浙江省衢州、湖州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学含答案

2021届高三数学11月教学质量测评试题理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕A．1 B．C．D．74．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．其中正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕A．甲不是人B．人比甲年龄小C．人比人年龄大D．人年龄最小7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．20218．函数的图象大致是〔〕A．B．C．D．9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕A．B．C．D．10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕A．y＝f〔x〕的图象关于点对称B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称C．f〔x〕的最大值为D．f〔x〕是周期函数二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为．14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为．15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；〔3〕求玩该游戏获胜的概率．请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．a，b为正数，且满足a+b＝1．〔1〕求证：；〔2〕求证：．2021-2021学年华大新高考联盟高三〔上〕11月质检数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕【解答】解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝〔﹣1，2〕．应选：D．2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝＝＝，∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为〔〕，位于第三象限．应选：C．3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕A．1 B．C．D．7【解答】解：两个单位向量的夹角为，那么＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，所以＝．应选：B．4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．其中正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，假设a∥α，b∥α，那么直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；对于②，假设a∥α，a∥β，那么平面a和平面β可以相交，故②错误；对于③，假设a⊥α，b⊥α，那么根据线面垂直出性质定理，a∥b，故③正确；对于④，假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β成立；应选：B．5．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【解答】解：由图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确，空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立，D，正确，偏向最大，应选：B．6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕A．甲不是人B．人比甲年龄小C．人比人年龄大D．人年龄最小【解答】解：由于甲和人不同岁，人比乙年龄小，可知人不是甲乙，故丙是人；由于丙比人年龄大，人比乙年龄小，可知甲是人；故：乙〔人〕的年龄＞丙〔人〕的年龄＞甲〔人〕的年龄；所以ABC错，D对．应选：D．7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．2021【解答】解：∵a mn＝a m+a n对于任意正整数m，n都成立，当m＝1，n＝1时，a2＝a1+a1＝2a1，当m＝2，n＝1时，a3＝a2+a1＝3a1，…∴a n＝na1，∴a20＝20a1＝1，∴a1＝，∴a2021＝2021a1＝2021×＝101．8．函数的图象大致是〔〕A．B．C．D．【解答】解：函数f〔x〕是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0，x→0，f〔x〕＞0，且f〔x〕→0，排除A，函数的导数f′〔x〕＝x2+cos x，那么f′〔x〕为偶函数，当x＞0时，设h〔x〕＝x2+cos x，那么h′〔x〕＝2x﹣sin x＞0恒成立，即h〔x〕≥h〔0〕＝1＞0，即f′〔x〕＞0恒成立，那么f〔x〕在R上为增函数，应选：D．9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：如下图，∵PF2⊥F1F2，∴P〔c，〕．∵，∴＝，∴＝+＝〔﹣c，0〕+〔2c，〕＝〔，〕，∵，∴〔2c，〕•〔﹣，〕＝﹣+＝0，又b2＝a2﹣c2．化为：e4﹣4e2+1＝0，e∈〔0，1〕．解得e2＝2﹣，∴e＝．应选：A．10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕【解答】解：f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f〔x〕的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，可得f〔x〕＝f〔2﹣x〕＝f〔﹣4+x〕，即有f〔x+4〕＝f〔x〕，∴函数的周期T＝4，∴f〔﹣x+3〕＝f〔﹣x﹣1〕＝f〔x+3〕，那么f〔x+3〕为偶函数，应选：C．11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种【解答】解：依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3，1，1，1或者2，2，1，1两种，分为3，1，1，1四组时，有＝480种，分为2，2，1，1四组时，有＝1080种，故一共有480+1080＝1560种，应选：C．12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕A．y＝f〔x〕的图象关于点对称B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称C．f〔x〕的最大值为D．f〔x〕是周期函数【解答】解：对于A，因为f〔π﹣x〕+f〔x〕＝sin〔π﹣x〕sin〔2π﹣2x〕+sin x sin2x＝0，所以A正确；对于B，f〔2π﹣x〕＝sin〔2π﹣x〕sin〔4π﹣2x〕＝sin x sin2x＝f〔x〕，所以B正确；对于C，f〔x〕＝sin x•sin2x＝2sin2x cos x＝2〔1﹣cos2x〕cos x＝2cos x﹣2cos3x，令t＝cos x，那么t∈[﹣1，1]，f〔x〕＝g〔t〕＝2t﹣2t3，令g′〔t〕＝2﹣6t2＝0，得，t＝，当t＝时，g〔t〕有最大值2〔1﹣〕＝，故C错误；对于D，f〔2π+x〕＝f〔x〕，故2π为函数f〔x〕的一个周期，故D正确；应选：C．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为4π．【解答】解：假设棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么球的直径等于正方体的对角线长即2R＝2∴R＝那么球的体积V＝＝4π．故答案为：4π．14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为y＝±2x．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，可得F1〔﹣c，0〕到OQ的间隔为＝b，即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，即b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故答案为：y＝±2x．15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．【解答】解：设直线y＝kx+b与y＝e x﹣2和y＝e x﹣1的切点分别为〔〕和〔〕，那么切线分别为，，化简得：，，依题意有：，∴x1﹣2＝x2，x2＝﹣ln2，那么b＝＝．故答案为：．16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6 ．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，a3＝2，a10＝256，可得q7＝＝128，解得q＝2，那么a n＝a3q n﹣3＝2n﹣2，可得4n2a n＝n22n，设数列{4n2a n}的前n项和为S n，那么S n＝1•2+22•22+32•23+…+n22n，2S n＝1•22+22•23+32•24+…+n22n+1，相减可得﹣S n＝1•2+3•22+5•23+…+〔2n﹣1〕•2n﹣n22n+1，﹣2S n＝1•22+3•23+5•24+…+〔2n﹣1〕•2n+1﹣n22n+2，相减可得S n＝1•2+2〔22+23+…+2n〕+n22n+1﹣〔2n﹣1〕•2n+1＝2+2•+〔n2﹣2n+1〕•2n+1＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．故答案为：S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕在△ABC中，由a cos B＝4，b sin A＝3，两式相除，有＝＝•＝•＝，所以tan B＝，又a cos B＝4，故cos B＞0，那么cos B＝，所以a＝5．…〔2〕由〔1〕知sin B＝，由S＝ac sin B，得到c＝6．由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b＝，故l＝5+6+＝11+即△ABC的周长为11+．…18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【解答】解：〔1〕证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，那么△ABC为直角三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△AA1C中，，在Rt△BAD中，，∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．【解答】解：〔1〕依题意，设曲线C上的的坐标为〔x，y〕，那么x＞0，所以﹣x＝1，化简得：y2＝4x，〔x＞0〕；〔2〕根据题意，直线l的方程为y＝k〔x﹣1〕，联立直线l和曲线C的方程得，k2x2﹣〔2k2+4〕x+k2＝0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕所以，所以|AB|＝8＝x1+x2+2，即＝6，解得k＝±1，所以直线l方程为：x+y﹣1＝0或者者x﹣y﹣1＝0．20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．【解答】证明：〔1〕g′〔x〕＝2cos2x﹣1，当时，，此时函数g〔x〕单调递增，当时，，此时函数g〔x〕单调递减，又，，∴函数g〔x〕在区间上无零点；〔2〕要证函数f〔x〕有且仅有两个零点，只需证明方程sin2x﹣|ln〔x+1〕|＝0有且仅有两个解，设m〔x〕＝sin2x，n〔x〕＝|ln〔x+1〕|，那么只需证明函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，在同一坐标系中作出两函数图象如下，由图象可知，函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，故原命题得证．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；〔3〕求玩该游戏获胜的概率．【解答】解：〔1〕根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，那么p0即棋子跳到第0站的概率，那么p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，那么，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或者1次偶数，那么；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以；〔2〕证明：∵，∴，又∵；∴数列{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是以为首项，﹣为公比的等比数列．〔3〕玩游戏获胜即跳到第99站，由〔2〕可得〔1≤n≤100〕，∴，，，⋮，∴，∴．请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．【解答】解：〔1〕由〔t为参数〕，两式平方相加，得x2+y2＝1〔x≠﹣1〕；由ρcosθ+ρsinθ+4＝0，得x+y+4＝0．即直线l的直角坐标方程为得x+y+4＝0；〔2〕设C上的点P〔cosθ，sinθ〕〔θ≠π〕，那么P到直线得x+y+4＝0的间隔为：d＝＝．∴当sin〔θ+φ〕＝1时，d有最大值为3．[选修4-5：不等式选讲]23．a，b为正数，且满足a+b＝1．〔1〕求证：；〔2〕求证：．【解答】证明：a，b为正数，且满足a+b＝1〔1〕〔1+〕〔1+〕＝1+＝1+，〔〕〔a+b〕≥〔〕2＝8，故；〔2〕∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴根据根本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab≤，〔a+〕〔b+〕＝＝≥ab+，令t＝ab∈〔0，]，y＝t+递减，所以，故〔a+〕〔b+〕≥2+＝．制卷人：打自企；成别使；而都那。

