数学---吉林省长春市第一中学2016届高三下学期期中考试(文)

吉林省吉林市第三中学2016届高三下学期期中考试（文）注意事项：1． 本试题共4页，满分150分，考试时间90分钟。

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。

3. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.设集合{}{}2|22,,|,12A x x x R B y y x x =-≤∈==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．{}|R,0x x x ∈≠B ．RC ．{}0D ．∅ 2.过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y +-= 3.已知不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列四个命题，其中假命题有（ ）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭；②//////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭；③,n m n m βα⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面；④//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.已知两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线30mx y ++=的距离相等，则m 的值等于（ ） A ．102或-B ．162-或C ．1122-或D ．102或 5.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ）A ．48+B ．48+C ．36+D ．36+6.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（ ） A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++=7. ）A ．3πB ．4πC ．D ．6π8.若偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是（ ） A ．12(,)33B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12(,)23 D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.若234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.一个光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ） A ．5335--或 B ．3322-或- C ．5445--或 D ．4334--或 11.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13 B C D ．23 12.函数2()f x x x a =+-，若1()2f 和1()2f -都不是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11(,)22- D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡内.)13．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sin C=2sin B，则A=．15．设双曲线﹣y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、P n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P k F|的长度为a k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a n}成等差数列且公差d∈（，），则n最大取值为．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．三、解答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题12分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、（本题满分12分）两次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．18、(本题满分12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a －3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．19、（本题满分12分）已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．20、（本题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．(本题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA ＝m FA，MB ＝n FB，求m ＋n 的值．22、（本题满分10分）已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0， 求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．参考答案一、选择题1-12、DDABA DBBCC AC二、填空题13． 2 14．30° 15． 14 16． ②③④ 三、解答题17.解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b 包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个． …2分 (1)∵直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切， ∴5a 2＋b2＝1，整理得：a 2＋b 2＝25. ……….4分 由于a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，∴满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4，或a ＝4，b ＝3两种情况．∴直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118. …. …6分(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形， ∴当a ＝1时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝2时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝3时，b ＝3，5，共2个基本事件； 当a ＝4时，b ＝4，5，共2个基本事件；当a ＝5时，b ＝1，2，3，4，5，6，共6个基本事件； 当a ＝6时，b ＝5，6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718. ………..12分18．解：∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根， 则x 1＋x 2＝m 且x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8， 当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立可得：a 2－5a －3≥3， ∴a ≥6或a ≤－1.所以命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1. ………..5分 命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，当a >0时，显然有解； 当a ＝0时，2x －1>0有解； 当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0有解， ∴Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0， 从而命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解时a >－1.又命题q 为假命题，∴a ≤－1. ………10分综上得，若p 为真命题且q 为假命题则a 的取值范围是(--1] ，. ………12分 19．解：设动点M 的坐标为(x ，y )． 设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① ………..4分(1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y 2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)； ……….6分 (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时， tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；………9分(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0.综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)． ………12分 20．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. ………..5分 (2)假设存在符合题意的直线l ， 其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. …………12分 21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1. ……………5分(2)易求出椭圆C 的右焦点F (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x 25＋y 2＝1，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0. ∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2.又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，＝(x 1－2，y 1)，＝(x 2－2，y 2)． ∵MA →＝m ，MB →＝n ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2，∴m ＋n ＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2，又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k 2＝－101＋5k 2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2，∴m ＋n ＝10. ……..12分 22．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＋6＝0， 即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．FA FBFA FB设cos θ＝2（x －2）2，sin θ＝2（y －2）2， 所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ.(θ为参数)． …….5分(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ)＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋ 2cos θ·sin θ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，t ∈[－2，2]． 所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值为1；当t ＝2时，xy 有最大值为9. ………10分。

2024学年吉林省长春市第一五一中学高三下学期月考四（期末考试）全国卷1数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 2．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．223．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 4．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--5．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．8．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）A ．10110B ．9110C ．11111D ．122119．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个10．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．23⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(311．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市榆树第一高级中学2025届高三下学期一模考试语文试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1、阅读下面的文字，完成下面小题。

带着风声的花刘成章①半世纪前的某年某月，有一批血气方刚的艺术家，把“山丹丹”这个口语里、民歌里才有的声音，从民间的唇上搬下来，让它第一次以文字的形式，开放在中华民族的典籍里。

