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d3_5高阶导数与微分

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第三讲 高阶导数与微分

第三讲 高阶导数与微分
+ u1u2 • (du3 ) • u4 + u1u2u3 • du4
d (u1u2 ...un ) = (du1 ) • u2u3...un + u1 • (du2 ) • u3...un
d (cu ) = cdu
+ .... + u1u2 ....un−1 • dun
微分乘法法则使用举例
d (2 sin x tan x) = (d 2 ) • sin x tan x
二 微分计算举例 三 微分的几何意义 四 微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
1 设 有 一 个边 长为 x 的 正方形 ， 其面 积为 S， 显 然 S=x2 如果边长增加 = 如果边长增加∆x，则面积的增量 为 则面积的增量∆S为 则面积的增量 ∆S=(x+∆x)2−(x)2=2x∆x+(∆x)2 = + ∆ +∆
'
o ( ∆x ) ))=A。 = lim (A + ∆x → 0 ∆x
3 函数可微的条件： 定理:(1)f(x)在点x可微的 ⇔ f(x)在点x可导 (2) dy=f ′(x)∆x 证明 若f(x)在点x可导，则
∆y ∆y (x)， lim =f ′(x) ， =f ′(x)+α ， ∆x → 0 ∆ x ∆x
y =
'
−1
的n阶导数
'
−1
−1
y = ( − 1) x
"
y ...
( 3)
= (−1)(−2)(−3) x −4 = (( −1)( −2) x )
−3 '
(
(x ) = ( − 1) x − 2
−2 '

高阶导数与高阶微分

高阶导数与高阶微分

§5.5 高阶导数一、高阶导数定义定义 函数)(x f 的（一阶）导函数)('x f 在x 的导数，称为函数)(x f 在x 的二阶导数，记为)(''x f ，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(')('lim)(''0。

函数)(x f 的二阶导函数)(''x f 在x 的导数，称为函数)(x f 在x 的三阶导数，记为)('''x f 。

一般情况，函数)(x f 的1-n 阶导函数在x 的导数，称为函数)(x f 在x 的n 阶导数，记为)()(x fn ，即xx f x x f x fn n x n ∆-∆+=--→∆)()(lim )()1()1(0)(。

二阶与二阶以上的导数，统称为高阶导数。

对于函数)(x f y =的高阶导数)(''x f ，)('''x f ，…，)()(x f n 也分别记为22dx y d ，33dx y d ，…，nn dx y d 。

设物体的运动规律（函数）是)(t s s =，其中t 是时间，s 是距离。

已知它的(一阶)导数是物体在时刻t 的瞬时速度)(t v ，即 )(')(t s t v =。

现在求速度函数)(t v 在时刻t 的导数。

比值tt s t t s t t v t t v t v ∆-∆+=∆-∆+=∆∆)(')(')()( 是物体在t ∆时间内的平均速度。

若极限t t s t t s t t v t t v t v t t t ∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆)(')('lim )()(lim lim000存在，即)('')('t s t v =。

于是，速度)(t v 时刻t 的导数，即运动规律)(t s 在时刻t 的二阶导数)(''t s 是物体运动在时刻t 的加速度。

第三章高阶导数与微分详解

第三章高阶导数与微分详解
三、高阶导数和微分
五、高阶导数
如果函数 f (x) 的导数 f (x) 在点 x 处可导，则 f (x) 在点 x 处的导
数称为函数 f (x) 在点 x 处的二阶导数，记作
y ，
f
( x)
，
d2y dx2
或
d dx
(dy) dx
例如：y=x 3 ，则 y =3x 2 ， y=6x
y=sinx，则 y =cosx， y=-sinx
)= sec 2 x dx ;
(4)d( )= xdx , d( )=cos3xdx , d( )= e t dt ,
(5)adx=d( ) , bxdx=d( ) ,
(6)sin3xdx=d( ) , cosaxdx=d( )
(7)e 2x dx=d( ) , e 3x dx=d( )
三、高阶导数和微分
y= e x ，则 y = e x ， y = e x
y=lnx，则
y
=
1 x
，
y
=-
1 x2
三、高阶导数和微分
类似的，二阶导数的导数称为三阶导数，记作：y ，f (x)或 d 3 y ；
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数，记作：
y(4)
，
f
(4)
( x) 或
d4y dx4
，一般地，
（n-1）阶导数的导数称为
=
1 cos
1
(-sin
1 x
) ( 1 )
x
x
x
=-tan
(cos 1 ) x
(-
1 x2
)=
1 x2
tan
1 x
dy=
1 x2
tan