丽水、湖州、衢州2022年11月三地市地高三教学质量检测数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABDBCCDC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2014.3515.404416.)217-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)在数列{}n a 中，113a =，112n n n n a a a a ++-=（*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求满足不等式1223117k k a a a a a a +++⋯+<（*N k ∈）成立的k 的最大值．解：（1）由条件得111112n n n n n na a a a a a +++--==，-------------------------------------------------2分所以数列{}n a 是以113a =为首项，公差2d =的等差数列．故()131221nn n a =+-⨯=+，------------------------------------------------------4分题号9101112答案ACDABDACAD即121n a n =+．---------------------------------------------------------------------------5分（2）由（1）知()()11111212322123n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥++++⎣⎦，--------------------7分故122311111111235572123k k a a a a a a k k +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112323k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭---------------------------------------------------------------------9分所以111123237k ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，解得9k <，结合*N k ∈得，k 的最大值是8．--------------------------------------------10分18.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin 22cos A C B +=-．（1）求tan B 的值；（2）若ABC ∆的面积为2，求ABC ∆周长L 的最小值．解：（1）由()sin 22cos A C B +=-得，()2sin 21cos 4sin2BB B =-=，----------2分因为sin02B ≠，解得1tan 22B =．------------------------------------------------------3分所以22tan42tan 31tan 2BB B ==-．-------------------------5分（2）由上可知4sin 5B =，3cos 5B =．由ABC ∆的面积为2，得12sin 225ABC S ac B ac ∆===，故5ac =．-----------------------7分所以a c +≥=．（等号成立当且仅当a c =）----------------9分又22222642462cos 555b ac aca ac a c ac B c a c -==+-=+≥=-（等号成立当且仅当a c =）所以2b ≥．-----------------------------------------------------11分故ABC ∆周长()2L a b c a c b =++=++≥（等号成立当且仅当a c ==）．因此ABC ∆周长L的最小值为2+．--------------------------12分（注意：等号成立条件仅需说明一次即可）19．(本题满分12分)如图，在三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111C A B C -的体积为3，1AB C ∆的面积为4，112AB A B =，且1A A ⊥平面ABC ．（1）求点B 到平面1AB C 的距离；（2）若1BB BA =，平面1AB C ⊥平面11ABB A ，求二面角11A B C A --的余弦值．解：（1）设点B 到平面1AB C 的距离为h ．因为112AB A B =，三棱锥111C A B C -的体积为3，所以三棱锥1B ABC -分又由11B ABC B AB C V V --=，得334311=⨯⨯∆C AB S h，解得h =分（2）由已知设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .-------------------------------------------------6分故AC AB ⊥，1AC AB ⊥，取AB 中点N ，则11A B AN x ==，四边形11A B NA 是平行四边形，所以1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA ==，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，11111323C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==.--------------------------------------8分作11A G AB ⊥，垂足为G，则12A G =，在平面1AB C 内，作1GH B C ⊥，垂足为H ，连结1A H ，则二面角11A B C A --的平面角为1A HG ∠.--------------------------------------10分B 1（第19题图）A 1C 1BCA在1Rt GHB ∆中，GH =，故11tan A G A HG GH ∠==，1cos A HG ∠=..---------------------------------------------------------12分法二：取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .---------------------------6分故AC AB ⊥，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取AB 中点N ，则11A B AN x ==,四边形11A B NA 是平行四边形，1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA =，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，1111132C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==，----------------------------------------------8分则(0,0,0)A 1B，1A ，(0,4,0)C ，设面1AB C 的法向量(,,)n x y z = ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(n =，设面11A B C 的法向量(,,)m a b c = ，由11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得m =----------------------10分故cos ,19m n m n m n ⋅<>==⋅.-----------------12分20.(本题满分12分)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在各个专业的招生人数：年份数学物理化学总计201847617201958518202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记x 为年份与2017的差，y 为当年招生总人数，试用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程，并以此预测2023年的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从20名学生中随机选取3位学生进行评审.记X 为抽到是数学专业学生的人数，求随机变量X 的数学期望()E X ；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占0076，五年毕业的占0016，六年毕业的占008.现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率.附：ˆˆy bxa =+为回归方程，()()()121ˆnii i nii x xy b y xx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．解（1）由题意，x 的取值集合为{1,2,3,4,5}，y 的取值集合为{17,18,20,21,23}，直接根据公式求解：()()()121ˆniii ni i x x y by x x ==--=-∑∑，代入3x =，19.8y =算得：ˆ 1.5b =，ˆˆ15.3a y xb =-=，因此回归方程为ˆ 1.515.3yx =+，当6x =时，可得ˆ24.3y=,因此预测2023年的招生总人数为24人.--------------------------------------------5分（2）由已知，314320(0)C p X C ==，21146320(1)C C p X C ⋅==，12146320(2)C C p X C ⋅==，36320(3)C p X C ==，故()E x =211463201C C C ⋅⨯121463202C C C ⋅+⨯363203C C +⨯910=.---------------------------------------4分（3）因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年.设事件A 是“被数学系录取”，事件B 是“2025年毕业”，事件1C 是“2021年入学”，事件2C 是“2020年入学”，事件3C 是“2019年入学”.由条件概率公式可知，()1832P C A =，()2632P C A =，()3532P C A =，由全概率公式可知，()865930.760.160.0832*******P B A =⨯+⨯+⨯=.--------------------------3分21.(本题满分12分)已知点(AC 上，过点()1,0M 的直线l 交曲线C 于D ，E 两点（D ，E 均在第四象限），直线AD ，AE 分别交直线1x =于P ，Q 两点.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若APQ ∆的面积为l 的方程.解（1）①若焦点在x 轴上，设双曲线C 方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）.由题意得223921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.-----------------------------------------------2分②若焦点在y 轴上，设双曲线C 方程为22221y x a b-=（0,0a b >>）.由题意得22233921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时无解.综上所述双曲线C 的标准方程为2213x y -=.