那批艺术家是延安鲁艺的人。

我那时年小，并不知道此事，不过我却知道，山丹丹是我们陕北一种极好看的野花。

我们陕北那么穷苦荒凉的土地上，居然能生出如此高雅如此绮丽如此奢华的花！②有一年夏天，我们几个七八岁的娃娃，大着胆子结伴上山。

虽然山上山下不足十里的路程，但好像到了另一个世界。

一片一片的云，一湾一湾的水，糜谷风带着沁人肺腑的清香，哧溜溜地吹过重重山梁，我们的衣裳和头发也被吹得就像活了。

我们在欢笑打闹中爬上跳下。

跑了好久，到了一道不长庄稼的荒草坡，那儿烈日照不上，我们就坐下乘阴凉。

忽然，我们中的一个娃娃大声喊叫：“山丹丹！”应着喊声，我们一双双眼睛倏忽一亮。

啊，真的是山丹丹！在不远处的畔上，好红好红！我们就一起跑过去，看了又看。

我们还一齐趴在那里，伸出各自的小黑爪子，拱成一个花盆儿，而山丹丹就像栽到里边了，在花盆里迎风迎雨，快乐地生长和开花。

③后来，有个同伴提议：咱们把这山丹丹挖回去栽上。

我们都觉得这是个好主意，就捡了几块小石头当工具，把它连根儿挖了出来。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B =( ) A. {}0,1,2,3,4 B. {}0,1,2 C. {}0,2,4 D. {}1,2【答案】A 【解析】试题分析：题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A. 考点：集合中元素的计算与集合的性质. 2.复数1+1ii-（i 是虚数单位）等于( ) A. 1 B. 2 C. iD. 2i【答案】C 【解析】试题分析：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，故选C. 考点：复数的除法运算.3.抛物线24y x =-的准线方程为( ) A. 1y =- B. 1y = C. 1x =- D. 1x =【答案】D 【解析】试题分析：由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 考点：抛物线的准线的概念.4.已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a b ∙= ( )A. 12-B. 20-C. 12D. 20【答案】D 【解析】 试题分析：()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则41620a b ⋅=+=，故选D.考点：向量的基本运算. 5.下列说法中正确的是( )A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D. “若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 【答案】 D 【解析】试题分析：选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q ∧为假命题，只能判定,p q 中至少有一个为假命题；选项D 的说法正确，故选D. 考点：对逻辑问题的综合考查.6.若实数,x y 满足2211x y y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最小值为( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.考点：线性规划.7.执行如图所示的程序框图,输出的s 为( )A.20152016B.20142015 C. 20162015 D. 20172016【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图，当2015k =时，还应该进入循环，而当2016k =时，不再进入循环，故输出结果为20152016，故选A. 考点：程序框图.8.在ABC ∆中, 2,3AB AC ==,BC =,则ABC ∆的面积为( )A.【答案】C 【解析】试题分析：由题意，根据余弦定理可得，cos C =sin C =，故1sin 2ABCS AC BC C =⋅⋅=故选C.考点：9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 4+B. 6+C. 2+D. 2+【答案】B考点：三视图.10.已知函数3||xxye=,则其图像为( )【答案】A 【解析】试题分析：函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.考点：函数图象. 11.函数()sin()cos()66f x x x ππ=++，给出下列结论: ① ()f x 的最小正周期为 π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为(,0)6π④ ()6f x π-是奇函数其中正确结论的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：由题1()sin()cos()sin(2)6623f x x x x πππ=++=+，可知①④正确，故选B. 考点：三角变换.12.设()f x 是定义在R 上的偶函数,对x ∈R ,都有(2)(2)f x f x -=+,且当[]2,0x ∈-时,1()()12x f x =-.若在区间[]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同实根,则a 的取值范围是（ ）A. 2a <<B. 12a << a << D. 1a <<【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知，()log (2)a f x x =+的图像如右图所示，若要保证()log (2)a f x x =+有三个交点，只需log 43log 8a a <<，即348a <<2a <<.考点：第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.利用分层抽样的方式在学生总数为1200人的年级中抽出20名同学,其中有女生8人,则该年级男生的人数约为___________. 【答案】720 【解析】试题分析：由于样本容量为20，所以其中的男生人数为12，从而年级男生人数为12120072020⨯=（人）. 考点：分层抽样.14.已知3log 21x =,则42x x-=________. 【答案】6 【解析】试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=.考点：对数运算的基本性质.15.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F .若椭圆上存在点P 使1290F PF ∠=︒.则椭圆的离心率的取值范围是________.1e ≤< 【解析】试题分析：以线段12F F 为直径的圆与椭圆有公共点，所以22b c ≤，即222a c c -≤，212e ≤，1e ≤<. 考点：椭圆的离心率.16.已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________. 【答案】6π 【解析】试题分析：已知四面体棱长为26π.考点：球的内接几何体问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,20a = ,5421S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）2n a n =-；（2）242n n T -=-. 【解析】试题分析：本题考查等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式将已知表达式展开，解方程组得出1a 和d 的值，再代回到等差数列的通项公式中即可得到结论；第二问，将第一问的结论代入，即可判断数列{}n b 是等比数列，利用等比数列的前n 项和公式求和计算即可得到结论.试题解析：(1) 设公差为d ，有1110,510261a d a d a d +=+=+-，解得11,1d a =-=，所以2n a n =-. （6分）(2) 由(1)知，22n n b -=，所以212[1()]242112n n n T --==--. （12分） 考点：等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式. 18.(本小题满分12分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下: 女生:男生:(1)现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;(2)完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）35；（2）没有把握. 【解析】试题分析：本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，根据题意知，“睡眠严重不足”的有2人，睡眠时间在[5,6)的有4人，在这6人中选2人，把所有人都用字母表示，写出所有情况，在所有情况中选出符合题意的情况共12种，最后计算概率；第二问，第二问，利用2k 的公式计算，再查表进行比较大小即可判断.试题解析：(1) 选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为,A B ，睡眠时间在[5,6)的有4人，设为,,,a b c d . 从中选取3人的情况有,,,ABa ABb ABc,,,,,,,,,,,,,,,ABd Aab Aac Aad Abc Abd Acd Bab Bac Bad Bbc Bbd Bcd abc abd ,acd bcd ，其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，因此3人中恰有一个为“严重睡眠不足”的概率为123205=（6分） (2)220(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）考点：概率、统计案例. 19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =. (1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置; (2)在（1）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC A B C -的体积比.【答案】（1）点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处；（2）体积比为23.考点：锥体体积公式、线面垂直.20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,离心率e =过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2) D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时D 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）DEF S ∆取最小值，此时D .【解析】试题分析：本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 第一问，椭圆的离心率和已知条件，得到x 与y 的关系式，经过整理即可得到椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式以及韦达定理，得到||OD 和||EF 的长，代入到三角形面积公式中，利用配方法求面积的最小值.试题解析：(1)由题意，c e a ==又221b a =，可解得2,1a b ==，因此椭圆的标准方程为2214x y +=.（5分）(2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=- 设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y --由2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1|||2|EF x ==同理可得2x =||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEF S ∆取最小值，此时D . （12分） 考点：椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、函数最值.21.(本小题满分12分)已知函数()1x f x e ax =--.(1)判断函数()f x 的单调性;(2)若()()ln F x f x x x =-,若函数()F x 存在零点 ,求实数a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）[1,)e -+∞.【解析】试题分析：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力、转化能力、计算能力. 第一问，对()f x 求导，对a 进行讨论，分0a ≤和0a >两种情况，利用'()0f x >和'()0f x <进行判断；第二问，将已知代入到()F x 中，转化为1ln x e a x x x =--，构造函数1()ln x e h x x x x=--，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，可以画出函数的简图，令y a =与函数图象相交，找出a 的取值范围.试题解析：(1) ()1x f x e ax =--，()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分） (2) 令()()ln 0F x f x x x =-=，则1ln x e a x x x=--， 令11()ln ln x x e e h x x x x x x-=--=-，当x 无限靠近于0时，()h x 趋近于+∞. 2211(1)(1)()x x x xe e e x h x x x x-+--'=-=，令()0h x '=可得1x =，可知(0,1)x ∈时，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增. 因此()h x 的值域为[(1),)h +∞，即为[1,)e -+∞，因此函数()F x 存在零点时，实数a 的取值范围是[1,)e -+∞.考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数判断函数的单调性.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲.已知ABC ∆中, AB AC =,以点B 为圆心,以BC 为半径的圆分别交AB ,AC 于两D ,E 两点,且EF 为该圆的直径.(1)求证: 2A F ∠=∠;(2)若112AE EC ==.求BC 的长.【答案】（1）证明详见解析；（2）BC =. 【解析】试题分析：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容，本小题重点考查考生对平面几何推理能力.第一问，在等腰三角形ABC 中，得到ABC ACB ∠=∠，在等腰三角形BCE 中，得到BEC ECB ∠=∠，经过转化得到BEC ABC ∠=∠，所以2A EBC F ∠=∠=∠；第二问，结合第一问的结论得到ABC ∆∽BEC ∆，从而得到边的比例关系，计算出BC 的长.试题解析：(1) 因为AC AB =，所以ABC ACB ∠=∠，又因为BC BE =，所以BEC ECB ∠=∠，所以BEC ABC ∠=∠，所以2A EBC F ∠=∠=∠. （5分）(2) 由(1)可知ABC ∆∽BEC ∆，从而EC BC BC AC=，由1,2,3AE EC AC ===，得BC =. （10分） 考点：平面几何的证明、三角形相似.23.(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）2213x y +=，40x y +-=；（2）(2) 设点P 坐标为,sin )θθ，点P 到直线l 的距离)3d πθ==+所以点P 到直线l 距离的最大值为 （10分） 考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离.24.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲.已知函数()|||5|f x x a x =-+-.(1)若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围;(2)当2a =时,求：不等式2()815f x x x -+≥的解集.【答案】（1）2a ≤或8a ≥；（2）{|25x x ≤≤.【解析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.第一问，利用不等式的性质得|||5||5|x a x a -+-≥-，所以不等式()3f x ≥恒成立,可以转化为|5|3a -≥，解绝对值不等式即可得到a 的取值范围；第二问，先把函数()f x 写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.试题解析：(1) 由于()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥. （5分）(2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩， 原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+⎩，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩解得25x ≤≤+{|25x x ≤≤+.（10分） 考点：绝对值不等式、不等式的性质.：。

阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] D[解析]由线面垂直的性质知①正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，∴②正确；由m⊥α，m∥n知n⊥α，又n⊂β，∴α⊥β，∴③正确；如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD与平面ADD1A1分别为α、β，CC1为m，则m∥α，α∩β＝n，但m与n不平行，∴④错，故选D．(理)(2014·浙江台州中学期中)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析]①中可能有b⊂α；②中a⊂β，或a∥β，a与β斜交，a⊥β，都有可能；③中可能有a⊂α；若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，又b⊥β，∴α⊥β，∴④正确，故选B．2．(2014·山东省博兴二中质检)设m、n是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β[答案] B[解析] 设m 与n 相交，m 、n 都在平面γ内，γ∥α，γ∥β时，满足A 的条件，∴A 错；若m ⊥α，α⊥β，则m ⊂β或m ∥β，又n ⊥β，∴n ⊥m ，∴B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，结合n ⊂β得不出α⊥β，故C 错；当m ∥n 且满足D 的条件时，得不出α∥β，故D 错．3．(2015·河南八校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．16π3B ．8π3C ．43D ．23π[答案] A [解析] 由三视图知该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，其底长为2，高为1，棱锥高为3，顶点在底面射影为等腰直角三角形底边的中点D ，直观图如图，BD ⊥AC ，PD ⊥平面ABC ，DA＝DB ＝DC ＝1，故球心O 在PD 上，设OP ＝R ，则(3－R)2＋12＝R2，∴R ＝233.∴S 球＝4πR2＝16π3.4．(文)(2014·吉林市摸底)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．17＋65B ．34＋6 5C ．6＋65＋43D ．6＋63＋413[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6,2，四棱锥的高是4，其直观图如图，作PE ⊥平面ABCD ，则垂足E 为AD 的中点，PE ＝4，作EF ⊥BC ，垂足为F ，则PF ⊥BC ，∵EF ＝2，∴PF ＝25，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥PA ，PA ＝PE2＋AE2＝5，∴S ＝6×2＋12×6×4＋12×6×25＋2×(12×2×5)＝34＋65，故选B ．(理)(2015·豫南九校联考)已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．25C ．6D ．8 [答案]C [解析] 由三视图知，该几何体是四棱锥，其直观图如图，其四个侧面中面积最大的是△PBC ，由图中数据知AB ＝2，BC ＝4，PA ＝PD ＝3，∴PE ＝5，取BC 中点F ，则EF ⊥BC ，∴PF ⊥BC ，PF ＝PE2＋EF2＝3，∴S △PBC ＝12BC·PF ＝6.5．(2014·云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个半径为1的球，截去14，故其体积为V ＝34·(4π3·13)＝π.6．(2015·江西三县联考)平面α与平面β平行的条件可以是( )A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行[答案] D[解析] 当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行，故A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D ．7．(2014·长春市一调)某几何体的三视图如图(其中俯视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为( )A ．92＋14πB ．82＋14πC ．92＋24πD ．82＋24π[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是一个组合体，下部是长宽分别为5、4，高为4的长方体，上部为底半径为2，高为5的半圆柱，故其表面积S ＝5×4＋(5＋4)×2×4＋π·22＋12(2π×2×5)＝92＋14π，故选A ．8．(2015·许昌、平顶山、新乡调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．103B ．10C ．30D ．24＋2 5[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，S 底＝12×(2＋3)×2＝5，棱柱高为2，V ＝5×2＝10.9．(2015·广东揭阳一中期中)下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线[答案] D[解析] 当直线l 在平面α内时可知D 错误．10．(文)(2015·广东执信中学期中)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为( )[答案] B[解析] 其左视图可考虑在原正方体中，将该几何体投射到平面BCC1B1上，则A 点射影为B ，D 点射影为C ，D1点射影为C1，AD1的射影为BC1，应为实线，DD1的射影CC1为实线，B1C 应为虚线(左下到右上)，故应选B ．(理)(2015·甘肃天水一中段测)在正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是( )A ．3010B ．12C ．3015D ．1510[答案] A[解析] 以A 为原点，直线AB 、AD 、AA1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则B(1,0,0)，E1(12，0,1)，F1(12，12，1)，∴AF1→＝(12，12，1)，BE1→＝(－12，0,1)．cos 〈AF1→，BE1→〉＝AF1→·BE1→|AF1→||BE1→|＝3452×62＝3010，故选A ． 11．(2015·深圳市五校联考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A ．233B ．223C ．6D ．7[答案] A[解析] 由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V ＝V 正方体－2V 三棱锥＝2×2×2－2×(13×12×1×1×1)＝233.12．(2014·长沙市重点中学月考)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．2＋1＋52πB ．2＋1＋252πC ．2＋(1＋5)πD ．2＋2＋52π[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是倒立的半个圆锥，圆锥的底半径为1，高为2，故其表面积为S ＝12π·12＋12×2×2＋12π·1·22＋12＝2＋1＋52π，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2015·甘肃天水一中段测)若某几何体的三视图如下，该几何体的体积为2，则俯视图中的x ＝________.[答案] 2[解析] 由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为2，底面为直角梯形，面积S ＝12(1＋x)×2＝1＋x ，因此V ＝13Sh ＝13·(1＋x)·2＝2，解得x ＝2.14．(2014·成都七中模拟)已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，点M 是BC1的中点，P 是BB1一动点，则(AP ＋MP)2的最小值为________．[答案] 52[解析] 将平面ABB1A1展开到与平面CBB1C1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP)2最小．AM2＝AB2＋BM2－2AB×BMcos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52.15．