高阶导数与微分

高阶导数与微分

高阶导数与微分微积分是数学中的重要分支，其核心概念之一就是导数。

在导数的基础上，我们可以引入高阶导数的概念，进一步深化对函数变化率的研究。

本文将探讨高阶导数与微分的关系以及它们在实际问题中的应用。

一、导数回顾在开始讨论高阶导数之前，我们先回顾一下导数的定义。

设函数f(x) 在某一点 a 处可导，那么 f(x) 在点 a 处的导数定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x) - f(a)] / (x - a)导数描述了函数在某一点上的变化率。

如果函数在所有点上都可导，我们可以得到一个新的函数 f'(x)，称为 f(x) 的一阶导函数。

二、高阶导数定义对导数概念的进一步推广就是高阶导数。

函数 f(x) 的二阶导数定义为：f''(x) = [f'(x)]'其中，[f'(x)]' 表示 f'(x) 的导数。

同样地，我们可以定义函数的三阶导数、四阶导数，以此类推。

三、高阶导数与微分之间的关系高阶导数与微分之间存在着密切的联系。

首先，我们知道导数可以看作是函数 f(x) 在某一点 a 处的线性近似。

那么，二阶导数 f''(x) 就是一阶导数 f'(x) 在点 x 处的线性近似。

具体而言，对于函数 f(x)，我们有以下等式成立：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2这个等式就是微分的定义。

它告诉我们，当 x 靠近 a 时，函数 f(x) 可以用它在点 a 处的函数值、一阶导数和二阶导数来近似表示。

同样地，我们可以使用高阶导数来推广微分的定义。

假设函数 f(x) 具有 n 阶导数，则有：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x - a)^n 其中，f^(n)(a) 表示函数 f(x) 的 n 阶导数在点 a 处的值。

高阶导数与高阶微分

高阶导数与高阶微分

由定义3.4知 : y(n)
x= x0
=
f
(n)
( x0
)
=
lim
∆x→0
f
(n−1) ( x0
+ ∆x) − ∆x
f
(n−1) ( x0 )
= lim f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) .
x → x0
x − x0
y(n) = f (n) (x) = lim f (n−1) (x + ∆x) − f (n−1) (x)
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
9
例 : 设y = ln(1+ x),求y(n).
解 : y′ = [ln(1+ x)]′ = 1 = (1+ x)−1 1+ x
y′′ = [ln(1+ x)]′′ = [(1+ x)−1]′ = (−1)(1+ x)−2
y′′′ = [ln(1+ x)]′′′ = [(−1)(1+ x)−2 ]′ = (−1)(−2)(1+ x)−3 设y(k) = [ln(1+ x)](k) = (−1)(−2)(−k +1)(1+ x)−k = (−1)k−1(k −1)!(1+ x)−k
解 : y(n) = a0n!
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
5
例 : 设y = ex , 求y(n)与y(n) (0).
解 : y′ = (ex )′ = ex , y′′ = (ex )′ = ex ,, y(n) = ex.
y(n) (0) = y(n) = ex = e0 = 1.