--------------------------------------------------4分（2）设直线l 方程为1x ty =+，1111(,),(,)D x y E x y ，联立221330x ty x y =+⎧⎨--=⎩得()223220t y ty -+-=，故()221221223012202323t t ty y t y y t ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪⋅=-⎩，解得23-<<-t ------------6分又因为直线)11:33y AD y x x =--，取1x =得)111112232P y y y x ty ---==--，同理)2222Qy y ty -=-，-----------------------------------------------------------------8分由题意点A 到直线l 的距离是2d =，所以122APQ S PQ ∆=⨯⨯=，解得PQ =.又P QPQ y y=-=-===----------------------------------------------------------------10分化简可得211260t +-=，得t =t =，易知0t <，故t =，即直线l 方程为1x =+.--------------------------------------------------------12分22.(本题满分12分)已知函数()ln 1a xxfx x a x e =+--（R a ∈）.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，则1212ln x x e a+>．解（1）由题意得()ln xxfx x x e =+-，2得()()111x f x x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------2分所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，因此()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减.------------------------------------4分（2）先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，---------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分()()ln ln 1ln 1x a x a x xf x x a x e x a x e-=+--=+--设ln t x ax =-，则由于()1tg t e t =+-单调递增，则1122ln ln x ax x ax -=-，则2ln ln 1212121x x x x x x a +<--=，可证得122x x a+>.--------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a +>.------------------------------------------------------------------12分方法二：先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x ex ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分要证明122x x a +>，只要证明212x x a>-.因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<，所以只要证明()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，只要证明()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()()2g x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（10x a<<），()()()211111022ax ax g x f x f x a x x a ax e e -⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫--+->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣'-⎦⎛⎫''=+-= ⎪⎝⎭所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，所以()10g x g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，因此122x x a+>成立.------------------------------------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a+>.-----------------------------------------------------------------12分。

名校联盟2021届高三数学11月教学质量检测试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，那么A B =〔 〕A. ()2-∞，B. ()1-∞，C. (21)-，D. (12)-， 【答案】D【解析】【分析】先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交,【详解】此题主要考察集合的运算和一元二次不等式的解法．因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，所以{|12}B x x A -<<⋂=．应选：D【点睛】此题考察解二次不等式，考察集合的交集。

属于根底题.1212iz i -+＝的点位于〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为212i (12i)34i 12i (12i)(12i)55z --===--++-，所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限． 应选：C . 【点睛】此题主要考察复数的几何意义，复数的运算，属于根底题．a b ，的夹角为23π，那么34a b +=〔 〕A. 1 D. 7【答案】B【解析】 【分析】 由222349+24+16a b a a b b +=⋅，然后用数量积的定义，将a b ，的模长和夹角代入即可求解. 【详解】2222349+24+16=9+24cos16133a b a a b b π+=⋅+=， 即3413a b +=.应选：B【点睛】此题考察向量的模长，向量的数量积的运算，属于根底题. a ，b 和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设//a α，//b α，那么//a b ；②假设//a α，//a β，那么//αβ；③假设a α⊥，b α⊥，那么//a b ；④假设a α⊥，a β⊥，那么//αβ．其中正确的个数是〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可．【详解】对于①，假设a ∥α，b ∥α，那么直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误； 对于②，假设a ∥α，a ∥β，那么平面a 和平面β可以相交，故②错误；对于③，假设a⊥α，b⊥α，那么根据线面垂直性质定理，a∥b，故③正确；对于④，假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β成立；应选：B．【点睛】此题考察命题真假的判断，考察推理判断才能，是根底题，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．5.如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A. 这14天中有7天空气质量优良B. 这14天中空气质量指数的中位数是103C. 从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D. 连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【答案】B【解析】【分析】根据题目给出的折线图的信息对选项进展逐一判断即可得到答案.【详解】这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，应选项A正确；这14天中空气质量指数的中位数是86121103.52+=，应选项B不正确；从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，应选项C正确；连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，应选项D正确．应选：B【点睛】此题主要考察统计中对折线图的认识，属于根底题.6.甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔 〕A. 甲不是人B. 人比甲年龄小C. 人比人年龄大D. 人年龄最小【答案】D【解析】【分析】通过分析，排除即可．【详解】由于甲和人不同岁，人比乙年龄小，可知人不是甲乙，故丙是人；由于丙比人年龄大，人比乙年龄小，可知甲是人；故：乙〔人〕的年龄＞丙〔人〕的年龄＞甲〔人〕的年龄；所以ABC 错，D 对．应选：D ．【点睛】此题考察简单的逻辑推理，属于根底题． {}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，假设201a =，那么2020a =〔 〕A. 101B. 1C. 20D. 2021 【答案】A【解析】【分析】由m n m n a a a +=+，得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而得到答案.【详解】由m n m n a a a +=+，令1m = 得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而1n a na =．因为201a =，所以1120a =，2020101a =． 应选：A【点睛】此题主要考察等差数列的概念，数列的递推关系，属于根底题. ()3sin 3x f x x =+的图像大致是〔 〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出3sin 3x f x x ，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解．【详解】因为()3sin 3x f x x =+，33sin sin 33x x f x x x ， 所以函数()f x 是奇函数，排除B ， 因为函数的解析式为()3sin 3x f x x =+， 所以2cos f xx x ， ∴2sin f x x x ∴2cos 0f x x , ∴2sin fx x x 在[)0,+∞递增又0sin00f ， 所以2sin 0fx x x 在[)0,+∞恒成立 所以2cos f x x x 在[)0,+∞递增，又200cos010f所以()0f x '>在[)0,+∞恒成立所以()f x 在[)0,+∞为增函数，排除A 、C ，综上所述，应选D ．【点睛】此题考察如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比方说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考察推理才能，是中档题．9.1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是C 上一点，满足212PF F F ⊥，Q 是线段1PF 上一点，且12FQ QP =，120F P F Q ⋅=，那么C 的离心率为〔 〕1 C.2 D. 6【答案】A【解析】【分析】根据条件在12PF F ∆，可得1F P =，那么2F P =，由椭圆的定义有122F P F P a +==，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率.【详解】因为在12PF F ∆中，212PF F F ⊥，12PF QF ⊥， 所以2211124FQ F P F F c ==，又1123FQ F P =，所以221243F P c =，从而1F P =，进而2F P =．所以122F P F P a +=+=，椭圆C 的离心率为2c e a -==． 应选：A【点睛】此题主要考察椭圆的定义和简单几何性质,考察椭圆的离心率，属于中档题.()f x 的定义域为R ，假设(1)f x +与(1)f x -都是偶函数，那么〔 〕 A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. (3)f x +是偶函数D. ()(2)f x f x =+【答案】C【解析】【分析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f〔x〕的周期，然后利用所求结论直接判断即可．【详解】f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f〔x〕的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，可得f〔x〕＝f〔2﹣x〕＝f〔﹣4+x〕，即有f〔x+4〕＝f〔x〕，∴函数的周期T＝4，∴f〔﹣x+3〕＝f〔﹣x﹣1〕＝f〔x+3〕，那么f〔x+3〕为偶函数，应选：C．