最后利用导数求出其最值即可.【小问1详解】由题可得，直线族1(,)mx ny m n +=∈R 为圆M 的切线，故满足，2d ==，所以,m n 满足2254610n m n --+=．【小问2详解】将点()00,N x y 代入()2R y tx tt =-∈，可得关于t 的方程2000tx t y -+=，因为点()00,N x y 不在直线族()2R y tx tt =-∈上，故方程2000tx t y -+=无实数解，所以2040x y ∆=-<，那么2004x y >，故00y >，因为区域2004x y >的边界为抛物线24x y =，下证：24x y =是()2R y tx t t =-∈的包络曲线．证明：联立直线()2R y tx t t =-∈与24x y =，可得22440x tx t -+=，所以0∆=，故直线族Ω：()2R y tx tt =-∈为抛物线24x y =的切线.因此直线族Ω的包络曲线E 的方程为24x y =.【小问3详解】设1,1，2,2，()22,P u u，则2111224PA y u x u k x u -+==-，故()11:2420PA x u x y ux +--=由直线PA 与M 相切，所以2d ==，整理得()22111250u y ux u -++-=，①同理可得，()22221250u y ux u -++-=，②由①②可得直线()22:1250AB u y ux u -++-=．直线AB 与2:4C x y =联立得()22212504u y ux u x y ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，（显然21u ≠）可得22228204011ux u x u u -++=--，由韦达定理可得21212228204,11u u x x x x u u -+=-⋅=--．因此(()222411u AB u+=-，由于点()22,P u u 到直线AB 的距离422251u u d u ++=+，所以PAB 面积为()()4222251PAB S u u u =⨯++- ，令21u m -=，则()824PAB S f m m m ⎛==++ ⎝ ，由()()01f m m ='=≥-，解得4m =，当()0,4m ∈，()0f m '<，当()4,m ∞∈+，()0f m '>，所以()f m 在0,4上单调递减，在()4,∞+上单调递增，那么()()min 4PAB S f == 25u =时取到），所以PAB 面积S 的最小值是【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过相切得到方程，从而得到直线AB的方程，再联立抛物线得到得到韦达定理式，最后利用弦长公式得到面积表达式，利用导数求出最值即可.。