高等数学微积分第3章 第5节 高阶导数

高等数学微积分第3章 第5节 高阶导数
f
(n)
( x0 )
y
(n) x x0
d y n dx
n
x x0
d f n dx
n
x x0
(4)求法
2至5阶,反复求导.
n阶导数,先求几阶再总结规律.
例1 设 y e sin x , 试证 y 2 y 2 y 0.
x
(e x sin x ) (e x ) sin x (sin x )e x 证 y
d2y x 1 t 例6 设 y cos t ,求 2 . dx sin t dy sint 解 2t 2t dx
2
d y d sin t d sin t dt ( ) ( ) 2 dx dx 2t dt 2t dx
2
cos t 2t 2 sint 1 2 4t 2t sint t cos t . 3 4t
y ( 1)( 2)( 3)(2 x 3)4 23

y
(n )
( 1) n !(2 x 3)
n
( n 1)
2
n
例4 求 y cos x 的n阶导数. 解 y sin x cos(x ) 2 y sin(x ) ( x ) cos( x 2 ) 2 2 2 y sin(x 2 ) ( x 2 ) 2 2
x x
2e cos x
x
代入得
y 2 y 2 y 0.
例2 求 y x (n为正整数)的n阶导数.
n
解
nx n1 y
y n( n 1) x
n 2
y n( n 1)( n 2) x

高教社2024高等数学第五版教学课件-2.4 高阶导数


=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +

⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+

2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解 在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对 求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对 求导，得

((− ))

1
=
=

(
2

−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的 阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()


= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.

由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()

′ ()

《高等数学》第2章导数与微分


2.2.2 反函数的求导法则
定理 如果函数x = f ( y )在区间I y内单调、可导且 f ′( y ) ≠ 0,
内可导, 且有 : 1 dy 1 ( x)] = [f 或 = . f ′( y ) dx dx dy
−1
则它的反函数 y = f −1 ( x)在区间I x = {x | x = f ( x), y ∈ I y } ′
0
引例2 求平面曲线切线的斜率. 导数的几何意义 引例 解析： 解析：
曲线C = f ( x)上一点M ( x0 , y0 ), 其中y0 = f ( x0 ).求曲线C 在点M处的切线斜率. , y ), MN的斜率为 在曲线C上另取一点N ( x 则割线MN的斜率为 : y = f (x ) ∆y f ( x) − f ( x0 ) k MN = tan ϕ = = y ∆x x − x0 N 则上 当点N沿曲线C趋向于点M即x → x0 , M 式极限即为切线斜率 : ∆y f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) α ϕ k = tan α = lim = lim . ∆x →0 ∆x → 0 o x ∆x ∆x
f −′( x0 ) = ∆x → 0 lim
−
+
在闭区间 [a , b ]上可导 .
若函数 f ( x )在开区间 (a , b )内可导 , 且 f +′(a )及 f −′(b )都存在 , 则 f ( x )
求导步骤
(1)
求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)；
(2)
作比值
能力目标
通过导数与微分的学习，进一步培养学生 通过导数与微分的学习， 对比分析的思考能力. 对比分析的思考能力.

高等数学第二章高阶导数

§2.3 高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y

x2

1 3x

2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)