【点睛】此题主要考察函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题．11.将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A. 2640种B. 4800种C. 1560种D. 7200种【答案】C【解析】【分析】分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名HY员HY，另外3个贫困村各分配1名HY员HY, 第二类，其中2个贫困村各分配2名HY员HY，另外2个贫困村各分配1名HY员HY.【详解】将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY.分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名HY员HY，另外3个贫困村各分配1名HY员HY，此类分配方案种数为3464480C A=；第二类，其中2个贫困村各分配2名HY员HY，另外2个贫困村各分配1名HY员HY，此类分配方案种数为221146421422221080 C C C CAAA=．故不同的分配方案一共有1560种．应选：C【点睛】此题主要考察排列组合,考察分组分配问题，考察局部平均分组问题，属于中档题. ()sin sin2f x x x=⋅，以下结论中错误的选项是〔〕A. ()y f x =的图像关于点(,0)2π对称 B. ()y f x =的图像关于直线x π=对称C. ()f xD. ()f x 是周期函数【答案】C【解析】【分析】 根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可．【详解】对于A ，因为f 〔π﹣x 〕+f 〔x 〕＝sin 〔π﹣x 〕sin 〔2π﹣2x 〕+sinxsin 2x ＝0，所以A 正确； 对于B ，f 〔2π﹣x 〕＝sin 〔2π﹣x 〕sin 〔4π﹣2x 〕＝sinxsin 2x ＝f 〔x 〕，所以()y f x =的图像关于直线x π=对称，所以B 正确；对于C ，f 〔x 〕＝sinx •sin 2x ＝2sin 2xcosx ＝2〔1﹣cos 2x 〕cosx ＝2cosx ﹣2cos 3x ，令t ＝cosx ，那么t ∈[﹣1，1]，f 〔x 〕＝g 〔t 〕＝2t ﹣2t 3，令g ′〔t 〕＝2﹣6t 2＝0，得，t 3=±，g ⎛= ⎝⎭g =⎝⎭(1)0g -=，(1)0g =，所以()g t ，从而()f x，故C 错误； 对于D ，因为(2)sin(2)sin(24)sin sin2()f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=，即f 〔2π+x 〕＝f 〔x 〕，故2π为函数f 〔x 〕的一个周期，故D 正确；应选：C ．【点睛】此题主要考察了三角函数恒等变换的应用，考察了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考察命题的真假的判断与应用，考察分析和解决问题的才能，属于中档题．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分13.假设一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，那么该球的体积为__________．【答案】【解析】棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，那么球的直径等于正方体的对角线长，即2R =R =那么该球的体积343V R π== 14.1F ，2F 分别为双曲线:C 22221x y a b－＝()00a b >>，的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，假设线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，那么C 的两条渐近线方程为__________．【答案】y ＝±2x【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF 1⊥PF 2，由三角形的中位线定理可得PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，运用点到直线的间隔 公式可得F 1〔﹣c ，0〕到OQ 的间隔 ，结合双曲线的定义可得b ＝2a ，进而双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ， 点P 是以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限内的交点，可得PF 1⊥PF 2，线段PF 1的中点Q 在C 的渐近线，可得OQ ∥PF 2，且PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，可得F1〔﹣c ，0〕到OQ 的间隔 =b ，即有|PF 1|＝2b ，|PF 2|＝2|OQ |＝2a ，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，即b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．故答案为：y ＝±2x ．【点睛】此题考察双曲线的定义、方程和性质，考察直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理才能，属于中档题．y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，那么b =__________． 【答案】11ln 222- 【解析】【分析】分别设出直线y kx b =+与曲线2x y e-=和曲线1x y e =-的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.【详解】设直线y kx b =+与曲线2x y e-=切于点1211(,)x P x e -， 与曲线e 1x y =-切于点222(,1)x P x e -， 那么有21122221(e 1)x x x x e k e e x x ----===-， 从而122x x -=，12k =，212x e =，2ln 2x =-． 所以切线方程21111(ln 2)1ln 22222x y x e x =++-=+-， 所以11ln 222b =-． 故答案为：11ln 222-. 【点睛】此题主要考察导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题．{}n a 满足32a =，10256a =，那么数列2{4}n n a 的前n 项和为__________．【答案】21(23)26n n n +-+- 【解析】【分析】先求出等比数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=，然后分析求和. 【详解】依题意，有23191012256a a q a a q ⎧==⎨==⎩，，解得11,22.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=． 设数列2{4}n n a 的前n 项和为n T那么2122212222n n T n =⋅+⋅++，(1)222321212222n n T n +=⋅+⋅++．(2)用(1)-(2)，得12211232(21)22n n n T n n --=⋅+⋅++--，(3) 2312221232(21)22n n n T n n ++-=⋅+⋅++--．(4)用(3)-(4)，得122121*********(221)2(23)26n n n n n T n n n n n +++=⋅+⋅++⋅-+-+=-+-．故答案为：21(23)26n n n +-+-【点睛】此题主要考察等比数列的通项公式和数列求和的方法．考察错位相减法求数列的和.属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题(一)必考题：一共60分17.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 4a B =，sin 3b A =．(1)求a ；(2)假设ABC ∆的面积为9，求ABC ∆的周长．【答案】〔1〕5；〔2〕11+【解析】【分析】(1)由cos 4a B =，sin 3b A =，两式相除，再用正弦定理得答案.(2)由〔1〕可求出3sin 5B =，进一步可求出边c ，然后用余弦定理可计算出边b ，得出答案. 【详解】(1)在ABC ∆中，cos 4a B =，sin 3b A =． 由正弦定理得sin sin sin 3tan cos sin cos 4b A B A B a B A B ===． 又cos 4a B =，所以cos 0B >，所以cos 45B =． 所以5a =．(2)由(1)知，cos 45B =，所以3sin 5B =． 因为ABC ∆的面积1sin 92ABC S ac B ∆==，所以6c =．由余弦定理得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =所以ABC ∆的周长为11a b c ++=．【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题．18.?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==，60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵；(2)求二面角1A A C B --的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕155. 【解析】【分析】 (1)根据条件由正弦定理可求30ACB ︒∠=，从而可证明90BAC ︒∠=，可得证.〔2〕建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可.【详解】(1)在ABC ∆中，1AB =，3AC =60ABC ︒∠=，由正弦定理得sin sin AC AB ABC ACB =∠∠ ,即312sin 23ACB ∠== , 因为在ABC 中，AB AC <那么ABC ACB ∠>∠,30ACB ︒∠=，所以90BAC ︒∠=，即BA AC ⊥．又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵．(2)以点A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如下图的空间直角坐标系．那么(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，3,0)C ，13)A ．于是(1,0,0)AB =，1(0,3,3)AC =-，(1,3,0)BC =-． 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =，那么由10,0,n AC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得330,30.y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩所以可取(3,1,1)n =．又可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的一个法向量，所以15cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉==． 所以二面角1A A C B --的余弦值为155． 【点睛】此题主要考察二面角的求法，同时考察数学文化．此题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的间隔 减去它到y 轴间隔 的差都是1． (1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程．【答案】〔1〕24(0)y x x =>；〔2〕1y x =-+或者1y x =-.【解析】【分析】(1)1(0)x x =>化简得答案.(2)有抛物线过交点的弦长公式有12||+2=8x x AB =+，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12x x +代入12||+2=8x x AB =+，可计算出k ，得到直线方程.【详解】(1)设点(,)P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(,)P x y 1(0)x x -=>．化简得曲线C 的方程为24(0)y x x =>．(2)由题意得，直线l 的方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 因为216160k ∆=+>，故212224k x x k++=， 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得1k =-或者1k =． 因此直线l 的方程为1y x =-+或者1y x =-．【点睛】此题主要考察曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.sin2()(n )l 1f x x x =-+，sin )2(g x x x =-．(1)求证：()g x 在区间(0,]4π上无零点；(2)求证：()f x 有且仅有2个零点．