(2014·海南省文昌市检测)边长是22的正三角形ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案] 433[解析] 设球半径为R ，则由条件知43πR3＝43π，∴R ＝3，正三角形ABC 所在平面截球得截面如图，OO1⊥平面ABC(O1为△ABC 的中心)，OA ＝3，O1A ＝23×32×22＝263，∴OO1＝OA2－O1A2＝33，∴球面上的点到平面ABC 的最大距离为PO1＝PO ＋OO1＝433.16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．[答案] 9[解析] 由三视图可得该几何体是一个三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为6，高为3，三棱锥的高为3，所以V ＝13×(12×6×3)×3＝9.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2015·石光中学月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(3)求四棱锥P －ABCD 的体积．[解析] (1)连接EF ，AC ，∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点， ∴对角线AC 经过F 点，又点E 为PC 的中点，∴EF 为△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ．又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ．(2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，∴CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD ．(3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高，又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a 2.∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD·PG ＝13×a2×a 2＝16a3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·合肥市质检)如图，在多面体ABCDFE中，底面ABCD 是梯形，且AD ＝DC ＝CB ＝12AB ．直角梯形ACEF 中，EF 綊12AC ，∠ECA 是直角，且平面ACEF ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥AF ；(2)试判断直线DF 与平面BCE 的位置关系，并证明你的结论．[解析] (1)证明：取AB 的中点H ，连接CH ，∵底面ABCD 是梯形，且AD ＝DC ＝CB ＝12AB ，易证四边形AHCD 为菱形，∴AD ＝HC ＝12AB ，∴∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ．∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BC ⊥平面ACEF ，而AF ⊂平面ACEF ，故BC ⊥AF.(2)DF ∥平面BCE.证明如下：连接DH 交AC 于点M ，易知M 为AC 的中点，连接FM.在菱形AHCD 中，DM ⊥AC ，由第一问知BC ⊥AC ，故DM ∥BC ．在直角梯形ACEF 中，EF 綊CM ，四边形EFMC 是平行四边形，故FM ∥EC ．而BC ，CE ⊂平面BCE ，BC ∩CE ＝C ，而DM ，MF ⊂平面DMF ，DM ∩MF ＝M ，故平面BCE ∥平面DMF ，DF ⊂平面DMF ，从而，DF ∥平面BCE.(理)(2014·天津南开中学月考)如图，三棱柱ABC －A1B1C1的底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为3，且侧棱与底面垂直，D 为B1C1的中点．(1)求证AC1∥平面A1BD ；(2)求异面直线AC1与BD 所成角的余弦值；(3)求二面角B1－A1B －D 的平面角的正弦值．[解析] 因为三棱柱的侧棱垂直于底面，所以平面BB1C1C ⊥平面A1B1C1.在等腰三角形A1B1C1中，D 为B1C1中点，∴A1D ⊥B1C1，∴A1D ⊥平面BB1C1C ．取BC 的中点E ，连接DE ，则直线ED ，B1C1，A1D 两两垂直．如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，在等边三角形A1B1C1中，边长为2，所以A1D ＝3，所以D(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(－1,0,0)，A1(0,0，3)，B(1，－3，0)，C(－1，－3，0)，A(0，－3，3)．(1)证明：DA1→＝(0,0，3)，DB →＝(1，－3，0)．设平面A1BD 的一个法向量为m ＝(x1，y1，z1)，则⎩⎨⎧ 3z ＝0，x1－3y1＝0.令y1＝3，则x1＝3，z1＝0. 所以m ＝(3，3，0)．又AC1→＝(－1，3，－3)，AC1→·m ＝0，∴AC1→⊥m ，又∵AC1⊄平面BDA1，∴AC1∥平面BDA1.(2)AC1→＝(－1，3，－3)，DB →＝(1，－3，0)，cos 〈AC1→，DB →〉＝AC1→·DB →|AC1→|·|DB →|＝－1－37·2＝－277. 异面直线AC1与BD 所成角的余弦值为277.(3)B1B →＝(0，－3，0)，B1A1→＝(－1,0，3)，设平面B1BA1的一个法向量为n ＝(x2，y2，z2)，则⎩⎨⎧ －3y2＝0，－x2＋3z2＝0.令z2＝3，则x2＝3. 所以n ＝(3,0，3)．cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝912＝34.∴二面角B1－A1B －D 的平面角的正弦值为74.19．(本小题满分12分)(文)(2015·江西三县联考)如图，四边形ABEF 是等腰梯形，AB ∥EF ，AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22，ABCD 是矩形．AD ⊥平面ABEF ，其中Q ，M 分别是AC ，EF 的中点，P 是BM 中点．(1)求证：PQ ∥平面BCE ；(2)求证：AM ⊥平面BCM ；(3)求点F 到平面BCE 的距离．[解析] (1)因为AB ∥EM ，且AB ＝EM ，所以四边形ABEM 为平行四边形．连接AE ，则AE 过点P ，且P 为AE 中点，又Q 为AC 中点，所以PQ 是△ACE 的中位线，于是PQ ∥CE.∵CE ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE.(2)AD ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥AM.在等腰梯形ABEF 中，由AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22，可得∠BEF ＝45°，BM ＝AM ＝2，∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM ⊥BM.又BC ∩BM ＝B ，∴AM ⊥平面BCM.(3)解法一：点F 到平面BCE 的距离是M 到平面BCE 的距离的2倍，∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB ⊥BE ，∵MB ⊥BC ，BC ∩BE ＝B ，∴MB ⊥平面BCE ，∴d ＝2MB ＝4.解法二：VC －BEF ＝13S △BEF·BC ＝43BC ，VF －BCE ＝13S △BCE·d ＝d 3BC ．∵VC －BEF ＝VF －BCE ，∴d ＝4.(理)(2014·成都七中模拟)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上且AG ＝13GD ，GB ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点，四面体P －BCG 的体积为83.(1)求过P 、C 、B 、G 四点的球的表面积；(2)求直线DP 与平面PBG 所成角的正弦值；(3)在棱PC 上是否存在一点F ，使DF ⊥GC ，若存在，确定点F 的位置，若不存在，说明理由．[解析] (1)∵四面体P －BCG 的体积为83，GB ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，PG ⊥平面ABCD ，∴PG ＝4，以GP ，GB ，GC 为棱构造长方体，外接球的直径为长方体的对角线．∴(2R)2＝16＋4＋4，∴R ＝6，∴S ＝4π×6＝24π.