(1)n
n!
( x
1 2)n1

(x
1

1)
n1

18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作

2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2

3.3 高阶导数与微分概念

dy | x x0 f ( x0 )x
dy f ( x )x yx
ex 9. 设 y x , 求 dy.
Solution. y 1, dy x dx x.
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx x .
ex 3.设 f ( x ) cos x , 求 f
( n)
( x ).
Solution. f ( x ) sin x cos x 2
x cos x cos x 2 f ( x ) sin 2 2 2 2
dx 1 d2x ex 5.由 , 求 2 . dy y dy
Solution.
d2x d 1 2 dy y dy
d 1 dx dx y dy
1 1 2 y y y y 3 y
二. 高阶导数的运算法则
则 y( n) a0 n!
ex 2.设 y a x , 求 y (n ) .
Solution. y a x ln a ,
y a x ln 2 a ,,
y ( n ) a x ln n a.
注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结
果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
注意：求高阶导数的方法可归纳为三种
方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
方法3(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
x2 5 ex 7.设 y 2 , 求 y( n) . x 2x 3
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(et )(cos t sin t) et (cos t sin t) et (cos t sin t) et (sin t cost) 2et cos t
8
例2. y ax , (a 0, a 1) 求 y(n)
解 y ax ln a y ax ln 2 a y ax ln 3 a
3
RR0
4 3.14 10.01
0.13
(cm3 )
镀每只球需用的铜约为: 0.13 8.9 1.16(g).
39
小结
掌握高阶导数的求法 会利用可导与微分的关系求微分
两条经验
(1).求高阶导数一定要找到规律 (2).求微分的关键是求导数
40
作业 P86 2 5 6(2) P98 3单 4
41
35
例4 已知
求
解： 方程两边求导, 得
（隐函数的微分）
36
（四）、微分在近似计算中的应用
由微分定义知, 当 x 0时, y dy o( x )
dy f (x0)x
因此,当 | x | 很小时,有近似公式:
y dy f (x0 )x 即 f (x0 x) f (x0) f (x0)x
1 x2
d
(arctan
x)
1
1 x2
dx
d (arc
cot
x)
1
1 x2
dx
28
2、微分的四则运算法则：
设 u u(x), v v(x) 都可微， 则
d(u v) du dv
d (uv) vdu udv
d u v
vdu udv v2
29
3、复合函数 的微分法则：
设 y f (u), u (x)
22
函数 y f ( x) 在任意点 x 处的微分,称为函数的微分, 记作 dy , 或 df ( x).
即 dy f ( x )x f ( x ) x dx xx x
则 dy f ( x )dx
f ( x) dy “微商” dx
23
24
（二）、微分的几何意义
tan f (x0)
即 dy Ax
19
问题 1).函数应具备什么条件,其增量才可表示为
y Ax o( x ) 的形式?
2). 式中的 A 究竟等于什么?
20
定理 函数 y f ( x) 在点 x0 处可微的充分必要条件是 函数 y f (x) 在点 x0处可导. 且A f (x0).
证 (必要性) 设函数 y f ( x)在点 x0 处可微,
则有 y Ax o( x ) (A与x无关)
y x
A o( x ) x
y
lБайду номын сангаасm
x0 x
o( x )
A lim
x0 x
A
所以函数y f (x)在点 x0 处可导. 且A f (x0).
21
(充分性) 设函数 y f ( x)在点 x0处可导,
即
lim y x0 x
f (x0).
y x
微积分I
1
§3.5 高阶导数与微分
❖ 一、高阶导数 ❖ 二、微分
2
复习：函数求导的基本方法
1、求导定义与基本求导公式 2、求导四则运算与复合规则 3、隐函数求导与对数求导法
3
一、 高阶导数 引例，函数 y sin 2x, 一阶导数 y 2 cos 2x, 二阶导数 y ( y) 2(cos 2x) 4sin 2x, 三阶导数 y ( y) 4(sin 2x) 8cos2x,
y(n) a x ln n a
9
例3. y sin x 求 y(10) y(101) y(n)