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】(1)求出()2cos21g x x '=-，再求出函数()g x 的单调区间，从而分析其图像与x 轴无交点即可.(2)显然0x =是函数()f x 的零点,再分析()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上和在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点,在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，从而得证.【详解】(1)sin )2(g x x x =-，()2cos21g x x '=-． 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 而(0)0g =，04g π⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0>g x ， 所以()g x 在区间0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点． (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞．①当(1,0)x ∈-时，sin 20x <，ln(1)0x +<，所以()sin 2ln(1)0f x x x =++<，从而()f x 在(1,0)-上无零点．②当0x =时，()0f x =，从而0x =是()f x 的一个零点． ③当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()0>g x ，所以sin2x x >，又ln(1)x x +，所以()sin 2ln(1)0f x x x =-+>，从而()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点． ④当3,44x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin 2ln(1)f x x x =-+，1()2cos201f x x x '=-<+， 所以()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 而04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，304f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而()f x 在3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点．⑤当3,4x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，ln(1)1x +>，所以()0f x <，从而()f x 在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点． 综上，()f x 有且仅有2个零点．【点睛】此题主要考察利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题．21.一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．假设掷出奇数点，棋子向前跳一站；假设掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或者第100站(失败)时，游戏完毕(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．【答案】〔1〕01P =，112P =，234P =，211122n n n P P P --=+；〔2〕证明见解析；〔3〕10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(1) 在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进展求解.(2) 由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证. (3) 该游戏获胜的概率,即求99P ，由〔2〕用累加法可求解.【详解】(1)棋子开场在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=． 棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -． 故211122n n n P P P --=+． (2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--． 又因为1012P P -=-， 所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=是首项为12-，公比为12-的等比数列． (3)由(2)知，11111222n n n n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+ 99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题主要考察随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式．考察累加法求和，属于难题.(二)选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 间隔 的最大值．【答案】〔1〕C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．l的直角坐标方程为40x ++=〔2〕3【解析】【分析】〔1〕把曲线C 的参数方程平方相加可得普通方程，把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入ρcosθ+4＝0，可得直线l 的直角坐标方程；〔2〕设出椭圆上动点的坐标〔参数形式〕，再由点到直线的间隔 公式写出间隔 ，利用三角函数求最值．【详解】〔1〕由2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩〔t 为参数〕，因为221111t t --<+，且22222222()14111t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， 所以C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．由ρcosθ+4＝0，得x +4＝0．即直线l 的直角坐标方程为得x +4＝0； 〔2〕由(1)可设C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，παπ-<<)． 那么P 到直线得x +4＝0的间隔 为：C 上的点到l 的间隔2cos 432πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=． 当3πα=时，2cos 43πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭获得最大值6，故C 上的点到l 间隔 的最大值为3． 【点睛】此题考察间单曲线的极坐标方程，考察参数方程化普通方程，考察直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．选修4-5：不等式选讲23.a ，b 为正数，且满足1a b +=．(1)求证：11(1)(1)9a b++； (2)求证：1125()()4a b a b ++． 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕把a +b ＝1代入，用柯西不等式证明；〔2〕根据根本不等式求出ab 的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．【详解】a ，b 为正数，且满足a +b ＝1，〔1〕〔11a +〕〔11b +〕＝111a b a b ab ++++=122a b ++，〔22a b +〕〔a +b 2＝8， 故11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 〔2〕∵a +b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴根据根本不等式1＝a +b ∴0＜ab 14≤， 〔a 1a +〕〔b 1b +〕222222111a b a b a b a b ab+++++=⋅=≥ab 12ab ++， 令t ＝ab ∈〔0，14]，y ＝t 1t+递减， 所以117444min y =+=， 故〔a 1a +〕〔b 1b +〕≥2172544+=． 【点睛】考察根本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2021年浙江省丽水市、湖州市、衢州市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=1+3ii，其中i为虚数单位，则|z|=()A. √52B. √102C. √10D. 22.已知直线l，m和平面α()A. 若l//m，m⊂α，则l//αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mD. 若l⊥m，l⊥α，则m⊥α3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是()A. 34B. 32C. 2D. 34.若整数x，y满足不等式组{x−2y≥0x+2y+4≥07x+2y−8≤0，则3x+4y的最大值是()A. −10B. 0C. 3D. 55.函数f(x)=(x2−x)cosx的图象可能是()A. B.C. D.6.“关于x的方程√1−x2=|x−m|(m∈R)有解”的一个必要不充分条件是()A. m∈[−2,2]B. m∈[−√2,√2]C. m∈[−1,1]D. m∈[1,2]7.设0<p<23，随机变量ξ的分布列是则当P在(0,23)内增大时，()A. D(ξ)增大B. D(ξ)减小C. D(ξ)先减小后增大D. D(ξ)先增大后减小8.某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是()A. 90B. 216C. 144D. 2409.设f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)，数列{a n}满足a1=−1，且a n+1=(1+1n )a n+2n(n∈N∗).则f(a22)=()A. 0B. −1C. 21D. 2210.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为减函数，对任意的x∈(0,+∞)，均有f(x)⋅f(f(x)+32x )=14，则函数g(x)=f(x)+3x的最小值是()A. 2B. 5C. 103D. 3二、单空题（本大题共5小题，共24.0分）11.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−√55,2√55)，则tanα=______ ，sin(α+π4)=______ ．12.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数ba和d c ，则b+da+c是x的更为精确的近科似值.现第一次用“调日法”：由258<π<227得到π的更为精确的近似值为a1，则a1=______ .第二次用“调日法”：由a1<π<227得到π的更为精确的近似值为a2，…，记第n次用“调日法”得到π的更为精确的近似值为a n(n≤10,n∈N∗)．若a n=3.14，则n=______ ．13.设a，b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是√5，则λ=______ ．14.已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，d⃗，若|a⃗|=|b⃗ |=√3，a⃗⋅b⃗ =0，|a⃗+c⃗|+|a⃗−c⃗|=4，|b⃗ +d⃗|=1，则|c⃗+d⃗|的最大值是______ ．15.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且|AF1|=2|AF2|，∠AF1F2=∠F1BF2，则下列结论正确的有______ ．①双曲线C的离心率e=2√33；②双曲线C 的一条渐近线斜率是√3； ③线段|AB|=6a ；④△AF 1F 2的面积是√15a 2．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）16. 已知函数已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤2log 2x −1,x >2，则f(f(4)) (1) ；函数f(x)的单调递减区间是 (2) ．17. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinB +sin(A −C)=cosC..(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当c =2√3时，求a 2+b 2的取值范围．