(2)∵GB ＝GC ＝2，∠BGC ＝π2，E 为BC 的中点，∴GE ＝2，BGsin ∠AGB ＝2，∴∠AGB ＝π4，作DK ⊥BG 交BG 的延长线于K ，∴DK ⊥平面BPG ，∵BC ＝BG2＋CG2＝22，∴DG ＝34BC ＝322，∴DK ＝GK ＝32，PD ＝412. 设直线DP 与平面PBG 所成角为α，∴sinα＝DK DP ＝38282.(3)假设F 存在，过F 作FF ′⊥GC 交GC 于F ′，则必有DF ′⊥GC ．因为AG ＝13GD ，且AD ＝22，所以GD ＝322，又∠DGF ′＝45°，∴GF ′＝32＝34GC ，∴PF ＝34PC ．∴当CF CP ＝14时满足条件．20．(本小题满分12分)(2015·大连市二十中期中)如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．(1)当BE ＝1时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，指出P 点位置，若不存在，说明理由；(2)设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A －CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．[解析] (1)存在点P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时AP AD ＝35.证明如下：AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有MP FD ＝35，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．(2)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ． 由已知BE ＝x ，所以AF ＝x(0<x<4)，FD ＝6－x.故VA －CDF ＝13·(12DF·EF)·AF ＝13·12·2·(6－x)·x ＝13(6x －x2)＝13[－(x －3)2＋9]＝－13(x －3)2＋3.所以，当x ＝3时，VA －CDF 有最大值，最大值为3.21．(本小题满分12分)(文)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，BC ＝2，AB ＝AC ＝AA1＝1，D 是棱CC1上的一点，P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.(2)求证：CD ＝C1D ；(2)求点C 到平面B1DP 的距离．[解析] (1)证明：连接B1A 交BA1于O ，∵PB1∥平面BDA1，B1P ⊂平面AB1P ，平面AB1P ∩平面BA1D ＝OD ，∴B1P ∥OD ．又∵O 为B1A 的中点，∴D 为AP 的中点，∴C1为A1P 的中点，∴△ACD ≌△PC1D ，∴CD ＝C1D ；(2)因为VC －B1PD ＝VB1－PCD所以13h·S △B1PD ＝13A1B1·S △PCD ，∵A1B1＝1，S △PCD ＝12CD·PC1＝14，在△B1PD 中，B1D ＝32，B1P ＝5，PD ＝52，∴cos ∠DB1P ＝255，sin ∠DB1P ＝55.∴S △B1PD ＝12×32×5×55＝34，∴h ＝13.(理) (2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若∠DAB ＝∠DBF ＝60°，且FA ＝FC ．(1)求证：FC ∥平面EAD ；(2)求二面角A －FC －B 的余弦值．[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∴AD ∥BC ，DE ∥BF.∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ，∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD ．(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，∴△DBF 为等边三角形， ∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且FA ＝FC ，∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O(0,0,0)，A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(－3，0,0)，F(0,0，3)，∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)，设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n·CF →＝0，n·CB →＝0，∴⎩⎨⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0， 令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，∵BD ⊥平面AFC ，∴平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)．∵二面角A －FC －B 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝|n·OB →||n|·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155， ∴二面角A －FC －B 的余弦值为155.22．(本小题满分14分)(文)(2014·黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AA1＝AC ＝2AB ＝2，且BC1⊥A1C ．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D 是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E －ABC1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A1B1C1中，有A1A ⊥平面ABC ．∴A1A ⊥AC ，又A1A ＝AC ，∴A1C ⊥AC1.又BC1⊥A1C ，∴A1C ⊥平面ABC1，∵A1C ⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1CC1.(2)存在，E 为BB1的中点．取A1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC1，∴平面EFD ∥平面ABC1，则有ED ∥平面ABC1.当E 为BB1的中点时，VE －ABC1＝VC1－ABE ＝13×2×12×1×1＝13.(理)(2014·浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 为棱CC ′上任意一点，AB ＝BC ＝2，CC ′＝1.(1)求证：平面ACC ′A ′⊥平面BDE ；(2)若点P 为棱C ′D ′的中点，点E 为棱CC ′的中点，求二面角P －BD －E 的余弦值．[解析] (1)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵CC ′⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC ′，又CC ′∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC ′A ′，∴平面BDE ⊥平面ACC ′A ′.(2)以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD ′为z 轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，12)，P(0,1,1)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m·DB →＝2x ＋2y ＝0，m·DE →＝2y ＋12z ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝4，∴m ＝(1，－1,4)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， ∵DP →＝(0,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n·DB →＝2x ＋2y ＝0，n·DP →＝y ＋z ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(1，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝63，∴二面角P －BD －E 的余弦值为63.。