解 y cos x y sin x y cos x y(4) sin x
看到4个一循环
y(10) sin x y(101) cos x 从而,得 y(n) sin x n
2
10
26
（三）、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
根据 dy f ( x )dx 可得基本初等函数的：
1、微分公式
d(c) 0
d ( x ) x1dx
d (ax ) ax ln adx
d (ex ) exdx
d (log a
x)
1 x ln
a
dx
d (ln x) 1 dx
x
d (sin x) cos xdx
31
例2. y ln(1 ex2 ) 求 dy
解
y [ln( 1 ex2 )]
1 1 ex2
(1
ex2 )
ex2 1 ex2
(x2 )
2 x ex2 1 ex2
dy ydx
2 x ex2 1 ex2
dx
32
例3. y x2e2x 求 dy 解 y (x2e2x )
(x2 )e2x x2(e2x ) e2x 2x 2x2e2x 2xe2x (1 x) dy ydx 2xe2x (1 x)dx
d (cos x) sin xdx d (tan x) sec2 xdx
d (cot x) csc2 xdx d (sec x) sec x tan xdx d (csc x) csc x cot xdx
27
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx
从而得到，近似计算的计算公式：
f x0 x f (x0 ) f (x0 )x
37
例5. 计算 3 1.02 的近似值.
解，设
f (x) 3 x, 则
f (x)
1
2
x3
3
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
x0 1 x 0.02
f 1 1
f
1
1 3
3
1.02
1
0.02 3
y f [(x)]
dy yxdx f [(x)](x)dx 而 (x)dx du
所以 dy f (u)du
微分形式的不变性
30
例1. y sin( 2x 1) 求 dy 解 y [sin( 2x 1)]
cos(2x 1)(2x 1) 2cos(2x 1)
dy ydx 2cos(2x 1)dx
4 f ( 2x ) f ( 2x )
14
d2y dx 2
d dy dx dx
[ 4 f ( 2x ) f ( 2x )]
4[ f ( 2x )] f ( 2x ) 4 f ( 2x )[ f ( 2x )]
4 f ( 2x )( 2x ) f ( 2x ) 4 f ( 2x ) f ( 2x )( 2x ) 8[ f ( 2x )]2 8 f ( 2x ) f ( 2x )
记作
y, f (x), d 3 y 或 d 3 f
dx3
dx3
三阶导数的导数，叫做四阶导数，
记作： y(4) , f (4) ( x), d 4 y 或 d 4 f
dx4
dx 4
6
n 一般地， (n 1) 阶导数的导数，叫做 阶导数，
记作：
y(n) , f (n) (x),
dny 或 dn f
dxn
15
一句话：
高阶导数就是：导数的导数
别忘记了：
求n阶导数一定要找到规律
16
二、函数的微分
1、微分的定义 2、微分的几何意义 3、基本初等函数的微分公式与微分法则 4、微分在近似计算中的应用
17
（一）、微分的定义
引例. 一块正方形金属薄片受温度的影响,
其边长由 x0 变到 x0 x, 问此薄片的
y
难
y
(
x y
)
xy xy y2
点
x
y
x( y2
y
)
x2 y3
y2
1 y3
13
提高题目
例5. 若
f (x) 存在,
y
f 2(2x),
求
d2y dx2
解 dy [ f 2( 2x )] dx
2 f ( 2x )[ f ( 2x )]
（隐函数的高阶导数）
2 f (2x) f (2x)(2x)
QN y
y
MQ x
QP MQ tan
f (x0) x 0
dy
y f (x)
N
T
P
y
M
dy
x0
Q
x0 x
x
25
函数 y f ( x) 在点 M ( x0, y0 ) 处的微分,
是曲线的切线上点的纵坐标相应的增量.
当 | x | 很小时，| y dy | 比 | x |小得多，
因此，在点M的邻近可用切线段近似代替曲线段.
经验
求高阶导数一定要找到规律
11
练习一下
1、已知 y xe x ，求 y n
2、已知 yn2 x ln x ，求 y n , y2n
解：
1 yn x n ex
2 yn 1 x1 x
y2n 1 2 n xn1
12
例4 已知 x2 y2 1 求 y （隐函数的高阶导数）
解 2x 2 y y 0 y x
1.0067.
38
提高题目
例6. 有一批半径为 1cm 的球,为了提高球面的光洁 度,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm, 估计一下每只球 需用铜多少克?
(铜的密度是 8.9g / cm3)
解 只须求出镀层的体积. 它等于两个球体体积之差.
v 4 R3 R0 1 R 0.01
3
v
( 4 R3) R 4 R20R
4
一般地，函数 y f ( x)的导数 y f (x)仍是 x 的函数， 称 y f (x)的导数为函数 y f (x) 的二阶导数