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1，△ABC 是正三角形，四边形ACC 1A 1是菱形且∠A 1AC =60°，M 是A 1C 1的中点，MB =MC ． (Ⅰ)证明：AM ⊥BC ；(Ⅱ)求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1=2，a2+a3是a3与a4的等差中项.数列{b n}的前n项和为S n，且S n+n(n+1)2=2a n−2.求证：(Ⅰ)数列{a n−b n}是等差数列；(Ⅱ)1b1+1b2+⋯+1b n≤2(1−1a n).21.已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，动点P在椭圆上，且|PF1|的最小值和最大值分别为1和3．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)动点M在抛物线C：y2=4x上，且在直线x=a的右侧.过点M作椭圆E的两条切线分别交直线x=−a于A，B两点.当|AB|=10时，求点M的坐标．(x>1)．22.已知函数f(x)=ax+4lnx(Ⅰ)当a=0时，求函数f(x)的图象在(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞)，不等式f(x)≥lnx+4恒成立，求实数a的取值范围.(其中e为自然对数的底数)答案和解析1.【答案】C【解析】解：z=1+3ii =−i(1+3i)−i⋅i=3−i，其中i为虚数单位，则|z|=√32+(−1)2=√10，故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，若l//m，m⊂α，则l//α或l⊂α，故A错误；对于B，若l//α，m⊂α，则l//m或l与m异面，故B错误；对于C，若l⊥α，m⊂α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m与α平行或m⊂α，故D错误．故选：C．对于A，l//α或l⊂α；对于B，l//m或l与m异面；对于C，由线面垂直的性质得l⊥m；对于D，m与α平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到y=sin(ωx+2ωπ3+φ)图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，∴2ωπ3=kπ，k∈Z，令k=1，可得ω的最小值为32，故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性，求得ω的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −2y =07x +2y −8=0，解得A(1,2)，令z =3x +4y ，得y =−34x +z4，由图可知，当直线y =−34x +z4过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5． 故选：D ．由约束条件作出可行域，令z =3x +4y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得3x +4y 的最大值． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=(x 2−x)cosx ， 所以f(1)=(1−1)cos1=0，故选项C 错误；f(−1)=[1−(−1)]cos(−1)=2cos1>0，故选项D 错误； 若选项B 正确，则当x >0时，f(x)与x 轴交点的横坐标为1， 但是f(12)=(14−12)cos 12=−14cos 12<0，故选项B 错误，选项A 正确． 故选：A ．利用特殊的函数值f(1)，f(−1)即可判断选项C ，D ，利用f(x)与x 轴交点的横坐标以及函数值的正负，即可判断选项A ，B ．本题考查了函数图象的判断，一般从函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性、单调性等方面进行分析，考查了逻辑推理能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：化简√1−x 2=|x −m|，得2x 2−2mx +m 2−1=0，关于x 的方程√1−x 2=|x −m|有解的充要条件是△≥0，即4m 2−8(m 2−1)≥0，解得−√2≤m ≤√2．因此关于x 的方程√1−x 2=|x −m|，有解的必要不充分条件是−√2≤m ≤√2的真子集． 故选：C ．关于x 的方程√1−x 2=|x −m|有解的充要条件是△≥0，解得−√2≤m ≤√2.即可得出． 本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件及其必要条件，考查了推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由随机变量ξ的分布列可得，E(ξ)=−1⋅p +0×13+1⋅(23−p)=−2p +23， 故D (ξ)=p ⋅(−2p +23+1)2+13⋅(−2p +23−0)2+(23−p)⋅(−2p +23−1)2=−4p 2+83p +29=−4(p −13)2+23，其图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为p =13， 因为13∈(0,23)，所以D(ξ)先增大后减小． 故选：D ．由分布列求出E(ξ)和D(ξ)，然后利用二次函数的单调性进行分析求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列的应用，离散型随机变量期望以及方差的求解，涉及了二次函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C 52−1=9种分组方法， ②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A 44=24种安排方法， 则有9×24=216种安排种数， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)， 整理得f[2−(x +2)]=f(x +2)=−f(x)， 即f(x +4)=−f(x +2)=f(x) 故函数的最小正周期为4．由于数列{a n }满足a 1=−1，且a n+1=(1−1n )a n +2n ，转换为an+1n+1=a n n +2n(n+1)，故an+1n+1−a n n=2n−2n+1，设b n =a n n，故b 22=(b 22−b 21)+(b 21−b 20)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=221−222+220−221+⋯+21−22+a 1=−111+2−1=1011， 故a 22=20，所以f(20)=f(5×4)=f(0)=0． 故选：A ．首先求出数列的周期，进一步利用关系式的变换和叠加法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的关系式的转换，构造新数列的应用，叠加法，数列的周期，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：令f(x)+32x =t ，则f(x)f(t)=14①， 在原式中，令x =t ，则f(t)f(f(t)+32t )=14， 所以f(f(t)+32t )=14f(t)=14f(f(x)+32x)=f(x)，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，所以f(t)+32t =x ，由①得f(t)=14f(x)， 所以14f(x)+32(f(x)+32x)=x ，化简得：(2xf(x)+1)(4xf(x)−3)=0，所以f(x)=−12x (不满足单调递减，舍去)，f(x)=34x，g(x)=f(x)+3x=34x +3x≥2√34×3=3，当且仅当34x =3x，即x=12时等号成立．故选：D．令f(x)+32x =t，有f(x)f(t)=14，再在原式中令x=t，得到f(t)f(f(t)+32t)=14，通过变形进一步得到f(x)的解析式，再结合基本不等式即可得到答案．本题主要考查抽象函数的应用，涉及到函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力．11.【答案】−2√1010【解析】解：由题意可得tanα=2√55−√55=−2，OP=1，cosα=−√55，sinα=2√55，则sin(α+π4)=√22(sinα+cosα)=√22×√55=√1010，故答案为：−2；√1010．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】47156【解析】解：第一次：258<π<227，不足近似值为258，过剩近似值为227，∴a1=25+228+7=4715；第二次：4715<π<227，不足近似值为4715，过剩近似值为227，∴a2=47+2215+7=6922；第三次：6922<π<227，不足近似值为6922，过剩近似值为227，∴a3=69+2222+7=9129；第四次：9129<π<227，不足近似值为9129，过剩近似值为227，∴a4=91+2229+7=11336；第五次：11336<π<227，不足近似值为11336，过剩近似值为227，∴a 5=113+2236+7=13543；第六次：13543<π<227，不足近似值为13543，过剩近似值为227， ∴a 6=135+2243+7=15750=3.14；综上可得，n =6． 故答案为：4715，6．根据题意，依次进行推理即可得出结论．本题是根据题中所给理论进行逻辑推理的题型，主要考查学生的逻辑推理和计算能力，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：由已知得a 24+λb 24=1，令a =2cosθ,b =√λsinθ，则a +b =2√1+1λsin(θ+φ)，其中tanφ=√λ 所以a +b 的最大值为2√1+1λ=√5，解得λ=4．故答案为：4．令a =2cosθ,b =2√λsinθ，结合辅助角公式即可求得a +b 的最大值．本题主要考查利用三角换元法求最值问题，涉及到辅助角公式的应用，考查学生的数学计算能力．14.【答案】1+2√2【解析】解：不妨令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ， 以点O 为坐标原点，OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O(0,0)，A(√3,0),B(0,√3),A′(−√3,0)，因为|a ⃗ +c ⃗ |+|a ⃗ −c ⃗ |=4，所以|CA|+|CA′|=4>2√3=|AA′|，故点C 在以4为长轴，A′(−√3,0),A(√3,0)为焦点的椭圆上， 则点C 的轨迹方程为x 24+y 2=1，又|b ⃗ +d ⃗ |=1，即|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 故点D 在以B(0,√3)为圆心，1为半径的圆上， 又|c ⃗ +d ⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|BC|+1， 所以转化为求解|BC|的最大值，由图易得，当以B 为圆心，r 为半径的圆x 2+(y −√3)2=r 2与椭圆x 24+y 2=1内切时有最大值，联立方程组消去x 可得，3y 2+2√3y +r 2−7=0， 则△=12−12(r 2−7)=0，解得r =2√2， 所以|c ⃗ +d ⃗ |max =1+|BC|max =1+2√2． 故答案为：1+2√2．令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ，建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用已知条件得到点C 的轨迹是椭圆，点D 的轨迹是圆，将问题转化为求解|BC|的最大值问题，当圆与椭圆内切有最大值，联立方程组，求解即可．本题考查了平面向量的综合应用，涉及了向量的坐标表示，动点轨迹的求解，圆与椭圆的应用，综合性强，涉及知识点多，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．15.【答案】②④【解析】解：如图示：由于且|AF 1|=2|AF 2|，∠AF 1F 2=∠F 1BF 2，可得：且|AF 1|=4a ，|AF 2|=2a ，由于∠AF 1F 2=∠F 1BF 2， 所以△AF 2F 1∽△ABF 2，故AF 2AF 1=ABAF 2，可得：|AB|=2|AF 2|=8a ， 故|BF 1|=6a ，|BF 2|=8a ，所以|F1F2|=2c=4a，所以离心率e=2，=√3，故ba在△AF1F2中，|AF1|=4a，|AF2|=2a，|F1F2|=4a，=√15a2．所以S△AF1F2故②④正确；故答案为：②④．直接利用双曲线的方程和定义，双曲线的性质，离心率，渐近线的定义，三角形的相似的应用，三角形的面积的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：双曲线的方程和定义，双曲线的性质，离心率，渐近线的定义，三角形的相似的应用，三角形的面积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】1[1,2]【解析】解：f(4)=log24−1=1；∴f(f(4))=f(1)=−12+2×1=1；x≤2时，f(x)=−x2+2x，对称轴为x=1；∴f(x)在[1,2]上单调递减；∴f(x)的单调递减区间为[1,2]．