2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x +3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知α,β是两个平面，l,m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若m ⊥α,l ⊥m ，则l ⊥α B. 若m//β,n//β，则m//n C. 若m//α,l ⊥α，则l ⊥mD. 若α//β,m//α，则m//β3.已知两直线l 1:3x +4y−14=0,l 2:(a−2)x +4y +a =0，若l 1//l 2，则l 1与l 2间的距离为( )A. 95B. 125C. 175D. 1954.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )A. 712B. 12C. 512D. 135.在平行四边形ABCD 中，点E,F,G 分别满足DE =EC ,BC =2BG ,AF =2FE ，则FG =( )A. 23AB−16ADB. 23AB +16ADC. 16AB−23ADD. 16AB +23AD6.已知圆M 经过P (1,1),Q (2,−2)两点，且圆心M 在直线l:x−y +1=0，则圆M 的标准方程是( )A. (x−2)2+(y−3)2=5 B. (x−3)2+(y−4)2=13C. (x +3)2+(y +2)2=25D. (x +3)2+(y−2)2=257.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ⊥BC,AB =BC =AA 1=2,P 为线段A 1B 1的中点，Q 为线段C 1P 上一点，则▵BCQ 面积的取值范围为( )A. [2,6] B. [2,5] C. [ 3,5] D. [ 2,5]8.已知点A,B是圆C:(x−2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线l:x+y=0上动点，且PA⋅CA=0,PB⋅CB =0，下列说法正确的是( )A. 圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B. PA长的最小值为2−1C. 四边形ACBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点(32,−12)二、多选题：本题共3小题，共18分。

吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知为虚数单位，复数的虚部是（）.A．B．C．D．(★) 2. 欲证成立，只需证（）A．B．C．D．(★) 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84(★) 4. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是增函数(★★) 5. 设，，，则的值分别为（）A．18，B．36, C．36，D．18，(★★) 6. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数（个）2345加工时间（分264954钟）根据上表可得回归方程，则实数的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5(★★) 7. 函数在上的最大值、最小值分别是（）A．B．C．D．(★★) 8. 利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（）A．1项B．项C．项D．项(★★★) 9. 甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 ( )．A．B．C．D．(★★★) 10. 已知函数为偶函数，且时，，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．或D．(★★★) 11. 已知，其导函数是，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知可导函数满足，则当时，和的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 一个物体的位移 s（米）与时间 t（秒）的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是 ______ 米/秒(★★) 14. 曲线在处切线的倾斜角为______．(★) 15. 设，则________.(★★) 16. 下列各命题中，正确的是______．（1）若是连续的奇函数，则（2）若是连续的偶函数，则（3）若在上连续且恒为正，则（4）若在上连续且，则在上恒为正．三、解答题(★★★) 17. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球 不喜爱打篮球合计 男生5女生5合计45已知在全部45人中随机抽取1人，是男同学的概率为 （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关，请说明理由．附参考公式：0.150，100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(★★) 18. 已知曲线在处的切线与平行．（1）求的解析式（2）求由曲线与所围成的平面图形的面积． (★★) 19. 已知函数，是的一个极值点，求：（1）实数 a 的值； （2）在区间上的最大值和最小值．(★★★) 20. 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.(1)求所选3人中恰有一名男生的概率(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望(★★★) 21. 已知函数在处取得极小值．（1）求函数的单调增区间；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 22. 已知函数.（Ⅰ）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．。