故答案为：1，[1,2]．根据分段函数f(x)的解析式，可先求f(4)=1，从而便可得出f(f(4))的值，根据f(x)解析式可看出二次函数y=−x2+2x在[1,2]上单调递减，即求出了f(x)的单调递减区间．考查已知分段函数的解析式求函数值的方法，对数的运算，对数函数的单调性，以及二次函数的单调性及单调区间．17.【答案】20+4√58【解析】解：由三视图作出原图形如图所示，原几何体为底面是边长为2cm 、4cm 的直角三角形，高为2cm 的直三棱柱； 其表面积为S =2×12×2×4+4×2+2×2+2×√42+22=20+4√5cm 2； 体积为V =12×4×2×2=8cm 3． 故答案为：20+4√5，8．由三视图作出原图形的直观图，结合图形求出它的表面积与体积． 本题考查了三视图与体积、表面积的计算问题，是基础题目．18.【答案】解：(Ⅰ)由sinB +sin(A −C)=cosC ，得sin(A +C)+sin(A −C)=cosC ， 化简2sinAcosC =cosC ，由于△ABC 为锐角三角形，所以cosC ≠0，得sinA =12， 又0<A <π2， 故A =π6，(Ⅱ)由正弦定理得bsinB =csinC ， 得b =csinB sinC=√3tanC +3，又{0<C <π20<5π6−C <π2， 所以π3<C <π2，tanC >√3， 所以3<√3tanC +3<4故3<b <4，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−√3bc =b 2−6b +12， 所以a 2+b 2=2b 2−6b +12=2(b −32)2+152∈(12,20)．【解析】(I)由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简可求sin A，进而可求A；(II)由已知结合正弦定理及同角基本关系可用tan C表示b，结合锐角三角形确定C的范围，进而可求b的范围，再由余弦定理及二次函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC中点为D，连结AD，MD，如图所示，由MB=MC得MD⊥BC，由△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，又MD∩AD=D，MD，AD⊂平面AMD，故BC⊥平面AMD，又AM⊂平面AMD，因此BC⊥AM；(Ⅱ)证明：设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，设A1A=AC=1.由MN//AD，所以C1N=14B1C1=14，由直角梯形DCC1N，则有DN=√154，由BC⊥平面AMND，又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面AMND，所以DN为AM在平面BCC1B1内的射影，所以∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，在△END中，DE2=EN2+DN2−2EN⋅DNcos∠END，由DE=√34，EN=AM=√72，DN=√154得cos∠END=2√10521，所以sin∠END=√2121，所以直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值√2121．【解析】(Ⅰ)取BC中点为D，连结AD，MD，利用三角形的性质结合线面垂直的判定定理证明BC⊥平面AMD，即可证明BC⊥AM；(Ⅱ)设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，通过证明面面垂直得到DN为AM在平面BCC1B1内的射影，从而得到∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，然后在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查了线面垂直的证明以及线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．20.【答案】证明：(Ⅰ)数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1=2，a2+a3是a3与a4的等差中项，由已知a3+a4=2(a2+a3)，整理得a4−a3−2a2=0．设数列{a n}的公比为q，则q2−q−2=0，解得q=2或−1(负值舍去)故a n=2n．由S n+n(n+1)2=2a n−2.①当n=1时，解得b1=1，当n≥2时，S n−1+n(n−1)2=2a n−1−2②，①−②得：b n+n=2a n−2a n−1=2n，解得b n=2n−n．所以a n−b n=n，故(a n−b n)−(a n−1−b n−1)=1(常数)，故数列{a n−b n}是等差数列．(Ⅱ)由于a n=2n，数列{a n−b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则：a n−b n=1+(n−1)=n，所以b n=2n−n，根据不等式12n−n ≤n+12n=n+22n−1−n+32n，所以1b1+1b2+⋯+1b n≤(220−421+421−522+⋯+n+22n−1−n+32n)=2−n+32n，由于2(1−1an )=2−22n，所以1b1+1b2+⋯+1b n≤2(1−1a n)成立．【解析】(Ⅰ)根据等比数列的性质和数列的递推关系式证明结论；(Ⅱ)利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，等比数列的性质，放缩法，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解析：(Ⅰ)由{a −c =1 a +c =3，解得a =2，c =1，b =√3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)不妨设k PA =k 1，k PB =k 2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(t 2,2t)， 设过点M 作椭圆的切线方程为y =k(x −t 2)+2t ， 由{y =kx +(2t −t 2k)3x 2+4y 2=12， 得(3+4k 2)x 2+8k(2t −t 2k)x +4(2t −t 2k)2−12=0， 由△=0得到(t 4−4)k 2−4t 3k +4t 2−3=0， 所以k 1+k 2=4t 3t 4−4，k 1k 2=4t 2−3t 4−4，|AB|=|y 1−y 2|=(t 2+2)|k 1−k 2|， 因为|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=2√3t 4+16t 2−12|t 4−4|，所以|AB|=(t 2+2)⋅2√3t 4+16t 2−12|(t 2−2)(t 2+2)|=2√3+4(7t 2−6)t 4−4t 2+4=10， 解得t 2=4，点M 的坐标为(4,±4)．【解析】(Ⅰ)由|PF 1|的最小值和最大值分别为1和3，列方程组，解得a ，c ，b ，进而可得答案．(Ⅱ)不妨设k PA =k 1，k PB =k 2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(t 2,2t)，设过点M 作椭圆的切线方程为y =k(x −t 2)+2t ，联立椭圆的方程，得△=0，即(t 4−4)k 2−4t 3k +4t 2−3=0，结合韦达定理，得k 1+k 2，k 1k 2，进而可得|AB|=|y 1−y 2|=(t 2+2)|k 1−k 2|=10，解得t ，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)当a =0时，f(x)=4lnx ，所以f(e)=4，此时f′(x)=4xln 2x ，可得切线的斜率为f′(e)=−4e ，所以所求切线方程为y −4=−4e (x −e)，即y =−4e x +8； (Ⅱ)由题意得ax +4−ln 2x −4lnx ≥0对对任意x ∈(1,+∞)恒成立．令x =e ，得a ≥1e ，设g(x)=ax +4−ln 2x −4lnx(x >1)， g′(x)=a −2lnx+4x，设ℎ(x)=2lnx+4x，则ℎ′(x)=−2(1+lnx)x 2<0，所以ℎ(x)在(1,+∞)递减，故0<ℎ(x)<4．①当a ≥4时，g′(x)≥0，所以g(x)在(1,+∞)单调递增，g(x)>g(1)=a +4>0， 所以a ≥4满足题意；②当1e ≤a <4时，存在x 0>1使得a =2lnx 0+4x 0，即ax 0=2lnx 0+4，且g(x)在(1,x 0)单调递减，在(x 0,+∞)单调递增， 所以g(x)min =g(x 0)=ax 0+4−ln 2x 0−4lnx 0≥0，所以2lnx 0+4+4−ln 2x 0−4lnx 0≥0，即ln 2x 0+2lnx 0−8≤0，解得−4≤lnx 0≤2， 即1<x 0≤e 2，由ℎ(x)=2lnx+4x在(1,+∞)递减，可知8e 2≤a <4， 综上所述，可得a ≥8e 2．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程； (Ⅱ)由题意得ax +4−ln 2x −4lnx ≥0对对任意x ∈(1,+∞)恒成立，可设g(x)=ax +4−ln 2x −4lnx(x >1)，求得导数，对a 讨论，分a ≥4，1e ≤a <4时，讨论g(x)的单调性和最值，解不等式可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

浙江省衢州、湖州、丽水2021届上学期高三年级11月教学质量检测数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：若事件,A B 互斥，则，若事件,A B 相互独立，则若事件在一次试验中发生的概率是，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式，球的体积公式，其中表示球的半径台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合{}|1P x x =>-， {}|5Q x x =<，则PQ =A(),-∞+∞B{}|5x x <C{}|15x x -<<D{}|1x x >-2已知R a ∈，若复数()2i z a a a =-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则a = A 0B 1C1-D23若实数,x y 满足200x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，则2z x y =-A 有最小值1，无最大值B 有最小值1-，无最大值C 有最大值2-，无最小值D 有最大值1-，无最小值4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A3 B 43C D 835已知()f x 是定义在R 上的函数，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D既不充分又不必要条件6m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A 若//m α，//n β，//αβ，则//m n B 若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥ C 若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥D若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ ()()()P A B P A P B +=+()()()P AB P A P B =A p n A k ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=V Sh =S h 13V Sh =S h 24S R π=343V R π=R ()1213V h S S =12,SS7已知函数()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是8已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线l 与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若原点到直线l 的距离为a ，1260F PF ∠=，则双曲线C 的离心率为 AB 2C1D9已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列；②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列；③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则{}n a 是等差数列；④若{}n a 是等比数列，则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 其中正确命题的个数有 A 1个 B 2个 C 3个D4个10已知空间向量,,a b c 两两的夹角均为60，且||||1a b ==，||2c =若向量,x y 满足()x x a x b ⋅+=⋅，()y y a y c ⋅+=⋅，则||x y -的最大值是A1+B1C12+D12+ 二、填空题本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为1,3,6,10,的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第n 个“三角形数”是()12n n +，则第5个“三角形数”是 ，前6个“三角形数”的和是12已知()12nx -展开式中第三项的二项式系数是10，则n = ，展开式中最大的系数是13已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期是π，则ω= ，单调递增区间是14已知直线:2l y x b =+()0b ≠被圆()()221:319C x y -+-=所截得的弦长为4，且与圆心为()2,1-的圆2C 相切，则b = ；圆2C 的半径长是15已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是16一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，记取出的球的颜色有ξ种，则()E ξ= 17若实数,x y满足(24x y =，则x y +的最小值是三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 （本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2222sin 6b c a bc A π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求sin cos B C ⋅的取值范围19（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60BAD ∠=，2PA AD PD ===，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）当AP BD ⊥时，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值20（本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()211*n n n S S a n +++=∈ N （Ⅰ）求2a ，3a 的值，并写出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T，求证：312n T <≤()*n ∈N21（本小题满分15分）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上（Ⅰ）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；BFEDCAP（Ⅱ）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围22（本小题满分15分）已知函数()1xf x e x =--，2()g x ax =（a ∈R ） （Ⅰ）求()f x 的值域；（Ⅱ）当(),a t ∈+∞时，函数()()()2F x f x g x =-+有三个不同的零点，求实数t 的最小值； （Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()()()()ln 1f x x x g x ++≥恒成立，求a 的取值范围浙江省衢州、湖州、丽水2021届上学期高三年级11月教学质量检测数学试卷参考答案11 1556 12 5 80132 ,,1212k k k Z ππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦14 10- 15 1516 16717418解：（1）由已知得cos sin 6A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭---2分 所以1cos cos 22A A A =+-----4分 所以tan 3A =，所以6A π=-----6分 （2）sin cos sin cos 6BC C C π⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭1sin cos cos 22C C C ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭-----8分 11sin 2264C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭------10分 因为ABC ∆是锐角三角形，所以,32C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-12分 572,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以11sin 2,622C π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---------------13分 所以111sin 20,2642C π⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------14分 19． 解：（1）取PD 的中点M ，连结AM ，ME ----2分 由已知////AF ME DC ，且12AF ME DC ==，所以四边形AFEM 是平行四边形---3分 所以//EF AM ，又EF ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD -6分 所以//EF 平面PAD ---7分COP G MFED BA（2）解法一：取AD 的中点O ，连结PO ∵2PA AD PD ===，PO AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴PO BD ⊥又∵AP BD ⊥∴BD ⊥平面PAD ---9分∴BD AD ⊥又60BAD ∠=∴24AB AD ==．--------------------11分过点C 作CG AD ⊥于点G ，连结PG ，由平面PAD ⊥平面ABCD 知， CG ⊥平面PAD ，所以CPG ∠是直线PC 与平面PDC 所成角----13分又CG =PG =所以45CPG ∠=，即直线PC 与平面PDC 所成角为45．------------15分解法二：取AD 的中点O ，连结PO ∵2PA AD PD ===，PO AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴PO BD ⊥又∵AP BD ⊥∴BD ⊥平面PAD --9分 ∴BD AD ⊥又60BAD ∠=∴24AB AD ==．---------------------11分以D 为原点，射线DA DB ，分别为x 轴、y 轴建立如图的空间直角坐标系，则()000D ，，，()200A ，，，()00B，()20C -，(10P ，则(3CP =-，，又平面PAD 的法向量为()0,0,1n =，-------------------13分 设直线PC 与平面PDC 所成角为θ，则2sin 2n CP n CPθ⋅==⋅， 所以直线PC 与平面PDC 所成角为45 -------15分20解：（1）当1n =时，2212S S a +=，即22220a a --=，0n a >，22a =，2323S S a +=，解得33a =---4分由21121(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩，可得2211(2)n n n n a a a a n +++=-≥ 即111()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥0n a >11(2)n n a a n +∴-=≥又21211a a -=-=∴{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列1(1)n a n n ∴=+-=---7分（2）由（1）得1nT n=+，当2n ≥<=9分将上式对k 从1到n 求和，得11)1n T≤+=-----------12分注意到：12+>=--------------------14分 将上式对k 从1到1n -求和，得1331)222n n T T -⇒>>15分C所以312n T <≤经验证，当1n =时，上式也成立 21解：（1）由已知12p =，2p =--2分 因为G 在椭圆T 上，所以2114t +=，所以234t =-4分所以GF ==-----6分 （2）设()1:1l x m y t +=-，2:1l x ny =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为G 是PQ 的中点，所以114t m -⋅=-，且2114t +<，所以4m t =---1）且234t <--2）-8分由()241y x x m y t ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩消去x 得24440y my mt -++=，则()21610m mt ∆=-->---3）且12y y -=分 由241y xx ny ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y ny --=，所以34y y -=分 因为//AC BD ，所以132444y y y y =++，即1234y y y y -=-，所以2222122n m mt t =--=---------4）------14分 由1）2）3）解得213124t <<， 由4）得207n <<，即217k>，所以7k >或7k <-----------15分22 解：（1）∵()1e xf x '=-，由()0f x '=得，0x =--------------------2分∴()f x 在区间(],0-∞上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，-----------4分 ∴函数()f x 的值域是[)0,+∞；----------------------------5分（2）()2e 1x F x ax x =--+，∴()21xF x e ax '=--，()2xF x e a ''=-，当0a ≤时，()0F x ''>，()F x '单调递增，又()00F '=，∴()F x '在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增∴()()00F x F ''≥=，∴()F x 在R 上单调递增，不合题意---7分当0a >时，由()20xF x e a ''=->，得ln(2)x a >，∴()F x '在区间(],ln(2)a -∞上单调递减，在区间[)ln(2),a +∞上单调递增∵(0)0F '=，12102a F e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭∴若102a <<，则在区间(],ln(2)a -∞上存在1x ，当()1,x x ∈-∞时，()0F x '>，当()1,0x x ∈时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>∴()F x 在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()1,0x 上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，此时函数()F x 有且只有一个零点--9分当12a >时，存在()2ln(2)x a ∈+∞，，使得()222210x F x e ax '=--=∴()F x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，从而要使()F x 有三个零点，必有()2222210x F x e ax x =--+<∴()2222120ax a x --->，即()()22210x ax -+>∴22x >又∵2212x e a x -=，令()12x e h x x -=，则()()2112x x e h x x -+'=∵当2x >时，()0h x '>∴()h x 在区间()2,+∞单调递增∴()2124e a h ->=，即2min 14e t -=-------11分（3）()()2ln 1f x x x ax ++⎡⎤⎣⎦()()21ln 1e -xx ax ⇔+，∴()()()()()2ln 1111ln 11ln 1ln 1e -e -e -e x xxx x x x a x x x x ++==-++ -----13分 令()1e -x m x x=，则()()21e xx m x x -'=，令()()11e x x x ϕ=-+，则()e xx x ϕ'= ∵0x >∴()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,+∞上单调递增 ∴()()1010ex ϕϕ>=->，于是()m x 在()0,+∞上单调递增， 又由（1）知当()0,x ∈+∞时，e1xx +恒成立∴()ln 1x x >+∴()()1ln(1)m x am x <+∴a 的取值范围是(),1-∞------------------15分。