吉林省长春市第一五一中学2025届高三一诊考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．22．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．453．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离4．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469a a a ++=,则()13573log a a a ++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．9916．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π7．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A．2y x =±B ．y x =±C．y = D．y =8．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B 的面积为（ ）A．B．C．D．9．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y x y =+=，则AB 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．411．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值12．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年吉林省长春市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}|12B x x =<≤，则A B =（ ） A ．(1,2) B ．(1,2]C ．[]1,2-D ．[1,2)-【答案】A【解析】因{|12}A x x =-<<，{|12}B x x =<≤，故{|12}A B x x ⋂=<<，应选答案A ．2．已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①z =； ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由已知，①②④正确，③错误.故选C.3．已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系. 【详解】{|1}x x >{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B . 【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ： p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .4．下列函数中，与函数1y x =+是同一个函数的是 （ ）A ．2y = B ．1y =C ．21x y x=+D ．1y =【答案】B【解析】根据定义域、解析式是否与所给函数是否相同判断即可. 【详解】1y x =+的定义域为R ，()21y x =≥-与()210x y x x=+≠定义域不是R ，A 、C 不合题意;11y x ==+,解析式与1y x =+不相同，D 不合题意，选项B 中函数定义域、解析式都与所给函数相同， 故选B. 【点睛】本题主要考查函数的基本定义，考查了函数的定义域，属于基础题. 5．下列说法正确的是( )A ．“f (0)0=”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件B ．若 p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ￢：x R ∀∈，210x x --< C ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 【答案】C【解析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可． 【详解】对于A ，f （0）＝0时，函数 f （x ）不一定是奇函数，如f （x ）＝x 2，x ∈R ； 函数 f （x ） 是奇函数时，f （0）不一定等于零，如f （x ）1x=，x ≠0； 是即不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，命题p ：0x R ∃∈，20010x x -->则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0，∴B 错误； 对于C ，若α6π=，则sin α12=的否命题是 “若α6π≠，则sin α12≠”，∴Ｃ正确． 对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一假命题，∴Ｄ错误；故选C ． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题． 6．下面几种推理中是演绎推理的是（ ） A ．猜想数列111 (122334)⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n +=∈+ B ．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”C ．因为2x y =是指数函数，所以函数2x y =经过定点()01，D ．由平面直角坐标系中圆的方程为()()222x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为()()()2222+x a y b z c r -+--= 【答案】C 【解析】【详解】由题意知，A 为归纳推理，,B D 为类比推理，因为指数函数()0,1xy aa a =>≠都经过定点()0,1而2xy =是指数函数，所以函数2xy = 经过定点()0,1故C 满足三段论的结构特征，C ∴为演绎推理，综上所述，故选C 7．过极点且倾斜角为3π的直线的极坐标方程可以为（ ） A ．3πθ=B ．3πθ=，0ρ≥ C ．43πθ=，0ρ≥D ．3πθ=和43πθ=，0ρ≥ 【答案】D【解析】根据过极点的直线的极坐标方程，可直接得出结果. 【详解】 过极点且倾斜角为3π的直线的极坐标方程可以为：()03πθρ=≥和()403πθρ=≥. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求直线的极坐标方程，熟记公式即可，属于基础题型.8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 A ．(2,)3π-B ．4(2,)3π C ．(1,)3π-D ．4(2,)3π-【答案】A【解析】由极坐标与直角坐标转化式，将点坐标直接进行转化即可。